1、重大数理学院赵承均 热学的热学的研究对象研究对象:热学所研究的是由大量微观粒子热学所研究的是由大量微观粒子(原原子、分子等子、分子等)所构成的物质系统内粒子做杂乱无章、但有规所构成的物质系统内粒子做杂乱无章、但有规律可寻的热运动的规律的一门学问。律可寻的热运动的规律的一门学问。热学的热学的内容划分内容划分：根据研究内容和方法的不同可分为气：根据研究内容和方法的不同可分为气动理论和热力学。（大学物理中只研究气体的热学问题。）动理论和热力学。（大学物理中只研究气体的热学问题。）气动理论气动理论：应用统计和概率学方法来研究大量微观粒子的热：应用统计和概率学方法来研究大量微观粒子的热运动规律。主要是研
2、究状态特性。运动规律。主要是研究状态特性。热力学热力学：从能量出发，不过问物质的微观结构，以大量实验：从能量出发，不过问物质的微观结构，以大量实验观测为基础来研究物质的热运动的宏观基本规律及其应用。观测为基础来研究物质的热运动的宏观基本规律及其应用。主要是研究变化过程中的规律。主要是研究变化过程中的规律。重大数理学院赵承均 一、气体的状态参量、平衡态 物质的结构和运动规律有三条基本实验原理：物质的结构和运动规律有三条基本实验原理：1 1）自然界中一切物体都是由大量不连续的、）自然界中一切物体都是由大量不连续的、彼此间有一定距离的微粒所组成，这彼此间有一定距离的微粒所组成，这种微粒称为种微粒称为
3、分子分子。2 2）分子间有相互作用力，称为）分子间有相互作用力，称为分子内力分子内力。3 3）分子永不停息地作无规则的运动，称为）分子永不停息地作无规则的运动，称为热运动热运动。1.1.分子运动的基本概念分子运动的基本概念intermolecular forcemoleculeFrthermal motion重大数理学院赵承均 描写气体热运动状态的物理量叫描写气体热运动状态的物理量叫状状态参量态参量。宏观上描写气体状态的参量有。宏观上描写气体状态的参量有如下三个：如下三个：2 2）压强压强：用：用p p表示。宏观上看，压强表示容器内的气体对容器壁单位面积表示。宏观上看，压强表示容器内的气体对容
4、器壁单位面积上的压力。微观上看，压强表示容器内分子热运动对容器壁单位面积上的压力。微观上看，压强表示容器内分子热运动对容器壁单位面积上的平均冲力（祥见后面克劳修斯对压强的解释）。上的平均冲力（祥见后面克劳修斯对压强的解释）。单位：帕（斯卡），单位：帕（斯卡），PaPa。1atm=1.0131atm=1.013105Pa105Pa。3 3）温度温度：用：用T T表示。宏观上看，温度表示气体的冷热程度。微观上看表表示。宏观上看，温度表示气体的冷热程度。微观上看表示气体热运动的剧烈程度。示气体热运动的剧烈程度。单位：开（尔文），单位：开（尔文），K K。2.2.气体的状态参量气体的状态参量1 1）体
5、积体积：用：用V V表示。宏观上讲体积表示表示。宏观上讲体积表示容器的容积。微观上看是容器中分容器的容积。微观上看是容器中分子所能够到达的区域。子所能够到达的区域。单位：立方米，单位：立方米，mm3 3。reference of gas state(Volume)PressureTemperature重大数理学院赵承均 3.3.平衡态平衡态1 1）状态与过程：）状态与过程：2 2）平衡态：将气体存放在一个与）平衡态：将气体存放在一个与外界既没有能量交换也没有物外界既没有能量交换也没有物质交换的容器中足够长的时间，质交换的容器中足够长的时间，气体所达到一种状态叫气体所达到一种状态叫平衡态平衡态。
6、3 3）平衡态的特点：气体处于平）平衡态的特点：气体处于平衡态时，气体各处的压强、衡态时，气体各处的压强、温度、分子密度等物理量都温度、分子密度等物理量都是相同的。是相同的。(thermal equilibrium)Equilibrium state(process)重大数理学院赵承均 二、理想气体及其状态方程1.1.气体的状态方程气体的状态方程),(VpfT 2.2.理想气体的定义（宏观）理想气体的定义（宏观）ideal gasEquation of state状态方程状态方程 平衡态下，气体的温度、压强、体积之间的函数关系，称为气体的平衡态下，气体的温度、压强、体积之间的函数关系，称为气体
