1、 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation1第第 二二 章章 波函数与薛定谔方程波函数与薛定谔方程The wave function and Schrdinger Equation Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation2 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation 2.2 2.2 态叠加原理态叠加原理 The principle of superposition 2.3
2、2.3 薛定谔方程薛定谔方程 The Schrdinger equation 2.4 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 The current density of particles and conservation laws 2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 Time independent Schrdinger equation 2.6 一维无限深势阱 The infinite potential well 2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子 The linear harmonic oscillator 2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿 The
3、transmission of potential barrier学习内容学习内容 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation 如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而形如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而形成的一种分布。成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。个电子衍射实验。电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，
4、底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性。Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation 这种观点认为，电子本身就是一种波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包，因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。Chapter 2The wave function and Schrdinger Eq
5、uation反例:i)自由粒子平面波,占据整个空间 ii)色散 群速度:相速度:必有色散-粒子解体()(,)iP rEtPr tAe Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation 1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性;2.2.具有确定的运动轨道。具有确定的运动轨道。经典概念经典概念中粒子意中粒子意味着味着 1.1.确定的可测物理量在空间作周期性的确定的可测物理量在空间作周期性的 传播传播;2.2.具有干涉、衍射特性，即相干叠加性。具有干涉、衍射特性，即相干叠加性。经典概念经典概念中波意味中波意味着着 “
6、电子既不是粒子也不是波电子既不是粒子也不是波”，既不是经典的粒，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，子也不是经典的波，但是我们也可以说，“电子既电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一盾的统一。”这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。中的粒子。Chapter 2The wave function and Schrdinger EquationBorn解释解释(1926年年)1.一个电子能不能形成干涉图像？一个电子能不能形成干涉图像？2.形成电子干涉图样有几种情况？形成电子干涉
7、图样有几种情况？3.电子的粒子性和波动性在实验中怎么体现出来？电子的粒子性和波动性在实验中怎么体现出来？Chapter 2The wave function and Schrdinger EquationBorn解释解释(1926年年)感光时间较短感光时间较短感光时间足够长感光时间足够长最终最终实验结果：实验结果：电子双电子双缝衍射缝衍射实验实验 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation衍射波的强度分布对应于衍射波的强度分布对应于电子数的密度分布电子数的密度分布电子聚集密度的分布决定电子聚集密度的分布决定于单个电子在底板上出现于单个电
8、子在底板上出现概率的分布概率的分布电子出现的概率分布规律电子出现的概率分布规律表现为波强度的分布规律表现为波强度的分布规律电子在空间出现的概率电子在空间出现的概率分布显示了电子运动的分布显示了电子运动的波动性波动性德布罗意波或物质波（德布罗意波或物质波（概率波概率波Probability Wave）分析及讨论：分析及讨论：底板接收的电底板接收的电子是一个一个子是一个一个的完整体的完整体粒子性表现粒子性表现条纹由大量电条纹由大量电子密集与稀疏子密集与稀疏有规律交替出有规律交替出现形成现形成波动性表现波动性表现 Chapter 2The wave function and Schrdinger E
9、quation粒子保持完整的颗粒结构在空间以概率波的形式运粒子保持完整的颗粒结构在空间以概率波的形式运动的性质动的性质波粒二象性（波粒二象性（Wave particle duality）总结：总结：衍射实验揭示的电子的波动性是：衍射实验揭示的电子的波动性是：许多电子在许多电子在同一个同一个实验中的统计结果，或者是实验中的统计结果，或者是一一个个电子在电子在许多次相同许多次相同实验中的统计结果。实验中的统计结果。物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是物质波是什么呢？物质波是什么呢？几率波几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的是描写微观体系的统计行为
