1、均匀试验设计均匀试验设计 正交设计是利用正交表的正交设计是利用正交表的均衡分散性均衡分散性和和整齐可比性整齐可比性，以较少的实验次数获得基，以较少的实验次数获得基本上能反映全面情况的试验结果的一种本上能反映全面情况的试验结果的一种优化试验设计方法为了保证优化试验设计方法为了保证整齐可比整齐可比和和搭配均衡搭配均衡的特点，简化数据处理，实的特点，简化数据处理，实验点应在试验范围内充分地均衡分散，验点应在试验范围内充分地均衡分散，因此试验点不能过少当欲考察的因素因此试验点不能过少当欲考察的因素较多，特别是因素水平数较多时，需要较多，特别是因素水平数较多时，需要的试验次数仍然很多，例如要考察的试验次
2、数仍然很多，例如要考察9个水个水平试验，用正交表安排试验，至少要进平试验，用正交表安排试验，至少要进行行92次试验次试验 为此，寻找一种适用于多因素、多水平为此，寻找一种适用于多因素、多水平而试验次数更少的试验设计方法是有意而试验次数更少的试验设计方法是有意义的，我国数学家方开泰和王元等利用义的，我国数学家方开泰和王元等利用数论方法构造了均匀试验设计（数论方法构造了均匀试验设计（uniform design）表）表 如果不考察试验数据的整齐可比性，而如果不考察试验数据的整齐可比性，而让试验点在试验范围内充分地均衡分散，让试验点在试验范围内充分地均衡分散，则可以从全面试验中挑选比正交试验设则可以
3、从全面试验中挑选比正交试验设计更少的实验点作为代表进行试验，这计更少的实验点作为代表进行试验，这种着眼于实验点充分地均衡分散的试验种着眼于实验点充分地均衡分散的试验方法，称为均匀试验设计方法方法，称为均匀试验设计方法2008年度国家科学技术奖励大会日前在北京举行，香年度国家科学技术奖励大会日前在北京举行，香港浸会大学荣休教授方开泰和中国科学院数学与系统港浸会大学荣休教授方开泰和中国科学院数学与系统科学研究院王元院士合作研究逾科学研究院王元院士合作研究逾30年的年的“均匀试验设均匀试验设计的理论、方法及其应用计的理论、方法及其应用”，获颁国家自然科学奖二，获颁国家自然科学奖二等奖。等奖。均匀设计
4、最先运用在军事工业上（均匀设计最先运用在军事工业上（我国导弹设计我国导弹设计），），后来在石油、化工、生物以及科学计算等高新产业上后来在石油、化工、生物以及科学计算等高新产业上也获得成功应用。著名汽车品牌福特汽车在开发也获得成功应用。著名汽车品牌福特汽车在开发6汽缸汽缸汽车引擎时，便应用了均匀设计，其后该理论更成为汽车引擎时，便应用了均匀设计，其后该理论更成为福特汽车计算机仿真实验的常规方法。福特汽车计算机仿真实验的常规方法。东北制药总厂为了使数理统计方法在工业参数优化中东北制药总厂为了使数理统计方法在工业参数优化中发挥更多的作用，成立了优化技术应用研究室，将各发挥更多的作用，成立了优化技术应
5、用研究室，将各种实用的数学方法在计算机上实现，供科研和生产应种实用的数学方法在计算机上实现，供科研和生产应用。为此研制出用。为此研制出“均匀设计与统计调优软件包均匀设计与统计调优软件包”，用，用这一技术完成十几项科研和生产课题，创百万元以上这一技术完成十几项科研和生产课题，创百万元以上的经济效益。的经济效益。1993年年“均匀设计与统计调优技术应用均匀设计与统计调优技术应用”通过国家医药管理局的技术鉴定，通过国家医药管理局的技术鉴定，1994年列入全国医年列入全国医药行业药行业“八五八五”科技推广项目。科技推广项目。和正交试验设计需要正交表一样，均匀和正交试验设计需要正交表一样，均匀试验设计也
6、需要用规格化的表格来安排试验设计也需要用规格化的表格来安排实验，这种表格称实验，这种表格称均匀设计表均匀设计表，简称，简称U表表（uniform）。）。通常只列出试验次数为奇数的表，对于通常只列出试验次数为奇数的表，对于偶数次数试验可以用试验次数多一次的偶数次数试验可以用试验次数多一次的奇数表划去最后一行来安排奇数表划去最后一行来安排 qnUt列数（最多能安排的因素列数（最多能安排的因素个数，包括交互作用、误个数，包括交互作用、误差等）差等）行数（需要做的试验行数（需要做的试验次数）次数）各因素的水平数（各因素的水平数（各因各因素的水平数相等）素的水平数相等）均匀设计表均匀设计表的代号的代号均
7、匀设计表的记号及含义 均匀试验设计的突出优点是试验工作量均匀试验设计的突出优点是试验工作量很少，特别适用于水平数较多时的试验很少，特别适用于水平数较多时的试验安排但它与正交表是不同的，安排但它与正交表是不同的，不仅表不仅表中各列的地位不平等中各列的地位不平等，而且，而且各因素安排各因素安排在表中的位置也是不能随便变换的在表中的位置也是不能随便变换的，需，需根据试验中欲考察的实际因素数，依照根据试验中欲考察的实际因素数，依照附在每一张均匀设计表后的使用表来确附在每一张均匀设计表后的使用表来确定因素所对应的列号例如用定因素所对应的列号例如用 U11(1110）安排安排 2因素因素11水平的试验，因