7、的状态方程状态方程。总遵守玻意尔定律（总遵守玻意尔定律（Boyles lawBoyles law）、盖）、盖-吕萨克（吕萨克（Pressure lawPressure law）定律和查里定律（定律和查里定律（Charles lawCharles law）的气体叫）的气体叫理想气体理想气体。理想气体一般是指密度足够低，温度足够高，压强不太大的气体。理想气体一般是指密度足够低，温度足够高，压强不太大的气体。重大数理学院赵承均 moloMNMN物质的量物质的量(number density)(Avogadros number)3.3.理想气体平衡态的状态方程理想气体平衡态的状态方程RTpV118.3
8、1RJ molK普适气体常量普适气体常量universal gas constantquantity of matter;mole重大数理学院赵承均 4.4.状态方程的其他形式状态方程的其他形式ooNN RpVRTpTNV NVNn 分子数密度分子数密度玻尔兹曼常量玻尔兹曼常量2311.38 10oRkJ KNpnkTnumber density of moleculesBoltzmanns constant重大数理学院赵承均 热力学第零定律热力学第零定律如果系统如果系统A A与系统与系统B B都与系统都与系统C C处于热平衡，则系统处于热平衡，则系统A A与系统与系统B B互相处于热平衡。互
9、相处于热平衡。热力学系统涉及热力学系统涉及的的几个实验规律几个实验规律pVConstant资料：玻意尔定律（玻意尔定律（Boyles lawBoyles law）VConstantTpConstantT盖盖-吕萨克定律（吕萨克定律（Pressure lawPressure law）查里定律（查里定律（Charles lawCharles law）Robert Boyle Robert Boyle（1627-16911627-1691）first found this law in the year of 1660.first found this law in the year of 1660
10、.the zeroth law of thermodynamics重大数理学院赵承均 一、统计规律及其基本特征 一切宏观系统都是由大量分子组成，分子的无规运动使得系统整体一切宏观系统都是由大量分子组成，分子的无规运动使得系统整体倾向于杂乱无章的状态（混沌：倾向于杂乱无章的状态（混沌：chaoschaos）,同时分子之间存在的引力、斥同时分子之间存在的引力、斥力这些相互作用又保证了分子体系趋近于有序的整体。孤立系统中，大力这些相互作用又保证了分子体系趋近于有序的整体。孤立系统中，大量分子无休止的运动和彼此频繁的碰撞，使得动量、能量以及分子自身量分子无休止的运动和彼此频繁的碰撞，使得动量、能量以及
11、分子自身在系统各处平均化，从而温度、压强等宏观量也趋于相等，系统自发达在系统各处平均化，从而温度、压强等宏观量也趋于相等，系统自发达到热力学平衡。到热力学平衡。正是因为相互作用（正是因为相互作用（interactionsinteractions）或联系（）或联系（correlationcorrelation）的存在，）的存在，才使系统成为真正意义上的才使系统成为真正意义上的系统系统，即，即个体之间具有广泛联系的统一体，个体之间具有广泛联系的统一体，而不是而不是“一盘散沙一盘散沙”。q偶然性与必然性偶然性与必然性随机运动反映了分子运动的偶然性或不可预知性，随机运动反映了分子运动的偶然性或不可预知
12、性，而相互作用揭示了偶然中的必然性或可预知性。而相互作用揭示了偶然中的必然性或可预知性。q统计规律统计规律由大量分子组成的系统是偶然与必然的统一，是无序和由大量分子组成的系统是偶然与必然的统一，是无序和有序的综合，其运动性质符合统计规律，有序的综合，其运动性质符合统计规律，偶然与必然的统一是统计规偶然与必然的统一是统计规律的基本特征律的基本特征。重大数理学院赵承均 分子本身的大小与分子间平均距分子本身的大小与分子间平均距离相比可以忽略不计，分子可以离相比可以忽略不计，分子可以看成是看成是质点质点。除碰撞的瞬间外，分子间的相互作用力可忽略不计。因此在两次碰撞之除碰撞的瞬间外，分子间的相互作用力可
13、忽略不计。因此在两次碰撞之间分子的运动可以当作间分子的运动可以当作匀速直线运动匀速直线运动。气体分子与分子之间的碰撞以及。气体分子与分子之间的碰撞以及分子与容器壁之间的碰撞可以看作是分子与容器壁之间的碰撞可以看作是完全弹性碰撞完全弹性碰撞。二、理想气体的微观模型与统计性假设1.1.微观模型的基本特征微观模型的基本特征分子总在运动，分子与分子、分分子总在运动，分子与分子、分子与容器壁之间发生频繁碰撞。子与容器壁之间发生频繁碰撞。microscopic modelpoint particleuniform velocitytotally elastic collisionA thermal sys
