1、 2020 届高三数学（文） “大题精练”4 17 （本小题满分 12 分） 已知等差数列 n a中， n S为其前n项和， 245 8,15aaS；等比数列 n b的前n项和21 n n T （I）求数列 , nn ab的通项公式； （II）当 n a各项为正时，设 nnn cab，求数列 n c的前n项和 18 （本小题满分 12 分） 在长方体 1111 -ABCD ABC D中， 1 ADAA （I）证明：平面 1 ABD 面 11 BC D； （II）求三棱锥 11 B ABD-与 11 D ABD-的体积比 19 （本小题满分 12 分） 至2018年底，我国发明专利申请量已经连续
2、8年位居世界首位，下表是我国2012年至2018年发明专利申 请量以及相关数据 注：年份代码17分别表示20122018 （I）可以看出申请量每年都在增加，请问这几年中哪一年的增长率达到最高，最高是多少？ （II）建立y关于t的回归直线方程（精确到0.01） ，并预测我国发明专利申请量突破200万件的年份 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 11 22 11 () () ()() nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxx ， . a ybx 20 （本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 (:0)yax a 的焦点为F，若过F且倾斜角为 4
3、的直线交于M，N两点，满足 | 4MN （I）求抛物线的方程； （II）若P为上动点，B，C在y轴上，圆 22 (1)1xy内切于PBC，求PBC面积的最小值 21 （本小题满分 12 分） 已知函数( )e (0) x x f xa a （I）求函数 ( )f x在1,2上的最大值； （II）若函数 ( )f x有两个零点 1212 ,x xxx，证明： 1 2 x ae x 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线
4、C的参数方程为 2cos ( 22sin x y 为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系 （I）求曲线C的极坐标方程； （II）设,A B为曲线C上不同两点（均不与O重合） ，且满足 4 AOB ，求OAB的最大面积 23选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 设函数( ) |2|2|f xxx （I）解不等式( )2f x ； （II）当xR，01y时，证明： 11 |2|2| 1 xx yy 2020 届高三数学（文） “大题精练”4（答案解析） 17 （本小题满分 12 分） 已知等差数列 n a中， n S为其前n项和， 245 8,15aaS；等比数
5、列 n b的前n项和21 n n T （I）求数列 , nn ab的通项公式； （II）当 n a各项为正时，设 nnn cab，求数列 n c的前n项和 【解析】 （I）设等差数列 n a的首项为 1 a，公差为d， 则 211 11 38338 111 5101532 adaddd ddd adad 或， 1 1,1, n daan ， 1 1,5,6 n daan ， 当2n时， 1 1 2n nnn bTT ；当1n 时， 11 1bT也满足上式， 1 2n n b （II）由题可知， 1 ,2n nnnn an ca bn ， 01221 1 22 23 2122 nn n Tnn
6、， 1231 21 22 23 2122 nn n Tnn ， 11 1 222121 nnn n Tnn ，故121 n n Tn 18 （本小题满分 12 分） 在长方体 1111 -ABCD ABC D中， 1 ADAA （I）证明：平面 1 ABD 面 11 BC D； （II）求三棱锥 11 B ABD-与 11 D ABD-的体积比 【解析】 （I）证明：连接 1 AD， 1 ADAA，四边形 11 A ADD是正方形， 11 ADAD， 由题， 11 / /ADBC， 11 ADBC， 又 111 ADC D， 1111 BCC DC， 111 ,BC C D 平面 11 BC
7、D， 1 AD 平面 11 BC D， 又 1 AD 平面 1 ABD，平面 1 ABD 平面 11 BC D （II）解：连结 11 B D，由题， 11 / /B DBD， 11/ / B D平面 1 ABD， 1 B， 1 D到平面 1 ABD的距离相等， 故三棱锥 11 BABD与 11 DABD的体积比为 1：1 19 （本小题满分 12 分） 至2018年底，我国发明专利申请量已经连续8年位居世界首位，下表是我国2012年至2018年发明专利申 请量以及相关数据 注：年份代码17分别表示20122018 （I）可以看出申请量每年都在增加，请问这几年中哪一年的增长率达到最高，最高是多
8、少？ （II）建立y关于t的回归直线方程（精确到0.01） ，并预测我国发明专利申请量突破200万件的年份 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 11 22 11 () () ()() nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxx ， . a ybx 【 解 析 】 （ I ） 由 表 格 可 知 2013 ， 2014 ， 2015 ， 2016 ， 2017 ， 2018 年 的 增 长 率 分 别 如 下 ： 8265928211092133 110138 133154 138 26%12%20%21%4%12% 65829211013313