8、素安排在第水平的试验，因素安排在第1列与第列与第7列；列；5因素因素11水平试验则安排在水平试验则安排在第第1，2，3，5，7列列.均匀设计的特点均匀设计的特点1）每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验。）每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验。2）任两个因素的试验点点在平面的格子点上，）任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点。每行每列有且仅有一个试验点。性质1）和2）反映了试验安排的“均衡性”，即对各因素，每个因素的每个水平一视同仁。3）均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不）均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价。均匀设计表的这一性质和正交表有很等价。均匀设计
9、表的这一性质和正交表有很大的不同，因此，每个均匀设计表必须有一大的不同，因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表。个附加的使用表。4）当因素的水平数增加时，试验数按水平数的）当因素的水平数增加时，试验数按水平数的增加量在增加。而正交设计当水平增加时，增加量在增加。而正交设计当水平增加时，试验数按水平数的平方的比例在增加。由于试验数按水平数的平方的比例在增加。由于这个特点，使均匀设计更便于使用。这个特点，使均匀设计更便于使用。试验安排的特点使试验数据失去了整齐试验安排的特点使试验数据失去了整齐可比性，数据一般应采用回归分析法进可比性，数据一般应采用回归分析法进行分析由于实验次数较少，试验精度行
10、分析由于实验次数较少，试验精度较差，为了提高其精度，可采用试验次较差，为了提高其精度，可采用试验次数较多的均匀设计表来重新安排因素各数较多的均匀设计表来重新安排因素各水平的试验水平的试验均匀设计表的构造均匀设计表的构造 如均匀表如均匀表U7(76)，第，第1次（表中第次（表中第2行）行）6个因素分别以个因素分别以1，2，3，4，5和和6的水平的水平进行组合试验；进行组合试验；下一次试验各因素水平分别在前一次水下一次试验各因素水平分别在前一次水平基础上加平基础上加1，2，3，4，5和和6，并以，并以7进进制进位取余数（当余数为制进位取余数（当余数为0时，水平号取时，水平号取7）例如在表中第3列的
11、7次试验的水平号分别为 3，33=6，63=92（取余数），23=5，53=8 1，13=4和43=7，即为3，6，2，5，1，4和7。同理可构造出其他均匀表的因素水平安排例例8-108-10:阿魏酸的制备阿魏酸的制备阿魏酸是某些药品的主要成分，为了在制阿魏酸是某些药品的主要成分，为了在制备过程中能增加其产量。经过分析研究，备过程中能增加其产量。经过分析研究，挑选出因素和试验区域，为：挑选出因素和试验区域，为：原料配比:1.0-3.4吡啶总量:10-28反应时间:0.5-3.5确定了每个因素相应的水平数为7。表 1.第第1步步:将试验因素的水平列成下表将试验因素的水平列成下表：例如:)7(47
12、UNo.123411236224653362444153553126654177777)9(49UNo.1234112132254533987443695547166726771948863899852表表 1.2:表表 1.3:16每个表还有一个使用表，将建议我们如何选择适当的列。其每个表还有一个使用表，将建议我们如何选择适当的列。其中中偏差偏差为均匀性的度量值，数值小的设计表示均匀性好为均匀性的度量值，数值小的设计表示均匀性好。例如。例如 U7(74)的使用表为：的使用表为：)47(7U表表 1.1.4:表表1.1.2:第第3步步:应用选择的 UD-表,做出试验安排。No.12311232
13、246336244155531665477771.将 x1,x2和 x3放入列1,和3.x1 x2 x3 2用x1的个水平替代第一列的1到 7.1.01.41.82.22.63.03.43.对第二列，第三列做同样的替代.13 1.519 3.025 1.010 2.516 0.522 2.028 3.54.完成该设计对应的试验，得到个结果，将其放入最后一列.表表 1.1.5:第 4步:用回归模型匹配数据首先，考虑线性回归模型首先，考虑线性回归模型:)1.1.1(3322110 xxxydata ex;input x1 x2 x3 y;cards;1.0 13 1.5 0.3301.4 19 3
