1、第三节第三节 两因素试验的两因素试验的方差分析方差分析3.1 交叉分组资料（交叉分组资料（crossover classification）的方差分析的方差分析 设试验考察设试验考察A、B两个因素，两个因素，A因素分因素分a个水平，个水平，B因因素分素分b个水平个水平。所谓交叉分组是指所谓交叉分组是指A因素每个水平与因素每个水平与B因因素的每个水平都要搭配素的每个水平都要搭配，两者交叉搭配形成，两者交叉搭配形成ab个水平组个水平组合即处理，试验因素合即处理，试验因素A、B在试验中处于平等地位在试验中处于平等地位。如果。如果将试验单元分成将试验单元分成 ab 个组，每组随机接受一种处理个组，每组
2、随机接受一种处理，因，因而试验数据也按两因素两方向分组，这种试验数据资料而试验数据也按两因素两方向分组，这种试验数据资料称为两向分组资料，也叫交叉分组资料。称为两向分组资料，也叫交叉分组资料。分无重复观测值和重复观测值两种类型。分无重复观测值和重复观测值两种类型。对于对于A、B两个试验因素的全部两个试验因素的全部ab个水平组合，个水平组合，每个水平组合只有一个观测值（无重复），每个水平组合只有一个观测值（无重复），全试验共有全试验共有ab个观测值，其数据模式如下表个观测值，其数据模式如下表所示。所示。表表 两因素无重复观测值的试验数据模式两因素无重复观测值的试验数据模式 aibjijaiijj
3、aiijjbjijibjijixxxaxxxxbxxx11.1.1.1.1.,1,1,abxxaibjij/.11 两因素无重复观测值试验资料的数学模型为：两因素无重复观测值试验资料的数学模型为：式中，式中，为总平均数；为总平均数；),2,1;,2,1(bjaixijjiij A因素的每个水平有因素的每个水平有b次重复，次重复，B因素的每个水平因素的每个水平有有a次重复，每个观测值同时受到次重复，每个观测值同时受到A、B 两因素及两因素及随机误差的作用。因此全部随机误差的作用。因此全部 ab 个观测值的总变异个观测值的总变异可以分解为可以分解为 A 因素水平间变异、因素水平间变异、B因素水平间
4、变异因素水平间变异及试验误差三部分；自由度也相应分解。及试验误差三部分；自由度也相应分解。eBATeBATdfdfdfdfSSSSSSSS 矫正数矫正数 总平方和总平方和 A因素离差平方和因素离差平方和 B因素离差平方和因素离差平方和abxC/2.CxxxSSaibjijaibjijT11221.1)(CxbxxbSSaiiaiiA12.2.1.1)(CxaxxaSSbjjbjjB12.2.1.1)(eeeBBBAAAdfSSMSdfSSMSdfSSMS/,/,/化验化验员员B B1 1B B2 2B B3 3B B4 4B B5 5B B6 6B B7 7B B8 8B B9 9B B101
5、0 x xi i.x xi i.A A1 111.7111.7110.8110.8112.3912.3912.5612.5610.6410.6413.2613.2613.3413.3412.6712.6711.2711.2712.6812.68121.33121.3312.13 12.13 A A2 211.7811.7810.710.712.512.512.3512.3510.3210.3212.9312.9313.8113.8112.4812.4811.611.612.6512.65121.12121.1212.11 12.11 A A3 311.6111.6110.7510.7512.4
6、12.412.4112.4110.7210.7213.113.113.5813.5812.8812.8811.4611.4612.9412.94121.85121.8512.19 12.19 x.x.j j35.1035.1032.2632.2637.2937.2937.3237.3231.6831.6839.2939.2940.7340.7338.0338.0334.3334.3338.2738.27364.3364.3x.x.j j11.7011.7010.7510.7512.4312.4312.4412.4410.5610.5613.1013.1013.5813.5812.6812.68
