1、2023-2-111第九章第九章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路解永平解永平2007.09.302023-2-112学习背景学习背景n直流信号直流信号：直流分析法；：直流分析法；n正弦信号正弦信号：同一频率，相量分析法；：同一频率，相量分析法；n非正弦周期信号非正弦周期信号：如何分析计算；：如何分析计算；n思路：思路：利用高等数学中的利用高等数学中的傅氏级数傅氏级数展开法，将非正展开法，将非正弦周期电压弦周期电压(电流电流)分解分解为为恒定分量恒定分量和一系列和一系列不同频不同频率正弦量率正弦量之和。之和。n其它信号其它信号：方波、三角波、锯齿波等分析方法？：方波、三角波、锯齿波等分析方
2、法？n结果结果：直流信号、正弦信号同时存在，如何分析？：直流信号、正弦信号同时存在，如何分析？2023-2-113基本学习思路基本学习思路非正弦周期信号非正弦周期信号恒定分量恒定分量基波分量基波分量谐波分量谐波分量时时域域叠叠加加电路电路响应响应电路电路响应响应电路电路响应响应电路电路响应响应2023-2-114基本要求基本要求n了解了解非正弦周期函数非正弦周期函数的的分解分解方法及方法及谐波谐波的概的概念念n掌握掌握非正弦周期电压和电流非正弦周期电压和电流的的有效值有效值、电路、电路平均功率平均功率的计算的计算n正确运用正确运用叠加原理叠加原理分析计算非正弦周期电流分析计算非正弦周期电流电路
3、的电路的稳态响应稳态响应2023-2-115提纲提纲n9.1 非正弦周期信号非正弦周期信号 n9.2 非正弦周期信号分解为非正弦周期信号分解为傅立叶级数傅立叶级数 n9.3 非正弦周期量的非正弦周期量的有效值、平均功率有效值、平均功率 n9.4 非正弦周期电流电路的非正弦周期电流电路的计算计算 n9.5 应用应用-谐波在供电系统的危害谐波在供电系统的危害 2023-2-1169.1 非正弦周期信号非正弦周期信号n(1)同频率的正弦量同频率的正弦量：在：在前面分析前面分析的交流电路中，我们总是认为电的交流电路中，我们总是认为电路中的激励及各部分稳态响应都是同频率的正弦量。路中的激励及各部分稳态响
4、应都是同频率的正弦量。n(2)非正弦周期信号非正弦周期信号：在：在实际工程实际工程实践中，常常会遇到按实践中，常常会遇到按非正弦规非正弦规律律变化的电源和信号，例如锯齿波、收音机或电视机的信号、脉变化的电源和信号，例如锯齿波、收音机或电视机的信号、脉冲信号，冲信号，n(3)信号响应信号响应：由：由非正弦周期信号非正弦周期信号在线性电路中产生的电流和电压在线性电路中产生的电流和电压也将是按非正弦规律周期变化的量，即也将是按非正弦规律周期变化的量，即非正弦周期电流和电压非正弦周期电流和电压。n(4)非正弦周期交流信号的非正弦周期交流信号的特点特点 不是正弦波；不是正弦波；按周期规律变化：按周期规律
5、变化：)()(kTtftf 2023-2-117非正弦周期信号非正弦周期信号n(5)非正弦信号的非正弦信号的产生产生？a.正弦电源经过非线性元件时，产生的电流将不再是正弦正弦电源经过非线性元件时，产生的电流将不再是正弦波；波；b.发电机由于内部结构的缘故很难保证电动势是正弦波；发电机由于内部结构的缘故很难保证电动势是正弦波；c.电路中有几个不同频率的正弦电源作用，叠加后就不再电路中有几个不同频率的正弦电源作用，叠加后就不再是正弦波了。是正弦波了。n(6)非正弦周期电流线性电路的非正弦周期电流线性电路的稳态分析稳态分析：谐波分析法谐波分析法 a.利用数学中学过的利用数学中学过的傅氏级数展开法傅氏
