1、1第六章 二次型 6.4 二次型的正定性 6.4 二次型的正定性二次型的正定性一、一、惯性定理与惯性指数惯性定理与惯性指数二、二、正定二次型正定二次型三、负三、负定定(半正定、半负半正定、半负定定)二次型二次型*2第六章 二次型 6.4 二次型的正定性 一、惯性定理与惯性指数一、惯性定理与惯性指数1.惯性定理惯性定理对于一个给定的实二次型对于一个给定的实二次型定理定理,)(XAXXfT 则其中正、负项的项数是惟一确定的，则其中正、负项的项数是惟一确定的，,221221qpppzzzz QZY 22112211qpqpppppydydydyd )0(idPYX )(Xf经过非退化经过非退化线性变
2、换化为标准形线性变换化为标准形(或规范形或规范形)，即即它们的和等于矩它们的和等于矩阵阵 A 的的秩秩。(略略)证明证明 P186 定理定理 6.8 3第六章 二次型 6.4 二次型的正定性 一、惯性定理与惯性指数一、惯性定理与惯性指数1.惯性定理惯性定理称为该称为该二次型的二次型的正惯性指数正惯性指数；2.惯性指数惯性指数定义定义实二次型实二次型 的的标准形中正平标准形中正平方项的项数方项的项数XAXXfT)(p负平方项的项数负平方项的项数 称为该称为该q二次型的二次型的负惯性指数负惯性指数；它们的差它们的差 称为该二次型的称为该二次型的qp 符号差符号差。正、负惯性指数统称为正、负惯性指数
3、统称为惯性指数惯性指数。P186 定义定义 6.7 4第六章 二次型 6.4 二次型的正定性 答答D 与与 A 相似。相似。（特征值相同且可相似对角化特征值相同且可相似对角化）矩阵矩阵 A 的特征值为：的特征值为：1,2,1 矩阵矩阵 B 的特征值为：的特征值为：2/)53(,2/)53(,3 矩阵矩阵 C 的特征值为：的特征值为：2,1,1 矩阵矩阵 D 的特征值为：的特征值为：1,2,1 B,C,D 与与 A 等价；（等价；（秩相同秩相同）C,D 与与 A 合同；合同；（惯性指数相同惯性指数相同）,100020001 A,300021011 B,100010002 C,200001010
4、D问问 B,C,D 中哪些与中哪些与 A 等价、合同、相似？等价、合同、相似？例例5第六章 二次型 6.4 二次型的正定性 1.正定二次型与正定正定二次型与正定矩阵矩阵则称则称 f(X)为为正定二次型正定二次型，注注(1)A 为正定矩阵隐含为正定矩阵隐含 A 为对称矩阵；为对称矩阵；二、二、正定二次型正定二次型设设 n 元实二次型元实二次型,)(XAXXfT 定义定义如果对空间如果对空间 中任中任意意nR,0 X的的都有都有,0)(Xf称称二次型矩阵二次型矩阵 A 为为正定矩阵正定矩阵.(2)A 为正定矩阵有时记为为正定矩阵有时记为 A 0.P186 定义定义 6.8 6第六章 二次型 6.4
5、 二次型的正定性 ;),()2(2221321xxxxxf ;2),()3(232221321xxxxxxf .2),()4(232221321xxxxxxf ;2),()1(232221321xxxxxxf (是是)(不是不是)(不是不是)(不是不是)一般说来，由于一般说来，由于且且 X 与与 Z 一一对应，一一对应，故故 f(X)的正定性取决于的正定性取决于 g(Z)正定性。正定性。判断下列二次型是否为正定二次型？判断下列二次型是否为正定二次型？例例XAXXfT)(PZX 221221qpppzzzz )(Zg记为记为7第六章 二次型 6.4 二次型的正定性 2.二次型正定二次型正定的充要