7、11.4411.4412.7612.76A因素（化验员）有因素（化验员）有3个水平，即个水平，即a=3；B因素因素（天数）（天数）有有10个水平个水平，即，即 b=10，共有共有ab=310=30个观测值。个观测值。8163.4423)103/(30.364/.22abxC7591.26C)27.3826.3210.35(3110283.0C)85.12112.12133.121(10112509.278163.4423)94.1278.1171.11(2222.2222.2222CxaSSCxbSSCxSSjBiAijT18922991101213129110314635.07591.260
8、283.02509.27BATeBATBATedfdfdfdfbdfadfabdfSSSSSSSS 2 列出方差分析表，进行列出方差分析表，进行F检验检验 变异来源变异来源SSSSdfdfMSMSF F值值显著性显著性化验员间化验员间0.02830.02832 20.01420.01420.5500.550日期间日期间26.759126.75919 92.97322.9732115.240115.240*误差误差0.46350.463518180.02580.0258合计合计27.250927.250929293 多重比较多重比较 在两因素无重复观测值试验中，在两因素无重复观测值试验中，A因素
9、每一因素每一水平的重复数恰为水平的重复数恰为B因素的水平数因素的水平数b，故，故A因素因素的标准误为的标准误为 ；同理，；同理，B 因因 素素 的的 标准误标准误bMSSexi/.aMSSexj/.093.03/0258.0/.aMSSexj dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.011822.974.070.28 0.38 33.614.70.34 0.44 44.00 5.090.37 0.47 54.285.380.40 0.50 64.495.60.42 0.52 74.675.790.43 0.54 84.825.940.45 0.55 94.966.080.46
10、 0.57 105.076.20.47 0.58 测定测定日期日期x x.j.jx x.j-.j-1 10.560.56x.x.j j-10.710.75 511.44 11.44 11.70 11.70 12.43 12.43 12.44 12.44 12.68 12.68 12.76 12.76 13.10 13.10 B7B713.58 13.58 3.023.02*2.83 2.83 2.14 2.14 1.88 1.88 1.15 1.15 1.14 1.14 0.90 0.90 0.82 0.82 0.48 0.48 B6B613.10 13.10 2.54 2.54 2.35 2
11、.35 1.66 1.66 1.40 1.40 0.67 0.67 0.66 0.66 0.42 0.42 0.34 0.34 B10B1012.76 12.76 2.20 2.20 2.01 2.01 1.32 1.32 1.06 1.06 0.33 0.33 0.32 0.32 0.08 0.08 B8B812.68 12.68 2.12 2.12 1.93 1.93 1.24 1.24 0.98 0.98 0.25 0.25 0.24 0.24 B4B412.44 12.44 1.88 1.88 1.69 1.69 1.00 1.00 0.74 0.74 0.01 0.01 B3B312
12、.43 12.43 1.87 1.87 1.68 1.68 0.99 0.99 0.73 0.73 B1B111.70 11.70 1.14 1.14 0.95 0.95 0.26 0.26 B9B911.44 11.44 0.88 0.88 0.69 0.69 B2B210.75 10.75 0.19 0.19 B5B510.56 10.56 处理处理 均值均值 5%5%显著水平显著水平 1%1%极显著水平极显著水平 B7 B7 13.58 13.58 a a A A B6 B6 13.10 13.10 b b AB AB B10 B10 12.76 12.76 bcbc BC BC B8