6、级数展开法，将非正弦周期电压，将非正弦周期电压（电流）分解为恒定分量和一系列不同频率正弦量之和；（电流）分解为恒定分量和一系列不同频率正弦量之和；b.分别计算恒定分量和各频率正弦量分别计算恒定分量和各频率正弦量单独作用下电路的响单独作用下电路的响应应；c.根据根据叠加定理叠加定理，将所得响应的时域形式相加，得到电路，将所得响应的时域形式相加，得到电路对原非正弦信号的稳态响应。对原非正弦信号的稳态响应。)()(kTtftf 2023-2-1189.2 非正弦周期信号分解为傅立叶级数非正弦周期信号分解为傅立叶级数n(1)基本概念基本概念：一个周期为：一个周期为T的的非正弦周期函数非正弦周期函数 f
7、(x)，当满，当满足足狄里赫利狄里赫利条件时，就可以分解为一个收敛的三角函数。条件时，就可以分解为一个收敛的三角函数。n(2)傅立叶级数傅立叶级数：f(x)可展开成一个收敛的可展开成一个收敛的傅立叶级数傅立叶级数，即即 T 2 2式中：nkkkkktkbtkaatkbtkatbtatbtaatf1 10 02 22 21 11 10 0)s si in nc co os s(.)s si in nc co os s(.)2 2s si in n2 2c co os s()s si in nc co os s()(2023-2-119非正弦周期信号分解为傅立叶级数非正弦周期信号分解为傅立叶级数
8、)cos(cos()2 2cos(cos()cos(cos()(2 22 21 11 10 0kkmmmtkAtAtAAtf 把上式中各个同频率的把上式中各个同频率的sin项和项和cos项合并成一项，得：项合并成一项，得：(3)定义：定义：a.恒定分量或直流分量恒定分量或直流分量：第一项：第一项 A0 是常量，称为是常量，称为 f(t)的恒定分量或直的恒定分量或直流分量；流分量；b.基波基波：第二项：第二项Amcos(t+1)是正弦波，其周期与原函数是正弦波，其周期与原函数 f(t)相同，称相同，称为为1次谐波或基波（次谐波或基波（fundamental wave）c.谐波谐波：其余各项依次称
9、为：其余各项依次称为2次，次，3次，次，k次谐波，并统称为高次谐次谐波，并统称为高次谐波。波。恒定分量恒定分量基波分量基波分量谐波分量谐波分量n特点特点：高次谐波的频率是：高次谐波的频率是基波频率的整数倍基波频率的整数倍，由于傅立叶级数是收敛，由于傅立叶级数是收敛的，一般来说的，一般来说谐波次数越高，其幅值越小谐波次数越高，其幅值越小。哪个分量作用大？哪个分量作用大？依据是什么？依据是什么？nkkkmtkAA1 10 0)cos(cos(2023-2-1110非正弦周期信号分解为傅立叶级数非正弦周期信号分解为傅立叶级数 n(4)频谱频谱：为了既方便而又直观地表达周期函数分解为傅：为了既方便而又
10、直观地表达周期函数分解为傅立叶级数后包括哪些谐波分量、各谐波分量所占的比重以立叶级数后包括哪些谐波分量、各谐波分量所占的比重以及对应的初相位关系，通常将及对应的初相位关系，通常将Akm对对k 的函数关系绘成线的函数关系绘成线图，用以表明图，用以表明各次谐波各次谐波的相对大小。图中每条线段代表一的相对大小。图中每条线段代表一个谐波分量的个谐波分量的振幅振幅，这种图形称为，这种图形称为非正弦周期函数的振幅非正弦周期函数的振幅频谱频谱，简称，简称频谱频谱。n(5)系数系数a0、ak、bk的计算公的计算公式；式；n(6)常见周期函数的傅立叶级常见周期函数的傅立叶级数，供谐波分析时直接引用。数，供谐波分
11、析时直接引用。A km k 2 0 振幅频谱图振幅频谱图2023-2-1111例例9-1 将图所示的周期函数将图所示的周期函数 f(t)展开成傅立叶级数。展开成傅立叶级数。t f(t)0 0.5T T F-F TtTFTtFtf5 5.0 05 5.0 00 0)(00001()01()cos()11()cos()cos()0Tkaf t dtTaf tk tdtFk tdtFk tdt0000111()sin()()sin()sin()coscos1coscos142(1,3,5)1(1)0(2,4,6)kkbf tk tdtFk tdtFk tdtFk tFk tFkkkkkFFkkkk
