1、深圳大学电子科学与技术学院2.5 高斯光束的基本性质及特征参数高斯光束的基本性质及特征参数 一、沿z轴方向传播的基模高斯光束的表示)2(exp)(exp)(),(22200fzarctgRrzkizrzczyxff020,其中，c为常数，r2=x2+y2，k=2/，0为基模高斯光束的腰斑半径，f 称为高斯光束的共焦参数深圳大学电子科学与技术学院22()1()()fzffRR zzfzzfzz20()1()zzfR(z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位面的曲率半径(z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位面上的光斑半径当z=f时，(z)=0，即f表示光斑半径增加到腰斑的 倍处的位置22对
2、称共焦腔/一般稳定球面腔深圳大学电子科学与技术学院二、高斯光束在自由空间的传输规律二、高斯光束在自由空间的传输规律W振幅因子光斑半径(z)基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的规律从中心向外平滑地降落。由振幅降落到中心值的1/e处的点所定义的光斑半径为(z)；光斑半径随坐标z按双曲线规律扩展W远场发散角0（定义在基模高斯光束强度的1/e2点的远场发散角）002()lim22zzzffar-field beam angle深圳大学电子科学与技术学院 相位因子等相位面的曲率半径R(z)因子kr2/2R(z)表示与横向坐标（x,y）有关的相位移动，表明高斯光束的等相位面是以高斯光束的等
3、相位面是以R(z)为半径的球为半径的球面，面，其曲率半径随坐标而变化，且曲率中心也随其曲率半径随坐标而变化，且曲率中心也随z不不同而不同同而不同；当z=f时，R(z)=2f；当z=0时，R(z)；z 时，R(z)。曲率中心的位置=，说明球心在共焦腔腔外 ，说明球心在共焦腔腔内fzRzfz)(,时当fzRzfz)(,时当Wavefront radius of curvature R(z)(zRz深圳大学电子科学与技术学院 The radius of curvature R(z)has a variation with distance given analytically by The wave
4、front is flat or planar right at the waist,corresponding to an infinite radius of curvature or R(0)=.As the beam propagate toward,however,the wavefront gradually becomes curved,and the radius of curvature R(z)drops rather rapidly down to finite values.zfzfzzR2)(2fzfzfz深圳大学电子科学与技术学院 For distance well
5、 beyond the Rayleigh range f the radius then increases again as R(z)z,i.e.,the gaussian beam becomes essentially like a spherical wave centered at the beam waist.What this means in physical terms is that the center of curvature of the wavefront starts out at for a wavefront right at the beam waist,a
6、nd then moves monotonically inward toward the waist,as the wavefront itself moves outward toward z.深圳大学电子科学与技术学院 高斯光束在其传输轴线附近可近似看高斯光束在其传输轴线附近可近似看作是一种作是一种非均匀球面波非均匀球面波，其曲率中心，其曲率中心随着传输过程而不断改变，但其振幅随着传输过程而不断改变，但其振幅和强度在横截面内始终保持和强度在横截面内始终保持高斯分布高斯分布特性特性，且其，且其等相位面始终保持为球面等相位面始终保持为球面。深圳大学电子科学与技术学院W用参数0（或f）及束腰位
