1、第五章第五章 定积分定积分积分学积分学不定积分：原函数的全体（函数族）不定积分：原函数的全体（函数族）定积分：和式极限（常数）定积分：和式极限（常数）引言：引言：定积分是在解决不规则面的面积、定积分是在解决不规则面的面积、变速直线运动的路程，变力做功，水压力变速直线运动的路程，变力做功，水压力等实际问题时抽象出来的数学概念。等实际问题时抽象出来的数学概念。目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第一节第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、定积分的定义定积分的定义三、三、定积分的性质定积分的性质定积分的概念及性质定积分的概念及性质 第五章第五章 目录目录 上页上页 下页下页
2、 返回返回 结束结束 2Sabxy1Sabxy（2）曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线设曲边梯形是由连续曲线，轴及x两直线两直线所围成所围成,求其面积求其面积 S.?A)(xfy 一、定积分问题举例一、定积分问题举例1.不规则面的面积不规则面的面积?S abxy12SSS（1）()()0)yf xf x,xa xb目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1xix1ixxabyo计算步骤计算步骤:1)划分：划分：01231,nna bx xx xxx,1iiixx2)近似：近似：任取任取，则第，则第 i 个小曲边梯形面积个小曲边梯形面积()iiiSfxi1(,1,2)i
3、iixxxin3)求和：求和：曲边梯形面积曲边梯形面积1niiSSniiixf1)(4)取极限取极限.01limniiSSniiixf10)(lim1max,ii nx 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1.曲边梯形面积（曲边梯形面积（a,b）ba01lim()niiiSfx()f x()v t dtd x21TTS2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程 （T1，T2）01lim()niiiSvt目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 abxo二、定积分定义二、定积分定义(P225)分法分法,210bxxxxan令令xi=xi xi-1,任取任取i总趋于确定的极限总
4、趋于确定的极限 I,则称此极限则称此极限 I 为函数为函数 f(x)在区间在区间 a,b上的上的定积分定积分,记为记为1xix1ixbaxxfd)(即即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称此时称 f(x)在在 a,b 上上可积可积.1.定义定义:设函数设函数 f(x)定义在定义在a,b上上,若对若对a,b的的任一种任一种1,iiixx1max0ii nx 只要只要 时时1()niiifx目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分上限积分下限积分下限被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分和积分和称为积分区
5、间,ba目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 即即baxxfd)(battfd)(bauufd)(2.说明说明（1）定积分定积分baxxfd)(表示一个数，这个数取决于积分表示一个数，这个数取决于积分区间区间a,b和被积函数，而与积分变量用什么表达式无关。和被积函数，而与积分变量用什么表达式无关。（2）定积分定积分baxxfd)(=和式极限和式极限iniixf10)(lim不定积分不定积分()df xx=f(x)的全体原函数的全体原函数 F(x)+c这是两个完全不同的概念这是两个完全不同的概念目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 （3）定积分的几何意义定积分的几何意义:
6、曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积的负值曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba定积分定积分=x 轴上方取正面积轴上方取正面积,x 轴下方取负面积轴下方取负面积,然后相加然后相加.例例1.P236 3,4.()0,()dbaf xf xxA()0,()dbaf xf xxA目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 （4）当当a b 时，定义时，定义baxxfd)(（5）当当()dabf xx 当当a=b 时，定义时，定义baxxfd)(0()1f x()1 badxbaba时，时，定理定理1.定理定理2.且只有有限个间断点且只有有限个间断点
7、三、定积分的存在条件三、定积分的存在条件（可积的充分条件）（可积的充分条件）:(证明略证明略)函数函数 f(x)在在a,b上连续上连续f(x)在在a,b上可积上可积函数函数 f(x)在在a,b上有界上有界,f(x)在在a,b上可积上可积目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 o1 xy1in【例例1】利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解:e x-1-1连续，故可积连续，故可积(1).将将 0,1 n 等分等分.(2).取取1xye(3).求和求和(4).取极限取极限10(1)d.xex1,(1,2,)iiinn()iiiAfx11(1),inen1111(1)innniiiAAe
8、n1110211()()nnnneeeenn1/1 111nene1/1 1lim11nneAne1/1/lim(1)121nnneee 10(1)d2xexe目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、定积分的性质三、定积分的性质(设所列定积分都存在设所列定积分都存在)(,为常数为常数)()()d()d()dbbbaaaf xg xxf xxg xx1.线性性质线性性质2.路径性质路径性质abcabc当当 a,b,c 的位置任意时的位置任意时,例如例如则有则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd
