1、第二十六章第二十六章 二次函数二次函数东营市胜利六中：石爱英东营市胜利六中：石爱英讨论与思考：讨论与思考：1 1、正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为、正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x x，表面积，表面积为为y y，显然对于，显然对于x x的每一个值，的每一个值，y y都有一个对应值，即都有一个对应值，即y y是是x x的函数，的函数，他们的具体关系是可以表示为什么？他们的具体关系是可以表示为什么？2 2、多边形的对角线数、多边形的对角线数d d与边数与边数n n有什么关系？有什么关系？3 3、某工厂一种产品现在的年产量是、某工厂一种产品现在的年产量是2020件，计划
2、今后两年增加产量。件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加如果每年都比上一年的产量增加x x倍，那么两年后这种产品的产量倍，那么两年后这种产品的产量y y将随计划所定的将随计划所定的x x的值而确定，的值而确定，y y与与x x之间的关系应怎样表示？之间的关系应怎样表示？y=6xy=6x2 2d=n(n-3)d=n(n-3)1 12 2d=nd=n2 2-n-n1 12 23 32 2即即y=20(1+x)y=20(1+x)2 2即即y=20 xy=20 x2 2+40 x+20+40 x+20 xy y=6=6x x2 2d d=n n2 2-n n1 12 23 32 2y
3、y=20=20 x x2 2+40+40 x x+20+20自变量函数函数解析式y yy yd dx xx xn n 认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数这些函数有什么共同点？这些函数自变量的最高次项都是二次的！二次函数的定义：二次函数的定义：注意：注意：1 1、其中，、其中，x x是自变量，是自变量，axax2 2是二次项，是二次项，a a是是二次二次项项系数系数 bxbx是一次项，是一次项，b b是一次项系数是一次项系数 c c是常数项。是常数项。一般地，形如一般地，形如 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a,b,ca,b,c是常数，是常数，a 0a
4、 0）的函数，叫做二次函数。的函数，叫做二次函数。2 2、函数的右边最高次数为、函数的右边最高次数为2 2,可以没有一次项和常数项可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项但不能没有二次项.)(0 ,为常数为常数kkxky=一次函数一次函数正比例函数正比例函数反比例函数反比例函数二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a,b,ca,b,c是常数，是常数，a 0a 0）y=kxy=kx（k k是常数，是常数，k 0k 0）y=kx+by=kx+b（k,bk,b是常数，是常数，k 0k 0）这些函数的名称度反映了函数表达式与自变量的关系。这些函数的名称度反映了函数表达式与自变量的
5、关系。1.1.下列函数中下列函数中,哪些是二次函数？哪些是二次函数？(1)(1)y=3(x-1)y=3(x-1)+1+1 (3)s=3-2t(3)s=3-2t (5)y=(x+3)(5)y=(x+3)-x-x (6)v=10r(6)v=10r2 21 1(4)y=(4)y=x-xx-x（是）（是）（否）（否）（是）（是）（否）（否）（否）（否）（是）（是）(7)y=x(7)y=x+x+x+25+25(8)y=2(8)y=2+2x+2x（否）（否）（否）（否）1 1y=x+y=x+x x(2)(2)1.下列函数中下列函数中,哪些是二次函数哪些是二次函数?抓住机遇抓住机遇 展示自我展示自我2222
6、)1()4()1()3(1)2()1(xxyxxyxyxy=是是不是不是是是不是不是先化简后判断先化简后判断、下列函数中，哪些是二次函数？、下列函数中，哪些是二次函数？2)1()2)(2()5(=xxxyxxy1)2(2=32)4(2=xxy 23)1(2=xy()()()否 是否否()3)(2()3(=xxy是()知识运用知识运用 、下列函数中，哪些是二次函数？、下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1 (5)y=x-2+x (6)y=x2-x(1+x)例例1 1、判断：下列函数是否为二次函数，、判断：下列函数是否