6、条件的充要条件;)0(,0)1(XXAXT(2)正惯性指数为正惯性指数为 n；(3)A 的特征值全部大于零；的特征值全部大于零；(4)A 与与 I 合同；合同；二、二、正定二次型正定二次型n 元实二次型元实二次型 正定正定(或或 n 阶阶实对称阵实对称阵 A定理定理1XAXXfT)(正定正定)的的充要条件充要条件是下列条件之一：是下列条件之一：证明题用条件证明题用条件(1),(3),(4)；判断题用条件判断题用条件(3).注注(略略)证明证明 本身的定义本身的定义 P168 定理定理6.11P168 定理定理6.12P168 定理定理6.138第六章 二次型 6.4 二次型的正定性 二、二、正
7、定二次型正定二次型n 元实二次型元实二次型 正定正定(或或 n 阶阶实对称阵实对称阵 AXAXXfT)(正定正定)的的充要条件充要条件是是 A 的的顺序主子式顺序主子式全大于零，全大于零，定理定理2(Sylvester定理定理)(略略)证明证明.,2,1,0212222111211nkaaaaaaaaaDkkkkkkk 即即西尔维斯特西尔维斯特 史泰龙史泰龙(Sylvester Stallone)P190 定理定理 6.14 2.二次型正定二次型正定的充要条件的充要条件 P189 定义定义 6.9 9第六章 二次型 6.4 二次型的正定性 方法一方法一,016310130002 故故 正定。正
8、定。),(321xxxf即即 A 的顺序主子式全大于零，的顺序主子式全大于零，322322213212332),(xxxxxxxxf 判断判断 的正定性。的正定性。例例已知已知解解,310130002 A,063002 ,02 10第六章 二次型 6.4 二次型的正定性 322322213212332),(xxxxxxxxf 已知已知判断判断 的正定性。的正定性。方法二方法二,)4()2(2 可得可得 A 的特征值为的特征值为 2、2、4，故故 正定。正定。),(321xxxf即即 A 的的特征值特征值全大于零，全大于零，例例解解,310130002 A310130002|AI由由11第六章
9、二次型 6.4 二次型的正定性 故故 A 的顺序主子式必须全大于零，即的顺序主子式必须全大于零，即由于由于 为正定阵，为正定阵，解解 ttA0201211已知已知 正定，正定，求求 t 所满足的条件。所满足的条件。例例312123222132142),(xxxxxtxtxxxxf ,01,01111 tt,0)5(0201211 tttt可得可得 t 所满足的条件为：所满足的条件为：.5 t12第六章 二次型 6.4 二次型的正定性 XMAMXTT)3(故故 均均为正定阵。为正定阵。MAMABlAkT,1 证明证明 均均为正定阵。为正定阵。已知已知 A、B 为正定阵，为正定阵，M 为可逆阵，为
10、可逆阵，,0,0 lkMAMABlAkT,1 例例首先首先 均均为对称阵。为对称阵。MAMABlAkT,1 证证对于任意的对于任意的 有有 ,0 X，0,01 XMXA且且XBlAkXT)()1(;0 XBXlXAXkTTXAAAXT11 ;0)()(11 XAAXATXAXT1)2(.0)()(XMAXMT13第六章 二次型 6.4 二次型的正定性 ,)(22ABBBBATTTT ,2BIBBBBATT 即即 A 对称且对称且 A 与与 I 合同，合同，故故 A 为正定矩阵。为正定矩阵。若存在可逆对称矩阵若存在可逆对称矩阵 B，使得，使得 ,2BA 使得使得证明证明 A 为正定矩阵的充要条件
11、是存在可逆对称矩阵为正定矩阵的充要条件是存在可逆对称矩阵 B，.2BA 例例充分性充分性证证则则14第六章 二次型 6.4 二次型的正定性 ,2BCCCCCCTTT 必要性必要性 若若 A 为正定矩阵，则为正定矩阵，则 A 的特征值全大于零且存在的特征值全大于零且存在,21CCAnT CCnnT 2121,CCBT 其中，其中，正交矩阵正交矩阵 C，使得，使得.0|B满足满足 且且BBT 15第六章 二次型 6.4 二次型的正定性 称称 f(X)为为半负定二次型半负定二次型，称称 f(X)为为半正定二次型半正定二次型，称称 f(X)为为负定二次型负定二次型，三、负三、负定定(半正定、半负半正定