14、.0 0.3661.8 25 1.0 0.2942.2 10 2.5 0.4762.6 16 0.5 0.2093.0 22 2.0 0.4513.4 28 3.5 0.482;proc glm;model y=x1 x2 x3;run;The SAS System 23:13 Tuesday,October 26,2004 1 The GLM Procedure Number of observations 7 The SAS System 23:13 Tuesday,October 26,2004 2 The GLM ProcedureDependent Variable:y Sum of
15、 Source DF Squares Mean Square F Value Pr F Model 3 0.04877010 0.01625670 3.29 0.1773 Error 3 0.01483761 0.00494587 Corrected Total 6 0.06360771 R-Square Coeff Var Root MSE y Mean 0.766732 18.87608 0.070327 0.372571 Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr F x1 1 0.01045289 0.01045289 2.11 0.2420
16、x2 1 0.00032411 0.00032411 0.07 0.8145 x3 1 0.03799310 0.03799310 7.68 0.0695 Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr F x1 1 0.00454233 0.00454233 0.92 0.4086 x2 1 0.00219572 0.00219572 0.44 0.5529 x3 1 0.03799310 0.03799310 7.68 0.0695 Standard Parameter Estimate Error t Value Pr|t|Intercept 0
17、.2023641775 0.09932934 2.04 0.1344 x1 0.0371834416 0.03880000 0.96 0.4086 x2 -.0034469697 0.00517333 -0.67 0.5529 x3 0.0769480519 0.02776302 2.77 0.0695data ex;input x1 x2 x3 y;X4=x3*x3;x5=x1*x3;cards;1.0 13 1.5 0.3301.4 19 3.0 0.3661.8 25 1.0 0.2942.2 10 2.5 0.4762.6 16 0.5 0.2093.0 22 2.0 0.4513.4
18、 28 3.5 0.482;proc glm;model y=x3 x4 x5;run;The SAS System 23:13 Tuesday,October 26,2004 9 The REG Procedure Model:MODEL1 Dependent Variable:y Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr F Model 3 0.06219 0.02073 43.88 0.0056 Error 3 0.00142 0.00047244 Corrected Total 6 0.06
19、361 Root MSE 0.02174 R-Square 0.9777 Dependent Mean 0.37257 Adj R-Sq 0.9554 Coeff Var 5.83398 Parameter Estimates Parameter Standard Variable DF Estimate Error t Value Pr|t|Intercept 1 0.06232 0.03496 1.78 0.1727 x3 1 0.25113 0.03918 6.41 0.0077 x4 1 -0.06000 0.01063 -5.64 0.0110 x5 1 0.02347 0.0048
20、1 4.88 0.0164rcoplot(r,rint)作残差分析图（如残差置信作残差分析图（如残差置信区间不包含中心线，则可视为异常点）区间不包含中心线，则可视为异常点）第第5步步:优化优化-寻找最佳的因素水平组合寻找最佳的因素水平组合表1.1.5的设计是73=343个全面试验的部分实施,其中最好的试验点是值为Y=48.2%的#7。它不一定是全局最好的。如果想找到满足下式的x1*和 x3*:),(max),(31*3*1xxYxxY这里求取max的区域为：5.35.0,4.3131xx31233310235.006.025.006232.0),(xxxxxxY且bint=-0.0489 0.