12、当时当时解：解：f(t)在一个周期内的表达式为在一个周期内的表达式为计算傅立叶系数如下计算傅立叶系数如下2023-2-1112将所得系数代入式将所得系数代入式(9-1)有有sin551sin331sin4F)(ttttf例例9-1 将图所示的周期函数将图所示的周期函数 f(t)展开成傅立叶级数。展开成傅立叶级数。2023-2-11139.3 非正弦周期量的有效值、平均功率非正弦周期量的有效值、平均功率 200)(cos tdtk1.三角函数的性质三角函数的性质(1)余弦信号余弦信号在一个周期内的积分为零在一个周期内的积分为零(2)相同频率相同频率的电压、电流乘积在一个周期内的积分为的电压、电流
13、乘积在一个周期内的积分为 )(cos202tdtk)(0 0)(coscoscoscos2 20 0pktdtptk (3)不同频率不同频率的电压、电流乘积在一个周期内的积分为零的电压、电流乘积在一个周期内的积分为零n注：三角函数的注：三角函数的正交性正交性2023-2-1114(1)周期信号的有效值周期信号的有效值n任何周期性的电流和电压的有效值就是它们的均方根任何周期性的电流和电压的有效值就是它们的均方根值，即：值，即：Tdt)t(iTI 0212023-2-1115(2)非正弦周期函数有效值非正弦周期函数有效值 10)cos()(kkkmtkIItin假设非正弦周期电流假设非正弦周期电流
14、 i(t)可分解为傅立叶级数可分解为傅立叶级数n将将 i(t)代入有效值公式，则得电流代入有效值公式，则得电流 i(t)的有效值为：的有效值为：22120kIIII 22120kUUUU n非正弦周期电压非正弦周期电压u(t)的有效值为：的有效值为：n结论结论：非正弦周期电流（或电压）的有效值等于非正弦周期电流（或电压）的有效值等于恒定恒定分量的平方分量的平方与与各次谐波有效值的平方各次谐波有效值的平方之和的之和的平方根平方根。n求得求得 i(t)的有效值为：的有效值为：TkkkmdttkIITI0210)cos(12023-2-1116(3)非正弦周期电流电路的功率非正弦周期电流电路的功率
15、coscos22211100 IUIUIUP 10)cos()(kkikmtkIItin设任意二端网络端口的电压设任意二端网络端口的电压u(t)和电流和电流i(t)取关联参考取关联参考方向，即：方向，即：n则，二端网络吸收的平均功率定义为：则，二端网络吸收的平均功率定义为：n将傅立叶级数形式的将傅立叶级数形式的u(t)和和i(t)代入上式就可以求出代入上式就可以求出P,则，则，二端网络吸收的平均功率为：二端网络吸收的平均功率为：n结论结论：平均功率平均功率直流分量的功率直流分量的功率各次谐波的平均功率各次谐波的平均功率 TTuidtTpdtTP0011 10)cos()(kkukmtkUUtu
16、TT/2tisIm2023-2-11179.4 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算5sin513sin31sin4)(tttFtf 电路响应电路响应电路电路is1is2is3is3is2is1(1)把给定的把给定的非正弦周期激励源非正弦周期激励源分解分解为为傅立叶级数傅立叶级数表达式；表达式；(3)分别计算分别计算直流分量直流分量和各频率和各频率谐波分量谐波分量激励下的激励下的电路响应电路响应：n直流分量用直流分量用直流电路分析方法直流电路分析方法，此时电感短路，电容开路；，此时电感短路，电容开路；n对于不同频率的正弦谐波分量，采用对于不同频率的正弦谐波分量，采用正弦电路相量分析