9、8 ；， 2013 年的增长率最高，达到了 26% （II）由表格可计算出： 77 2 11 774 4351628 7 iii ii tyt ytt ， 774 351674 774 7 1515 450. 7 57 28 ba ， ，y关于t的回归直线方程为150.57 5yt 令 149.43 1550.572009.96 15 tt ， 根据回归方程可预测，我国发明专利申请量将在 2021 年突破 200 万件 20 （本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 (:0)yax a 的焦点为F，若过F且倾斜角为 4 的直线交于M，N两点，满足 | 4MN （I）求抛物线的方程； （II）若
10、P为上动点，B，C在y轴上，圆 22 (1)1xy内切于PBC，求PBC面积的最小值 【解析】 （I） 抛物线 2 (:0)yax a 的焦点为,0 4 a F ， 则过点F且斜率为 1 的直线方程为 4 a yx， 联立抛物线方程 2 yax，消去y得： 2 2 3 0 216 aa xx， 设 1122 ,M x yN x y，则 12 3 2 a xx， 由抛物线的定义可得 12 |24 2 a MNxxa，解得2a，抛物线的方程为 2 :2yx （ II ） 设 00 ,P x y，0,Bb，0,Cc， 不 妨 设bc， 0 0 : PB yb lybx x ， 化 简 得 ： 000
11、 0yb xx yx b， 圆心1,0到直线PB的距离为 1，故 00 2 2 00 1 ybx b ybx ， 即 22 222 000000 2ybxybx b ybx b，不难发现 0 2x ， 上式又可化为 2 000 220xby bx，同理有 2 000 220xcy cx， , b c可以看做关于t的一元二次方程 2 000 220xty tx的两个实数根， 0 0 2 2 y bc x ， 22 000 2 0 2 0 0 42 ,() 2 2 xyx x bcbc x x ， 由条件： 2 00 2yx 2 2 00 2 0 0 42 () 2 2 xx bcbc x x ，
12、 ， 2 0 00 00 14 ()248 222 PBC x Sbc xx xx ，当且仅当 0 4x 时取等号， PBC S面积的最小值为 8 21 （本小题满分 12 分） 已知函数( )e (0) x x f xa a （I）求函数 ( )f x在1,2上的最大值； （II）若函数 ( )f x有两个零点 1212 ,x xxx，证明： 1 2 x ae x 【解析】 （I）( )(0) x x f xe a a ，则 1 ( ) x fxe a 令 1 ( )0 x fxe a ，解得 1 lnx a 当 1 lnx a 时，( )0fx ； 当 1 lnx a 时，( )0fx ，
13、 故函数 ( )f x的增区间为 1 ,ln a ，减区间为 1 ln, a 当 1 ln2 a ，即 2 1 0a e 时，( )f x在区间1,2上单调连增，则 2 max 2 ( )(2)f xfe a ； 当 1 1ln2 a ，即 2 11 a ee 时，( )f x在区间 1 1,ln a 上单调递墙，在区间 1 ln,2 a 上单调递减，则 max 1111 ( )lnlnf xf aaaa ； 当 1 ln1 a ，即 1 a e 时，( )f x在区间1,2上单调递减，则 max 1 ( )(1)f xfe a （II）证明：若函数 ( )f x有两个零点，则 1111 ln
14、ln0f aaaa ，可得 1 ln1 a 则 1 e a ， 此时 1 (1)0fe a ， 由此可得 12 1 1lnxx a ， 故 21 1 ln1xx a ， 即 12 1 1lnxx a 又 12 12 12 0,0 xx xx fxefxe aa ， 1 12 2 1 1 ln ln( e) 1 2 eee x xxa a x xe ea xe ，则 1 2 x ae x 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在直角坐标系xOy
15、中，曲线C的参数方程为 2cos ( 22sin x y 为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系 （I）求曲线C的极坐标方程； （II）设,A B为曲线C上不同两点（均不与O重合） ，且满足 4 AOB ，求OAB的最大面积 【解析】 （I）设曲线C上任意点的极坐标为( , ) ，由题意，曲线C的普通方程为 22 (2)4xy，即 22 40xyy，则 2 4 sin，故曲线C的极坐标方程为 4sin （II）设 1 (, )A ，则 2 (,) 4 B ，故 3 (0,) 4 ， 点,A B在曲线C上，则 1 4sin ， 2 4sin() 4 ， 1 sin 2 A
16、OB SOA OBAOB 2 3 4 2sin sin4 sinsincos2sin22cos222 2sin 220, 444 ， 故 3 8 时，OAB取到最大面积为2 2 2 23选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 设函数( ) |2|2|f xxx （I）解不等式( )2f x ； （II）当xR，01y时，证明： 11 |2|2| 1 xx yy 【解析】 （I）由已知可得： 4,2 2 , 22 4,2 x f xxx x ， 当2x时，42成立； 当22x 时，22x，即1x，则12x 2f x 的解集为 |1x x （II）由（I）知，224xx， 由 于01y ， 则 11111 12224 111 yy yy yyyyyy ， 当 且 仅 当 1 = 1 yy yy ，即 1 2 y 时取等号，则有 11 22 1 xx yy