9、)()d()d()dbcbaacf xxf xxf xx例例.P236 7.目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 推论推论1.若在若在a,b上上 f(x)g(x),则则3.比较性质比较性质证证:)(xf)(xf)(xfxxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即即xxfxxfbabad)(d)(推论推论2.在在a,b上上若若在在a,b上上 f(x)0,则则()d0.baf xx()d()dbbaaf xxg xx()d()dbbaaf xxf xx【例例2】比较积分比较积分 的大小的大小.1100dln(1)dx x andxx目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束
10、 设设,)(min,)(max,xfmxfMbaba则则4.估值性质估值性质【例例3】估计积分的值估计积分的值313arctan dIxx xoxbay)(xfy mM()()d()bam baf xxM ba目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5.积分中值定理积分中值定理若若 f(x)C a,b,则存在则存在a,b,使得使得)(d)(abfxxfba证证:设设 由介值定理由介值定理,在在a,b上上,至少存在一点至少存在一点a,b,使得使得,即即,)(min,)(max,xfmxfMbaba)(d)(abfxxfbaoxbay)(xfy f()理解为理解为 f(x)在在 a,b上
11、的平均值上的平均值则则()()d()bam baf xxM ba即即1()dbamf xxMba1()()dbaff xxba目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作业作业 P236 10(2)13(2,3,5)目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例例4】计算从计算从 0 秒到秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均秒这段时间内自由落体的平均速度速度.解解:已知自由落体速度为已知自由落体速度为tgv 故所求平均速度故所求平均速度2211TgT2Tg01d0Tvgt tTvgtT212SgTovt目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例例5】积分中值定理的一
12、个推广：积分中值定理的一个推广：()d()()(d)bbaag xxgxfxf x且且 g(x)在在 a,b 上不变号上不变号,则则若若 f(x),g(x)C a,b,存在一点存在一点a,b,使得使得【例例6】试证试证:20sin1d.2xxx目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、积分上限的函数及其导数一、积分上限的函数及其导数 二、牛顿二、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 第二节第二节微积分的基本公式微积分的基本公式 第五章第五章 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )(xfy xbaoy)(xxhx一、积分上限的函数及其导数一、积分上限的函数及其导数则变上限函数
13、则变上限函数xattfxd)()(证证:,bahxx则有则有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(1()dx hxf tth()fhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x1.定理定理1 若若f(x)C a,b,是是f(x)在在a,b上的一个原函数上的一个原函数.)(hxx(),f xC a b目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1)连续函数连续函数 f(x)的原函数一定存在，的原函数一定存在，()xaf t dt一个原函数一个原函数.2)积分上限函数积分上限函数()xaf t dt给出了一种全新的函数表达式给出了一种全新的函数表达式.4221111
14、sin,sinlnxxexxxx例如例如在其定义域内连续，则它们的原函数一定存在，在其定义域内连续，则它们的原函数一定存在，但是上述几个函数是不可积分的，因此用但是上述几个函数是不可积分的，因此用012040221111sin,sinlnxxxxxxxedxdxdxdxxdxxxx是是f(x)的的来表示被积函数的一个原函数来表示被积函数的一个原函数.2.说明说明:目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4)变限积分求导变限积分求导:d()d()dbxf ttf xx()d()d()()dxaf ttfxxx()()d()d()()()()dxxf ttfxxfxxx3)通过通过Th1
15、得到得到:牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式-利用原函数计算定积分利用原函数计算定积分目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例例1】求下列函数的导数求下列函数的导数22()sin()xatdt22sin xx211(),.设求xtxxye dty22=2()xtxxxye dtexe目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1=xye(课堂练习课堂练习 )2031().arctanutexduuyt目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 221dd求tyxddddddyytxxt22ddddddyytxxt22212 ddtyex(早期的期末考题早期的期末考题
