1、回顾旧知回顾旧知数学归纳法的步骤：数学归纳法的步骤：(1)(1)证明当证明当n=nn=n0 0时命题成立；时命题成立；(2)(2)假设当假设当n=kn=k时命题成立，证明时命题成立，证明n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立.会运用数学归纳法证明含有任意会运用数学归纳法证明含有任意正整数正整数n n的不等式的不等式(包括贝努力不等式包括贝努力不等式).).通过例题的学习，能够证通过例题的学习，能够证明含有任意正整数明含有任意正整数n n的不等式的不等式(包括贝努力不等式包括贝努力不等式).).培养学生严密的逻辑思维培养学生严密的逻辑思维能力和严谨的态度能力和严谨的态度.会运用数学归纳法证
2、明含有任意会运用数学归纳法证明含有任意正整数正整数n n的不等式的不等式(包括贝努利不等式包括贝努利不等式).).灵活运用数学归纳法灵活运用数学归纳法例例1 观察下面两个数列，从第几项起观察下面两个数列，从第几项起a an n 始终小于始终小于b bn n？证明你的结论？证明你的结论.aan n=n=n2 2:1,4,9,16,25,36,:1,4,9,16,25,36,;bbn n=2n:2,4,8,16,32,64,=2n:2,4,8,16,32,64,分析分析由数列的前几项猜想，从第由数列的前几项猜想，从第5 5项起，项起，a an nbbn n即即n n2 22n(n N+,n5)2n
3、(n N+,n5)，用数学归，用数学归纳法证明上述猜想时，第纳法证明上述猜想时，第(1)(1)步应该证步应该证明明n=5n=5的情形的情形.证证 明明(1)(1)当当n=5n=5时，时，5 52 2225 5，命题成立，命题成立.(2)(2)假设假设n=k(k5)n=k(k5)时，命题成立，时，命题成立，即即k k2 22k.2k.当当n=k+1n=k+1时，因为时，因为(k+1)(k+1)2 2=k=k2 2+2k+1k+2k+1k2 2+3k2k+3k2k2 222k+1k+1由由(1)(2)(1)(2)知，知，n n2 22n(n N2n(n N+,n5),n5)所以所以(k+1)(k+
4、1)2 22k+1,-1,x 0,nx-1,x 0,n为大为大于于1 1的自然数，那么有的自然数，那么有(1+x)(1+x)n n1+nx1+nx分析分析 贝努利不等式中涉及两个字贝努利不等式中涉及两个字母，母，x x表示大于表示大于-1-1且不等于且不等于0 0的任的任意实数意实数,n,n是大于是大于1 1的自然数，我们的自然数，我们用数学归纳法只能对用数学归纳法只能对n n进行归纳进行归纳.证证 明明(1)(1)当当n=2n=2时，由时，由x 0 x 0得得(1+x)(1+x)2 21+2x,1+2x,不等式成立不等式成立.(2)(2)假设当假设当n=k(k2)n=k(k2)时不等式成立，
5、时不等式成立，即有即有(1+x)(1+x)k k1+kx.1+kx.当当n=k+1n=k+1时，时，（1+x)1+x)k+1k+1=(1+x)(1+x)=(1+x)(1+x)k k(1+x)(1+kx(1+x)(1+kx）1+(k+1)x1+(k+1)x所以当所以当n=k+1n=k+1时不等式成立时不等式成立.由由(1)(2)(1)(2)可知，贝努利不等式成立可知，贝努利不等式成立.在数学研究中，经常用贝努利不等式在数学研究中，经常用贝努利不等式把二项式的乘方把二项式的乘方(1+x)(1+x)n n缩小为简单的缩小为简单的1+nx1+nx的形式的形式.这在数值估计和放缩法证明不等这在数值估计和