14、tem in equilibrium重大数理学院赵承均 分子朝各个方向运动的几率相等，即（宏观上）朝各个方向运动的分分子朝各个方向运动的几率相等，即（宏观上）朝各个方向运动的分子数是一样多的。子数是一样多的。222213xyzvvvv平衡态时，分子出现在各处的几率相等，即分子数密度处处相等。平衡态时，分子出现在各处的几率相等，即分子数密度处处相等。2.2.理想气体的统计性假设理想气体的统计性假设分子沿各个方向的速分子沿各个方向的速度分量的各种统计平度分量的各种统计平均值相等。均值相等。方均值方均值222222111,xzNNNixiyiziiiyvvvvvvNNN显然有：显然有：2222222
15、333xyzxyzvvvvvvvmean square valuestatistical assumption重大数理学院赵承均 三、理想气体的压强公式1.1.压强的微观解释压强的微观解释2.2.推导过程推导过程单次碰撞给予单次碰撞给予S的冲量为：的冲量为：ixmv2与与S发生连续两次碰撞时间（假设发生连续两次碰撞时间（假设期间没有与其它分子碰撞）为：期间没有与其它分子碰撞）为：12ixlv分子与分子与S发生碰撞的频率为：发生碰撞的频率为：12ixvl碰撞周期碰撞周期碰撞频率碰撞频率collision periodcollision frequencyxyz,N V TvmS1l2l3lo（伯
16、努利）大量气体分子单位时间内给予器壁单位（伯努利）大量气体分子单位时间内给予器壁单位面积上的平均冲力。面积上的平均冲力。重大数理学院赵承均 单位时间内该分子给予单位时间内该分子给予S的冲量：的冲量：21122ixixixmvmv vll单位时间内气体内所有单位时间内气体内所有分子给予分子给予S的总冲量：的总冲量：22111121213ixixNNiixvmmvllNmvlNmvl平均冲力平均冲力dIIFFdttxyz,N V TvmS1l2l3lo重大数理学院赵承均 压强：压强：2222 311xxxFNNpm vm vnm vSl l lV平均平动动能平均平动动能22222113()222k
17、xyzxEm vmvvvmv23kpnE最后得：最后得：思考:若考虑分子之间的频繁碰若考虑分子之间的频繁碰撞，结果还是一样的吗？撞，结果还是一样的吗？(translational kinetic energy)(potential energy)(rotational kinetic energy)mean translational kinetic energy重大数理学院赵承均 四、理想气体的温度公式nkTp 23kpnE32kEkT 上式表明上式表明:温度是热运动的剧烈程度的反映温度是热运动的剧烈程度的反映,并且只具有统计意义。即并且只具有统计意义。即只要当组成系统的分子数目很大时只要当
18、组成系统的分子数目很大时,温度才具有意义。几个分子构成的系温度才具有意义。几个分子构成的系统，温度是没有意义的。统，温度是没有意义的。或：或：32kTEk重大数理学院赵承均 一、自由度1.1.自由度自由度飞机（看成质点）在天空飞行，自由度为飞机（看成质点）在天空飞行，自由度为3 3；轮船（看成质点）在大海中航行，自由度为轮船（看成质点）在大海中航行，自由度为2 2；火车（看成质点）在铁道上运行，自由度为火车（看成质点）在铁道上运行，自由度为1 1；2.2.自由度与物体受到的约束的关系自由度与物体受到的约束的关系 飞机（看成质点）在天空飞行，它的三维坐标可以任意变化，自由度飞机（看成质点）在天空
19、飞行，它的三维坐标可以任意变化，自由度是是3 3，无约束方程。，无约束方程。0),(zyxf约束约束限制运动的外界环境，称为限制运动的外界环境，称为约束约束。确定一个物体位置所需的独立坐标数，称为物体的确定一个物体位置所需的独立坐标数，称为物体的自由度自由度。轮船（看成质点）在大海中航行，受到海面的约束，自由度降低为轮船（看成质点）在大海中航行，受到海面的约束，自由度降低为2 2，其约束方程为：其约束方程为：restrictionfree dimensions重大数理学院赵承均 火车（看成质点）在铁道上运行，受到曲线的约束，自由度降低为火车（看成质点）在铁道上运行，受到曲线的约束，自由度降低为