7、为二次函数，如果是，指出其中常数如果是，指出其中常数a.b.ca.b.c的值的值.(1)y(1)y1-(2)y1-(2)yx(xx(x5)5)(3)y(3)y x x2 2 x x1 1 (4)y(4)y3x(23x(2x)x)3x3x2 2 (5)y(5)y (6)y(6)y(7)y(7)y x x4 42x2x2 21 (8)y1 (8)yaxax2 2bxbxc c223x212312312 xx652 xx例1:关于x的函数 是二次函数,求m的值.mmxmy=2)1(解:由题意可得0122=mmm时，函数为二次函数。当解得，22=mm注意注意:二次函数的二次项系数不能为零二次函数的二次
8、项系数不能为零驶向胜利的彼岸练习、m取何值时，函数是取何值时，函数是y=(m+1)x +(m-3)x+m 是二次函数？是二次函数？122 mm知识运用知识运用练习练习2、请举、请举1个符合以下条件的个符合以下条件的y关于关于x的的二次函数的例子二次函数的例子练一练练一练:（1）二次项系数是一次项系数的）二次项系数是一次项系数的2倍，倍，常数项为任意值。常数项为任意值。（2）二次项系数为）二次项系数为-5，一次项系数为，一次项系数为常数项的常数项的3倍。倍。展示才智展示才智 3、若函数、若函数 为二次函数，求为二次函数，求m的值。的值。mm221)x(my=解：因为该函数为二次函数，解：因为该函
9、数为二次函数，则则=)2(01)1(222mmm解（解（1）得：）得：m=2或或-1解（解（2）得：）得：11mm且所以所以m=2满足什么条件时当，是常数其中函数cb,a,)cb,a,c(bxaxy2=01a）解：（0,0)2(=ba0,0,0)3(=cba(2)它是一次函数？它是一次函数？(3)它是正比例函数？它是正比例函数？(1)它是二次函数它是二次函数?超级链接超级链接 如果函数如果函数y=(k-3)+kx+1y=(k-3)+kx+1是二次函是二次函数数,则则k k的值一定是的值一定是_ _ 2 2k k-3 3k k+2 2x x敢于创新敢于创新0如果函数如果函数y=+kx+1y=+k
10、x+1是二次函数是二次函数,则则k k的值一定是的值一定是_ _ 2 2k k-3 3k k+2 2x x0,3知识的升华已知函数已知函数 (1)k(1)k为何值时，为何值时，y y是是x x的一次函数？的一次函数？(2)k(2)k为何值时，为何值时，y y是是x x的二次函数？的二次函数？解解（1 1）根据题意得）根据题意得 k=1k=1时时,y,y是是x x的一次函数。的一次函数。=002kkk22()2ykk xkxk=当时数2 2(2)k-k(2)k-k0,即0,即kk0且0且kk1 1y是y是x的x的二二次次函函例例2 2、当当m m为何值时，函数为何值时，函数y y(m(m2)x2
11、)xm m2 22 24x4x5 5是是x x的二次函数的二次函数m-20且且m2-2=2m2 m=2 m=-2练习：练习：y y(m(m3)x3)xm m2 2m m4 4(m(m2)x2)x3 3，当，当m m为何值为何值时，时，y y是是x x的二次函数？的二次函数？m=2小试牛刀小试牛刀 圆的半径是圆的半径是1cm,1cm,假设半径增加假设半径增加xcmxcm时时,圆的面积增加圆的面积增加ycmycm.（1 1）写出）写出y y与与x x之间的函数关系表之间的函数关系表达式；达式；（2 2）当圆的半径分别增加）当圆的半径分别增加1cm,2cm1cm,2cm时时,圆的面积增加圆的面积增加
12、多少？多少？2cm2cm在种树问题中在种树问题中,种种多少棵橙子树多少棵橙子树,可可以使果园橙子的以使果园橙子的总产量最多？总产量最多？x-567891011 12 131415-y-6037560420604556048060495605006049560480604556042060375问题再探究问题再探究y=-5xy=-5x+100 x+60000,+100 x+60000,你能根据表格中的数据作出猜测吗？你能根据表格中的数据作出猜测吗？6037560455604806049560500604956048060455604206037560420你发现了吗？你发现了吗？回味无穷回味无穷
13、定义定义中应该注意的几个问题中应该注意的几个问题:小结小结 拓展拓展 1.1.定义：一般地定义：一般地,形如形如y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的函数叫做的函数叫做x x的的二次函数二次函数.y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的几种不同表示形式的几种不同表示形式:(1)y=ax(1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).
