1、第三篇第三篇 代数系统代数系统第三篇第三篇 代数系统代数系统代数系统：由集合上定义若干个运算而组成的系统代数系统：由集合上定义若干个运算而组成的系统小学小学加、减、乘、除运算加、减、乘、除运算有理数有理数对象对象初中初中实数的四则运算，乘方和开方，简单的线性方程实数的四则运算，乘方和开方，简单的线性方程实数实数对象对象高中高中更复杂的算术演算更复杂的算术演算复数复数对象对象代数系统：由集合上定义若干个运算而组成的系统代数系统：由集合上定义若干个运算而组成的系统在一个集合在一个集合 A 上的运算概念上的运算概念例：例：将实数集合将实数集合 R 上的每一数上的每一数 a 0 映射成它的倒数映射成它
2、的倒数1/a，就，就可以将该映射称为在集合可以将该映射称为在集合R 上的一元运算；上的一元运算；在集合在集合R上，对任意两个数所进行的普通加法和乘法，上，对任意两个数所进行的普通加法和乘法，都是在集合都是在集合R上的二元运算。上的二元运算。对于集合对于集合R上的任意三个数的运算，就是集合上的任意三个数的运算，就是集合R上的三上的三元运算。元运算。代数系统代数系统忠告：忠告：1.不要被代数系统中众多的符号和术语所迷惑。不要被代数系统中众多的符号和术语所迷惑。2.代数系统，无论其外表多么复杂多么让人难以代数系统，无论其外表多么复杂多么让人难以捉摸，说到底无非是研究对象之间的运算，以捉摸，说到底无非
3、是研究对象之间的运算，以及运算的规律。及运算的规律。代数系统代数系统第三篇第三篇 代数系统代数系统n代数系统的基本概念代数系统的基本概念n代数系统的性质代数系统的性质n同构和同态同构和同态n半群半群n群群n环环n格和布尔代数格和布尔代数n几种特殊的格几种特殊的格例：例：在集合在集合A=1，2，3，4，5，1/2，1/3，1/4，1/5，做任，做任意元素的倒数运算；意元素的倒数运算；在集合在集合A=1，2，3，4，5，做任意元素的倒数运算；，做任意元素的倒数运算；n若集合若集合S中的元素经某一运算后它的结果仍在中的元素经某一运算后它的结果仍在S中，则称中，则称此运算在集合此运算在集合S上是封闭的
4、。上是封闭的。5.1 5.1 代数系统的基本概念代数系统的基本概念 不封闭的例子：不封闭的例子：一架自动售货机，能接受五角硬币和一元一架自动售货机，能接受五角硬币和一元硬币，而所对应的商品是桔子水、可乐和冰淇凌。当投硬币，而所对应的商品是桔子水、可乐和冰淇凌。当投入上述硬币的任何两枚时，自动售货机将按照表中供应入上述硬币的任何两枚时，自动售货机将按照表中供应相应的产品：相应的产品：表格左上角的记号表格左上角的记号 *可以理解为一个二元运算的运算符。可以理解为一个二元运算的运算符。这个例子中的二元运算这个例子中的二元运算 *不是集合不是集合 五角硬币五角硬币 ，一元，一元硬币硬币 上的封闭运算。
5、上的封闭运算。*五角硬币五角硬币 一元硬币一元硬币五角硬币五角硬币桔子水桔子水可口可乐可口可乐一元硬币一元硬币可口可乐可口可乐冰淇凌冰淇凌代数系统的基本概念代数系统的基本概念 在集合在集合A=1，2，3，4，5，1/2，1/3，1/4，1/5，做任，做任意元素的倒数运算；可以看作是：将集合意元素的倒数运算；可以看作是：将集合A上的每一数上的每一数a映射成他的倒数映射成他的倒数1/a；在实数集合在实数集合R上，对任意两个数进行的普通加法和减法；上，对任意两个数进行的普通加法和减法；可以看作是：将集合可以看作是：将集合R上的任意两个数映射成上的任意两个数映射成R中的一个中的一个数；数；1.1.定义
6、：对于集合定义：对于集合A，有一个从，有一个从An到到B的映射，如果的映射，如果B A，则称该则称该n元运算是封闭的。元运算是封闭的。代数系统的基本概念代数系统的基本概念 2.一个代数系统需要满足以下三个条件：一个代数系统需要满足以下三个条件：有一个非空集合有一个非空集合U；有一些建立在集合有一些建立在集合U上的运算；上的运算；这些运算在这些运算在U上是封闭的。上是封闭的。由此将由集合由此将由集合U及建立在及建立在U上的封闭运算上的封闭运算f1，f2，fk所组成所组成的系统就称为一个代数系统，记作的系统就称为一个代数系统，记作。代数系统的基本概念代数系统的基本概念 例：例：在整数集合在整数集合
