1、第七章 随机过程的均方微积分w从上面的分析可知，对于一个随机过程X(t)，要研究它的变化规律，常常需要建立起它的“函数关系”，也就是建立随机过程的多维分布。因为随机过程X(t)的多维分布可以比较全面地描述随机过程的整个变化规律的统计特性，但要建立过程的分布函数一般比较复杂，使用也不便，甚至不可能。w怎么办呢？事实上，在许多实际应用中，当随机过程的“函数关系”不好确定时，我们往往可以退而求其次，像引入随机变量的数字特征一样，引入随机过程的数字特征。w用这些数字特征我们认为基本上能刻划随机过程变化的重要统计规律，而且用随机过程的X(t)的数字特征，又便于运算和实际测量。w显然，对于随机变量X，它的
2、的数字特征我们主要介绍了数学期望、方差、相关函数来描述随机过程X(t)的主要统计特性。w例例7.1 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度1,101,01()xxxxf x 求(),()E x D x解：()()E xxf x dx22()()()D XE XE X011001210()(1)(1)01()(1)(1)6E Xxx dxxxE Xxx dxxx dx221()()()6D xE XE x 注意：随机变量的数字特征计算结果是一个确定的数。而随机过程的数字特征不是数，是一个关于时间的确定函数。7.1 随机过程X(t)的数学期望 对于某个给定时刻t，随机过程成为一个随机变量，
3、因此可按通常随机变量的数学期望方法来定义随机过程的数学期望。定义定义X(t)的数学期望的数学期望 式中，是X(t)的一维概率密度函数。又可称为X(t)的均值，这个均值函数可以理解为在某一给定时刻t随机过程的所有样本函数的平均值。如图2.1所示。()()(;)XXE X tMtxPx t dx(;)XPx t()E X t图2.1 随机过程的数学期望mX(t)()E X t显然由图2.1可看出，随机过程 X(t)就在 附近起伏变化，图中细线表示样本函数，粗线表示均值函数。如果我们计论的随机过程是接收机输出端的一条噪声电压，这个 就是噪声电压在某一瞬时t的统计平均值（又称集平均值）。()E X t
4、7.2 随机过程的均匀方值与方差w对于某一固定的时刻，随机过程X(t)就成为一个随机变量，由此可给出随机过程均方值定义。定义随机过程X(t)的均方值：式中，的一维概率密度函数。定义随机过程的方差（又可称二阶中心矩）：定义随机过程的方差（又可称二阶中心矩）：显然 是关于t的函数，且为非负函数。222()()(;)XXtE Xtx Px t dx(;)()XPx tX t为22()()()()XXtD X tEX tMt22(),()XXttw定义随机过程的标准离差定义随机过程的标准离差：w注：随机过程的标准差是表示了随机过程在t时刻偏离均值的程度大小，如图2.2所示。2(5)()()XXtD X
5、 t图2.27.3 随机过程的自相关函数w随机过程的数学期望、方差描述了随机过程在各个孤立时刻的重要数字特征值，但它们不能反映随机过程的内在联系，这一点可以通过下图的两个随机过程X(t)、Y(t)来说明。w对于这两个随机过程，从直观上讲，它们都具有大致相同的数学期望和方差，但两个过程的内部结构却有着非常明显的差别，其中X(t)随机时间变化缓慢，这个过程在两个不同的时刻的状态之间有着较强的相关性，而过程Y(t)的变化要急剧得多，其不同时刻的状态之间的相关性，显然很弱。怎样去研究和反映一个随机过程在不同时刻的内在联系呢？为此我们引入自相关函数（简称相关函数）来描述随机过程在两个不同时刻状态之间的内
6、在联系。w定义随机过程的自相关函数：定义随机过程的自相关函数：这就是随机过程X(t)在两个不同时刻 的状态 之间的混合原点矩，自相关函数就反映了X(t)在两个不同时刻的状态之间的相关程度。若在定义式中取 ，则有 此时自相关函数即为均方值。式中，为过程X(t)的二维概率密度函数。1212(,)()()XRttE x tX t12121212(,;,)Xx x Px x t t dx dx12(),()X tX t12,t t12ttt212(,)(,)()()XXRt tRt tE Xt X tE Xt1212(,;,)XPx x t t例2.2 求随机相位正弦波过程 的均值、方差和自相关函数，
7、其中 的概率密度为w解：解：当取定 是一个随机变量，且该随机变量X(t)显然是随机变量 的函数。由求随机变量函数的数学期望定理，有()cos()X tat1/212()0f其它()cos()X tattT 时,()()()()E yE g Xg x f x dx0202()()XE X tMt 201cos()02atd 1212(,)()()XRt tE x tX t 1221222120 cos()cos()cos()1cos()cos()2cos()E atEttattdata2221coscos()22aatt121212(,)(,)()()XXXXCt tRt tMt Mt12ttt