16、)22111ttteet22211()ttteetet2204()cosyxxytdtddyx求求2212dcos()dcos()yyxxyxy目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 e21【例例2】求下列极限求下列极限2002sin()limxxt dtx022000223()lim()txtxxe dttedt221201cosd()limtxxetx目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (例例 )(课堂课堂 )(P243 例例8)(提示提示 )目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例例3】P244 420()d当为何值时，函数有极值？xtxI xtet
17、【例例4】设设 f(x)在在a,b上连续上连续,(a,b)内可导内可导,且且0()fx证明在证明在(a,b)内内证明证明:11()()()()()xxaaF xf t dtf t dtxaxa01()(),xF xf t dtxa0().Fx211()()()xaf t dtf xxaxa211()()()()fxaf xxaxa1()()f xfxa1()()fxxa积分中值积分中值Th(,)a x 微分中值微分中值Th(,)x.ax0目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (P245 12)ttf txfxd)()(0【例例5】在在 0,+)内为单调递增函数内为单调递增函数.证证
18、:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfx)(tx只要证只要证0)(xF设设 f(x)在在 0,+)内连续内连续,且且f(x)0,证明证明00()d()()dxxtf ttF xf tt0()()dxf xf ttF(x)在在 0,+)内为单调递增函数内为单调递增函数.0()()d0 xxt f tx()0,()0f xxt()0F x目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (P243 例例7)二、牛顿二、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式)()(d)(aFbFxxfba(牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式)证证:根据定理根据定理 1,故故CxxfxFxad
19、)()()()(d)(aFxFxxfxa记作记作函数函数,则则定理定理2：设设 F(x)是连续函数是连续函数 f(x)在在a,b上的一个原上的一个原()dxaf xx是是 f(x)的一个原函数的一个原函数令令 x=a,得得C=F(a),因此因此再令再令 x=b,得得()d()()baf xxF bF aor()baF x()baF x目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,)()(,)(xfxFbaCxf且设则有则有说明说明:微积分基本公式微积分基本公式xxfbad)(积分中值定理积分中值定理()()Fba()()F bF a微分中值定理微分中值定理)(abf牛顿牛顿 莱布尼兹公式
20、莱布尼兹公式目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xxfbad)()()F bF a()()fF当当 f(x)是单调函数时是单调函数时()()ff31arctan x)1arctan(3arctan31270(2)sin dx x0cos x )4(321d(1)1xx【例例6】计算下列积分计算下列积分231()cosxdx|sin|x dx目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (P241 例例2)(P241 例例4)()2402sin xdx解：解：设设【例例7】设设求求 f(x).(定积分为常数定积分为常数),d)(10axxfbxxf20d)(,则则242().3
21、3f xxx21200()()d2()d,f xxxf xxf xx2()2f xxbxa120(2)daxbxax1232ba220(2)dbxbxax 8243ba1343ab 分别在分别在0-1,0-2上积分上积分目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (期末考题期末考题 )【例例6】汽车以每小时汽车以每小时 36 km 的速度行驶的速度行驶,速停车速停车,解解:设开始刹车时刻为设开始刹车时刻为,0t则此时刻汽车速度则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶刹车后汽车减速行驶,其速度为其速度为当汽车停住时当汽车停住时,即即得得故在这段时间内汽车所走的距离为故在这段时间内汽车所走的距离为
22、20d)(ttvs20d)510(tt22510tt(m)1002刹车刹车,问从开始刹问从开始刹到某处需要减到某处需要减设汽车以等加速度设汽车以等加速度车到停车走了多少距离车到停车走了多少距离?2ms5a 0kmh36()v 0()v tva t105t36 1000ms3600()ms10()()0,v t 1050,t2(s)t 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作业作业 P244 2；3;5(3);8(2,3,7,8,10);11(1,2)目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 00110arcsin.()sinyxte dtxtdt求求0 xdydx00 xd
23、ydx目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 补充题：补充题：2.确定常数确定常数 a,b,c 的值的值,使使解解:.0 b原式原式=c 0,故故.1a又由又由,得得.21c2121cosxx02sinlim(0).ln(1)dxxba xxcctt000sin0,0,xaxxc时,20coslimln(1)xaxx20coslimxaxcx目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3.设设()f x12000sin,xxxor x求求0()()xxf t dt在（在（,）内的表达式）内的表达式.解：解：当当 x 1 时收敛时收敛;p1 时发散时发散.dpaxxdpaxx11