21、1736 0.1264 0.3758 -0.0938 -0.0262 0.0082 0.0388stats=0.9777 43.8786 0.0056 可以看到，结果分析与正交设计有所不可以看到，结果分析与正交设计有所不同，一般应采用多元线性回 归 分 析同，一般应采用多元线性回 归 分 析法指标最佳试验点所对应的试验条件，法指标最佳试验点所对应的试验条件，即使不是全面试验中最好的条件，往往即使不是全面试验中最好的条件，往往也是接近于全面试验中最佳条件的试验也是接近于全面试验中最佳条件的试验条件条件 由于均匀试验中试验点在整个试验区域由于均匀试验中试验点在整个试验区域内分布均匀，因此采用多元线
22、性回归对内分布均匀，因此采用多元线性回归对实验数据进行解析以确定最佳实验条件实验数据进行解析以确定最佳实验条件是可行的是可行的例例8-11 石墨炉原子吸收分析钯石墨炉原子吸收分析钯试验因素：灰化温度、灰化时间、原子化试验因素：灰化温度、灰化时间、原子化温度，原子化时间温度，原子化时间进一步去掉进一步去掉x4-3-82-52-822123-0.05345-3.045 10-3.138 103.530 103.419 10Yxxxx Y=-0.05345-3.04510-3 x2-3.13810-8 x12 +3.53010-5 x22 +3.41910-8 x3 2最优试验条件最优试验条件将计算
23、得的将计算得的b阵代入可算得最优条件为阵代入可算得最优条件为TC=139.6、tc=41.2s、Ta=1791.3，ta=6.6 s由于该条件并不在设计表内，应再安排由于该条件并不在设计表内，应再安排试验得出其指标，判断其是否最优。试验得出其指标，判断其是否最优。例例8-12.均匀设计法在全光亮镀镍研究均匀设计法在全光亮镀镍研究中的应用中的应用1.均匀设计表的选取均匀设计表的选取本实验的目的是提高镀层光亮性。经初步研究，本实验的目的是提高镀层光亮性。经初步研究，取其固定组成为硫酸镍取其固定组成为硫酸镍25g/L，次磷酸钠，次磷酸钠25g/L，醋酸钠醋酸钠25g/L。考察因素为稳定剂，主光亮剂，
24、。考察因素为稳定剂，主光亮剂，辅助光亮剂，润湿剂辅助光亮剂，润湿剂4个因素，每个因素取值个因素，每个因素取值范围为范围为t个水平（个水平（t 为实验次数），为实验次数），4个因素的个因素的一次项及二次项各有一次项及二次项各有4项，项，4项因素间的两两交项因素间的两两交互作用设有互作用设有6项，共项，共14项，实验数不能小于项，实验数不能小于14，本实验选用本实验选用U17(178)表。表。均匀表U17(178)U17(178)表的使用表本实验为本实验为4因素，这因素，这4个因素安排在均匀表的个因素安排在均匀表的1，5，7，8列，去掉列，去掉U17(178)的最后一行，将实验方案及结果见下的最后
25、一行，将实验方案及结果见下表。表。综合指标水平号c mg/L水平号c mg/L水平号c mg/L水平号c mg/L Z110.2105.5147.51537.079.15220.432.0116.01332.087.50330.6137.084.51127.086.95440.863.553.0922.990.95551.0168.521.5717.091.58661.295.0168.5512.087.40771.421.5137.037.087.55881.6126.5105.512.090.88991.853.074.01639.580.9210102.0158.042.51434.57
26、8.4011112.284.511.01229.569.9512122.411.0158.01024.566.4013132.6116.0126.5819.548.1314142.842.595.0614.560.5015153.0147.563.549.535.7016163.274.032.024.530.13第8列润湿剂试验号第1列稳定剂第5列主光亮剂第7列辅助光亮剂2.指标的选择和优化 指标是回归方程中的响应函数，在本实指标是回归方程中的响应函数，在本实验中即是镀件质量。根据我们对镀件的验中即是镀件质量。根据我们对镀件的要求，定义一个综合指标要求，定义一个综合指标z，z的分值由的分值由