13、B8 12.68 12.68 bcbc BC BC B4 B4 12.44 12.44 c c C C B3 B3 12.43 12.43 c c C C B1 B1 11.70 11.70 d d D D B9 B9 11.44 11.44 d d D D B2 B2 10.75 10.75 e e E E B5 B5 10.56 10.56 e e E E 在进行两个因素或多个因素的试验时，除在进行两个因素或多个因素的试验时，除了要研究每一个因素对试验指标的影响外，往了要研究每一个因素对试验指标的影响外，往往更希望知道因素之间的交互作用对试验指标往更希望知道因素之间的交互作用对试验指标的影
14、响情况。的影响情况。通过研究环境温度、湿度、光照、气体成分通过研究环境温度、湿度、光照、气体成分等环境条件对导致食品腐烂变质的酶和微生物等环境条件对导致食品腐烂变质的酶和微生物的活动的影响有无交互作用，对有效控制酶和的活动的影响有无交互作用，对有效控制酶和微生物活动，保持食品质量有着重要意义。微生物活动，保持食品质量有着重要意义。两个因素无重复观测值试验只适用于两个因素间无交互作用两个因素无重复观测值试验只适用于两个因素间无交互作用的情况；的情况；若两因素间有交互作用，若两因素间有交互作用，则每个水平组合中只设则每个水平组合中只设 一个试验一个试验单位单位(观察单位观察单位)的试验设计是不正确
15、的或不完善的。这是因为：的试验设计是不正确的或不完善的。这是因为：P1=0P2=4P2-P1N1=040045050N1=6430560130N2-N130110 对两因素和多因素等重复试验结果进行对两因素和多因素等重复试验结果进行分析，分析，可以研究因素的可以研究因素的简单效应、主效应简单效应、主效应和因素间的交互作用（互作效应）。和因素间的交互作用（互作效应）。三种效应 1 1简单效应（简单效应（simple effectsimple effect）是指在某一因素同一是指在某一因素同一个水平上，比较另一因素不同水平对试验指标的影响。个水平上，比较另一因素不同水平对试验指标的影响。三种效应
16、2 2主效应（主效应（main effectmain effect）是指某一因素各水平间的是指某一因素各水平间的平均平均差别差别。它与简单效应的区别是，主效应指的是某一因素各水平。它与简单效应的区别是，主效应指的是某一因素各水平间的平均差别是综合了另一因素各水平与该因素每一水平所有间的平均差别是综合了另一因素各水平与该因素每一水平所有组合的情况。组合的情况。三种效应 3.3.互作效应（互作效应（interaction effectinteraction effect）如果某一因素的如果某一因素的各简单效应随另一因素的水平变化而变化，而且变化的幅度各简单效应随另一因素的水平变化而变化，而且变化的
17、幅度超出随机波动的程度，则称两个因素间存在互作效应。超出随机波动的程度，则称两个因素间存在互作效应。设设A、B两因素，两因素，A因素有因素有a个水平，个水平，B因素因素有有b个水平，共有个水平，共有ab个水平组合，每个水平组个水平组合，每个水平组合有合有n次重复试验，则全试验共有次重复试验，则全试验共有abn个观测值个观测值。试验结果的数据模式如表试验结果的数据模式如表5所示。所示。两因素等重复试验的方差分析两因素等重复试验的方差分析表5 两因素等重复观测值试验数据模式 A A因素因素B B因素因素Ai i合计合计xi i.B B1 1B B2 2B Bb bA A1 1x x1jl1jlx
18、x111111x x121121x x1b11b1x x112112x x122122x x1b21b2x x1 1.x x113113x x123123x x1b31b3x x11n11nx x12n12nx x1bn1bnx x1j1j.x x1111.x x1212.x x1b1b.x x1j1j.x x1111.x x1212.x x1b1b.A2表表5中中 aibjnlijlainlijljbjnlijlinlijlijxxxxxxxx11111111.aibjnlijlainlijljbjnlijlinlijlijabnxxanxxbnxxnxx11111111././././),
19、2,1;,2,1;,2,1()(nlbjaixijlijjiijljiijjiijij.)()()()(ijji,0)()()(,0,0111111nibjaibjijijijaibjji 3.1.2.1 离差平方和与自由度分解离差平方和与自由度分解ijleBABATeBABATdfdfdfdfdfSSSSSSSSSS 若用若用SSAB，dfAB表示表示A、B水平组合间的平水平组合间的平方和与自由度，即方和与自由度，即处理间平方和与自由度处理间平方和与自由度，则，则处理引起的变异可进一步剖分为处理引起的变异可进一步剖分为A因素、因素、B因素因素及及A、B交互作用交互作用三部分，于是三部分，于是