17、正弦电路相量分析计算方法；计算方法；(4)应用应用叠加定理叠加定理把属于同一响应的各谐波把属于同一响应的各谐波响应分量相加得到总的响应值。响应分量相加得到总的响应值。(2)把得到的各次谐波等效为电路的把得到的各次谐波等效为电路的激励电源激励电源(电压源或电流源电压源或电流源)2023-2-1118 A0 A,2 510)0(2)0(1)0(III例例9-2 电路如图电路如图(a)所示，已知所示，已知R15，R210，XL L2，XC1/(C)15，u(t)=10+141.4cost+70.7cos(3t+30)V，求，求各支路电流各支路电流 i、i1、i2。解：解：(1)直流分量直流分量10V
18、作用时，电感短路，电容开路，如图作用时，电感短路，电容开路，如图(b)所示。所示。ii1R2+CLR1u(t)i2(a)I(0)I1(0)R2+R1U0I2(0)(b)2023-2-1119(2)基波单独作用基波单独作用时，如图时，如图(c)所示。所示。所以，有：所以，有：V 0100024.141)1(U)1(UR2+R1(c)Lj)1(1ICj/1)1(U)1(I)1(2I A A A)3838.6 6(4343.20203 3.51515555.5 5151510100 010010015151010)8 8.2121(5555.18182 25 50 01001002 25 5)1 1
19、(2 2)1 1(1 1)1 1()1 1()1 1(2 2)1 1()1 1(1 1 IIIjjUIjjUI A)6.38-cos(220.43 A)51.3cos(25.55 A)21.8-cos(218.55(1)2(1)1(1)tititi例例9-2 电路如图电路如图(a)所示，已知所示，已知R15，R210，XL L2，XC1/(C)15，u(t)=10+141.4cost+70.7cos(3t+30)V，求，求各支路电流各支路电流 i、i1、i2。2023-2-1120)1(UR2+R1(d)Lj 3)3(1ICj 3/1)3(U)3(I)3(2I(3)三次谐波单独作用三次谐波单独
20、作用时，如图时，如图(d)所示所示所以，有：所以，有：V 30503027.70)3(U A)96.1(745.9 A56.5617.4 5103050510 A)1.20(4.6 65305065 531 ,63)3(2)3(1)3()3()3(2)3()3(1)3()3(IIIjjUIjjUICXLXCL A)1.96-cos(329.745 A)56.56cos(324.17 A)20.1-cos(326.4(3)2(3)1(3)tititi例例9-2 电路如图电路如图(a)所示，已知所示，已知R15，R210，XL L2，XC1/(C)15，u(t)=10+141.4cost+70.7
21、cos(3t+30)V，求，求各支路电流各支路电流 i、i1、i2。2023-2-1121(4)应用应用叠加定理叠加定理 A)1.96-cos(329.745)6.38-cos(220.432 A)56.56cos(324.17)51.3cos(25.550 A)20.1-cos(326.4)21.8-cos(218.552 (3)(1)(0)2(3)2(1)2(0)21(3)1(1)1(0)1 ttiiIittiiIittiiIi例例9-2 电路如图电路如图(a)所示，已知所示，已知R15，R210，XL L2，XC1/(C)15，u(t)=10+141.4cost+70.7cos(3t+3
22、0)V，求，求各支路电流各支路电流 i、i1、i2。2023-2-1122例例9-3 如图所示如图所示N为无源网络。已知为无源网络。已知 u(t)=100cos314t+50cos(942t-30)V，i(t)=10cos314t+1.75cos(942t+3)A，若，若N为为RLC串联时，求串联时，求R、L、C的值，并的值，并求求3的值和电路的平均功率。的值和电路的平均功率。解：设基波角频率为解：设基波角频率为，=314rad/s。从基波的电。从基波的电流与电压同相位可知，该电路对基波发生流与电压同相位可知，该电路对基波发生串联串联谐振谐振。所以，有：。所以，有：三次谐波阻抗的模可表示为：三