12、、半负定定)二次型二次型*设设 n 元实二次型元实二次型,)(XAXXfT 定义定义如果对空间如果对空间 中任中任意意nR,0 X的的都有都有,0)(Xf(1),0)(Xf(2),0)(Xf(3)称称 A 为为负定矩阵负定矩阵；称称 A 为为半正定矩阵半正定矩阵；称称 A 为为半负定矩阵半负定矩阵.P193 定义定义 6.10 16第六章 二次型 6.4 二次型的正定性 ;),()2(2221321xxxxxf ;2),()3(232221321xxxxxxf ;),()4(2221321xxxxxf .2),()5(232221321xxxxxxf ;2),()1(232221321xxxx
13、xxf (正定正定)(半正定、半正定、非负定非负定)(负定负定)(半负定、半负定、非正定非正定)(不定不定)判断下列二次型的正定性？判断下列二次型的正定性？例例17第六章 二次型 6.4 二次型的正定性 三、负三、负定定(半正定、半负半正定、半负定定)二次型二次型*n 元元实二次型实二次型 负定负定(或或 n 阶阶实对称阵实对称阵 A XAXXfT)(定理定理(3)负惯性指数为负惯性指数为 n；(4)A 的特征值全部小于零；的特征值全部小于零；负定负定)的的充要条件充要条件是下列条件之一：是下列条件之一：;)0(,0 XXAXT(2)正定正定(或或 A 正定正定);)(Xf(1)(5)A 与与
14、 I 合同；合同；(6)A 的的顺序主子式顺序主子式 满足满足kD,)1(,0)1(nkDkk 即奇即奇(偶偶)数阶数阶顺序主子式全小顺序主子式全小(大大)于零。于零。P193 定理定理 6.15(杀青了杀青了!)!)18第六章 二次型 6.4 二次型的正定性 补：补：二次型的二次型的正定性在二元函数极值问题中的应用正定性在二元函数极值问题中的应用 ,0)0,0(xf,0)0,0(yf记记,)0,0(xxfa ,)0,0(yxfb ,)0,0(yyfc 则二元函数则二元函数 在在 点的泰勒展开式为点的泰勒展开式为),(yxf)0,0(,)()2(!21)0,0(),(2222oyxcybxya
15、xfyxf ,2)0,0(),(222cybxyaxfyxf 设设 点为某二元函数点为某二元函数 的的驻点驻点，即，即)0,0(),(yxf 在在 点的一个点的一个“微小微小”邻域内，有邻域内，有)0,0(19第六章 二次型 6.4 二次型的正定性 补：补：二次型的二次型的正定性在二元函数极值问题中的应用正定性在二元函数极值问题中的应用 在在 点的一个点的一个“微小微小”邻域内，有邻域内，有)0,0(,2)0,0(),(222cybxyaxfyxf ,),(2),(22 yxcbbayxcybxyaxyxg则在则在 点点“附近附近”，可由，可由 “代替代替”)0,0(.),(yxf),(yxg
16、记记,)0,0(),(2),(fyxfyxf 二次型二次型 正定正定，),(yxg(1)当当 时，时，0,02 baca即即,0),(yxg,)0,0(),(fyxf 故故 为为极小值极小值；)0,0(f20第六章 二次型 6.4 二次型的正定性 补：补：二次型的二次型的正定性在二元函数极值问题中的应用正定性在二元函数极值问题中的应用 在在 点的一个点的一个“微小微小”邻域内，有邻域内，有)0,0(,2)0,0(),(222cybxyaxfyxf 记记,)0,0(),(2),(fyxfyxf ,),(2),(22 yxcbbayxcybxyaxyxg则在则在 点点“附近附近”，可由，可由 “代替代替”)0,0(.),(yxf),(yxg 二次型二次型 负定负定，),(yxg(2)当当 时，时，0,02 baca即即,0),(yxg,)0,0(),(fyxf 故故 为为极大值极大值。)0,0(f21第六章 二次型 6.4 二次型的正定性 轻松一下吧
