1、第四节第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系三年三年1010考考 高考指数高考指数:1.1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.1.直线与圆的位置关系、特别是直线与圆相切是高考的重点；直线与圆的位置关系、特别是直线与圆相切是高考的重点；2.2.常与直线与圆的位置关
2、系、圆与圆的位置关系的几何性质结常与直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的几何性质结合合,重点考查用待定系数法求直线与圆的方程；重点考查用待定系数法求直线与圆的方程；3.3.题型以选择题和填空题为主，属中低档题目题型以选择题和填空题为主，属中低档题目.有时与其他知有时与其他知识点交汇在解答题中出现识点交汇在解答题中出现.1.1.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(1)(1)从方程的观点从方程的观点把圆的方程与直线的方程联立组成方程组，转化成一元二次方把圆的方程与直线的方程联立组成方程组，转化成一元二次方程，利用判别式程，利用判别式判断位置关系判断位置关系.相离相离 相切相切 相交相交位置关系
3、位置关系0 0=0=00 0 (2)(2)从几何的观点从几何的观点利用圆心到直线的距离利用圆心到直线的距离d d与半径与半径r r比较大小来判断直线与圆的位比较大小来判断直线与圆的位置关系置关系.d d 与与r r 的关系的关系 dr dr dr 位置位置 关系关系 相交相交 相切相切 相离相离【即时应用即时应用】(1)“k=1”(1)“k=1”是是“直线直线x-y+k=0 x-y+k=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2=1=1相交相交”的的_条件条件.(2)(2)已知点已知点M(xM(x0 0,y,y0 0)是圆是圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2(r0)(r0)内异于圆心的一点，
4、则直内异于圆心的一点，则直线线x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2与此圆的位置关系是与此圆的位置关系是_._.【解析解析】(1)(1)当当k=1k=1时，圆心到直线的距离时，圆心到直线的距离 此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则 解得解得 ；所以，；所以，“k=1k=1”是是“直线直线x-y+k=0 x-y+k=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2=1=1相相交交”的充分不必要条件的充分不必要条件.(2)(2)因为点因为点M(xM(x0 0,y,y0 0)是圆是圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2(r0)(r0)内的一点，所以内的一点，所
5、以x x2 20 0+y+y2 20 0rr2 2，圆心到直线，圆心到直线x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2的距离的距离 所以直线与圆相离所以直线与圆相离.答案：答案：(1)(1)充分不必要充分不必要 (2)(2)相离相离22|1|2d=1=r21+(-1)，22|k|11+(-1)，-2k=rrx+y，2.2.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系设圆设圆O O1 1:(x-a:(x-a1 1)2 2+(y-b+(y-b1 1)2 2=r=r2 21 1(r(r1 10),0),圆圆O O2 2:(x-a:(x-a2 2)2 2+(y-b+(y-b2 2)2 2=r=r2 22 2
6、(r(r2 20).0).【即时应用即时应用】(1)(1)思考：若两圆相交时，公共弦所在的直线方程与两圆的方思考：若两圆相交时，公共弦所在的直线方程与两圆的方程有何关系？程有何关系？提示：提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于两圆的方程作差，消去二次项得到关于x x、y y的二元一次的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程方程，就是公共弦所在的直线方程.(2)(2)判断下列两圆的位置关系判断下列两圆的位置关系.x x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0与与x x2 2+y+y2 2+4y=0+4y=0的位置关系是的位置关系是_._.x x2 2+y+y2 2+2x+4y+1=0+2x+4