24、11,pappp 发散发散 收敛收敛P256 例例3【例例3】证明第一类证明第一类 p 积分积分目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲线曲线所围成的所围成的1x与与 x 轴轴,y 轴和直线轴和直线开口曲边梯形的面积开口曲边梯形的面积可记作可记作其含义可理解为其含义可理解为 10dlimttxAx01lim 2txt0lim 2(1)tt2xy10A1xyt1yx10dxAx目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1、定义、定义2：无界点称为瑕点无界点称为瑕点()dbaf ttlim()dbttaf ttlim()dt
25、atbf tt()dcaf tt()dbcf tt以上每个极限都存在，则其对应的积分收敛，否则发散。以上每个极限都存在，则其对应的积分收敛，否则发散。a 点为瑕点点为瑕点()dbaf ttb 点为瑕点点为瑕点a,b点为瑕点点为瑕点()dbaf tttlim()dbtcf tt()dcaf tt()dbcf ttlim()dtatcf ttc 点为瑕点点为瑕点()dbaf ttlim()dcttaf ttlim()dtctbf tt(4)(),)(,f xC a cc b(1)()(,f xC a b(2)(),),f xC a b(3)()(,),f xC a b目录目录 上页上页 下页下页
26、返回返回 结束结束 若瑕点若瑕点xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF 若若 b 为瑕点为瑕点,若若 a 为瑕点为瑕点,若若 a,b 都为瑕点都为瑕点,),(bacxxfbad)()()(cFbF)()(aFcF不可抵消！不可抵消！2.广义的广义的 Newton Leibniz 公式公式:若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明:例如例如,间断点间断点,而不是反常积分而不是反常积分.则本质上是常义积分则本质上是常义积分,11(1)dxx()d()f uuF uC2111d1xxx目录目录
27、 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2发散发散.220d(1)(0)axaax121d(2)xx【例例4】计算下列反常积分计算下列反常积分目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例6.证明反常积分证明反常积分当当 q 1 时收敛时收敛;q1 时发散时发散.d()bqaxxaP259 例例6当当 q=1 时时,dbaxxa 当当 q1 时时1q,1)(1qabq1q,d()bqaxxa目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明:(1)有时通过换元有时通过换元,反常积分和常义积分可以反常积分和常义积分可以互互相转化相转化.例如例如,1021dxx10121d122
28、txxx102112)()d(xxxx022dtt(2)当一题同时含两类反常积分时当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分分别讨论每一区间上的反常积分.20d(sintxt令）21401d1xxx1()txx令目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 P260 2 提示提示:P260 题题22)(lndkxxx2)(ln)d(lnkxx,1时当k12)2)(ln1(1)(lnd)(kkkxxxkI,)2)(ln1()(1kkkf令求其最大值求其最大值.作业：作业：P262 1(2),(3),(4),(9),(10)，4目录目录 上页上页 下
29、页下页 返回返回 结束结束 作业作业 P212 4,5,6,9,14,19,20,2411.ln()xdxx221.()xxedxx132.sincosdxxx2154.dxxx补充作业：补充作业：一、一、求下列积分求下列积分2241arctan.()xdxxx160.()()ndxax xa目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1.已知已知f(x)的一个原函数为的一个原函数为(1+sinx)lnx,求求2.设设f(x2-1)=ln x2/(x2-2),且且 求求()xfx dx().x dx()lnfxx3.设设 f(cosx+2)=sin2x+tan2x,试求试求 f(x)4.
30、设设 F(x)为为 f(x)的原函数的原函数,当当x 0 时有时有f(x)F(x)=sin22x,且且F(0)=1,F(x)0,求求 f(x).补充作业：补充作业：二、二、(选做选做)5.设设,f(x)可微可微,f(x)的反函数的反函数()()f x dxF xf 1(x)存在存在,则则111()()()fx dxxfxF fxC目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 令令,txu_d)(sindd0100ttxxx则则ttxxd)(sin0100 x100sin0100sindxu u 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解法解法1)(3xf解法解法2 对已知等式两边求导对已知等式两边求导,得得131(),(1)0,f tCf31()dln,xf ttx求求 f(e).31ln()dxxf tt3()(1)f xf3,ux令3()lnf uu1ln3u1()3f e2313()x fxx令令 u=x 3,得得1()3f uu11()d()()(1)eef uuf uf ef1111()()dd3eef ef uuuu目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束
