1、第四章 因式分解1 因式分解获取新知 99399能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.小明是这样做的:993999999299199(9921)999 8009899100.所以，993 99能被100整除.在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式.99399还能被哪些正整数整除？议一议 你能尝试把a3a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.解：解：a3-a=aa2-a11=a(a2-1)=a(a+1)(a-1).你是怎么想的呢？你如何检查做的是否正确呢？做一做 观察下面拼图过程，写出相应的关系式.abcmmma+b+cmxxx1111xma+mb+mc=m(a+b+c
2、)x2+x+x+1=(x+1)2x+1x+1 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.例如，a3a a(a1)(a1)，ambmcmm(abc)，x22xl(x1)2都是因式分解.因式分解也可称为分解因式.整式乘法与因式分解的关系：整式乘法与因式分解是两种互逆的变形即：多项式 整式乘积因因式式分分解解整整式式乘乘法法 x2-1 (x+1)(x-1)因式分解整式乘法例题讲解例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是()Aa21a(a )B(x1)(x1)x21Ca2a5(a2)(a3)1Dx2yxy2xy(xy)1aD一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来
3、，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.则两个多项式相等.正确解：原式=6xy(2x+3y).确定多项式各项公因式的方法：正确解：原式=3xx-6yx+1xA12abc9a2b2=3abc(43ab)B3x2y3xy+6y=3y(x2x+2y)Dx2yxy2xy(xy)解：原式=-x(x+y-z).例2 将下列各式分解因式：当堂检测解法2：(x-y)2+y(y-x)（2）.(4)(a-b)4=_(b-a)4;(1)9x2-6xy+3xz (2)2a3b2c+4ab3c-abc分解因式的要求：1.分解的结果最后是积的形式；2.每个因式必须是整式，且每个因式
4、的次数都必须低于多项式的次数；3.必须分解到每个因式不能再分解为止随堂演练1.下列各式由左到右的变形中,属于因式分解的是()A.a(m+n)=am+anB.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2C.10 x2-5x=5x(2x-1)D.x2-xy+y2=(x-y)2C3.如图所示,由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a,b的小长方形拼接成一个大长方形,则利用整个图形可表达出一些有关多项式因式分解的等式,请你写出任意一个表示因式分解的等式:.a2+2ab=a(a+2b)667 37+667 63 =667（37+63）=667 100=66700提出公因数667计算观察下列多项式，各
5、项中有相同的因式吗?ab+bc 3x+x mb+nb-b 多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。探索新知 问题问题1 1 66737+66763 bxb多项式 2x2+6x3 中，各项的公因式是什么？问题问题2 2系数：最大公约数2 字母：相同的字母x 所以公因式是2x2.指数：相同字母的最低次幂2 探索新知u确定多项式各项公因式的方法：1.定系数：找多项式各项系数的最大公约数.2.定字母：找多项式各项中都含有的相同字母.3.定指数：找各项相同字母的最低次幂.确定公因式一 探索新知 例1 下列多项式中，各项的公因式是什么？（1）（2）2326xx32269a ba b c22
6、x3 a b214k巩固练习 写出下列多项式各项的公因式（1）（2）48kxky222m nmnmnmn 37667+63667 =667（37+63）提出公因数667 探索新知 探索新知探索新知例2 将下列各式分解因式：(1)3xx2 (2)7x221x解：(1)3xx2x3xx (2)7x221x7xx7x3x(3x)7x(x3)66737+66763 =667（37+63）探索新知探索新知例2 将下列各式分解因式：(1)3xx2 (2)7x221x解：(1)3xx2x3xx (2)7x221x7xx7x3x(3x)一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公