23、次谐波阻抗的模可表示为：可解出：可解出：N+uiab设三次谐波电路呈现的阻抗角为：设三次谐波电路呈现的阻抗角为：有：有：设电路消耗的平均功率为设电路消耗的平均功率为P，则，则 4545.99993 3 W4.51545.69cos75.1*50*2110*100*21 PF 318.34 mH,31.86 CL 4545.69693 31 13 330303 33 3RCLarctgZ75.150)313(1022 CLCLR1 且有：且有：,101010101001002023-2-1123例例9-4 9-4 如图所示，已知：如图所示，已知：，求电流表，求电流表 的读数。的读数。A A 6
24、60 06 6,1 12 20 09 92 21 1II A 1 12 20 03 35 59 98 8.2 25 5.1 16 60 06 61 12 20 09 92 21 1jII A5 54 43 32 22 2 I解：解：由于由于 i2 与与 i1 频率相同，则：频率相同，则：得：得：由由KCL，得：，得：所以，其有效值为：所以，其有效值为：Ai1(t)i3(t)i2(t)A)60-cos()30sin()(2 ttti2 26 62 26 6321iiii A)0cos(12122 29 91 1ti A)0sin(3 32 26 62 2ti A)0cos(2 3 32 24 4
25、3 3tiA即电流表即电流表 的读数为的读数为5A。A2023-2-1124 V1 V A V1 例例9-5 如图所示，已知如图所示，已知us由直流分量和三次谐波组成，其直流分量为由直流分量和三次谐波组成，其直流分量为8V，和和 是电压表，是电压表，是电流表，已知是电流表，已知 的读数为的读数为10V，1/(C)=9，L=1，求，求 和和 的读数。的读数。电流表电流表 的读数为：的读数为：解：解：(1)直流分量直流分量8V单独作用时，等效电路如图所示，则：单独作用时，等效电路如图所示，则：22CL+V1usAV三次谐波电压有效值为：三次谐波电压有效值为：V U A(0)4 48 8*2 22
26、22 2,2 24 48 8)0 0(IV 0U A,(3)3 32 26 62 2)3 3()3 3(UIV 6 68 81 10 02 22 23 3 UVV1AV1VAA(2)三次谐波三次谐波单独作用时：单独作用时：L和和C 对三次谐波发生对三次谐波发生串联谐振串联谐振，等效电路等效电路如图所示，则：如图所示，则：22+V1usAVI(0)+U(0)2+V1usAVI(3)+U(3)电压表电压表 的读的读数为：数为：4VV A3.61 1 13 33 32 22 22 22 2)3 3(2 2)0 0(II2023-2-1125例例9-6 已知：已知：，求图示电路中各表读数。，求图示电路
27、中各表读数。A0)0(2 IV 30)0(2)0(1 UU A1 3030)0(3)0(1 II解解(1)当当直流直流分量分量 u0=30V 作用于电路时，作用于电路时，L1、L2短路，短路，C1、C2开路，电路开路，电路如图所示。如图所示。uabL1C1C2L2+_25 F25 F30 cdA2V1A110mHA3V240mHu0+_30 I1(0)I2(0)I3(0)U1(0)+_U2(0)V )45cos(2000cos1000)(tttu2 260602 212012030302023-2-1126(2)基波基波作用于电路时，电路的相作用于电路时，电路的相量模型如所示。量模型如所示。从