20、1 1，约束方程为：，约束方程为：0),(0),(zyxgzyxf结论：结论：物体受到的约束越多物体受到的约束越多,自由度就越小。物体的自由度等于描写物体自由度就越小。物体的自由度等于描写物体的坐标个数减约束方程的个数。的坐标个数减约束方程的个数。（1 1）单原子单原子气体分子的自由度：气体分子的自由度：（2 2）双原子双原子气体分子的自由度：气体分子的自由度：23rti3 3个平动自由度（个平动自由度（t t）和）和2 2个转动自由度（个转动自由度（r r）。）。3i 5i 3.3.刚性刚性气体分子的自由度气体分子的自由度(rigid molecule)xyz重大数理学院赵承均（3 3）多原
21、子气体分子的自由度：）多原子气体分子的自由度：33itr 3 3个平动自由度和个平动自由度和3 3个转动自由度。比前个转动自由度。比前一种情况多了一个自转自由度。一种情况多了一个自转自由度。4.4.一般气体分子的自由度及其振动自由度一般气体分子的自由度及其振动自由度约束方程个数原子个数)(3isitr 二、能量按自由度均分定理1.1.推导及说明推导及说明32kEkT 由温度公式可知分子的平均平动动能为：由温度公式可知分子的平均平动动能为：振动自由度：振动自由度：6i(oscillation)(rotation)xyz重大数理学院赵承均 222222211()22333222kxyzxyzEm
22、vmvvvmvmvmv另一方面，根据平均平动动能的定义可知：另一方面，根据平均平动动能的定义可知：和前式比较，可得：和前式比较，可得：kTvmvmvmzyx21212121222即：即：当理想气体处于平衡态时当理想气体处于平衡态时，分子的每个平动自由度平均分得，分子的每个平动自由度平均分得kT/2kT/2的能的能量。量。重大数理学院赵承均 如果气体是双原子或多原子分子时，分子的热运动将使分子的平动如果气体是双原子或多原子分子时，分子的热运动将使分子的平动动能和转动动能不断地相互转化。比如：动能和转动动能不断地相互转化。比如：V平动能量转化为转动能量平动能量转化为转动能量V转动能量转化为平动能量
23、转动能量转化为平动能量当气体处于平衡态时，其中的平动动能与转动动能谁更多？当气体处于平衡态时，其中的平动动能与转动动能谁更多？2.2.能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 当理想气体处于平衡态时，分子的每个平动自由度和每个转动自由度当理想气体处于平衡态时，分子的每个平动自由度和每个转动自由度平均分得的能量平均分得的能量kT/2kT/2。(每个振动自由度平均分得每个振动自由度平均分得kTkT的能量。）的能量。）思考:重大数理学院赵承均 3.3.理想气体平衡态分子的几个平均能量理想气体平衡态分子的几个平均能量 根据能量按自由度均分定理，我们可以得到如下分子平均能量的计算根据能量按自由度均分定理
24、，我们可以得到如下分子平均能量的计算公式：公式：分子平均平动动能：分子平均平动动能：分子平均转动动能：分子平均转动动能：分子平均动能：分子平均动能：32kEkT2rrEkT22triEkTkT注意注意这里没有考虑振动自由度。这里没有考虑振动自由度。重大数理学院赵承均 三、理想气体平衡态的内能1.1.内能的定义内能的定义 由于热运动在微观上看是分子的机械运动。所以系统的内能就是系统由于热运动在微观上看是分子的机械运动。所以系统的内能就是系统内分子的动能和势能之和。即：内分子的动能和势能之和。即：pkEEE 虽然热运动的内能在微观上看是一种机械能，但是和单个物体机械虽然热运动的内能在微观上看是一种
25、机械能，但是和单个物体机械能不同，内能是不可能为零的。实验发现的任何物体的热运动是能不同，内能是不可能为零的。实验发现的任何物体的热运动是不可能不可能停止停止的。热力学温度也不能达到（绝对）零度，只能接近零度。的。热力学温度也不能达到（绝对）零度，只能接近零度。系统中热运动能量的总和，叫系统的系统中热运动能量的总和，叫系统的内能内能。用。用E E表示。表示。说明：说明：近代物理理论中，即使温度能达到绝对零度，运动也不会停止。近代物理理论中，即使温度能达到绝对零度，运动也不会停止。(absolute zero)(internal energy)(Brownian motion)内能内能inter
26、nal energy重大数理学院赵承均 2kiEENkT22oiiENkTRT2.2.理想气体平衡态的内能理想气体平衡态的内能 由于理想气体平衡态分子之间只有在碰撞时才有相互作用，因此没有由于理想气体平衡态分子之间只有在碰撞时才有相互作用，因此没有分子之间的势能存在；又由于在平衡态下，能量按自由度均分，所以理想分子之间的势能存在；又由于在平衡态下，能量按自由度均分，所以理想气体内能为：气体内能为：oRkN2iERT2iEpV重大数理学院赵承均 例例1 1、比较下面三种温度相同气体的平均平动动能、平均转动动能、平均比较下面三种温度相同气体的平均平动动能、平均转动动能、平均动能以及内能。动能以及内