7、因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.7x(x3)探索新知探索新知1.确定公因式2.提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.u提公因式法分解因式的步骤：(3)14x3-21x2+28x (4)（m-1为正整数）(6)-m-n=(m+n)；A12abc9a2b2=3abc(43ab)B3x2y3xy+6y=3y(x2x+2y)ab+bc 3x+x mb+nb-b因式分解：p(a2+b2)-q(a2+b2).(5)s2+t2=(s2-t2)；（2）.(1)a-b 与-a+b 互为相反数.=(xy)(3a1)整式乘法与因式分解是两种互逆的变形Dx2yxy2xy(xy)相同
8、字母的指数取各项中最小的一个,即 _.确定多项式各项公因式的方法：37667+63667探索新知ab(8a2b12b2c1)则两个多项式互为相反数.解:（1）a(x-3)+2b(x-3)你能尝试把a3a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.x2-xy+y2=(x-y)2 探索新知探索新知例3 将下列各式分解因式：(1)8a3b212ab3cabab(8a2b12b2c1)解：(1)8a3b212ab3cab ab8a2bab12b2cab1提公因式后括号里多项式的项数与原多项式的项数相同 探索新知探索新知例3 将下列各式分解因式：(2)24x312x228x(4x6x24x3x4x7)解：(
9、2)24x312x228x (24x312x228x)提公因式后括号里第一项的系数为正数4x(6x23x7)当多项式第一项的系数是负数时，可以先提出负号，但要注意括号里的各项都要变号。因式分解：12x2y+18xy2.解：原式=3xy(4x+6y).错误公因式没有提尽，还可以提出公因式2正确解：原式=6xy(2x+3y).请你判断小明的解法有误吗？易错分析提公因式后括号里提公因式后括号里少了一项少了一项.错误解：原式=x(3x-6y).因式分解：3x2-6xy+x.正确解：原式=3xx-6yx+1x =x(3x-6y+1)请你判断小明的解法有误吗？提出负号时括号里的项没变号错误因式分解：-x2
10、+xy-xz.解：原式=-x(x+y-z).正确解：原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z)请你判断小明的解法有误吗？解：=3x3x-3x2y+3xz =3x(3x-2y+z)=-(14x3+21x2-28x)=-(7x2x2+7x3x-7x4)=-7x(2x2+3x-4)=abc2a2b+abc4b2-abc1=abc(2a2b+4b2-1)(1)9x2-6xy+3xz (2)2a3b2c+4ab3c-abc (3)14x3-21x2+28x (4)（m-1为正整数）巩固练习 将下列各式分解因式11242mmmaaa1211=22221mmmaaaaa12=221maaa（）探索新知
11、探索新知1.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是 （）A.x2y B.x2+2x C.x2+3y D.x2xy+y22.把12a2b3c-8a2b2c+6ab3c2分解因式时，应提取的公因式是（）A.2 B.2abc C.2ab2c D.2a2b2c3下列提公因式法分解因式正确的是（）A12abc9a2b2=3abc(43ab)B3x2y3xy+6y=3y(x2x+2y)Ca2+abac=a(ab+c)Dx2y+5xyy=y(x2+5x)B 当堂检测CC新课自主预习温故而知新 1.多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号；2.公因式的系数是多项式各项_；3.字母取多
12、项式各项中都含有的_；4.相同字母的指数取各项中最小的一个,即 _.提公因式法因式分解的一般步骤：系数的最大公约数相同的字母最低次幂例3 将下列各式分解因式：(a-b)n=(b-a)n (n是偶数）提公因式后括号里第一项的系数为正数=-(14x3+21x2-28x)Ca2a5(a2)(a3)137667+63667(8)(a+b)4=_(-a-b)4.=667（37+63）前者是把一个多项式化为几个整式的_，后者是把几个整式的_化为一个_(1)9x2-6xy+3xz (2)2a3b2c+4ab3c-abc(2)7x221x7xx7x3(4x6x24x3x4x7)Aa21a(a )即：多项式 整
13、式乘积探索新知Ca2a5(a2)(a3)1(1)(a-b)=_(b-a);(2)(a-b)2=_(b-a)2;（1）a(x-3)+2b(x-3)；(5)s2+t2=(s2-t2)；思考1：提公因式时，公因式可以是多项式吗？找找上面各式的公因式.思考2：公因式是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？)()(yxbyxa)1()2()(3)(2cbcba)3()4()3(2)3(xbxa22)1()1(xyxy提公因式为多项式的因式分解例1 把下列各式分解因式：（1）a(x-3)+2b(x-3)；（2）.解:（1）a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b)；2211xyxy2211y