10、，而不是单个粒子的单次过程。单次过程。Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation 微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描述必有别于经典力学对粒子运动状态的描的描述必有别于经典力学对粒子运动状态的描述，即微观粒子的运动状态不能用述，即微观粒子的运动状态不能用坐标、速度坐标、速度、等物理量来描述。这就要求在描述微观粒子的等物理量来描述。这就要求在描述微观粒子的运动时，要有运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像子这样两个在经典物理中截然
11、不同的物理图像。Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation132.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释微观粒子的运动状态可用一个复函数微观粒子的运动状态可用一个复函数 来描述，来描述，函数函数 称为称为波函数。波函数。(,)r t(,)r t 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波()(,)iP rEtPr tAe 如果粒子处于随时间和位置变化的力场如果粒子处于随时间和位置变化的力场 中运动，它的动量中运动，它的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用和能量不再是
12、常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：(,t)r描写粒子状态的波描写粒子状态的波函数，它通常是一函数，它通常是一个个复函数复函数。Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation电子电子双缝双缝衍射衍射（1）波函数的物理意义）波函数的物理意义 三个问题？三个问题？(1)(1)的物理意义？的物理意义？(2)(2)为什么能描述粒子的状态？为什么能描述粒子的状态？(3)(3)的性质？的性质？衍射波波幅用衍射波波幅用(r)(r)描述，与描述，与光学相似，衍射
13、花纹的强度则光学相似，衍射花纹的强度则用用|(r)|(r)|2 2 描述，但意义与经描述，但意义与经典波不同典波不同。Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation衍射条纹衍射条纹极大值极大值衍射条纹衍射条纹极小值极小值波动观点波动观点粒子观点粒子观点波的强度最大波的强度最大波函数振幅绝对值的波函数振幅绝对值的平方即平方即 最大最大感光点的密度最大感光点的密度最大电子到达的数目多电子到达的数目多电子出现的概率大电子出现的概率大2波的强度为零波的强度为零波函数振幅绝对值的波函数振幅绝对值的平方平方 =0感光点的密度为零感光点的密度为零到达的电
14、子数目为零到达的电子数目为零电子出现的概率为零电子出现的概率为零2 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation感光强度的分布感光强度的分布电子出现的概率分布电子出现的概率分布感光强度的分布感光强度的分布电子波函数振幅绝对值的平方电子波函数振幅绝对值的平方结论结论某时刻某时刻t，在空间某点，在空间某点r处，粒子出现的几处，粒子出现的几率正比于该时刻、该点处的波函数的模率正比于该时刻、该点处的波函数的模的平方的平方 。2,tr Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation1.波函数本身
15、没有直接的物理意义，并不像经典波那样代表什么实在的物理量的波动，而波函数模的平方2(,)(,)(,)Cr tCr tr t则表示t时刻粒子在空间r r 点出现的概率密度（即在r 点附近单位体积出现的概率）2.C|(r)|2.C|(r)|2 2 xyz xyz 表示在表示在 r r 点处，在体积元点处，在体积元xyzxyz中找到粒子的几率。中找到粒子的几率。C C是比例系数。波函数在空间某点的强度是比例系数。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）宇在这点找到粒子的几率成比例，（振幅绝对值的平方）宇在这点找到粒子的几率成比例，波函数又称为波函数又称为概率波幅概率波幅，简称，简称概率幅概率幅在体
16、积在体积 V V 内，内，t t 时刻找到粒子的几率为：时刻找到粒子的几率为：W(t)=CW(t)=CV V|(r,t)|(r,t)|2 2 d d Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation 据此，据此，描写粒子的波可以认为是几率波，这种描写粒子的波可以认为是几率波，这种几率波几率波反映了反映了微观客体运动的一种统计规律性，波函数微观客体运动的一种统计规律性，波函数(r)(r)有时也称为几有时也称为几率幅。率幅。这就是首先由这就是首先由 BornBorn 提出的提出的波函数的几率解释波函数的几率解释，它是，它是量子力学的基本原理（基本
17、假定）量子力学的基本原理（基本假定）。Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation(2)(2)为什么能描述粒子的状态？为什么能描述粒子的状态？在物理学中，如果知道了表征一个体系的全部物理量，那在物理学中，如果知道了表征一个体系的全部物理量，那么就可以说知道了体系的么就可以说知道了体系的状态状态。知道了知道了,就能在理论上计算出各种物理量的就能在理论上计算出各种物理量的平均值平均值（测（测量值），而这些平均值就是在波函数所描述的状态下相量值），而这些平均值就是在波函数所描述的状态下相应物理量的观测结果，在这种意义下一般认为微观粒子应物理量的
18、观测结果，在这种意义下一般认为微观粒子的状态由波函数来的状态由波函数来完全完全描述。描述。*()()f rdrf rdr Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation波函数性质rdtr32),(0有限值即可(3)(3)的性质的性质 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation212.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续6 6）(,)(,)r tCr t令令 和和 描写同一个状态吗？描写同一个状态吗？,r t,Cr tC是常数*()()()f rdrccf rdrf rd