7、 I 上定义上定义 如下：如下：对任何对任何其中的其中的+，分别是通常数的加法和乘法。分别是通常数的加法和乘法。那么那么 是一个从是一个从 I2 到到 I 的函数，的函数，只要只要 在集合在集合 I 上是封闭的，上是封闭的，就是一个代数系就是一个代数系统。统。,a bIa baba b(,)a baba b代数系统的基本概念代数系统的基本概念 1、结合律结合律设有代数系统设有代数系统，对，对 a，b，c U，如果有，如果有(a*b)*c=a*(b*c),则称此代数系统的运算满足结合律。则称此代数系统的运算满足结合律。例如：例如：设设A是一个非空集合，是一个非空集合，是是A上的二元运算，对于任上
8、的二元运算，对于任意意a，b A，有，有ab=b，证明：是满足结合律的。，证明：是满足结合律的。证：证：对于任意的对于任意的a，b，c A，（a b）c=b c=c而而a（bc）=a c=c，（ab）c=a（bc）是满足结合律的是满足结合律的5.2 代数系统的性质代数系统的性质2、交换律交换律设有代数系统设有代数系统，如果对于，如果对于 a，b U，有，有a*b=b*a，则称此代数系统的运算，则称此代数系统的运算“*”满足交换律。满足交换律。例如：例如：在整合集合在整合集合 I 上定义运算上定义运算 ：对任何对任何其中的其中的+，分别是通常数的加法和乘法。分别是通常数的加法和乘法。那么那么 可
9、以满足交换律？可以满足交换律？代数系统的性质代数系统的性质,()a bIa ba bab 3、分配律（左分配，右分配）分配律（左分配，右分配）设有代数系统设有代数系统，对，对 a,b,c U，如果有，如果有a(b*c)=(a b)*(a c)，则称此代数系统上则称此代数系统上“”运算对运算对“*”运算满足左分配律。运算满足左分配律。同理，若同理，若“*”对对“”满足满足a*(b c)=(a*b)(a*c)，则称运算则称运算“*”对运算对运算“”满足左分配律满足左分配律若有若有(a*b)c=(a*c)(b*c)，则称则称“”运算对运算对“*”运算满足右分配律。运算满足右分配律。同理，若同理，若(
10、a b)*c=(a*c)(b*c)，则称则称“*”运算对运算对“”运算满足右分配律运算满足右分配律例如：例如：代数系统代数系统。其中。其中+，分别代表通常数分别代表通常数的加法和乘法。的加法和乘法。代数系统的性质代数系统的性质4、等幂律等幂律 设设*是定义在集合是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意上的一个二元运算，如果对于任意的的x A，都有，都有x*x=x，则称，则称*运算是等幂的。运算是等幂的。EX:S=1,2,4，在集合，在集合 p(S)定义两个二元运算，定义两个二元运算，分别表示集合的分别表示集合的“并并”运算和集合的运算和集合的“交交”运算，运算，是等幂的？是等幂的？解：解：
11、对于任意的对于任意的A p(S)，有，有AA=A；AA=A因此运算因此运算，都满足等幂律。都满足等幂律。代数系统的性质代数系统的性质5、幺元幺元一个代数系统一个代数系统，若存在一个元素若存在一个元素e U，使得对，使得对 x U，有：，有：e x=x e=x，则称，则称 e 为对于运算为对于运算“”的幺元的幺元 或者或者 称称 e 是是幺元幺元。注意：注意：这里考虑的是只有一个运算的代数系统。如果有两个或这里考虑的是只有一个运算的代数系统。如果有两个或者更多的运算，就不能简单地说代数系统的幺元了，因者更多的运算，就不能简单地说代数系统的幺元了，因为幺元事实上是针对具体运算而言的。因而，如果有更
12、为幺元事实上是针对具体运算而言的。因而，如果有更多的运算就必须对每个运算都进行讨论，一个运算若有多的运算就必须对每个运算都进行讨论，一个运算若有幺元，则一定指明是该运算的幺元。幺元，则一定指明是该运算的幺元。代数系统的性质代数系统的性质左单位元或右单位元（左幺元或右幺元）左单位元或右单位元（左幺元或右幺元）一个代数系统一个代数系统，若存在一个元素若存在一个元素el U，使得对，使得对 x U，有：，有：el x=x，则称，则称 el 为对于运算为对于运算“”的左幺元的左幺元。若存在一个元素若存在一个元素er U，使得对，使得对 x U，有：，有：x er=x，则称，则称 er为对于运算为对于运