7、置表征高斯光束W用参数(z)和R(z)表征高斯光束如果知道了某给定位置处的(z)和R(z)，可决定高斯光束腰斑的大小0和位置zW高斯光束的q参数三、基模高斯光束的特征参数三、基模高斯光束的特征参数深圳大学电子科学与技术学院)(2(exp)(exp)(),(22200fzarctgzRrzkizrzczyx)(exp)()(12exp)(),(2200fzarctgkzizizRrikzczyx)()(1)(12zizRzq引入一个新的参数q(z)，定义为重新整理深圳大学电子科学与技术学院 参数参数q将将(z)和和R(z)统一在一个表达式中统一在一个表达式中，知道了高斯光束在某位置处的q参数值，
8、可由下式求出该位置处(z)和R(z)的数值)(1Im)(1)(1Re)(12zqzzqzRifiqiRqq20020)0()0(1)0(11用q0=q(0)表示z=0处的参数值，得出q0 is purely imaginary深圳大学电子科学与技术学院四、高阶高斯光束四、高阶高斯光束(Higher-order Gaussian modes)厄米特厄米特-高斯光束高斯光束(方形孔径的共焦腔或稳定球面腔)其横向场分布由高斯函数和厄米特多项式(Hermite polynomial)的乘积决定，沿x方向有m条节线，沿y方向有n条节线yHxHenmr2222The Hermite-gaussian be
9、am functions alternate between even and odd symmetry alternating index n.The n-th order function has n nulls and n+1 peaks.深圳大学电子科学与技术学院 附加相移 x方向和y方向的光腰尺寸 在z处的光斑尺寸202202)12()12(nmnm)()12()()()12()(2222znzzmznm000012212)(2lim12212)(2limnnzzmmzznznmzmfzarctgnmmn)1(在x方向和y方向的远场发散角深圳大学电子科学与技术学院 拉盖尔拉盖尔-高斯
10、光束高斯光束(柱对称稳定腔、圆形孔径共焦腔)柱对称系统中的高阶高斯光束的横向场分布由下列函数描述，沿半径r方向有n个节线圆，沿辐角方向有m根节线mmerLrmnsincos)2(2222The higher-order Laguerre-gaussian mode patterns are characterized by azimuthal and radial symmetry.深圳大学电子科学与技术学院 附加相移为 光斑半径 发散角fzarctgnmmn)12()(12)(znmzmn012nmmn深圳大学电子科学与技术学院2.6 高斯光束高斯光束q参数的变换规律参数的变换规律 普通球面
11、波的传播规律 高斯光束q参数的变换规律 用q参数分析高斯光束的传输问题深圳大学电子科学与技术学院一、普通球面波的传播规律一、普通球面波的传播规律 研究对象：沿z轴方向传播的普通球面波，曲率中心为O(z=0)。在自由空间的传播规律R2=R1+(z2-z1)=R1+L 傍轴球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前曲率半径满足(应用牛顿公式)球面波的传播规律可以统一写成 结论：具有固定曲率中心的普通傍轴球面波可以由结论：具有固定曲率中心的普通傍轴球面波可以由其曲率半径其曲率半径R来描述，传播规律由变换矩阵确定。来描述，传播规律由变换矩阵确定。FRR11112DCRBARR112深圳大学电子科学与技术学院
12、二、高斯光束二、高斯光束q参数的变换规律参数的变换规律ABCD公式公式 研究对象：高斯球面波非均匀的、曲率中心不断改变的球面波 q参数在自由空间的传输规律q(z)=q0+z，q2=q1+L 通过薄透镜的变换 q参数的变换规律可统一表示为 结论：高斯光束经任何光学系统变换时服从高斯光束经任何光学系统变换时服从ABCD公式，由公式，由光学系统对傍轴光线的变换矩阵所决定。光学系统对傍轴光线的变换矩阵所决定。优点：能通过任意复杂的光学系统追踪高斯光束的能通过任意复杂的光学系统追踪高斯光束的q参数值参数值 (将q称为复曲率半径the complex radius of curvature)Fqq1111