27、能。He2H2H O答案：答案：平均平动动能：都相等！因为平动自由度都是平均平动动能：都相等！因为平动自由度都是3 3。平均转动动能：水蒸汽最大，因为它的转动自由度最大。平均转动动能：水蒸汽最大，因为它的转动自由度最大。平均动能：水蒸汽最大，因为它的自由度最大（平均动能：水蒸汽最大，因为它的自由度最大（6 6）。）。内能：不能确定！因为三种气体的摩尔数还不知到，只知道自由内能：不能确定！因为三种气体的摩尔数还不知到，只知道自由度是不能确定内能的。度是不能确定内能的。重大数理学院赵承均 例例2 2、1 1摩尔温度为摩尔温度为T T1 1氢气与氢气与2 2摩尔温度为摩尔温度为T T2 2氦气混合后
28、的温度为多少？氦气混合后的温度为多少？解：解：混合前后内能相等就可以求解此题。混合前后内能相等就可以求解此题。氢气的自由度为氢气的自由度为5 5，氦气的自由度为，氦气的自由度为3 3，则混合前的总内能为：，则混合前的总内能为：2122325RTRTE前设混合后温度为设混合后温度为T T，则混合后的总内能为：，则混合后的总内能为：RTRTE22325后混合前后内能相等，则有：混合前后内能相等，则有：116521TTT重大数理学院赵承均 一、热运动气体分子速率分布的测量1.1.测量装置与原理测量装置与原理2.2.测量结果与表示方法测量结果与表示方法ABvvvAB重大数理学院赵承均 速率范围分子个数
29、10-19520-297表格表示法表格表示法直方图表示法直方图表示法 上述表示法存在两个问题：一是分子数量太大上述表示法存在两个问题：一是分子数量太大,要完善表要完善表示很难；二是无法使用微积分计算相应物理量。示很难；二是无法使用微积分计算相应物理量。(differential and integral calculus)(molecule)重大数理学院赵承均 NdvdNvf)(的速率区间到为dvvvdv;为总分子数N;内的分子数为dvdNf(v)f(v)为速率密度分布函数。其物理意义是为速率密度分布函数。其物理意义是:单位速率区间内的分子数占总单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比分子数的
30、百分比。（分子速率出现在。（分子速率出现在v v处单位速率区间内的概率。）处单位速率区间内的概率。）二、速率密度分布函数1.1.速率分布函数定义速率分布函数定义(distribution function of speed)(probability)其中：其中：vvdvv f v重大数理学院赵承均 NdNdvvf)(v v到到v+dvv+dv内的分子数占总分子内的分子数占总分子数的比例。数的比例。dNdvvNf)(v v到到v+dvv+dv内的分子数。内的分子数。2121)(vvvvNdNdvvfv v1 1到到v v2 2速率区间内的分子数占速率区间内的分子数占总分子数的比例。总分子数的比例
31、。2121)(vvvvdNdvvNfv v1 1到到v v2 2速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。1)(00NdNdvvf速率分布函数满足速率分布函数满足归一化条归一化条件件，即函数曲线下面积恒等，即函数曲线下面积恒等于于1 1。(normalized condition)（1 1）（2 2）（3 3）（5 5）（4 4）2.2.关于速率分布函数的几点重要讨论关于速率分布函数的几点重要讨论重大数理学院赵承均 220()v f v dvv220()v f v dvvvNvdNdvvvf00)(平均速率平均速率方均速率方均速率方均根速率方均根速率(root mean square speed
32、)(mean square speed)(mean speed)重大数理学院赵承均 例例1 1、已知某气体的分子速率分布函数为：已知某气体的分子速率分布函数为：000sin,()0avvvvf vvv试求：试求：系数系数a a分子速率平均值分子速率平均值速率平方的平均值？速率平方的平均值？解：解：速率分布函数曲线如图速率分布函数曲线如图根据分子速率分布函数的归根据分子速率分布函数的归一化特性，我们有：一化特性，我们有：vv0 f v重大数理学院赵承均 0200()2vvf v dvavv120)sin(1)(000000avdvdvvvadvvfvv02av220202()4(1)2vv f
