1、四种命题及其关系四种命题及其关系2008年10月15日 “数学是思维的科学数学是思维的科学”逻辑是研究思维形式和规律的科学逻辑是研究思维形式和规律的科学.逻辑用语是我们必不可少的工具逻辑用语是我们必不可少的工具.通过学习和使用常用逻辑用语通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻掌握常用逻辑用语的用法辑用语的用法,纠正出现的逻辑错误纠正出现的逻辑错误,体会运用常体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.命题思思考考 下列语句的表述形式有什么特点下列语句的表述形式有什么特点?你能判断你能判断它们的真假吗它们的真假吗?(1)若直线若直线ab,则直线则直线a
2、和直线和直线b无公共点无公共点;(2)2+4=7;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行;(4)若若x2=1,则则x=1;(5)两个全等三角形的面积相等两个全等三角形的面积相等;(6)3能被能被2整除整除.例例1 1 判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？假命题？(1)空集是任何集合的子集空集是任何集合的子集;(2)若整数若整数a是素数，则是素数，则a是奇数是奇数;(3)指数函数是增函数吗？指数函数是增函数吗？(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行;(5);(6)x15.(
3、7)祝大家新年快乐！祝大家新年快乐！222 例例1 1 判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？假命题？(1)空集是任何集合的子集空集是任何集合的子集;(2)若整数若整数a是素数，则是素数，则a是奇数是奇数;(3)指数函数是增函数吗？指数函数是增函数吗？(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行;(5);(6)x15.222 例例2 2 指出下列命题中的条件指出下列命题中的条件p和结论和结论q;(1)若整数若整数a能被能被2整除整除,则则a是偶数是偶数;(2)若四边形是菱形若四边形是菱形,则它的对角线互相垂
4、直且平分则它的对角线互相垂直且平分.解：解：(1)条件条件p:整数整数a能被能被2整除整除,结论结论q：整数：整数a是偶数是偶数;(2)条件条件p:四边形是菱形四边形是菱形,结论结论q：四边形的对角线互：四边形的对角线互相垂直且平分相垂直且平分.例例3 将下列命题改写成将下列命题改写成“若若p,则则q”的形式的形式,并判断并判断真假真假;(1)垂直于同一条直线的两条直线平行垂直于同一条直线的两条直线平行;(2)负数的立方是负数负数的立方是负数;(3)对顶角相等对顶角相等;(4)等腰三角形两腰的中线相等等腰三角形两腰的中线相等;(5)偶函数的图像关于偶函数的图像关于y轴对称轴对称;(6)垂直于同
5、一个平面的两个平面平行垂直于同一个平面的两个平面平行.思思考考 下列四个命题中下列四个命题中,命题命题(1)与命题与命题(2)(3)(4)的条件和的条件和结论之间分别有什么关系结论之间分别有什么关系?(1)若若f(x)是正弦函数是正弦函数,则则f(x)是周期函数是周期函数;(2)若若f(x)是周期函数是周期函数,则则f(x)是正弦函数是正弦函数;(3)若若f(x)不是正弦函数不是正弦函数,则则f(x)不是周期函数不是周期函数;(4)若若f(x)不是周期函数不是周期函数,则则f(x)不是正弦函数不是正弦函数;原命题原命题：逆命题逆命题：一、四种命题形式：一、四种命题形式：否命题：否命题：逆否命题
6、逆否命题：若若p则则q.若若q则则p.若若p则则q.若若q则则p.4123xAxABABCabAB 例、写出下列原命题的其他三种命题，并判断真假。（）若，则（）在中，若，则（）正偶数不是质数1xABxA解：（）逆命题：若，则xAxAB否命题：若，则xABxA逆否命题：若，则42ABCabAB 例、写出下列原命题的其他三种命题（）在中，若，则ABCABab （2）逆命题：在中，若，则ABCabAB 否命题：在中，若，则ABCABab 逆否命题：在中，若，则43例、写出下列原命题的其他三种命题（）正偶数不是质数解：（3）原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是质数逆命题：若一个数不是质数，则这个数是
7、正偶数逆否命题：若一个数是质数，则这个数不是正偶数点拨：要正确表示四种命题首点拨：要正确表示四种命题首先把条件和结论显化先把条件和结论显化1.原命题与它的逆命题和否命题的真假性没有关原命题与它的逆命题和否命题的真假性没有关系系.2.原命题与它的原命题与它的逆否命题逆否命题的真假性的真假性相同相同.20,0mxxm例5、写出下列原命题的其他三种命题（4）若则方程无实数根。20,0 xxmm解：（4）逆命题：若方程无实数根则。20,0mxxm否命题：若则方程有实数根。20,0 xxmm逆否命题：若方程有实数根 则。互逆互逆互逆互逆互否互否互否互否互为互为 逆否逆否互为互为 逆否逆否说明：说明：四种
8、命题的关系相对的四种命题的关系相对的2212352,3xyxyx yNxyx yabacbc例6、写出下列原命题的其他三种命题，并判断真假（）若 且，则（）设，若是偶数，则都是偶数（）若，则000 yxyx或或，则则变变形形：若若点拨：正难则反，看逆否命题点拨：正难则反，看逆否命题（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.原命题与其逆否命题的等价性原命题与其逆否命题
9、的等价性.三、反证法三、反证法 例例7 证明：圆的两条不是直径的相交弦不证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分能互相平分.OPABCD 已知：已知：在在 O中，弦中，弦AB、CD相交于相交于P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求证：求证：弦弦AB、CD不被不被P平分平分证明：证明：假设弦假设弦ABAB、CDCD被被P P平分，平分，则则P是是AB、CD 的中点，的中点，连接连接OP，由垂径定理的推论，可得：由垂径定理的推论，可得：OPAB，OPCD.这与这与“在平面上过一点有且只有一条直线与在平面上过一点有且只有一条直线与已知直线垂直已知直线垂直”相矛盾相矛盾.弦弦AB、CD不被不被P平
10、分平分.想一想？想一想？（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。逆否命题不一定为真。由以上三例及总结我们能发现什么？即：原命题与逆否命题的真假是等价的。即：原命题与逆否命题的真假是等价的。逆命题与否命题的真假是等价的。逆命题与否命题的真假是等价的。（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否 命题不一定为真。命题不一定为真。总结：总结：练一练练一练1.判断下列说法是否正确。判断下列说法是否正确。1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；）一个命题的
11、逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对）（对）2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。（对）（对）2.四种命题真假的个数可能为（四种命题真假的个数可能为（）个。）个。答：答：0个、个、2个、个、4个。个。如：原命题：若如：原命题：若AB=A,则则AB=。逆命题：若逆命题：若AB=，则，则AB=A。否命题：若否命题：若ABA，则，则AB。逆否命题：若逆否命题：若AB，则，则ABA。（假）（假）（假）（假）（假）（假）（假）（假）3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。（错）（错）4）一个命题的逆
12、否命题为假，它的否命题为假。）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。（错）（错）原命题原命题：逆命题逆命题：否命题：否命题：逆否命题逆否命题：若若p则则q.若若q则则p.若若p则则q.若若q则则p.下课 再见 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，
13、石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。
14、请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去
15、的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗
16、104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C
17、科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方
18、式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。
19、奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
