1、1概率论与数理统计概率论与数理统计第第3讲讲本文件可从网址http:/上下载(单击ppt讲义后选择概率论子目录)2概率3每一个事件都有它的发生概率即给定事件A,存在着一个正数P 与之对应,称之为事件A的概率,记作P(A)或PA.最高的发生概率为1,表示必然发生.最低的概率为0,表示不可能发生.而一般的随机事件的概率介于0与1之间.这里只是概率的数学上的规定,其实就是任何一个事件到实数轴上的0,1区间的映射.但怎样获得切合实际的一个事件的概率呢?4概率的统计定义概率的统计定义并非严格的数学上的定义,而只是大数定律的一个描述.在n次重复试验中,如果事件A发生了m次,则m/n称为事件A发生的频率.同
2、样若事件B发生了k次,则事件B发生的频率为k/n.如果A是必然事件,有m=n,即必然事件的频率是1,当然不可能事件的频率为0.如果A与B互不相容,则事件A+B的频率为(m+k)/n,它恰好等于两个事件的频率的和m/n+k/n,这称之为频率的可加性.5定义1.1在不变的条件下,重复进行n次试验,事件A发生的频率稳定地某一常数p附近摆动,且一般说来,n越大,摆动幅度越小,则称常数p为事件A的概率,记作P(A).但这不是概率的数学上的定义,而只是描述了一个大数定律.6历史上的掷硬币试验试验者抛掷次数n正面出现次数m正面出现频率m/n德.摩尔根204810610.518蒲丰404020480.5069
3、皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.49987概率的稳定性是概率的经验基础但并不是说概率决定于经验.一个事件发生的概率完全决定于事件本身的结构,指试验条件,是先于试验而客观存在的.概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客观存在的,但并不能用这个定义计算P(A).实际上,人们是采取一次大量试验的频率或一系列频率的平均值作为P(A)的近似值的.例如,对一个妇产医院6年出生婴儿的调查中,可以看到生男孩的频率是稳定的,约为0.5158新生儿性别统计表出生年份新生儿总数n新生儿分类数频率(%)男孩数m1女孩数m2男孩女孩1977367018
4、83178751.3148.69197842502177207351.2248.78197940552138191752.7347.27198058442955288950.5649.44198163443271307351.5648.44198272313722350951.4748.536年总计31394161461524851.4848.529概率的古典定义(概率的古典概型)有一类试验的特点是:1,每次试验只有有限种可能的试验结果2,每次试验中,各基本事件出现的可能性完全相同.具这两个特点的试验称为古典概型试验.在古典概型的试验中,如果总共有n个可能的试验结果,因此每个基本事件发生的概率
5、为1/n,如果事件A包含有m个基本事件,则事件A发生的概率则为m/n.10定义 1.2若试验结果一共由n个基本事件E1,E2,En组成,并且这些事件的出现具有相同的可能性,而事件A由其中某m个基本事件E1,E2,Em组成,则事件A的概率可以用下式计算:nmAAP试验的基本事件总数的基本事件数有利于)(11简单的例掷一枚硬币的试验,基本事件为正面和反面,而且由于硬币的对称性,因此出现正面和反面的概率一样,都是1/2.掷一次骰子的试验,基本事件有6个,因此每个基本事件的概率为1/6,则P奇数点=3/6=1/2,P小于3=P1,2=2/6=1/3等等.12排列和组合在古典概型的概率的计算中困难的是计
6、算一事件包含的基本事件的数目,因此需要排列和组合的知识.乘法法则:如果一件事情可以分为两步做,第一步有n种选择,在第一步中的每一种选择中,第二步有m种选择,则整件事情共有mn种选择13放回抽样假设一副牌有52张,将它们编号为1,2,52.每次抽出一张观察后再放回去(这样下一次这张牌仍有机会被抽到),这叫放回抽样.假设共抽了5次,共有多少种可能的抽法?第一次有52种抽法,在第一次的每一种抽法中,第二次又有52种抽法,因此抽5次共有5252525252=525种抽法.一般地,从n个元素中进行m次放回抽样,则共有nm种抽法.14不放回抽样(排列)还是这52张牌,每次抽出一张,但不放回,则第二次抽时只