7、y+1=0与与x x2 2+y+y2 2-4x-4y-1=0-4x-4y-1=0的位置关系是的位置关系是_._.x x2 2+y+y2 2-4x+2y-4=0-4x+2y-4=0与与x x2 2+y+y2 2-4x-2y+4=0-4x-2y+4=0的位置关系是的位置关系是_._.【解析解析】因为两圆的方程可化为：因为两圆的方程可化为：(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1=1，x x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=4=4，所以，两圆圆心距，所以，两圆圆心距 而两而两圆的半径之和圆的半径之和r r1 1+r+r2 2=1+2=3=1+2=3；两圆的半径之差；两圆的半径之差r r2 2
8、-r-r1 1=2-1=1=2-1=1；所以所以r r2 2-r-r1 1|O|O1 1O O2 2|r|1,1,即即k k 时，直线时，直线l与圆与圆C C相离；相离；当当 =1,=1,即即k=k=时，直线时，直线l与圆与圆C C相切；相切；当当 1,1,即即k k 时，直线时，直线l与圆与圆C C相交相交.222|k-0+5|k+5|d=,k+(-1)k+12|k+5|k+12|k+5|k+12|k+5|k+112-512-512-5与圆有关的弦长、中点问题与圆有关的弦长、中点问题【方法点睛方法点睛】直线被圆截得弦长的求法直线被圆截得弦长的求法(1)(1)代数方法：直线方程与圆的方程联立，
9、消元转化为关于代数方法：直线方程与圆的方程联立，消元转化为关于x x的的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长 (2)(2)几何法：设圆的半径为几何法：设圆的半径为r r，弦心距为，弦心距为d d，弦长为，弦长为l，则有：，则有：222121212|AB|=1+k|x-x|=1+k(x+x)-4x x;222()=r-d.2l【例例2 2】已知点已知点P(0,5)P(0,5)及圆及圆C C：x x2 2+y+y2 2+4x-12y+24=0.+4x-12y+24=0.(1)(1)若直线若直线l过点过点P P且被圆且被圆C C截得的弦长为截得的弦长为
10、 ，求直线，求直线l的方程；的方程；(2)(2)求过点求过点P P的圆的圆C C的弦的中点的轨迹方程的弦的中点的轨迹方程.【解题指南解题指南】(1)(1)本题求直线方程，因为直线过点本题求直线方程，因为直线过点P(0,5)P(0,5)，所，所以只差直线的斜率，因此可利用条件求斜率；以只差直线的斜率，因此可利用条件求斜率；(2)(2)设中点的坐标，可利用条件，寻求等式，化简即得轨迹方设中点的坐标，可利用条件，寻求等式，化简即得轨迹方程程.4 3【规范解答规范解答】圆圆C C的标准方程为的标准方程为:(x+2):(x+2)2 2+(y-6)+(y-6)2 2=16,=16,所以圆心坐标为所以圆心坐
11、标为C(-2C(-2，6)6)，半径，半径r=4.r=4.(1)(1)当斜率不存在时，直线方程为当斜率不存在时，直线方程为x=0 x=0，圆心到此直线的距离为，圆心到此直线的距离为2 2，此时弦长为，此时弦长为 符合题意；符合题意；当直线当直线l的斜率存在时，设直线方程为的斜率存在时，设直线方程为y=kx+5y=kx+5，即即kx-y+5=0kx-y+5=0，又因为圆的半径，又因为圆的半径r=4r=4，弦长为，弦长为 圆心到直线圆心到直线l的的距离为距离为解得，解得，因此直线方程为因此直线方程为 即即3x-4y+20=0,3x-4y+20=0,综上可知：所求直线方程为综上可知：所求直线方程为x
12、=0 x=0或或3x-4y+20=0.3x-4y+20=0.222 4-2=4 3，4 3，222|-2k-6+5|d=4-(2 3)=2k+1，3k=4，3x-y+5=04，(2)(2)设弦的中点为设弦的中点为M(x,y)M(x,y)，由圆的性质得：，由圆的性质得：(x+2,(x+2,y-6)y-6)(x-0,y-5)=0,(x-0,y-5)=0,化简得：化简得：x x2 2+y+y2 2+2x-11y+30=0.+2x-11y+30=0.因此，所求轨迹方程为：因此，所求轨迹方程为：x x2 2+y+y2 2+2x-11y+30=0.+2x-11y+30=0.CM PM=0，【反思反思感悟感