20、SSAB、dfAB可分可分解为：解为：BABAABBABAABdfdfdfdfSSSSSSSSabnxC/2.12abndfCxSSTijlT，112.abdfCxnSSABijAB，112.adfCxbnSSAiA，112.bdfCxanSSBjB，)1)(1(,badfSSSSSSSSBABAABBA)1(,nabdfSSSSSSeABTeeeeBABABABBBAAAdfSSMSdfSSMSdfSSMSdfSSMS/,/,/,/FA显著，应对显著，应对A因素各水平的平均数作多重比较，其平均数标准因素各水平的平均数作多重比较，其平均数标准误为：误为：bnMSSex/FB显著，应对显著，应对
21、B因素各水平的平均数作多重比较，其平均数标准因素各水平的平均数作多重比较，其平均数标准误为：误为：anMSSex/FAB显著，应对各组合的平均数作多重比较，其平均数标准误为：显著，应对各组合的平均数作多重比较，其平均数标准误为：nMSSex/bnMSSex/2anMSSex/2nMSSex/2温度（温度（A A）pHpH值（值（B B）B1B1B2B2B3B3A1A18 87 76 68 87 75 58 86 66 6A2A29 97 78 89 99 97 78 86 66 6A3A37 78 810107 77 79 96 68 89 9 A因素因素（温度）（温度）有有3个水平，即个水平
22、，即a=3；B因素（因素（pHpH值）值）有有3 3个水平，即个水平，即b=3；共有；共有ab=33=9个水平组合；每个水平组合；每个水平组合重复数个水平组合重复数n=3；全试验共有；全试验共有=333=27个个观测值。观测值。（33.1496)333/(201/22.abnxC67.40C)9988(22222CxSSijlT00.30C)282024(3112222.CxnSSijAB56.1C)666570(331123.6C)716961(33112222.2222.CxanSSCxbnSSjBiA21.2256.123.600.30BAABBASSSSSSSS67.1000.3067
23、.40ABTeSSSSSS18)13(33)1(4)13)(13()1)(1(21312131nabdfbadfbdfadfeBABA813312613331abdfabndfABT变异来源变异来源 平方和平方和 自由度自由度 均均 方方 F F 值值 显著性显著性 A A因素间因素间 6.23 6.23 2 23.12 3.12 5.295.29*B B因素间因素间 1.56 1.56 2 20.78 0.78 1.321.32AxBAxB 22.21 22.21 4 45.55 5.55 9.419.41*误误 差差 10.67 10.67 18180.59 0.59 总变异总变异 40.
24、67 40.67 2626 温度温度 因为因为A因素各水平的重复数为因素各水平的重复数为bn，故，故A因素各水平因素各水平的标准误为：的标准误为：对本例而言，对本例而言，bnMSSexi/.256.0)33/(59.0.ixS dfedfe秩次距秩次距SSRSSR0.050.05SSRSSR0.010.01LSRLSR0.050.05LSRLSR0.010.0118182 22.972.974.074.070.76 0.76 1.04 1.04 3 33.123.124.274.270.80 0.80 1.09 1.09 处理处理 均值均值 5%5%显著水平显著水平 1%1%极显著水平极显著水
25、平 A A3 7.9 7.9 a a A A A A2 7.7 7.7 a a AB AB A A1 6.8 6.8 b b B B 因素因素A主效应分析，结果表明温度主效应分析，结果表明温度A3与与A1之间差异极显著，之间差异极显著，A2与与A1差异显著，差异显著，A2与与A3差异不显著。差异不显著。因因B因素各水平的重复数为因素各水平的重复数为an，故，故B因素各水平的标因素各水平的标准误为：准误为：anMSSexj/.以上所进行的多重比较，实际上是以上所进行的多重比较，实际上是A、B两因素两因素主效应的检验。主效应的检验。若若A、B因素交互作用不显著，则可因素交互作用不显著，则可从主效应
