1、八（下）数学教材习题第一章 复习题请将下面证明中每一步的理由填在括号内请将下面证明中每一步的理由填在括号内.已知：如图，已知：如图，D，E，F分别是分别是BC，CA，AB上的点，上的点，DEBA，DFCA.求证：求证：FDE=A.证明：证明：DEBA()，FDE=BFD()，DFCA()，1.已知已知两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等已知已知BFD=A()，FDE=A().两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等等量代换等量代换已知：如图，已知：如图，ADCB，AD=CB.求证：求证：ABCCDA.2.证明：证明：ADCB，ACB=CAD.CB=AD，CA=AC，ABCCDA(S
2、AS).已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC，点点D，E分别在分别在边边AC，AB上，且上，且ABD=ACE，BD与与CE相交于点相交于点O.求证：求证：(1)OB=OC；3.证明：证明：(1)AB=AC，ABC=ACB.ABD=ACE，ABCABD=ACBACE，DBC=ECB，即，即OBC=OCB.OB=OC(等角对等边等角对等边).(2)BE=CD；(2)在在ABD和和ACE中，中，A=A，AB=AC，ABD=ACE，ABDACE(ASA)，AD=AE.AB=AC，ABAE=ACAD，即，即BE=CD.已知：如图，已知：如图，BD，CE是是ABC的高，且的高，且BD=CE
3、.求证：求证：ABC是等腰三角形是等腰三角形.4.证明：证明：BD，CE是是ABC的高，的高，BDC=CEB=90.又又BD=CE，BC=CB，RtBCDRtCBE(HL)，ABC=ACB.AB=AC，即，即ABC是等腰三角形是等腰三角形.在在ABC中，已知中，已知A，B，C的度数之比是的度数之比是123，AB=，求，求AC的长的长.5.3解：解：A+B+C=180，ABC=123，A=30，C=90.在在RtABC中，中，A=30，BC=13.22AB 222233(3).22ACABBC 已知：如图，已知：如图，ANOB，BMOA，垂足分别为，垂足分别为N，M，OM=ON，BM与与AN相交
4、于点相交于点P.求证：求证：PM=PN.6.证明：如图，连接证明：如图，连接OP.ANOB，BMOA，PMO=PNO=90.在在RtPMO与与RtPNO中，中，OP=OP，OM=ON，RtPMORtPNO(HL).PM=PN.已知：已知：MN是线段是线段AB的垂直平分线，的垂直平分线，C，D是是MN上的上的两点两点.求证：求证：(1)ABC，ABD是等腰三角形；是等腰三角形；7.证明：证明：(1)如图，如图，C是线段是线段AB的垂直平分线上的点，的垂直平分线上的点，AC=BC.ABC是等腰三角形是等腰三角形.同理可证同理可证ABD是等腰三角形是等腰三角形.(2)CAD=CBD.(2)如图，点如
5、图，点C，D在线段在线段AB所在直线的两侧所在直线的两侧.AC=BC，CAB=CBA.AD=BD，DAB=DBA.CAB+DAB=CBA+DBA，即，即CAD=CBD.点点C，D在线段在线段AB所在直线的同侧，利用同样所在直线的同侧，利用同样的方法推理可得的方法推理可得CAD=CBD.如图，已知线段如图，已知线段a，利用尺规求作以，利用尺规求作以a为底边、以为底边、以2a为为高的等腰三角形高的等腰三角形.8.已知：线段已知：线段a，如图如图(1).求作：等腰求作：等腰ABC，使得，使得AB=AC，BC=a，BC边上的高边上的高AD=2a.作法：如图作法：如图(2).(1)作射线作射线BM，在，
6、在BM上截取线段上截取线段BC=a；(2)作线段作线段BC的垂直平分线的垂直平分线DE交交BC于点于点D；(3)在射线在射线DE上截取上截取DA=2a；(4)连接连接AB，AC，则，则ABC即为所求即为所求.如图，在如图，在ABC中，中，BAC=90，AB=AC=a，AD是是ABC的高，求的高，求AD的长的长.9.解：在解：在ABC中，中，BAC=90，AB=AC=a，由勾股定理得，由勾股定理得BC=.又又SABC=ABAC=BCAD，即，即AD=.2a1222a1211222a aaAD ，解：解：RtAODRtAOE.证明：证明：ABC的的高高BD与与CE相交于点相交于点O，ADO=AEO
7、=90.OD=OE，AO=AO，RtAODRtAOE(HL).如图，如图，ABC的高的高BD与与CE相交于点相交于点O，OD=OE，AO的延长线交的延长线交BC于点于点M，请你从图中找出几对全等，请你从图中找出几对全等的直角三角形，并给出证明的直角三角形，并给出证明.10.RtBOERtCOD.证明：由知证明：由知BEO=CDO=90，又又OE=OD，且，且BOE=COD，BOECOD(ASA).RtBCERtCBD.证明：由知证明：由知BEC=CDB=90，BE=CD，且，且BC=CB，RtBCERtCBD(HL).ABMACM.证明：由知证明：由知ABC=ACB，由知，由知BAM=CAM，