13、悟】1.1.本题第一问是已知弦长及直线过一点求直线本题第一问是已知弦长及直线过一点求直线方程，因此，还需要一个条件，即只需斜率即可，应分斜率存方程，因此，还需要一个条件，即只需斜率即可，应分斜率存在与不存在两种情形考虑，该问题易忽略斜率不存在的情况；在与不存在两种情形考虑，该问题易忽略斜率不存在的情况；2.2.解答第二问求中点的轨迹方程，其关键是找到一个等量关系，解答第二问求中点的轨迹方程，其关键是找到一个等量关系，本题利用圆心与弦的中点的连线垂直于该弦来求解本题利用圆心与弦的中点的连线垂直于该弦来求解.【变式训练变式训练】已知圆已知圆C C过点过点(1(1，0)0)，且圆心在，且圆心在x x
14、轴的正半轴上，轴的正半轴上，直线直线l:y=x-1:y=x-1被圆被圆C C所截得的弦长为所截得的弦长为 ，则过圆心且与直线，则过圆心且与直线l垂垂直的方程为直的方程为_._.【解析解析】设所求直线的方程为设所求直线的方程为x+y+m=0,x+y+m=0,圆心圆心(a,0)(a,0)，由题意，由题意知：知：解得解得a=3a=3或或a=-1,a=-1,又因为圆心在又因为圆心在x x轴的正半轴的正半轴上，轴上，a=3,a=3,故圆心坐标为故圆心坐标为(3(3，0)0)，而直线，而直线x+y+m=0 x+y+m=0过圆心过圆心(3(3，0)0)，3+0+m=03+0+m=0，即，即m=-3,m=-3
15、,故所求直线的方程为故所求直线的方程为x+y-3=0.x+y-3=0.答案：答案：x+y-3=0 x+y-3=02 222|a-1|()+2=(a-1),2【变式备选变式备选】直线直线 截圆截圆x x2 2+y+y2 2=4=4得到的劣弧的弧长得到的劣弧的弧长为为()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解析解析】选选C.C.因为圆因为圆x x2 2+y+y2 2=4=4的圆心坐标为的圆心坐标为(0(0，0)0)，圆心到直线，圆心到直线 的距离的距离 而圆的半径为而圆的半径为2 2，所以该直线，所以该直线截圆所得弦长为截圆所得弦长为 所以劣弧所对的圆心角为所以劣弧所对的圆心角为
16、 所以劣所以劣弧所对的弧长为弧所对的弧长为3x+y-2 3=0322 33x+y-2 3=0|2 3|d=3,3+122 2-3=2，,3234=.23 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系【方法点睛方法点睛】1.1.两圆公切线的条数两圆公切线的条数2.2.判断两圆位置关系的方法判断两圆位置关系的方法判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解对值之间的关系求解.位置关系位置关系内含内含内切内切相交相交外切外切外离外离公切线条数公切线条数0 01 1 2 2 3 34 4 【提醒提醒】利用两圆所组成的方程组的解的个数
17、，不能判断内切利用两圆所组成的方程组的解的个数，不能判断内切与外切、外离与内含与外切、外离与内含.【例例3 3】已知圆已知圆C C1 1：x x2 2+y+y2 2-2mx+4y+m-2mx+4y+m2 2-5=0-5=0，圆，圆C C2 2：x x2 2+y+y2 2+2x-+2x-2my+m2my+m2 2-3=0-3=0，m m取何值时取何值时(1)(1)圆圆C C1 1与圆与圆C C2 2外切；外切；(2)(2)圆圆C C1 1与圆与圆C C2 2内含内含.【解题指南解题指南】可先求出两圆的圆心及半径，利用两圆外切、内可先求出两圆的圆心及半径，利用两圆外切、内含与两圆半径和、半径差之间
18、的关系即可求出含与两圆半径和、半径差之间的关系即可求出m m的值或取值范的值或取值范围围.【规范解答规范解答】对于圆对于圆C C1 1与圆与圆C C2 2的方程，经配方后得的方程，经配方后得C C1 1:(x-m):(x-m)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=9,C=9,C2 2:(x+1):(x+1)2 2+(y-m)+(y-m)2 2=4.=4.(1)(1)当两圆外切时，则有当两圆外切时，则有解得：解得：m=-5m=-5或或m=2m=2；(2)(2)当两圆内含时，则有当两圆内含时，则有解得：解得：-2m-1.-2m-1.22(m+1)+(-2-m)=3+2，22(m+1)+(-2-m)