26、检验中分别选出从主效应检验中分别选出A、B因素的最优水平，得因素的最优水平，得到最优水平组合到最优水平组合；若若A、B因素交互作用显著，则应因素交互作用显著，则应进行水平组合平均数间的多重比较，以进行水平组合平均数间的多重比较，以 选出最优水选出最优水平组合，同时可进行简单效应的检验。平组合，同时可进行简单效应的检验。因为水平组合数通常较大因为水平组合数通常较大(本例本例ab=33=9)，采用，采用最小显著极差法进行各水平组合平均数的比较，计算较最小显著极差法进行各水平组合平均数的比较，计算较麻烦。为了简便起见，常采用麻烦。为了简便起见，常采用LSD法。法。因为水平组合的重复数为因为水平组合的
27、重复数为n，故水平组合的标准误，故水平组合的标准误为：为：本例本例 nMSSexxji/2.627.0359.02/2.nMSSexxji101.218,05.0t878.218,01.0t317.1627.0101.216,05.005.0 xStLSD806.1627.0878.216,01.001.0 xStLSD水平组合水平组合 均值均值 5%5%显著水平显著水平 1%1%极显著水平极显著水平 A3B39.39.3a a A A A2B18.78.7abab AB AB A1B18.08.0abcabc AB AB A3B27.77.7 bcbc ABC ABC A2B27.37.3
28、bcbc BC BC A2B37.07.0 cdcd BC BC A1B26.76.7 cdcd BC BC A3B16.76.7 cdcd BC BC A1B35.75.7 d d C C 分析结果表明，分析结果表明，A3B3，A2B1，A1B1为优组合，按此组为优组合，按此组合选用温度和合选用温度和pH值可望得到较好的酶活性。值可望得到较好的酶活性。以上的比较结果可以看出，以上的比较结果可以看出，当当A、B因因素的交互作用显著时，一般不必进行两个素的交互作用显著时，一般不必进行两个因素主效应的显著性检验（因为这时主效因素主效应的显著性检验（因为这时主效应的显著性在实用意义上并不重要），而应
29、的显著性在实用意义上并不重要），而直接进行各水平组合平均数的多重比较，直接进行各水平组合平均数的多重比较，选出最优水平组合。选出最优水平组合。简单效应的检验简单效应的检验简单效应实际上是特定水平组合平均数间的差数。检验尺度仍为互作效应检验中的LSD有人设计3个罗非鱼品种A1、A2、A3和A4不同蛋白质水平饵料B1、B2、B3，每个处理配置两个鱼池进行试验。试验期内每池的产鱼量（kg）如下表。试作方差分析。试验期内的产鱼量（kg）品种蛋白质水平B1B2B3B4A1134.0130.1129.8129.0132.7132.8126.7128.9A2132.0130.2128.7127.6133.2
30、129.8128.1127.8A3128.4127.3129.7128.8129.3128.9127.3129.1v解:1、提出假设,v2、平方和、自由度的分解0;0.:210iAHH：至少一个对eBABATSSSSSSSSSSeBABATdfdfdfdfdf243nba，0;0.:210iAHH：至少一个对0;0.:210iAHH：至少一个对 (2)、方差分析表方差分析表变异来源因素A因素B误差总变异dfSS2SF23122352.1408.4091.1468.9126.736.1324.185.577.10BA616.2269.397.2*v因为互作不显著，则将互作合并到误差项中eBAeS
31、SSSSS合并07.3791.146.22eBAedfdfdf合并18126合并合并合并eeedfSSMS059.21807.37合并eAAMSMSF 526.3059.226.7合并eBBMSMSF 489.6059.236.13 (2)、方差分析表方差分析表变异来源因素A因素B误差总变异dfSS2SF23182352.1408.4007.3768.9126.736.13059.2526.3489.616.3)18,3(05.0F55.3)18,2(05.0F*09.5)18,3(01.0F （3）对）对B因素进行比较多重比较（因素进行比较多重比较（SSR法）法）edfk05.0SSR01.