8、又又AM=AM，ABMACM(AAS).RtABDRtACE.证明：证明：ADB=AEC=90，BAD=CAE，又由知，又由知AD=AE，RtABDRtACE(ASA).BOMCOM.证明：由知证明：由知OMB=OMC，BM=CM，又又OM=OM.BOMCOM(SAS).AOBAOC.证明：证明：由知由知OB=OC，由知由知AB=AC，又又OA=OA.AOBAOC(SSS).证明：如图，连接证明：如图，连接BE.DE垂直平分垂直平分AB，AE=BE.ABE=A=30.C=90，A=30，ABC=60.EBC=ABCABE=30.BE=2CE.AE=2CE.如图，在如图，在ABC中，中，C=90
9、，A=30，AB的垂的垂直平分线分别交直平分线分别交AB，AC于点于点D，E.求证：求证：AE=2CE.11.解：解：C=BED=90，B=60，A=30.又又AED=180BED=90，AD=2DE=2.AC=AD+CD=4.如图，四边形如图，四边形BCDE中，中，C=BED=90，B=60，延长延长CD，BE，两线相交于点，两线相交于点A.已知已知CD=2，DE=1，求求RtABC的面积的面积.12.在在RtABC中，中，A=30，AB=2BC.又又AB2=BC2+AC2，即，即4BC2=BC2+42，解得解得BC=SABC=4 3.3114 38 34.2233AC BC 解：此题答案不
10、唯一解：此题答案不唯一.可添加条件：可添加条件：CAB=DBA或或CBA=DAB或或AC=BD或或BC=AD.如图，已知如图，已知ACB=BDA=90，要使，要使ACBBDA，还需要添加什么条件？请你选择其中一个，还需要添加什么条件？请你选择其中一个加以证明加以证明.13.选择添加条件选择添加条件AC=BD加以证明加以证明.证明：在证明：在RtACB和和RtBDA中，中，AC=BD，AB=BA，RtACBRtBDA(HL).已知：在已知：在ABC中，中，AB=AC.求证：求证：B与与C都是锐角都是锐角.证明：证明：AB=AC，B=C.假设假设B与与C为直角或钝角，于是为直角或钝角，于是B+C1
11、80，这与三角形内角和定理矛盾，因此这与三角形内角和定理矛盾，因此B和和C必为锐必为锐角角.即等腰三角形的底角必为锐角即等腰三角形的底角必为锐角.求证：等腰三角形的底角必为锐角求证：等腰三角形的底角必为锐角.14.解：解：AFD是直角三角形是直角三角形.理由如下：理由如下：AB=AD，ADB=B=64.BAD=180ADBB=1806464=52.如图，在如图，在ABC中，中，B=64，BAC=72，D为为BC上一点，上一点，DE交交AC于点于点F，且，且AB=AD=DE，连接，连接AE，E=55.请判断请判断AFD的形状，并说明理由的形状，并说明理由.15.BAC=72，DAC=BACBAD
12、=7252=20.AD=DE，E=55，DAE=E=55.FAE=DAEDAC=35.AFD=FAE+E=35+55=90.AFD是直角三角形是直角三角形.如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC，AB的垂直平分线交的垂直平分线交AB于点于点D，交，交AC于点于点E.已知已知BCE的周长为的周长为8，ACBC=2，求，求AB与与BC的长的长.16.解：解：DE垂直平分垂直平分AB，AE=BE.又又BCE的周长的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=8.ACBC=2，得方程组，得方程组AB=AC，AB=5.82ACBCACBC ，53.ACBC ，解解得得已知：如图，在等边三角形
13、已知：如图，在等边三角形ABC的三边上分别取点的三边上分别取点D，E，F，使得，使得AD=BE=CF.求证：求证：DEF是等边三角形是等边三角形.17.证明：在等边三角形证明：在等边三角形ABC中，中，AB=BC=AC，A=B=C.AD=BE=CF，ABAD=BCBE=ACCF，即即DB=EC=FA.在在BDE和和CEF中，中，DB=EC，B=C，BE=CF，BDECEF(SAS).DE=EF.同理可证同理可证AFDCEF(SAS)，FD=EF.DE=EF=FD.DEF是等边三角形是等边三角形.如图，已知线段如图，已知线段c，求作等腰直角三，求作等腰直角三角形，使其斜边等于线段角形，使其斜边等于线段c(保留作图保留作图痕迹，不必写作法痕迹，不必写作法).18.解：作图如图所示，解：作图如图所示，ABC即为所即为所求作的等腰直角三角形求作的等腰直角三角形.解：如图，在等腰解：如图，在等腰ABC中，中，AB=AC=5，BC=6，过点过点A作作ADBC交交BC于点于点D，则则BD=BC=3.在在RtABD中，由勾股定理得中，由勾股定理得AD=ABBD=53=16，AD=4.12已知等腰三角形底边和腰的长分别为已知等腰三角形底边和腰的长分别为6和和5，求这个，求这个等腰三角形的面积等腰三角形的面积.19.SABC=BC AD=64=12.1212