19、3-2，【反思反思感悟感悟】1.1.解决本题主要是利用两圆的不同位置关系所解决本题主要是利用两圆的不同位置关系所满足的圆心距与半径的几何关系求解；满足的圆心距与半径的几何关系求解；2.2.注意应用圆心距与两圆半径和、半径差的关系时，半径差应注意应用圆心距与两圆半径和、半径差的关系时，半径差应为较大半径减去较小半径为较大半径减去较小半径.【变式训练变式训练】设圆设圆C C2 2经过点经过点A(4,-1)A(4,-1)且与圆且与圆C C1 1：x x2 2+y+y2 2+2x-6y+2x-6y+5=0+5=0切于点切于点B(1,2)B(1,2)，求圆，求圆C C2 2的方程的方程.【解析解析】由平
20、面几何知识可知：由平面几何知识可知：C C1 1、B B、C C2 2三点共线，又三点共线，又BCBC1 1的的方程为：方程为：x+2y-5=0 x+2y-5=0，ABAB的垂直平分线方程为：的垂直平分线方程为：x-y-2=0 x-y-2=0，由，由 得得即即C C2 2(3,1)(3,1)；又；又|C|C2 2A|=,A|=,所以所以r=r=，圆圆C C2 2的方程为：的方程为：(x-3)(x-3)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=5.=5.x+2y-5=0 x-y-2=0，x=3y=1，55【创新探究创新探究】直线与圆的位置关系的创新命题直线与圆的位置关系的创新命题【典例典例】(201
21、1(2011江苏高考江苏高考)集合集合A=(x,y)|(x-2)A=(x,y)|(x-2)2 2+y+y2 2mm2 2,x,yR,B=(x,y)|2mx+y2m+1,x,yR,x,yR,B=(x,y)|2mx+y2m+1,x,yR,若若AB,AB,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是_._.【解题指南解题指南】本题考查的是直线与圆的位置关系，解题的关键本题考查的是直线与圆的位置关系，解题的关键是找出集合所代表的几何意义，然后结合直线与圆的位置关系，是找出集合所代表的几何意义，然后结合直线与圆的位置关系，求得实数求得实数m m的取值范围的取值范围 m2【规范解答规范解答】ABAB,A,A
22、,m,m2 2m m 或或m0.m0.显然显然BB.要使要使ABAB,只需圆只需圆(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=m=m2 2(m0)(m0)与与x+y=2mx+y=2m或或x+y=2m+1x+y=2m+1有交点，即有交点，即 或或又又m m 或或m0,m0,当当m=0m=0时，时，(2(2，0)0)不在不在0 x+y10 x+y1内内.综上所述，满足条件的综上所述，满足条件的m m的取值范围为的取值范围为 .答案：答案：m,212|2-2m|m|2|1-2m|2-2|m|,m2+2.22121m2+2.21,2+221,2+22【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，可以得到
23、以下创新点通过对本题的深入研究，可以得到以下创新点拨和备考建议：拨和备考建议：创创新新点点拨拨本题的创新点有以下两点本题的创新点有以下两点:(1)(1)考查形式的创新，以集合的形式给出了几何图形，考查形式的创新，以集合的形式给出了几何图形，两几何图形虽常见但不落俗套；两几何图形虽常见但不落俗套；(2)(2)考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线与圆的考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线与圆的位置关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆、位置关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆、直线与圆环的位置关系；同时还考查分类讨论思想直线与圆环的位置关系；同时还考查分类讨论思想的应用的应用.备备考考建建议议