28、图中可知，从图中可知，L1、C1 对基波发生并联谐振。对基波发生并联谐振。基波电压加于基波电压加于 L1、C1 并联电路两端，故：并联电路两端，故：其中：其中：A0 0)1 1(3 3)1 1(1 1 IIV 0 01 12 20 0)1 1(UV 0)1(2 U A 9 90 03 34 40 00 01 12 20 0)1 1(1 1)1 1(2 2jUCjIV 0120)1()1(1 UU)1(1I)1(2U+_30 j40 j10-j40-j40)1(1U)1(2I)1(U)1(3I_+例例9-6 已知：已知：，求图示电路中各表读数。，求图示电路中各表读数。V )45cos(2000c
29、os1000)(tttu2 260602 212012030302023-2-1127)2(1I)2(2U+_30 j80 j20-j20-j20)2(1U)2(2I)2(U)2(3I_+(3)二次谐波二次谐波作用于电路时，作用于电路时，电路的相量模型如图所示。电路的相量模型如图所示。从图中可知，从图中可知，L2、C2 对二次谐波发生并联谐振。所以：对二次谐波发生并联谐振。所以：二次谐波电压加于二次谐波电压加于 L2、C2 并联电路两端，故并联电路两端，故其中：其中：A0 0)2 2(2 2)2 2(1 1 IIV 4 45 56 60 0)2 2(UV 0)2(1 U A)4 45 5(3
30、32 20 04 45 56 60 02 22 2)2 2()2 2(3 3 jLjUIV 4560)2()2(2 UU例例9-6 已知：已知：，求图示电路中各表读数。，求图示电路中各表读数。V )45cos(2000cos1000)(tttu2 260602 212012030302023-2-1128有电流表读数：有电流表读数：电压表读数为：电压表读数为：(1)直直 流流：I1(0)=I3(0)=1A，I2(0)=0A，U1(0)=U2(0)=30V；(2)基基 波波：I1(1)=I3(1)=0A，I2(1)=3A，U1(1)=120V，U2(1)=0V；(3)二次谐波二次谐波：I1(2)
31、=I2(2)=0A，I3(2)=3A，U1(2)=0V，U2(2)=60V；uabL1C1C2L2+_25 F25 F30 cdA2V1A110mHA3V240mH为为1A；为为3A；A1A2A3 A1 16 6.3 33 31 12 22 2 V2V1V 7 7.1 12 23 31 12 20 03 30 02 22 2 V 1 1.6 67 76 60 03 30 02 22 2 例例9-6 已知：已知：，求图示电路中各表读数。，求图示电路中各表读数。V )45cos(2000cos1000)(tttu2 260602 212012030302023-2-1129总结总结TT/2tisI
32、m5sin513sin31sin4)(tttFtf 电路响应电路响应电路电路is1is2is3is3is2is1(1)把给定的把给定的非正弦周期激励源非正弦周期激励源分解分解为为傅立叶级数傅立叶级数表达式；表达式；(3)分别计算分别计算直流分量直流分量和各频率和各频率谐波分量谐波分量激励下的激励下的电路响应电路响应：n直流分量用直流分量用直流电路分析方法直流电路分析方法，此时电感短路，电容开路；，此时电感短路，电容开路；n对于不同频率的正弦谐波分量，采用对于不同频率的正弦谐波分量，采用正弦电路相量分析正弦电路相量分析计算方法；计算方法；(4)应用应用叠加定理叠加定理把属于同一响应的各谐波响把属于同一响应的各谐波响应分量相加得到总的响应值。应分量相加得到总的响应值。(2)把得到的各次谐波等效为电路的把得到的各次谐波等效为电路的激励电源激励电源(电压源或电流源电压源或电流源)coscos22211100 IUIUIUP22120kIIII 2023-2-1130结结 束束