13、2DCqBAqq112深圳大学电子科学与技术学院研究对象普通球面波高斯球面波特点曲率中心固定的曲率中心变化的在自由空间的传输规律R2=R1+Lq2=q1+L通过薄透镜的变换总的变换规律曲率半径R复曲率半径qFRR11112Fqq11112DCRBARR112DCqBAqq112深圳大学电子科学与技术学院 Transformation for the Gaussian beam-the ABCD law The great power of the ABCD law is that it enables us to trace the Gaussian beam parameter q(z)th
14、rough a complicated sequence of lenslike elements.The beam radius R(z)and spot size(z)at any plane z can be recovered through the use of the following expression)()(1)(12zizRzq深圳大学电子科学与技术学院三、用三、用q参数分析高斯光束的传输问题参数分析高斯光束的传输问题 已知：入射高斯光束腰斑半径为0，束腰与透镜的距离为l，透镜的焦距为F。求：通过透镜L后在与透镜相距lC处的高斯光束参数C和RC。思路1：在z=0处 q(0
15、)=i02/在A处（紧靠透镜的左方）qA=q(0)+l 在B处（紧靠透镜的右方）1/qB=1/qA-1/F 在C处 qC=qB+lC qC C、RC深圳大学电子科学与技术学院222222)()()(flFfFiflFflFlFlqcc思路2？步步为营步步为营/一步到位一步到位深圳大学电子科学与技术学院特例：高斯光束腰斑的变换规律特例：高斯光束腰斑的变换规律 若将C点取在像方束腰处，则有RC、Re1/qC=0，可以求出像方束腰到透镜的距离l和像方腰斑的大小0。22022)()()(FlFFlFl220220220)()(lFF深圳大学电子科学与技术学院当满足220)(2Fl FllFFlFFl2
16、Fll111腰斑放大率llFlFk00几何光学之物和像几何光学之物和像特殊情况：当Fl Fl 此时，可用几何光学处理傍轴光线的方法来处理高斯光束物高斯光束束腰离透镜足够物高斯光束束腰离透镜足够远远与几何光学迥然不同与几何光学迥然不同还可方便地求出透镜焦平面上的光斑大小：在前式中令lc=F，0CF深圳大学电子科学与技术学院2.7 高斯光束的聚焦和准直高斯光束的聚焦和准直目的：单透镜对高斯光束的聚焦，使00 WF一定时，0随l变化的情况JlF，0随l的减小而减小；当l=0时，0达到最小值，1111122200FfFkFl 如果，FF，0随l的增大而减小；当 ，当lF，Jl=F，0达到极大值，且 ，
17、仅当Ff时，透镜才有聚焦作用。lFl00FlFl)(000lFF00Fl 不论l的值为多大，只要FflF，l愈大，F愈小，聚焦效果愈好深圳大学电子科学与技术学院Wl 确定，0随F变化情况当 ，透镜才能对高斯光束起聚焦作用。F愈小，聚集效果愈好2)(lRF 结论：为获得良好聚集，采用用短焦距透镜；使高斯光束远离透镜焦点，从用短焦距透镜；使高斯光束远离透镜焦点，从而满足而满足lf、lF；取取l=0，并使并使fF。深圳大学电子科学与技术学院 单透镜对高斯光束发散角的影响J对0为有限大小的高斯光束，无论F、l取什么值，都不可能使0，也就不可能使0 0。J结论：用单个透镜将高斯光束转换成平面波，结论：用
18、单个透镜将高斯光束转换成平面波，从原则上说是不可能的。从原则上说是不可能的。Jl=F时，0 达到极大值，0 达到极小值，0/0=f/F，此时，F愈大，0 愈小。当f/F=02/F1时，有较好的准直效果。高斯光束的准直深圳大学电子科学与技术学院利用倒望远镜将高斯光束准直利用倒望远镜将高斯光束准直 预先用一个短焦距透镜将高斯光束聚焦，以得到极预先用一个短焦距透镜将高斯光束聚焦，以得到极小的腰斑，然后再用一个长焦距透镜来改善其方向小的腰斑，然后再用一个长焦距透镜来改善其方向性，可得到很好的准直效果。性，可得到很好的准直效果。聚焦后的腰斑恰好落在长焦距透镜的焦面上 系统的准直倍率20122020000
19、0000)(1)(flMlFFFM F1为短焦距透镜（副镜）的焦距，F2为长焦距透镜（主镜）的焦距，M就是通常所说的望远镜的准直倍率（几何压缩比）。深圳大学电子科学与技术学院 一个给定的望远镜对高斯光束的准直倍率不仅与望远镜本身的结构参数有关，而且还与高斯光束的结构参数f以及腰斑与副镜的距离l有关。假设透镜孔面上的光斑远小于透镜本身的孔径，因而无须考虑由透镜的有限孔径引起的衍射效应。当光斑等于或大于透镜的孔径时，要想通过提高准直倍率来无限制地压缩高斯光束的发散角是不可能的。这时的0的大小及出射光束的最小发散角应由透镜的孔径所决定。深圳大学电子科学与技术学院2.8 高斯光束的自再现变换高斯光束的