24、解决直线与圆的位置关系问题时，要注意以下几点：解决直线与圆的位置关系问题时，要注意以下几点：(1)(1)根据题设条件，合理选择利用代数方法还是利用根据题设条件，合理选择利用代数方法还是利用几何方法判断其位置关系；几何方法判断其位置关系；(2)(2)凡是涉及参数的问题，一定要注意参数的变化对凡是涉及参数的问题，一定要注意参数的变化对位置关系的影响，以便确定是否分类讨论位置关系的影响，以便确定是否分类讨论.1.(20111.(2011广东高考广东高考)已知集合已知集合A=(x,y)|x,yA=(x,y)|x,y为实数，且为实数，且x x2 2+y+y2 2=1=1，B=(x,y)|x,yB=(x,
25、y)|x,y为实数，且为实数，且y=xy=x，则，则ABAB的元素个数为的元素个数为()()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解析解析】选选C.ABC.AB的元素个数等于圆的元素个数等于圆x x2 2+y+y2 2=1=1与直线与直线y=xy=x的交点的交点个数，显然有个数，显然有2 2个交点个交点.2.(20112.(2011江西高考江西高考)若曲线若曲线C C1 1:x:x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0与曲线与曲线C C2 2:y(y-mx-m):y(y-mx-m)=0=0有四个不同的交点，则实数有四个不同的交点，则实数m m的取值范围
26、是的取值范围是()()(A)(A)(，)(B)()(B)(，0)(0,)0)(0,)(C)(C),(D)(-,)(,+)(D)(-,)(,+)3-3333-33-333333-333【解析解析】选选B.B.如图如图,C,C1 1:(x-1):(x-1)2 2+y+y2 2=1.=1.C C2 2:y=0:y=0或或y=mx+m=m(x+1).y=mx+m=m(x+1).当当m=0m=0时，时，C C2 2:y=0,:y=0,此时此时C C1 1与与C C2 2显然只显然只有两个交点有两个交点,当当m0m0时，要满足题意，需圆时，要满足题意，需圆(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1=1与
27、直线与直线y=m(x+1)y=m(x+1)有两交点，当圆与直线相切时，有两交点，当圆与直线相切时，m=m=,即直线处于两切线之间时满足题意，则即直线处于两切线之间时满足题意，则-m0-m0或或0m .0m .3333333.(20123.(2012西安模拟西安模拟)已知圆已知圆(x-3)(x-3)2 2+(y+5)+(y+5)2 2=36=36和点和点A(2A(2，2)2)，B(-1B(-1，-2)-2)，若点，若点C C在圆上且在圆上且ABCABC的面积为的面积为 则满足条件的点则满足条件的点C C的个数是的个数是()()(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(A)1 (B)2 (C)3 (
28、D)452，【解析解析】选选C.A(2C.A(2，2)2)，B(-1B(-1，-2)-2)，|AB|=5|AB|=5，S SABCABC=此题转化为求圆上的点到直线此题转化为求圆上的点到直线ABAB的距离为的距离为1 1的点的个数，的点的个数，直线直线ABAB的方程为的方程为:4x-3y-2=0.:4x-3y-2=0.而圆心而圆心(3(3，-5)-5)到直线到直线ABAB的距离的距离 半径半径r=6.r=6.圆上的点到直线圆上的点到直线4x-3y-2=04x-3y-2=0的距离为的距离为1 1的点有的点有3 3个个.52，|4 3-3(-5)-2|d=5,54.(20124.(2012滁州模拟
29、滁州模拟)过点过点M(1,2)M(1,2)的直线的直线l将圆将圆(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=9=9分成分成两段弧，其中的劣弧最短时，直线两段弧，其中的劣弧最短时，直线l的方程为的方程为_._.【解析解析】(1-2)(1-2)2 2+2+22 2=5=59,9,点点M M在圆内，在圆内，要使劣弧最短，只需直线要使劣弧最短，只需直线l被圆截得的弦最短，而当圆心与点被圆截得的弦最短，而当圆心与点M M的连线垂直于的连线垂直于l时，弦最短，时，弦最短，k kl l=,=,直线直线l的方程为的方程为y-2=y-2=(x-1),(x-1),即即x-2y+3=0.x-2y+3=0.答案：答案：x-2y+3=0 x-2y+3=01212