13、算“”的右幺元的右幺元。代数系统的性质代数系统的性质EX：设代数系统设代数系统，*的定义为：的定义为：对对那么，那么，有没有幺元？左幺元？右幺元？有没有幺元？左幺元？右幺元？解：解：对任何对任何 ，因此，因此 1 是右幺元。是右幺元。但但 1 不是左幺元，因为不是左幺元，因为所以所以没有左幺元，没有左幺元，当然也就没有幺元。当然也就没有幺元。,*ba bNa ba1,*1aNaaa21*2112 代数系统的性质代数系统的性质定理定理：一个代数系统一个代数系统的单位元若存在，则唯一。的单位元若存在，则唯一。证：设证：设 e 为运算为运算“”的幺元，另有一单位元的幺元，另有一单位元 e，e是幺元，
14、是幺元，对对 x U，有，有e x=x，取，取x=e ，则，则e e =e 又又 e 是幺元，是幺元，对对 x U，有，有x e =x，取，取x=e，则，则e e =e 由由 式可得：式可得：e =e，即幺元唯一。，即幺元唯一。代数系统的性质代数系统的性质6、零元零元 一个代数系统一个代数系统，如果存在一个元素，如果存在一个元素 U，使得，使得对对 x U有：有：x=x=，则称，则称为对于运算为对于运算“”的的零元。零元。若只满足若只满足 x=，则，则称为左零元。称为左零元。若只满足若只满足 x=，则，则称为右零元。称为右零元。例如：例如：代数系统代数系统的零元是什么？的零元是什么？（0）在所
15、有在所有n阶方阵集合阶方阵集合M上的代数系统上的代数系统，零，零元是什么？元是什么？（所有元素为（所有元素为 0 的的n阶方阵）阶方阵）在在I+上定义一个二元运算取极小上定义一个二元运算取极小“Min”，的零元是什么？的零元是什么？（1）代数系统的性质代数系统的性质定理：定理：一个代数系统，其零元若存在，则唯一。（同学自证）一个代数系统，其零元若存在，则唯一。（同学自证）定理：定理：一个代数系统一个代数系统，若集合，若集合 A 中元素的个数大于中元素的个数大于1，且该代数系统存在幺元且该代数系统存在幺元 e 和零元和零元，则，则 e。证明：证明：用反证法，设用反证法，设=e，则对于任意的，则对
16、于任意的x A，必有，必有x=e x=x=e，即对于即对于A中所有元素都是相同的，这与中所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛中含有多个元素相矛盾。盾。代数系统的性质代数系统的性质7、逆元逆元 一个存在幺元一个存在幺元 e 的代数系统的代数系统，如果对，如果对 U 中的中的元素元素 x 存在存在 x-1，使得，使得 x-1 x=x x-1=e，则称则称x-1为为x的逆元。的逆元。若若 x x-1=e，则称，则称 x-1 为为 x 的右逆元。的右逆元。若若 x-1 x=e，则称，则称 x-1 为为 x 的左逆元。的左逆元。既是左逆元，又是右逆元，则称既是左逆元，又是右逆元，则称 x-1 为
17、为 x 的一个逆元。的一个逆元。代数系统的性质代数系统的性质例如：例如：对代数系统对代数系统，*为二元运算，定义为通常数的乘法。为二元运算，定义为通常数的乘法。R为实数集合。为实数集合。只要，只要，a R，a 0，则则 1/a 即为即为 a 的逆元。的逆元。这是因为这是因为 1 是幺元，是幺元，a 0时，时，a*1/a=1/a*a=1。对代数系统对代数系统，*为二元运算，定义为通常数的乘法。为二元运算，定义为通常数的乘法。I 为整数集合。为整数集合。只有只有 1 和和 1有逆元，有逆元，1-1=1，(1)-1=-1因为对因为对a I，只要，只要 a 1，则，则 1/a 要么不存在，要么不存在，