32、0SSR05.0LSR01.0LSR1823497.212.321.307.427.438.474.183.188.138.250.257.2LSR6059.2),18(kSSRSSR*5858.0 多重比较表（字母标记法）蛋白质水平1B4B3Bix平均数05.001.060.13185.12953.12838.128abAAk05.0LSR01.0LSR23474.183.188.138.257.250.22Bb论结计统出写BBbB3.2 系统分组资料的方差分析系统分组资料的方差分析系统分组（系统分组（hierarchical classification）设计）设计，又又称为巢式设计、树状
33、设计、多因子嵌套设计称为巢式设计、树状设计、多因子嵌套设计假设有假设有 A、B 两个因子，这两个因子的搭配组成不两个因子，这两个因子的搭配组成不再是上一节的交叉构成，而是再是上一节的交叉构成，而是 B 因子嵌套在因子嵌套在 A 因因子内，即子内，即 B 因子为次级因子：因子为次级因子：A 因子的某一个水平包含了因子的某一个水平包含了 B 因子部分水平因子部分水平A 因子的另一个水平包含了因子的另一个水平包含了 B 因子的另一部分水平因子的另一部分水平即：即：B 因子的水平仅从属于因子的水平仅从属于 A 因子的一个水平因子的一个水平而而 A 因子的水平并不包含因子的水平并不包含 B 因子的所有水
34、平因子的所有水平如果有第三个因子如果有第三个因子 C，则，则 C 因子嵌套在因子嵌套在 B 因子内因子内如果有第四个因子如果有第四个因子 D，则，则 D 因子嵌套在因子嵌套在 C 因子内因子内以此类推以此类推其数据结构呈现树状结构其数据结构呈现树状结构如行政区划，就是典型的系统结构：如行政区划，就是典型的系统结构：国家包含若干个省（国家包含若干个省（A）、一个省（）、一个省（A）包含若干个市（）包含若干个市（B）、）、一个市一个市（B）包含若干个县（包含若干个县（C）、一个县（）、一个县（C）包含若干）包含若干个镇（个镇（D）、一个镇（）、一个镇（D）包含若干个村（）包含若干个村（E）再如：植
35、物生理学实验中：不同植株（再如：植物生理学实验中：不同植株（A）、同一植株不同）、同一植株不同枝条（枝条（B）、同一枝条不同部位（）、同一枝条不同部位（C）在这种数据结构中，在这种数据结构中，各 因子的重要性是不完全相等因子的重要性是不完全相等的，下一级因子的重要性往往低于上一级因子的，下一级因子的重要性往往低于上一级因子 A1 Ai AaB11 B12 B1b Bi1 Bi2 Bib Ba1 Ba2 Bab C111 C112 C11c Ca11 Ca12 Ca1c A 因子称为一级因子，因子称为一级因子，B 因子称为二级因子，因子称为二级因子，因子之间是一种从属关系，而非上一节因子之间是一
36、种从属关系，而非上一节 A、B 因子因子的交叉构成中所讨论的那种平行关系的交叉构成中所讨论的那种平行关系 下面我们写出两因子系统分组资料的数据结构：下面我们写出两因子系统分组资料的数据结构：A因子因子 B因子因子 观测值观测值 B因子和因子和 A因子和因子和 T A1 B11 x111 x112 x11.B12 x121 x122 x12.x1.A2 B21 x211 x212 x21.B22 x221 x222 x22.x2.Ai Bi1 xi11 xi12 xi1.Bi2 xi21 xi22 xi2.xi.Ap Bp1 xp11 xp12 xp1.Bp2 xp21 xp22 xp2.xp.
37、x根据这一数据结构我们可以写出其数学模型：根据这一数据结构我们可以写出其数学模型：式中，式中，为总体平均为总体平均i为为 A 因子第因子第 i 个水平的效应个水平的效应ijij为为 A 因子第因子第 i 个水平下的个水平下的 B 因子第因子第 j 个水平个水平的效应的效应ijkijk为随机误差，且为随机误差，且p为为 A 因子的水平数；因子的水平数；qi为第为第 i 个个 A 因子水平下因子水平下 B 因子的水平数；因子的水平数；nij为第为第 i 个个 A 水平中第水平中第 j 个个 B 水平中的观测值水平中的观测值1,2,.,;1,2,.;1,2,.,ijkiijijkiijxip jq
38、kn20,ijkN平方和及自由度的分解平方和及自由度的分解aibjrkijkTxxSS1112).(aiiaibjrkiAxxbrxxSS121112).().(总离均差总离均差 因素因素A离均差平方和离均差平方和aibjiijaibjrkiiJABxxrxxSS1121112)()()(因素因素B离均差平方和离均差平方和aibjrkijijkexxSS1112)(试验误差试验误差eABATSSSSSSSS)(平方和分解平方和分解上式中，右手第二项称为上式中，右手第二项称为 A因子内因子内 B因子水平间因子水平间 SS自由度分解自由度分解1 abrdfT1 adfAaabdfAB)()1(ra