14、+bx(a0,b0,c=0).2.2.定义的实质是：定义的实质是：axax+bx+c+bx+c是整式是整式,自变量自变量x x的最高次数的最高次数是二次是二次,自变量自变量x x的取值范围是全体实数的取值范围是全体实数.例2写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系（2）由题意得）由题意得 其中其中y是是x的二次函数；的二次函数；（3）由题意得）由题意得
15、其中其中S是是x的的 二次函数二次函数)0(42=xxy解解:（1）由题意得）由题意得 其中其中S是是a的二次函数的二次函数；)0(62=aaS)260(1321)26(212=xxxxxS例例3:已知关于已知关于x的二次函数的二次函数,当当x=1时时,函数值为函数值为10,当当x=1时时,函数值为函数值为4,当当x=2时时,函数值为函数值为7,求这求这个二次函数的解析试个二次函数的解析试.由题意得：为解：设所求的二次函数,2cbxaxy=724410=cbacbacba5,3,2=cba解得，5322=xxy所求的二次函数是待定系数法待定系数法4.4.已知二次函数已知二次函数y=xy=x+p
16、x+q,+px+q,当当x=x=1 1时时,函数函数值为值为4,4,当当x=2x=2时时,函数值为函数值为-5,-5,求这个二次求这个二次函数的解析式函数的解析式.2,yxpxq=解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数得：14425pqpq=12,15.q=解得，p21215yxx=所求的二次函数是牛刀小试5.已知二次函数已知二次函数4)1(22=xy当当x=1时时,函数函数y有最小值为有最小值为4x取任意实数取任意实数（1 1）你能说出此函数的最小值吗？）你能说出此函数的最小值吗？（2 2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？）你能说出这里自变量能取哪些值呢？开动脑筋开动脑筋 注意
17、注意:当二次函数表示某个实际问题时当二次函数表示某个实际问题时,还必还必须根据题意确定自变量的取值范围须根据题意确定自变量的取值范围.例如：圆的面积例如：圆的面积 y()y()与圆的半径与圆的半径 x x（cmcm)的函数关系是的函数关系是 2cmy=x2其中自变量其中自变量x能取哪些值呢？能取哪些值呢？0 x问题问题：是否任何情况下二次函数中的自变量是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？的取值范围都是任意实数呢？试一试:要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设连墙的一边为x,巨形的面积为y,试(1)写出y关与x的函数关系式.(2)当x=3时,距形的面积为多少
18、?)220()1(xxy=解：xx2022=(ox10)my4232032)2(2=小试牛刀小试牛刀 圆的半径是圆的半径是1cm,1cm,假设半径增加假设半径增加xcmxcm时时,圆的面积增加圆的面积增加ycmycm.（1 1）写出）写出y y与与x x之间的函数关系表之间的函数关系表达式；达式；（2 2）当圆的半径分别增加）当圆的半径分别增加1cm,2cm1cm,2cm时时,圆的面积增加圆的面积增加多少？多少？2cm2cm在种树问题中在种树问题中,种种多少棵橙子树多少棵橙子树,可可以使果园橙子的以使果园橙子的总产量最多？总产量最多？x-567891011 12 131415-y-603756
19、0420604556048060495605006049560480604556042060375问题再探究问题再探究y=-5xy=-5x+100 x+60000,+100 x+60000,你能根据表格中的数据作出猜测吗？你能根据表格中的数据作出猜测吗？6037560455604806049560500604956048060455604206037560420你发现了吗？你发现了吗？回味无穷回味无穷定义定义中应该注意的几个问题中应该注意的几个问题:小结小结 拓展拓展 1.1.定义：一般地定义：一般地,形如形如y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a
20、0)的函数叫做的函数叫做x x的的二次函数二次函数.y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的几种不同表示形式的几种不同表示形式:(1)y=ax(1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).+bx(a0,b0,c=0).2.2.定义的实质是：定义的实质是：axax+bx+c+bx+c是整式是整式,自变量自变量x x的最高次数的最高次数是二次是二次,自变量自变量x x的取值范围是全体实数的取值范围是全体实数.喷泉(1)创设情境，导入新课 （2 2）你们知道：投篮时，）你们知道：投篮时，篮球运动的篮球运动的路线是什么曲线？路线是什么曲线？怎样计算篮球达到怎样计算篮球达到最高点时的高度？最高点时的高度？（1 1）你们喜欢打篮球吗？你们喜欢打篮球吗？问题：问题：二次函数