6、放缩法证明不等式中可以发挥作用式中可以发挥作用.事实上，贝努利不等式的一般形式是：事实上，贝努利不等式的一般形式是：当当a a是实数，并且满足是实数，并且满足a1a1或者或者a0a-1);1+ax(x-1);当当a a是实数，并且满足是实数，并且满足a1a1或者或者0a10a-1).1+ax(x-1).例例4证明：证明：如果如果n(nn(n为正整数为正整数)个正数个正数a a1 1,a,a2 2,a,an n的乘积的乘积a a1 1,a,a2 2,a,an n，那么它们的和那么它们的和a a1 1+a+a2 2+a+an n=1.=1.分析分析 这是与正整数密切相关的不等式，这是与正整数密切相
7、关的不等式，它的形式简洁和谐它的形式简洁和谐.用数学归纳法证用数学归纳法证明它时，应注意利用明它时，应注意利用n n个正数的乘积个正数的乘积为为1 1的条件，并对什么时归纳假设和的条件，并对什么时归纳假设和由它要递推的目标心中有数由它要递推的目标心中有数.证证 明明(1)(1)当当n=1n=1时，有时，有a a1 1=1=1，命题成立，命题成立.(2)(2)假设当假设当n=kn=k时，命题成立，时，命题成立，即若即若k k个正数的乘积个正数的乘积a a1 1a a2 2a ak k=1=1，则则a a1 1+a+a2 2+akk.+akk.当当n=k+1n=k+1时，已知时，已知k+1k+1个
8、正数个正数a a1 1,a,a2 2,a,ak k满足条件满足条件a a1 1a a2 2a ak+1k+1=1.=1.若这若这k+1k+1个正数个正数a a1 1,a,a2 2,a,ak+1k+1都相等，则都相等，则它们都是它们都是1.1.其和为其和为k+1k+1，命题成立，命题成立.若这若这k+1k+1个正数个正数a a1 1,a,a2 2,a,ak+1k+1不全相等，不全相等，则其中必有大于则其中必有大于1 1的数，也有小于的数，也有小于1 1的数的数.不妨设不妨设a a1 11,a1,a2 211,a1,a2 211得得(a(a1 1-1)(a-1)(a2 2-1)0,-1)1.1.于
9、是目标得证，即：当于是目标得证，即：当n=k+1n=k+1时命题成立时命题成立.由由(1)(2)(1)(2)可知，原命题成立可知，原命题成立.本节用数学归纳法证明不等式本节用数学归纳法证明不等式通过通过4 4个例题由浅入深的讨论如何个例题由浅入深的讨论如何通过通过“奠基奠基”“”“假设和递推假设和递推”证明证明含有任意正整数含有任意正整数n n的不等式的不等式.1.对任意的对任意的n Nn N+,试比较试比较n!n!与与2 2n-1n-1的大小，的大小，证明你的结论证明你的结论.解解;对任意的对任意的n N+,n N+,有有n!2n!2n-1n-1可用数学归可用数学归纳法证明此结论纳法证明此结
10、论.(1)(1)当当n=1n=1时，命题成立时，命题成立.(2)(2)假设当假设当n=k(k1)n=k(k1)时，命题成立时，命题成立.即即k!2k!2k-1k-1.当当n=k+1n=k+1时，时，(k+1)!=k!(k+1)2(k+1)!=k!(k+1)2k-1k-1(k+1)2k.(k+1)2k.所以，当所以，当n=k+1n=k+1时，命题成立时，命题成立.由由(1)(2)(1)(2)知，命题对一切正整数成立知，命题对一切正整数成立.2.用数学归纳法证明：对于任意大于用数学归纳法证明：对于任意大于1 1的的正整数正整数n,n,不等式不等式 都成都成立立.2221111.23nnn 2222222223212112.22111122.2311111111.23111111.11.12nknk kkknkkkkkkkkk kkknk解解：当当时时，命命题题成成立立假假设设当当时时，命命题题成成立立，即即当当时时，所所以以当当时时命命题题成成立立由由知知，命命题题对对任任意意大大于于1 1的的正正整整数数成成立立.