27、外观评分外观评分R，沉积速度评分，沉积速度评分V，耐腐蚀性，耐腐蚀性评 分评 分 Q 乘 以 不 同 的 权 重 构 成，乘 以 不 同 的 权 重 构 成，z=0.5R+0.2V+0.3Q。R，V，Q的分值分的分值分别为别为0100。3.实验方法 试样为试样为10cm5cm0.2cm的低碳钢板，的低碳钢板，在在8890 的恒温水浴槽内施镀，镀液的恒温水浴槽内施镀，镀液pH值控制在值控制在4.5-5.0。镀前处理按常规进。镀前处理按常规进行，按均匀设计表中确定的组成分别配行，按均匀设计表中确定的组成分别配成成16种化学镀液，挂镀法施镀种化学镀液，挂镀法施镀1h，清洗，清洗，晾干，对试样进行外观
28、的评定。晾干，对试样进行外观的评定。沉积速度测定：沉积速度，样片增加的沉积速度测定：沉积速度，样片增加的重量重量/样片的面积样片的面积(g/cm2)耐腐蚀性测定：耐腐蚀性测定：10硫酸浸泡硫酸浸泡24h，根据，根据失重及腐蚀后外观评分失重及腐蚀后外观评分4.结果处理及分析 实验结果用计算机处理，主要运用软件为实验结果用计算机处理，主要运用软件为SPSS和和Matlab。4.1建立数学模型及筛选变量建立数学模型及筛选变量考虑到可能有的数学关系，将各因素的一考虑到可能有的数学关系，将各因素的一次项，二次项，两因子间的交互作用项均次项，二次项，两因子间的交互作用项均作为考察对象，回归方程模型为：作为
29、考察对象，回归方程模型为：R=b0+bixi+bi jxixj+bi ixi2 (i=1,2,3,4;ij)b为各项系数。将给因素的值及综合指标为各项系数。将给因素的值及综合指标输 入 计 算 机，用 自 后 淘 汰 变 量 法输 入 计 算 机，用 自 后 淘 汰 变 量 法(backward selection)进行回归分析和变量进行回归分析和变量筛选，筛选，sigF0.100.10的变量被淘汰，的变量被淘汰，最后得最后得到指标与相关组成的回归方程。到指标与相关组成的回归方程。Z=86.726+6.555d4.554p21.384c20.0164123.177pc0.1932p0.1209
30、c0.3779dc为主光亮剂；d为辅助光亮剂；为润湿剂；p为稳定剂。4.2对回归方程的优化处理对回归方程的优化处理用求条件极值的强约束优化法对回归方程进行优化，用用求条件极值的强约束优化法对回归方程进行优化，用Matlab语言编程语言编程，用，用BFGS拟牛顿拟牛顿(Quasi-Newton)算法及最小算法及最小二乘法寻优，本实验找到的最优解为：二乘法寻优，本实验找到的最优解为：主光亮剂主光亮剂C3.7mg/L，辅助光亮剂辅助光亮剂HD1.1ml/g，稳定剂，稳定剂0.2mg/L，润湿剂，润湿剂19.7mg/L，乳酸乳酸6mol/L。8-6 单 纯 形 试 验 法（simplex）单纯形优化法
31、最初由单纯形优化法最初由Erns引入化学引入化学研究，它是一种按研究，它是一种按黑箱方式黑箱方式工作的工作的试验设计方法。试验设计方法。正交设计试验是通过在多维空间中均衡地布置试验点，并比较它们的优劣来寻优 单纯形试验法是基于在多维空间中的几何图形的变换来寻找试验点，并逐一比较试验结果后逐步搜索寻优的。这里所说的图形是指的在这里所说的图形是指的在n维空间中，维空间中，具有具有n+1个顶点的图形，例如，两维个顶点的图形，例如，两维空间使用三角形，三维空间使用有空间使用三角形，三维空间使用有四个顶点的多面体。这些图形的顶四个顶点的多面体。这些图形的顶点即是试验所安排的试验点，通过点即是试验所安排的试验点，通过比较各试验点的结果并丢弃最差点比较各试验点的结果并丢弃最差点而代之以新点，从而再构成新的单而代之以新点，从而再构成新的单纯形，这样就可逐步逼近最优试验纯形，这样就可逐步逼近最优试验点。点。