33、v dvv重大数理学院赵承均 1859 1859年年MaxwellMaxwell用概率论导出用概率论导出了气体分子速率分布律，后由了气体分子速率分布律，后由BoltzmannBoltzmann使用经典统计力学理论使用经典统计力学理论导出。导出。1920 1920年年SternStern用实验证实了用实验证实了MaxwellMaxwell气体分子速率分布律，我气体分子速率分布律，我国科学家葛正权也与国科学家葛正权也与19341934年验证了年验证了该定律该定律。虽然个别分子的速率是不确定的虽然个别分子的速率是不确定的,可以取零到无穷大的一切可能值，可以取零到无穷大的一切可能值，但是，对处于平衡态
34、的气体，大量分子的速率具有确定的统计分布。下面但是，对处于平衡态的气体，大量分子的速率具有确定的统计分布。下面介绍处于平衡态的气体分子的速率分布规律介绍处于平衡态的气体分子的速率分布规律MaxwellMaxwell气体分子速率分气体分子速率分布律。布律。三、理想气体平衡态的速率分布函数 麦克斯韦速率分布律重大数理学院赵承均 重大数理学院赵承均 1.1.麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数23222()4()2mvkTmf vv ekT2.2.麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线v3.3.实验验证实验验证 几百年来科学家通过各种实验均证明理想气体平衡态的速率分布满足几百年来科学家通过各种
35、实验均证明理想气体平衡态的速率分布满足麦克斯韦速率分布律。麦克斯韦速率分布律。f v(Maxwell)(function curve)其中：其中：m m是气体分子质量，是气体分子质量，T T是是平衡温度。平衡温度。重大数理学院赵承均 4 4、理想气体平衡态的速率分布特点、理想气体平衡态的速率分布特点v（1 1）存在唯一极大值；）存在唯一极大值；vp（2 2）分布函数受到分子质量和气体）分布函数受到分子质量和气体温度两个参数控制：温度两个参数控制：温度升高，温度升高，v vp p增大；增大；质量增大，质量增大，v vp p减小；减小；四、理想气体平衡态的特征速率1 1、最概然（最可几）速率、最概
36、然（最可几）速率v vp p 速率分布函数取极大值所对应的速率叫速率分布函数取极大值所对应的速率叫最概然最概然（最可几）速率，用（最可几）速率，用v vp p 表示。即：表示。即：在在v vp p处的单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比最处的单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比最大大。f vmaxf(reference factor)(characteristic speed)重大数理学院赵承均 对于平衡态理想气体，由麦克斯韦速率分布律可得：对于平衡态理想气体，由麦克斯韦速率分布律可得：mkTvp22.2.平均速率平均速率08()kTvvf v dvm3.3.方均根速率方均根速率mkT
37、v32重大数理学院赵承均 4 4、理想气体三个特征速率比较、理想气体三个特征速率比较mkTv32mkTvp2mkTv8vvpv2v f vmaxf重大数理学院赵承均 例例2 2、一理想气体处于平衡态时，压强为一理想气体处于平衡态时，压强为p p，质量密度为，质量密度为。试求其方均。试求其方均根速率。根速率。解：解：本题的求解具有典型意义，可以帮助我们掌握很多公式。本题的求解具有典型意义，可以帮助我们掌握很多公式。2333333oomolmolN kTkTvmN mRTRTMMPVPM类似的方法，还可以求解最概然速率和平均速率。类似的方法，还可以求解最概然速率和平均速率。重大数理学院赵承均 五、
38、玻尔兹曼能量分布律 对于理想气体平衡态，由麦克斯韦速率分布对于理想气体平衡态，由麦克斯韦速率分布律可得：律可得：22322222()4()2()()2mvkTmvEkTkTmf v dvv edvkTmvededEf E dEdEdvv42 由于理想气体只有动能没有势能存在。在能量中只包含动能部分，由于理想气体只有动能没有势能存在。在能量中只包含动能部分，在更一般的平衡态中，分子间有势能，分子按能量的分布就应该和总能在更一般的平衡态中，分子间有势能，分子按能量的分布就应该和总能量相关，这种关系就是玻尔兹曼能量分布所要回答的问题。量相关，这种关系就是玻尔兹曼能量分布所要回答的问题。重大数理学院赵