18、要么要么1/a I。，*为二元运算，定义为通常数的乘法。为二元运算，定义为通常数的乘法。R 1为除了为除了 1 之外的实数集合。之外的实数集合。任何元素都没有逆元，因为根本没有幺元，就不谈逆元了。任何元素都没有逆元，因为根本没有幺元，就不谈逆元了。代数系统的性质代数系统的性质因此，关于逆元，下述结论是正确的：因此，关于逆元，下述结论是正确的：只要当幺元存在时，才考虑逆元。只要当幺元存在时，才考虑逆元。逆元是逆元是“局部局部”的，也就是说，逆元是针对具体元素而的，也就是说，逆元是针对具体元素而定的，有些元素可能有逆元，有些元素则可能没有逆元。定的，有些元素可能有逆元，有些元素则可能没有逆元。如果
19、如果 a 和和 b 都有逆元且都有逆元且 a b，则，则 a-1 和和 b-1 也不相同。也不相同。一个元素的逆元必须是代数系统内的元素。一个元素的逆元必须是代数系统内的元素。设设 e 幺元，只有当幺元，只有当 a b=e 和和 b a=e 同时成立时，同时成立时，b才才能是能是 a 的逆元，如果只有一个成立，的逆元，如果只有一个成立，b 也不是也不是 a 的逆元。的逆元。代数系统的性质代数系统的性质例如：例如：设集合设集合S=，定义在，定义在S上的一个二元运算上的一个二元运算如下表所示，试指出代数系统（如下表所示，试指出代数系统（S，）中各个元素的左、）中各个元素的左、右逆元情况。右逆元情况
20、。解：解：是幺元，是幺元，是是 的左逆元的左逆元，是是 的右逆元的右逆元；是是 、的左逆元，的左逆元，、是是 右逆元右逆元；是是 的左逆元的左逆元，是是 的的右逆元；右逆元；是是 的的左逆元，左逆元，是是 的的右逆元。右逆元。代数系统的性质代数系统的性质定理：定理：设代数系统（设代数系统（U，），运算），运算“”满足结合律，且满足结合律，且存在幺元存在幺元 e，那么对任意固定的，那么对任意固定的 x U，若，若 x 有逆元，则有逆元，则逆元是唯一的。逆元是唯一的。证明：证明：设设 x 有两个逆元有两个逆元 x1-1和和x2-1，则，则x1-1 x x2-1 =x1-1 （x x2-1）=x1-
21、1 e=x1-1同理同理 x1-1 x x2-1=（x1-1 x）x2-1=e x2-1=x2-1所以：所以：x1-1=x2-1代数系统的性质代数系统的性质5.3 半群半群1广群广群:设设是一个代数系统，其中是一个代数系统，其中“”是是U上的二元运上的二元运算。若算。若“”满足封闭性，则满足封闭性，则称为是称为是广群广群.2半群半群：设：设是一个广群，其中是一个广群，其中“”是是U上的二元运算。上的二元运算。若若“”满足结合律，则满足结合律，则称为是称为是半群半群。EX：有代数系统有代数系统其中其中S=a,b,p,q运算由下表定义运算由下表定义,试问试问该代数系统是一个半群吗该代数系统是一个半
22、群吗?abpqaabpqbabpqpabpqqabpqEX：有代数系统，其中有代数系统，其中 I 为整数集。为整数集。max为一个二元运算，为一个二元运算，表示对表示对 I 中的元素取最大，中的元素取最大，是一个半群吗？是一个半群吗？是一个半群吗？是一个半群吗？EX：代数系统代数系统中中N为自然数集，运算为自然数集，运算“+”为普通的为普通的加法运算，加法运算，是个半群吗？是个半群吗？EX：代数系统代数系统中中N为自然数集，运算为自然数集，运算“”为普通的为普通的减法运算，减法运算，是个半群吗？是个半群吗？半群半群3、子半群、子半群n 是一个半群是一个半群,U U,且且 运算运算在在U 是封闭
23、的是封闭的,那么那么n也是半群，并称为半群也是半群，并称为半群的的子半群子半群。例如例如:是半群是半群,那么那么是它的子半群吗是它的子半群吗?是半群是半群,那么那么是它的子半群吗是它的子半群吗?呢呢?定理定理5-3.2 设设是一个半群，是一个半群，若若S是一个有限集是一个有限集,则必有则必有a S,使得使得 a*a=a.(证明过程详细讲证明过程详细讲,属考试范围属考试范围)半群半群4、独异点（单元半群或含幺半群）独异点（单元半群或含幺半群）定义：一个半群定义：一个半群，若拥有幺元，则称其为，若拥有幺元，则称其为含幺半群含幺半群或或单元半群单元半群。EX：，是独异点吗？，是独异点吗？和和 呢呢?