39、bdfe满足不等式满足不等式;eABATdfdfdfdf)(双因素系统实验方差分析程序双因素系统实验方差分析程序 1.提出原假设和备择假设提出原假设和备择假设 2.计算统计量计算统计量H01:H11:一级因素一级因素A无显著差异无显著差异一级因素一级因素A有显著差异有显著差异H02:H12:二级因素二级因素B无显著差异无显著差异二级因素二级因素B有显著差异有显著差异)()()(ABABABdfSSMSeeedfSSMS AAAdfSSMS 首先首先:确定二级因素的显著性确定二级因素的显著性eABABMSMSF)()(),()()(eABABdfdfFF对于给定的显著水平对于给定的显著水平a,查
40、查F分布分位数表分布分位数表,若若判定二级因素影响显著判定二级因素影响显著,否则判定其不显著否则判定其不显著 3.构造统计量构造统计量F,并进行并进行F检验检验其中其中:)(ABeESSSSSS)(ABeEdfdfdfEEEdfMSMS)(ABAAMSMSF 若若B显著显著若若B不显著不显著EAAMSMSF 对于给定的显著水平对于给定的显著水平a,查查F分布分位数表分布分位数表,若若),()(ABAdfdfFF),(EAAdfdfFF或或判定判定A显著显著,否则不显著否则不显著其次其次:确定一级因素的显著性确定一级因素的显著性 4.列方差分析表列方差分析表方差来源方差来源平方和平方和S自由度自
41、由度均方均方MS F值值 Fa显著性显著性一级因素一级因素A二级因素二级因素B 误差误差eSSASSB(A)SSea-1ab-aAb(r-1)显著显著总和总和SST abr-1)(eABdfdfF，（)(ABAdfdfF，（)(ABAAMSMSF eABABMSMSF)()(4.列方差分析表列方差分析表方差来源方差来源平方和平方和S自由度自由度均方均方MS F值值 Fa显著性显著性一级因素一级因素A二级因素二级因素B 误差误差eSSASSB(A)SSea-1ab-aAb(r-1)不显著不显著总和总和SST abr-1)(eABdfdfF，（)EAdfdfF，（EAAMSMSF eABABMSM
42、SF)()(例例1：随机选取：随机选取4株植物，在每一植株内随机选取两株植物，在每一植株内随机选取两片叶子，用取样器从每一片叶子上选取同样面积片叶子，用取样器从每一片叶子上选取同样面积的三个样品，称取湿重的三个样品，称取湿重xijk（g），得数据如下表），得数据如下表（数据已经过了简化）（数据已经过了简化）S D xijk r br xij.平均 xi.平均1 1 2.2 2.3 2.0 3 6.5 2.17 2 2.0 2.1 2.3 3 6 6.4 2.13 12.9 2.152 3 1.6 1.5 1.7 3 4.8 1.60 4 1.8 2.0 1.7 3 6 5.5 1.83 10.
43、3 1.723 5 2.6 2.5 2.2 3 7.3 2.43 6 2.4 2.4 2.2 3 6 7.0 2.33 14.3 2.38 4 7 1.8 1.5 1.7 3 5.0 1.67 8 1.5 1.6 1.4 3 6 4.5 1.50 9.5 1.58 24 24 47.0 47 上表中上表中，a=4，b=2，r=3 N=24校正值校正值 C=92.0417SST=(2.22+2.32+.1.42)-C=95.02-C=2.9783SSS=(12.92+9.52)/6 -C=94.54-C=2.4983 （一级样本间）（一级样本间）SSD(S)=(6.52+4.52)/3 -(12
44、.92+9.52)/6=94.68-94.54=0.14 （二级样本间）（二级样本间）SSe=SST SSS-SSD(S)=2.9783-2.4983-0.14=0.34自由度：自由度：dfT=423 1=23dfS=4 1 =3dfD(S)=4(2-1)=4dfe=42(3-1)=16 将平方和及自由度填入方差分析表中，并计算各均将平方和及自由度填入方差分析表中，并计算各均方和方和 F 值：值：方差分析表：方差分析表：变异来源变异来源 SS df MS F F0.05 F0.01植株间植株间S 2.4983 3 0.8328 23.79*6.59 16.69叶片间叶片间D 0.14 4 0.