7、有51张牌,第三次就只有50张牌.如果这样抽5次,就共有5251504948=52!/47!种抽法一般地,从N个元素中抽取n个(nN),共有!,)!(!)1()1(NAPnNnNNnNNNANNNnN记作全排列称为即将所有元素排成一列如果种抽法15不放回抽样(组合)如果从N个元素中不放回抽样n个,但不关心其顺序,比如说(1,2,3)和(3,2,1),(2,3,1)被视作一样,则称为组合,因此,组合的数目要比排列的数目小n!倍,记作!)!(!nnNNnAnNCnNnN16书上例1 袋内装有5个白球,3个黑球,从中任两个球,计算取出的两个球都是白球的概率.357.014578212145)(,:2
8、82525235CCnmAPCmAACn则基本事件数的则取到两个白球假设事件数组成试验的基本事件总解17例2 一批产品共200个,废品有6个,求(1)这批产品的废品率;(2)任取3个恰有一个是废品的概率;(3)任取3个全非废品的概率解 设P(A),P(A1),P(A0)分别表示(1),(2),(3)中所求的概率,则9122.0198199200321321192193194)()3(0855.0198199200321211931946)()2(03.02006)()1(32003194032002194161CCAPCCCAPAP18例3 两封信随机地向标号为1,2,3,4的4个邮筒投寄,求
9、第二个邮筒恰好被投入1封信的概率及前两个邮筒中各有一封信的概率.解 设事件A=第二个邮筒恰有一封信事件B=前两个邮筒中各有一封信两封信投入4个邮筒共有44种投法,而组成事件A的投法有23种,组成事件B的投法则只有2种,因此81162)(,83166)(BPAP19比较难的例子：一个小型电影院出售电影票,每张5元.总共有10个观众随机地排成一队买票,其中有5人手持一张5元的钞票,另5人手持 10元一张的钞票.售票开始时,售票员手里没有零钞,求售票能够进行的概率(即不因为缺少零钱找不开而需要等的概率).20售票能进行的例:售票不能进行的例:持五元持十元21基本事件总数n的计算:考虑将5个手持五元的
10、人随机地放入10个排队位置中的5个,则剩下的5个位置当然是手持十元的人的位置.即10个位置中拿出5个来放手持五元的人的总数n.!5!5!10510 Cn22将问题改变一下,假设售票员手里还是有足够的零钞找换的,因此售票能进行的事件就等于售票员始终没有使用自己手中的零钞的事件,而售票不能进行的事件就是售票员要动用自己手中的零钞的事件.假设在售票开始时,售票员手中的五元零钞数目为0,在售票过程中,遇到手持五元钞的观众则零钞数目增1,否则零钞数目减1,如果必须动用售票员手中原有的零钞时,零钞数目可能变为负值.将售票过程中的零钞数目的变化绘成折线图.23售票能进行的例子:01234-1-2-3-424
11、售票不能进行的例子:01234-1-2-3-425售票不能进行的例子:01234-1-2-3-426对于售票不能进行的例子,在遇到第一个手持10元却必须给他找自己的零钞的人时,将后面的人的手中钞票都换一下,5元的换10元,10元的换5元,这样总的效果就是有6人持10元钞,4人持5元钞,在售完票时零钞总损失必然是2个5元钞.反过来,如果一开始就是有6人持10元4人持5元,则售票必然不能进行,因此必然存在第一个无法找零钞的人,如果这时将其后面的人10元换5元,5元换10元,则对应于一个5人持10元5人持5元且售票不能进行的事件.27因此,6人持10元4人持5元的排队事件总数,和5人持10元5人持
12、5元售票不能进行的事件总数应当是一样的.我们只需计算前者的事件总数,而这等于先将10个排队位置中拿出4个放持5元的人的总数.!6!4!10410 CnB28因此,假设事件A为售票能进行,事件B为售票不能进行,有利于A的基本事件数为nA,有利于B的基本事件数为nB,则61651!6!4!10!10!5!5111)(510410CCnnnnnAPBB29这还可以扩展到更一般的情况,即假设共有2k个人排队买票,其中k个人持五元钞,k个人持十元钞,每张票五元,售票开始时售票员没有零钞,求售票能够进行的概率.假设所求事件的概率为P(A),售票不能进行的概率为P(B),则B的事件总数为2k个排队位置中取出
