1、 二项式定理 制作：胡贵平制作：胡贵平 X 复习引入复习引入:45 45 1 1乘积乘积?a1?a2?a3?b1?b2?b3?c1?c2?c3?c4?c5?有有_项项.展开下面式子 2 22(a+b)=a +2ab+b 3 322 3(a+b)=a+3a b+3ab+b 那么将(a+b)4 ，(a+b)5.展开后，它们的各项是什么呢？2 对对(a+b)展开式的分析展开式的分析2(a+b)(a+b)(a+b)展开后其项的形式为：a2，ab，b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数.考虑b:020每个都不取b的情况有C2 种,则a 前的系数为C2 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为
2、C21 222 恰有2个取b的情况有C2 种，则b 前的系数为C22 220 21 22(a+b)=a+2ab+b C2a +C2ab+C2 b 3322 3(a+b)=a+3a b+3ab+b0 31 222 33=C3a +C3a b+C3ab+C3 b4(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)？问题 4 1)(a+b)展开后各项形式分别是什么？a4 a3b a2b2 ab3 b4 2)各项前的系数代表着什么？各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现的次数 3)你能分析说明各项前的系数吗？432 23 4 a a b a b abb每个都不取b的情况有1种,即C40,则a4前的系
3、数为C40 恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41 22 22 恰有2个取b的情况有C4 种，则a b 前的系数为C4333 恰有3个取b的情况有C4 种，则ab前的系数为C4恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44 4 则 (a+b)C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b4 二项展开式定理?a?b?n?C a?C ab?C annn0nn1nn?1knn?kbk?C b?n?N*?0n0 每个都不取b的情况有1种,即Cn,则a 前的系数为Cn1n-11 恰有1个取b的情况有Cn种，则ab前的系数为Cn恰有2个取b的情况有Cn2
4、种，则an-2b2前的系数为Cn2.恰有k个取b的情况有Cnk 种，则an-kbk前的系数为Cnk.恰有n个取b的情况有Cnn 种，则bn前的系数为Cnn 右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 Cnk an-kbk：二项展开式的通项，记作Tk+1 k Cn：二项式系数注 项数：项数：二项展开式共有n+1项 指数指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。n 12 2 k k n 如(1+x)=1+Cn x+Cn x+Cnx+x1?例1 求?2 x?的展开式.x?6分析:先化简再运用公式 解 16152433=3(2 x)?C6(2x)?C6(2x)?C
5、6(2x)x11?2x?1?6?2 x?3?2x?1?x?x?x?66?C(2 x)?C(2 x)?C 60 121=64 x?192 x?240 x?160?2?3xxx3246256661?练习 展开?1?x?4234?1?1?1?2?1?3?1?4?1?解:?1?1?C4?C4?C4?C4?x?x?x?x?x?4641?1?2?3?4xxxx47例2(1)求(1+2x)的展开式的第4项 第4项的二项式系数 第4项的系数 注：注：1)注意区别二项式系数与项的系数的概念 r二项式系数：Cn；项的系数：二项式系数与数字系数的积 2)求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开 7例2(1)求
6、(1+2x)的展开式的第4项的系数 解?92?求?x?1?x?的展开式中x3的系数.(1)(1+2x)7的展开式的第4项是 T3+1=C73?17-3?(2 x)3 =3523x3 =280 x3 7例2(1)求(1+2 x)的展开式的第4项 1?3?2?求?x?的展开式中x的系数.x?9分析:先求出x3是展开式的哪一项,再求它的系数 1?2?x?的展开式的通项是x?r1?rr9?r?r9?2rC9x?1?C9x?x?99-2 r=3 r=3 333x 系数是 (-1)C9=-84 练习 求（x+a)12的展开式中的倒数第4项 解:(x+a)12的展开式有13项,倒数第4项是它的第10项 91
7、2?9 99?1?C12xa?220 x3a9.T练习?x3?求?的展开式常数项x?3r919?r?r29x9?r3rr19?rr解:Tr?1?C()()?C9()3 x33x1由9-r-r?0 得r?6.2619?6 6T7?C9()3?22683练习 x39(?)的展开式的中间两项的展开式的中间两项 求求 3x解:展开式共有10项,中间两项是第5、6项。x9?4343T5?T4?1?C()()?42 x3x49x9?535T6?T5?1?C()()?42 x3x5932小结 1）注意二项式定理中二项展开式的特征 2）区别二项式系数，项的系数 3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项 探 究：100若将若将 除以除以9 9，则得到的余数是多少？，则得到的余数是多少？88 8100100?（9 9?1 1）100100?C C9 90 01 10 00 01 10 00 0?C C1 19 99 9、1 10 00 09 9?C C9 91010 0 0 0 01010 0 0r r1 10 00 0?r r1 10 00 0（?1）r?C C9 9?C C9 910199991 11010 0 0 所以所以余数是余数是1 1，思考：思考：若若将将 8除以除以9 9，则得，则得到的余数还是到的余数还是1 1吗？吗？