14、xy x=y(x+1)(1+xy+y).(2)典例精析归纳总结1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.练一练：1.x(a+b)+y(a+b)2.3a(xy)(xy)3.6(p+q)212(q+p)=(a+b)(x+y)=(xy)(3a1)=6(p+q)(p+q-2)()()a xyb xy(1)()();a xyb yx(1)()()a xyb yx解：()xy()yx()()xy ab()b xy例2 把下列各式因式分解：32(2)6()12()mnnm26()()2mnmn326()12()mnmn2)(12nm)2()
15、(62nmnm 两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:(1)当相同字母前的符号相同时,则两个多项式相等.如:a-b 和-b+a 即 a-b=-b+a(2)当相同字母前的符号均相反时,则两个多项式互为相反数.如:a-b 和 b-a 即 a-b=-(a-b)归纳总结由此可知规律：由此可知规律：(1)a-b 与与-a+b 互为相反数互为相反数.(a-b)n=(b-a)n (n是偶数）是偶数）(a-b)n=-(b-a)n (n是奇数）是奇数）(2)a+b与与b+a 相等相等,(a+b)n=(b+a)n (n是整数）是整数）a+b 与与-a-b 互为相反数互为相反数.(-a-b)n=(a+
16、b)n (n是偶数）是偶数）(-a-b)n=-(a+b)n (n是奇数）是奇数）在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使等式成立：(1)(a-b)=_(b-a);(2)(a-b)2=_(b-a)2;(3)(a-b)3=_(b-a)3;(4)(a-b)4=_(b-a)4;(5)(a+b)=_(b+a);(6)(a+b)2=_(b+a)2；+-+(7)(a+b)3=_(-b-a)3;-(8)(a+b)4=_(-a-b)4.+当堂跟踪练习当堂跟踪练习 1.请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立.(1)2-a=(a-2)；(2)y-x=(x-y)；(3)b+a=(a+b)；-(
17、6)-m-n=(m+n)；(5)s2+t2=(s2-t2)；(4)(b-a)2=(a-b)2；(7)(b-a)3=(a-b)3.-+-例3 将下列各式分解因式：解：原式=-x(x+y-z).A12abc9a2b2=3abc(43ab)B3x2y3xy+6y=3y(x2x+2y)（1）a(x-3)+2b(x-3)；(2)y-x=(x-y)；ab+bc 3x+x mb+nb-b2abc C.探索新知即：多项式 整式乘积前者是把一个多项式化为几个整式的_，后者是把几个整式的_化为一个_ab(8a2b12b2c1)公因式的系数是多项式各项_；(1)9x2-6xy+3xz (2)2a3b2c+4ab3c
18、-abc2abc C.(7)(a+b)3=_(-b-a)3;=3x(3x-2y+z)巩固练习 将下列各式分解因式探索新知解：原式=-x(x+y-z).定义：把一个多项式化成几个整式的_的形式，叫做因式分解，也可称为_3.因式分解：(x-y)2+y(y-x).解法1：(x-y)2+y(y-x)=（x-y)2-y(x-y)=(x-y)(x-y-y)=(x-y)(x-2y).解法2：(x-y)2+y(y-x)=（y-x)2+y(y-x)=(y-x)(y-x+y)=(y-x)(2y-x).2.因式分解：p(a2+b2)-q(a2+b2).解：p(a2+b2)-q(a2+b2)=(a2+b2)(p-q)
19、.解：课堂小结课堂小结因式分解公因式为多 项 式确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数分两步：（整体思想）第一步找公因式；第二步提公因式注意注意1.分解因式是一种恒等变形；2.公因式：要提尽；3.不要漏项；4.提负号，要注意变号课堂小结因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的_的形式，叫做因式分解，也可称为_其中，每个整式叫做这个多项式的_与整式乘法运算的关系 的变形过程前者是把一个多项式化为几个整式的_，后者是把几个整式的_化为一个_ 积 分解因式 因式 互逆 多项式 乘积 乘积 提公因式法分解因式确定公因式的方法：三定，即1.系数 2.字母 3.指数步骤：1.确定公因式 2.提出公因式注意：1.分解因式的结果是几个因式乘积的形式2.公因式要提尽3.不要漏项4.提负号时，要注意变号 课堂小结