13、k1个位置的事件数.1111)!2(!)!1()!1()!2(111)(212kkkkkkkkkCCnnnnnnnAPkkkkBBA30再讲函数与定积分函数的代入:我们知道函数就是自变量x和函数值y间的关系,写作y=f(x),因此,当x取具体值的时候,将x的具体值代入就可以求得y的值.例如,f(x)=x2,则f(5)=52,f(10)=102,f(a+b)=(a+b)2,等等,但是,如果f(x)=2,f(5)=?,f(10)=?,f(a+b)=?如果f(x)=0,f(3)=?,f(7)=?31常函数事实上,常函数也是一种函数,函数值总为常数,曲线是一条平行于x轴的直线,而0函数也是一种函数,函
14、数的曲线是与x轴重合的直线 f(x)=5 5 f(x)=0 x y 32定积分就是计算一段曲线下包围的面积，如记作 x f(x)a b baxxfd)(33而常函数的定积分是容易计算的如果f(x)=5 x f(x)a b)(5d)(abxxfba34用牛顿莱布尼兹公式计算也是一样因为常数f(x)=b的原函数是bx+c,这里c是任意常数,因此0000,0010)5()15()5(5|61613131函数的任何定积分都是实际上因此函数的原函数为而cccdxccxcccxdx35以后规定无穷大数就是当然还可以有正无穷大数+和负无穷大数,可直接代入函数中,例如如函数f(x)=x,则f(+)=+,f()
15、=如函数f(x)=ex,则f(+)=+,f()=036因此一个广义积分不必写成1)0()()()()(lim)(lim)(00000000|eeedxeFFxFdxxfxFdxxfdxxfxxbbbb例如而直接写成的形式37介绍蒙特卡洛试验技术我们知道象掷硬币这样的试验作一次是很费时间的.但是计算机出现以后,通常都有一个随机函数,此随机函数每次调用的返回值都不一样,会产生一个随机的数字,因此我们就可以利用这样一个随机的数字进行反复的试验来求出我们所希望的事件的概率.特别是有一些事件的概率求起来非常困难,但用计算机进行仿真试验,就可以通过统计的办法求出概率的近似值,这叫做蒙特卡洛试验.38在wo
16、rd上编程试验掷硬币Word字处理器带有一个virsal basic编译器,word的宏都是用它来编写的.在进入word之后,选择工具|宏|宏菜单,在宏名上键入你想要的宏的名字,这里我们键入test,然后单击创建按钮,这就进入virsal basic编译器.Basic语言中有一个函数叫rnd(),每调用一次它就会返回一个在区间0,1)内的随机数,因此可以在调用此函数后判定返回值是否小于0.5,如果小于就是反面,否则就是正面,这样可以保证正面和反面的机会都是0.5.39因此键入这样的语句If rnd()0.5 thenselection.typetext text:=反面Else selecti
17、on.typetext text:=正面End if则每调用一次这个宏就相当于用计算机模拟作了一次掷硬币试验40如果要连做10次试验,则语句改成这样For i=1 to 10If rnd()0.5 thenselection.typetext text:=反面Else selection.typetext text:=正面End ifNext i41如果要统计做n次试验中正面出现的频率程序为Sub test()n=200000m=0 For i=1 To n If Rnd()0.5 Then m=m+1 End If NextSelection.TypeText Text:=Str(m/n)End Sub42如果感兴趣,还可以做更多的试验只须要巧妙地利用这个随机数函数即可.甚至可以通过编写各种函数来组合各种复杂的试验.这种办法甚至广泛用在计算社会学问题,生物学问题和军事学问题中,甚至一些研究生的研究工作中主要就是在计算机上进行蒙特卡罗试验.然后给出试验报告.43请提问44作业第26页 第6,7,8,9,10,11,12,13,14题