19、rccdr 因为因为所以所以 和和 描述同一状态描述同一状态,r t,Cr t并且波函数有一常数因子不定性。并且波函数有一常数因子不定性。和和 描述同一状态描述同一状态,r t,Cr tl2 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation经典波经典波和微观粒子和微观粒子几率波几率波的区别：的区别：1、经典波经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而描述某物理量在空间分布的周期变化，而几几 率波率波描述微观粒子某力学量的几率分布；描述微观粒子某力学量的几率分布；2、经典波经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四倍的波幅增大一倍，相应波动能量
20、为原来四倍,变成另一状态；变成另一状态；几率波几率波的波幅增大一倍不影响粒子的波幅增大一倍不影响粒子 在空间各点出现的几率，即将波函数乘上一个常数在空间各点出现的几率，即将波函数乘上一个常数,所描述的粒子的状态并不改变；所描述的粒子的状态并不改变；Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation23波函数的归一性波函数的归一性 23d1r全r3dd d drx y z这称为这称为波函数的归一化条件波函数的归一化条件.根据波函数的统计诠释，很自然要求该粒子根据波函数的统计诠释，很自然要求该粒子（不产生，不湮没）在空间各点的概率之总和（不产生，不
21、湮没）在空间各点的概率之总和为为 ，即要求波函数，即要求波函数 满足下列条件满足下列条件.r1(3)(3)的性质？的性质？为了表述简便，引入符号为了表述简便，引入符号1),(3*rd Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation归一化波函数归一化条件消除了波函数归一化条件消除了波函数常数因子常数因子的一种不确定性的一种不确定性。0)(d)(32numberrealArr全波函数的归一化：波函数的归一化：1d)(132全rrA则则为归一化因子描述同一个波函数与ArrA1,)()(1注注 意意（1 1）归一化后的波函数归一化后的波函数 仍有一
22、个模为一的仍有一个模为一的因子因子 不定性（不定性（为实数）。为实数）。若若 是归一化波函数，那么是归一化波函数，那么 也是归一化波函数，与前者描述同一概率波。也是归一化波函数，与前者描述同一概率波。ie),(tr,r t,ir t e Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation量子力学基本原理之一量子力学基本原理之一：一个微观客体在时刻一个微观客体在时刻t t 的状态的状态,用波用波函数函数(x,y,z,t)完全完全描述描述.*d表示在表示在d中找到微观客体的概率。中找到微观客体的概率。波函数波函数 是概率幅是概率幅),(tr 是概率
23、密度是概率密度),(),(trtrrdtrtr3),(),(是在空间是在空间 中，找到粒子的概率。中，找到粒子的概率。rd32 2，描述同一状态，在大多数情况下，采用描述同一状态，在大多数情况下，采用满足归一化条件满足归一化条件 的波函数的波函数),(tr),(trc13rd3 3，波函数满足标准条件：，波函数满足标准条件：有限、单值、连续有限、单值、连续。微观粒子的状态由波函数来微观粒子的状态由波函数来完全完全描写描写 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation1xie22xie21xie33xie24)2(53xiexiei26)2
24、4(124xie1126)24()24(Cieixi即即 、与与 描写同一状态描写同一状态164 其他波函数均不能写成常数与其他波函数均不能写成常数与 的乘积形式，故的乘积形式，故与与 描述不同的状态描述不同的状态11 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation222222),(1AdxeAdxtrx2/1/A归一化常数归一化常数(1).求归一化的波函数求归一化的波函数202dyey 归一化的波函数归一化的波函数tixtr221exp),(2221例题例题2 tixAtr221exp),(22 Chapter 2The wave fun
25、ction and Schrdinger Equation（2 2）概率分布）概率分布：222),(),(xetxtxw（3 3）由概率密度的极值条件）由概率密度的极值条件 0 x 故故 处，粒子出现概率最大。处，粒子出现概率最大。0 x由于由于 0),(022xdxtxwd02),(222xxedxtxdwtixtr221exp),(2221 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation求在求在(x,x+dx)范围内找到粒子的概率。范围内找到粒子的概率。练习练习 3 设粒子的波函数是设粒子的波函数是()x求：求：(1)(1)粒子在球壳粒
26、子在球壳(r,r+dr)(r,r+dr)范围内被测到的概率。范围内被测到的概率。(2)(2)在（在（，）方向的立体角）方向的立体角d d=sin d d 中找到粒子的概中找到粒子的概率率?练习练习 5 设用球坐标表示，粒子的波函数是设用球坐标表示，粒子的波函数是),(r练习练习 4设粒子的波函数是设粒子的波函数是),(zyx求在求在(x,x+dx)范围内找到粒子的概率。范围内找到粒子的概率。2()xdx2(,)dxx y zdydz2220 0(,)sinrd dr dr 220(,)sinrr drd d Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation其中其中A为任意常数，为任意常数，E和和b均为确定的常数均为确定的常数求：求：(1)归一化的波函数；归一化的波函数；(2)几率密度几率密度？作业作业、设粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为：、设粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为：)cos()exp(),(bxtiEAtx0),(tx)2/,2/(bxbx)2/2/(bxb