45、035 1.64 3.01误误 差差e 0.34 16 0.02125 T 2.9783 23 上述计算中，上述计算中，0.832823.790.0350.0351.640.02125SSDDDeMSFMSMSFMS即：两个不同级别的即：两个不同级别的 F 值均由下一级的值均由下一级的 MS 作为比作为比较标准，而不再是统一由误差项均方作为比较标较标准，而不再是统一由误差项均方作为比较标准准而查而查 F所用的自由度也应作相应的变动，即：所用的自由度也应作相应的变动，即：FS的自由度分别为的自由度分别为 df1=3，df2=4FD的自由度分别为的自由度分别为 df1=4，df2=16由于不同植株
46、间的湿重差异极显著，而叶片间差异由于不同植株间的湿重差异极显著，而叶片间差异不显著，因此，应对植株间（一级样本）作多重不显著，因此，应对植株间（一级样本）作多重比较：比较：0.0350.07642 3DMSSEqn R 2 3 4 植株植株 0.05 0.01 q0.05 3.93 5.00 5.76 3 2.38 a A q0.01 6.51 8.12 9.17 1 2.15 a ABLSR0.05 0.30 0.38 0.44 2 1.72 b BLSR0.01 0.50 0.62 0.70 4 1.58 b B如果叶片间差异亦显著，由于不是我们研究的重点，如果叶片间差异亦显著，由于不是我
47、们研究的重点，故可不进行多重比比较。故可不进行多重比比较。ix3.3 方差分析处理效应分类方差分析处理效应分类固定因子：固定因子：如果一个因子的各个水平是我们有目的地挑选出来的，而如果一个因子的各个水平是我们有目的地挑选出来的，而我们的研究目的是要比较这些因子之间有无差异或估计这我们的研究目的是要比较这些因子之间有无差异或估计这些水平的效应，则称之为固定因子，该因子各个水平的效些水平的效应，则称之为固定因子，该因子各个水平的效应称为应称为固定效应固定效应。随机因子：随机因子：如果一个因子的各个水平是从该因子的所有可能水平中随如果一个因子的各个水平是从该因子的所有可能水平中随机抽取的，我们的研究
48、目的不仅仅是要比较这些水平之间机抽取的，我们的研究目的不仅仅是要比较这些水平之间有无差异，而是了解该因子不同水平的总体变异情况，即有无差异，而是了解该因子不同水平的总体变异情况，即对该总体的方差进行检验或估计，则称之为随机因子，该对该总体的方差进行检验或估计，则称之为随机因子，该因子各个水平的效应称为因子各个水平的效应称为随机效应随机效应。v若按处理效应的类别来划分方差分析的模型，在单因素试验中，有2种，即固定模型和随机模型；在多因素试验中，有3种，即固定模型、随机模型和混合模型。v就试验资料的具体统计分析过程而言，这3种模型的差别并不大，但从解释和理论基础而言，它们之间是有很重要的区别的。不
49、论设计试验、解释实验结果，还是最后进行统计推断，都必须了解这3种模型的意思和区别。方差分析的基本思想方差分析的基本思想SPSS例题：两因素无重复观测值为了考察pH值和硫酸酮溶液浓度对化验血清中的白蛋白与球蛋白的影响,对pH值取4个水平(A),对硫酸酮溶液浓度取3个水平(B),在不同组合下测定白蛋白与球蛋白之比,具体见下表.试检验两个因素对化验结果有无显著影响?B1B2B3A13.52.32.0A22.62.01.9A32.01.51.2A41.40.80.3温度（温度（A A）pHpH值（值（B B）B1B1B2B2B3B3A1A18 87 76 68 87 75 58 86 66 6A2A2
50、9 97 78 89 99 97 78 86 66 6A3A37 78 810107 77 79 96 68 89 9：对：对5个杂交水稻品种的干物质累计个杂交水稻品种的干物质累计过程进行系统测定，每次测定随机取过程进行系统测定，每次测定随机取2个样点，个样点，每个样点取每个样点取5株。测定结果如下，试作方差分株。测定结果如下，试作方差分析。析。品种品种A样点样点B干物质重量干物质重量xijlA117.88.99.211.410.5212.110.68.79.910.1A237.48.88.97.89.846.26.65.37.58.1A3512.610.211.411.812.1615.21