20、自再现变换自再现变换：如果一个高斯光束通过透镜后其自再现变换：如果一个高斯光束通过透镜后其结构不发生变化，即参数结构不发生变化，即参数 0或或f不变，或同时不变，或同时满足满足 0=0、l=l。利用透镜实现自再现变换：当透镜的焦距等于高斯光束入射在透镜表面 上的波面曲率半径的一半时，透镜对该高斯光束作自再现变换。220220220)()(lFF22022)()()(FlFFlFl令00ll )(21121220lRllF深圳大学电子科学与技术学院 球面反射镜对高斯光束的自再现变换：当入射在球面镜上的高斯光束波前曲率半径正好等于球面镜的曲率半径时，在反射时高斯光束的参数将不发生变化，即像高斯光束
21、与物高斯光束完全重合。通常将这种情况称为反射镜与高斯光束的波前相匹配。高斯光束的自再现变换与稳定球面腔？深圳大学电子科学与技术学院用q参数来分析：设某一高斯光束从腔内某一参考平面出发时的q参数值为qM，在腔内往返一周后其参数值记为qM，则二者满足该高斯光束能成为谐振腔的自再现模的条件为qM=qM（即任一高斯模在腔内往返一周后能重现自身）Self-consistency condition:a stable eigenmode of the resonator is one that reproduces itself after one round trip.DCqBAqqMMMDCqBAqq
22、MMM深圳大学电子科学与技术学院4122121)2(1)()(2ADBADBRA,B,C,D are the ray matrix elements for one complete round trip-starting and ending at the chosen reference plane.The complex beam parameter q,and hence and R,at any other plane can be obtained by applying the ABCD law to qM.21()412MDADAiqBB深圳大学电子科学与技术学院 腔内存在着真
23、实的高斯模的条件应该是可求解出实的值(the condition for a confined Gaussian beam is that the square of the beam spot size 2 be a finite positive number)，从而可得到 结论：在稳定光学开腔中不存在傍轴光线的几何逸出损耗与腔内存在着高斯光束型的本征模这一断言是等价的。1)2(2 AD1)(211DA深圳大学电子科学与技术学院 如果某一腔内存在高斯分布的自再现模，或者说高斯光束是某一谐振腔的自再现模，则该腔必是稳定的。（怎么构建稳定腔？）将某高斯光束的两个等相位面用相应曲率半径的球面反射
24、镜来代替，将构成一个稳定腔，该高斯光束被腔的两个反射镜作自再现变换，成为腔中的自再现模。对任意稳定腔，只要适当选择高斯光束的束腰位置及腰斑大小，就可使它成为该腔的本征模。（怎么找束腰位置并求0？）以高斯光束的基本性质及其传输规律为基础，就可以逻辑地建立起稳定腔的模式理论深圳大学电子科学与技术学院2.9 光束衍射倍率因子光束衍射倍率因子M2 问题：如何评价激光器产生的激光光束空域质量？经过理想光学系统的无像差的光学系统后光腰尺寸和远场发散角的乘积不变。对基模高斯光束，0 0=2/。M2定义为实际光束的腰斑半径与远场发散角的乘定义为实际光束的腰斑半径与远场发散角的乘积与基模高斯光束的腰斑半径与远场发散角的乘积积与基模高斯光束的腰斑半径与远场发散角的乘积之比之比 基模高斯光束具有最小的M2值(M2=1)，其光腰半径和发散角也最小，达到衍射极限。M2值可以表征实际光束偏离衍射极限的程度，称为衍射倍率因子衍射倍率因子深圳大学电子科学与技术学院 对于高阶厄米特-高斯光束：对于高阶拉盖尔-高斯光束 另外，得到光源的单色亮度 ，M2因子也是表征激光束空间相干性好坏的本质参量。K=1/M2称作光束传输因子光束传输因子，国际上公认的一个描述光束空域传输特性的量。2)12(2)12(nmnnmm)12()12(22nMmMyx2)12(nmmnmn)12(2nmMr22)(1 MB end