39、承均 当气体处于平衡态时，分子处于能量为当气体处于平衡态时，分子处于能量为E E状状态的几率总是正比于态的几率总是正比于expexp（-E/kT-E/kT）的。这个结论）的。这个结论叫叫玻尔兹曼能量分布律玻尔兹曼能量分布律。kTEeEf)(在微观世界中，能量的分布是不连续的，分布函数可以用粒子处于某在微观世界中，能量的分布是不连续的，分布函数可以用粒子处于某能量状态的概率能量状态的概率W Wi i（或处于该状态的粒子数占总粒子数的比率）来表示。（或处于该状态的粒子数占总粒子数的比率）来表示。由玻尔兹曼能量分布律，则有：由玻尔兹曼能量分布律，则有：kTEiiCeWkTEie叫叫玻尔兹曼因子玻尔兹
40、曼因子或或概率因子概率因子。(probability factor)重大数理学院赵承均 例例3 3、试求在重力场中大气压强随高度的变化。试求在重力场中大气压强随高度的变化。解：解：在重力场中，大气分子的能量有两个部分，一是热运动动能，二是在重力场中，大气分子的能量有两个部分，一是热运动动能，二是重力势能。根据玻尔兹曼能量分布律，我们可以得到大气分子密度的变重力势能。根据玻尔兹曼能量分布律，我们可以得到大气分子密度的变化为：化为：kTmghkTEenennp00这里这里n n和和n n0 0分别是高度为分别是高度为h h和为和为0 0处的大气分子数密度。由处的大气分子数密度。由nkTp 0mgh
41、kTpp e重大数理学院赵承均 例例4 4、已知氢原子基态能量为已知氢原子基态能量为E E1 1=-13.6eV=-13.6eV，第一激发态能量为，第一激发态能量为E E2 2=-3.4eV=-3.4eV，试求常温下，试求常温下(kT(kT=0.026eV)=0.026eV)两个能级上的原子数之两个能级上的原子数之比。比。解：解：设基态能级上的原子数为设基态能级上的原子数为N N1 1,第一激发态能级上的原子数为第一激发态能级上的原子数为N N2 2,则根则根据玻尔兹曼能量分布律：据玻尔兹曼能量分布律：kTEkTECeWNNCeWNN212211,170026.02.101212eeeNNkT
42、EE重大数理学院赵承均 一、分子的平均碰撞频率 在一个热运动气体分子系统中，分子之间有非常频繁的碰撞。单位时在一个热运动气体分子系统中，分子之间有非常频繁的碰撞。单位时间内一个分子平均与其它分子发生碰撞的次数叫分子的间内一个分子平均与其它分子发生碰撞的次数叫分子的平均碰撞频率平均碰撞频率。为了计算平均碰撞频率，可以为了计算平均碰撞频率，可以“跟踪跟踪”一个分子，先计算它在一个分子，先计算它在tt时时间内与其它分子碰撞的次数，再求出结果。间内与其它分子碰撞的次数，再求出结果。为方便计算，可以先假定被为方便计算，可以先假定被碰撞的其它分子都不动，只有被碰撞的其它分子都不动，只有被“跟踪跟踪”的那个
43、气体分子以速率的那个气体分子以速率v v相对其它分子运动。并设气体相对其它分子运动。并设气体分子都是一些分子都是一些有效直径有效直径d d完全相完全相同的小球。同的小球。(effective diameter)重大数理学院赵承均 v在在tt时间内，时间内，tvl能够与它发生碰撞的那些分子的中心，分布在长度为能够与它发生碰撞的那些分子的中心，分布在长度为l l，横截面积为，横截面积为d2d2（碰撞截面碰撞截面）的圆柱体内）的圆柱体内,其中的分子数为其中的分子数为:2dtvdn2(cross section of collision)重大数理学院赵承均 所以分子平均碰撞频率为：所以分子平均碰撞频率
44、为：vdnttvdnZ22上式中的速度上式中的速度v v是一个上面速度呢？考虑到热运动系统中各个分子运动速是一个上面速度呢？考虑到热运动系统中各个分子运动速度的不同，和实际情况下这些分子是不可能固定不动的事实，麦克思韦证度的不同，和实际情况下这些分子是不可能固定不动的事实，麦克思韦证明这个速度就是明这个速度就是:2v所以最后的分子平均碰撞频率公式为：所以最后的分子平均碰撞频率公式为：vdnZ22重大数理学院赵承均 二、平均自由程1.1.自由程自由程2.2.平均自由程平均自由程 平均自由程可以这样来计算：一个分子单位时间内平均飞行的总路程平均自由程可以这样来计算：一个分子单位时间内平均飞行的总路