8、又又当令当令，222(,)()()()(,)()2XXXXCt tEX tMtD X taRt tMtw例7.3 给定随机过程 ，式中 是常数，A和B是两个独立的正态随机变量，而且 ，试求X(t)的均值和自相关函数。()cossinX tAtBt222()()0,()()E AE BE AE B解 ()cossinX tAtBt，且A，B独立()()0E A BE AE B当取定t时，X(t)为随机变量()cossinE X tE AtE Btcos sin 0tE AtE B1212(,)()()XRt tE X t X t1122212221212212122212221222(cossi
9、n)(coscos)coscoscossincossinsincoscoscossinsincossinsincoscossinsincEAtBtAttE AttABtBAttBtttt E Att E ABttl E ABtt E Btttt12os()tt有时为了描述随机过程在任意两个不同时刻t1、t2间内在联系，我们还可以用协方差函数中心化自相关函数来定义。w定义协方差函数：定义协方差函数：称 为随机过程X(t)的协方差函数。由定义可知，当取 此时的协方差就是方差。w注意，实际上自相关函数 所描述的特性是几乎一致的。12ttt1212(,)(,)XXRt tCt t与21),;,()()
10、()()()()(,21212211221121XXXXXXXxddttxxPtMxtMxtMtXtMtXEttC)()()()(),(2221ttXDtMtXEttCXXXw性质性质2.1证 从上式分析可知，随机过程的协方差函数 与其自相关函数 只差一个统计平均值，特别当随机过程的任意时刻数学期望 时，二者完全相同。121212(,)(,)()()XXXXCt tRt tMt Mt121122(,)()()()()XXXCt tEX tMtX tMt12121212121212121212121212()()()()()()()()()()()()()()()()(,)2()()()()(,
11、)()()XXXXXXXXXXXXXXXXE X t X tX t MtMt X tMt MtE X t X tE X tMtMt E X tMt MtRt tMt MtMt MtRt tMt Mt12(,)XCt t12(,)XRt t()0E X t7.4 两个随机过程之间的互相关函数 随机过程的自相关函数描述了一个随机过程本身的内在联系，而要描述两个过程在不同时刻 之间的相互关系，我们引入了互相关函数的定义。定义互相关函数定义互相关函数：称 为两个随机过程的互相关函数。式中：为在两个不同时刻随机变量 、的联合概率密度函数。12,t t121212(,)()()(,;,)XYXYRt tE
12、 X tY txyPx y t tdxdy12(,;,)XYPx y t t1()X t2()Y t定义互协方差函数：定义互协方差函数：称称 为两个随机过程的互协方差函数。为两个随机过程的互协方差函数。性质性质2.2 121122(,)()()()()XYXYCt tEX tMtY tMt1212()()(,)XYXYxMtyMtPx y t t dxdy121212(,)(,)()()XYXYXYCt tRt tMt Mt 在上式中，若对任意 都有 则称X(t)，Y(t)为正交过程，此时 在上式中，若 ，又称X(t)，Y(t)互不相关；此时 推论：若两个随机独立，则它们必不相关。反之，两个随
13、机过程不相关，还不能断言它们的相互独立。（除非是正态过程）。注：自相关函数、互相关函数、协议差函数其结果是数，而不再是一个过程。12,t t12(,)0XYRt t1212(,)()()XYXYCt tMt Mt 12(,)0XYCt t1212(,)()()XYYYRt tMt Mt习题1.若随机过程X(t)为X(t)=At ，式中A为（0,1）上均匀分布的随机变量，求2.给定一随机过程X(t)和常数a，试以X(t)的相关函数表示随机过程的自相关函数t 12(),(,)XE X tRt t()()()Y tX taX t3.已知随机过程X(t)的均值 和协方差函数 是普通函数，试求随机过程 是普通函数，试求随机过程 的均值和协方差函数。4.设 ，其中A，B是相互独立且服从同一高斯（正态）分布 的随机变量，a为常数，试求X(t)的值与相关函数。tMx12(,),()XCi tt()()()Y tX tt()()()Y tX tt()cossinX tAatBat2(0,)N