45、程可以用平均速率来计算，它再除以碰撞频率就是其平均自由程。即可以用平均速率来计算，它再除以碰撞频率就是其平均自由程。即:ndZv221因此，平均自由程只与气体的分因此，平均自由程只与气体的分子数密度有关！子数密度有关！pdkT22由上式由上式,气体温度升高平均自由气体温度升高平均自由程一定会增大吗程一定会增大吗?分子在连续两次碰撞之间自由飞行的路程，称为分子在连续两次碰撞之间自由飞行的路程，称为自由程自由程。分子在多次碰撞后其自由程的平均值叫分子在多次碰撞后其自由程的平均值叫平均自由程平均自由程。(free flying distance)思考:重大数理学院赵承均 例例1 1：下列各式中哪一种
46、式表示气体分子的平均平动动能？（式中下列各式中哪一种式表示气体分子的平均平动动能？（式中 M M 为为气体的质量气体的质量,m,m 为气体分子的质量为气体分子的质量,N,N 为气体分子总数目为气体分子总数目,n,n 为气体分子为气体分子密度密度,N,No o 为阿伏加德罗常数为阿伏加德罗常数,M,Mmolmol为摩尔质量。）为摩尔质量。）A （A）（C）（B）（D）3;2mPVM3;2molMPVM3.2moloMN PVM3;2nPV0333222molkMmEkTPVPVMNM重大数理学院赵承均 例例2 2：一瓶氦气一瓶氦气 He He 和一瓶氮气和一瓶氮气 N N2 2 密度相同密度相同
47、,分子平均平动动能相同分子平均平动动能相同,而而且都处于平衡状态且都处于平衡状态,则它们：则它们：C （A A）温度相同、压强相同。）温度相同、压强相同。（B B）温度、压强都不同。）温度、压强都不同。（C C）温度相同）温度相同,但氦气的压强大于氮气的压强。但氦气的压强大于氮气的压强。（D D）温度相同）温度相同,但氦气的压强小于氮气的压强。但氦气的压强小于氮气的压强。22NNHHnmnmee122eeHNNHmmnn重大数理学院赵承均 例例3 3：一定量的理想气体贮于某一容器中一定量的理想气体贮于某一容器中,温度为温度为 T,T,气体分子质量为气体分子质量为 m m。根据理想气体分子的分子
48、模型和统计假设根据理想气体分子的分子模型和统计假设,分子速度在分子速度在 x x 方向的分量平方方向的分量平方的平均值为的平均值为23xkTvm2133xkTvm23xkTvm2xkTvm(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)D 2213xmolkTRTvvmM重大数理学院赵承均 例例4 4：求求 27 27 C C 的空气方均根速率。（空气的摩尔质量为的空气方均根速率。（空气的摩尔质量为 29 g/mol 29 g/mol）2333 8.31 300507.8m/s29 10molRTvM解：解：重大数理学院赵承均 例例5 5：已知氢气与氧气的温度相同，请判断下列说法哪个正确？已知
49、氢气与氧气的温度相同，请判断下列说法哪个正确？（A A）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气的压强一定大于氢）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气的压强一定大于氢气的压强。气的压强。（B B）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气密度一定大于氢气）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气密度一定大于氢气的密度。的密度。（C C）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子的速率大。分子的速率大。（D D）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的方均根速率一）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的方均根速率一定比氧分子的方均根速率大。定比氧分子的方均根速率大。D m
50、kTv32重大数理学院赵承均 例例6 6：已知某种理想气体已知某种理想气体,其分子方均根速率为其分子方均根速率为 400m/s,400m/s,当其压强为当其压强为 1atm 1atm 时时,求气体的密度。求气体的密度。221133pnmvv2231.90/pkg mv解：解：重大数理学院赵承均 例例7 7、已知压强已知压强 ，温度，温度 状态下的氢分子的有状态下的氢分子的有效直径效直径 。试求：平均自由程和平均碰撞频率。试求：平均自由程和平均碰撞频率。21.01310pPa0 Cot 102.0 10dm解：解：由平均自由程公式，可得由平均自由程公式，可得23221021.38102732.1