24、定理定理5-3.3：独异点：独异点关于运算关于运算“”的运算表中的任意两行（列）都的运算表中的任意两行（列）都不相同。不相同。EX：考察考察与与是否是独异点是否是独异点?定理定理5-3.4：设：设是独异点是独异点,对于任意对于任意a,b S,且且a,b均均有逆元有逆元,则则 (1)(a-1)-1=a (2)a*b有逆元有逆元,且且(a*b)-1=b-1*a-1课堂练习课堂练习:P190(5)半群半群5.4 群与子群群与子群一、群的定义一、群的定义1设设是一个代数系统，其中是一个代数系统，其中G非空非空,*是是G上的二元运算上的二元运算,若若:(1)*关于关于G封闭封闭 (广群广群)(2)*是可
25、结合的是可结合的 (半群半群)(3)系统中含有幺元系统中含有幺元 (独异点独异点)(4)对于任意的对于任意的x G,则有则有x-1 G (群群)2如果如果是群，且是群，且G是有限集，则称是有限集，则称是有限群，否则称为是有限群，否则称为无限群。无限群。l 若若为有限群，为有限群，G的基数通常称为该有限群的阶数，的基数通常称为该有限群的阶数，记为记为|G|。l 若若为无限群，则其阶是无穷大。为无限群，则其阶是无穷大。广群半群群群独异点独异点群群EX：由一个元素构成的代数系统由一个元素构成的代数系统是群吗？是群吗？EX：是一个群吗？是一个群吗？Q是有理数集，是有理数集，*是普通的是普通的乘法运算。
26、乘法运算。，I是整数集，是整数集，*是普通的乘法运算。是普通的乘法运算。呢呢?其中其中,A=a,b,caaa群群群的几个重要定理：群的几个重要定理：定理定理1：一个阶大于一个阶大于 1 的群没有零元。的群没有零元。反证：设群反证：设群的阶大于的阶大于1，且其零元是，且其零元是,则对群中任意元则对群中任意元素素x G，有：，有：x*=*x=，设幺元为设幺元为 e，由代数系统的性质知，阶大于，由代数系统的性质知，阶大于 1 的代数系统，的代数系统，若存在幺元和零元，则必有：若存在幺元和零元，则必有：e。x*=*x=e，即，即不存在逆元，不存在逆元，这与这与是群矛盾。是群矛盾。一个群，如果它有零元，
27、则它的阶一定等于一个群，如果它有零元，则它的阶一定等于1，或一个群，若阶大于或一个群，若阶大于1，则必无零元。，则必无零元。群群定理定理2：设设是一个群，对是一个群，对 a，b G，可有，可有存在唯一元素存在唯一元素x G，使得，使得a*x=b证明证明:a*（a-1*b）=e*b =b 而而a-1*b G，存在一个存在一个x G，x=a-1*b使得使得a*x=b；设另一元素设另一元素x，使得，使得a*x =b，则，则a-1*（a*x）=a-1*b，x =a-1*b，即，即x=x。群群定理定理3：如果如果是一个群，则对于是一个群，则对于 a，b，c G都有：都有：a b=a c b=cb a=c
28、 a b=c消去律消去律证明：证明：a b=a c 且且a的逆元为的逆元为a-1，a-1 （a b）=a-1 （a c）（a-1 a）b=（a-1 a）c，即，即 e b=e c b=c同理：由同理：由b a=c a b=c。即群满足消去律。即群满足消去律。群群定义定义:设设S是一个非空集合是一个非空集合,从集合从集合S到到S的一个双射的一个双射称为称为S的一个置换。的一个置换。定理定理4：是一个群，则该代数系统的运算表是一个群，则该代数系统的运算表中的每一行或每一列都是中的每一行或每一列都是G的元素的一个置换的元素的一个置换。证略证略(P193)群群定理定理5：除了幺元外，群没有其它的等幂元
29、素。除了幺元外，群没有其它的等幂元素。证：假设证：假设a是群是群的等幂元素，（的等幂元素，（e是幺元），是幺元），且且ae，则，则a=a a，而而e=a-1 a=a-1 (a a)=(a-1 a)a=e a=a，与与ae矛盾矛盾。群群二、子群的定义：二、子群的定义：1、设设是一个群，是一个群，S是是G的一非空子集，如果的一非空子集，如果也也构成了群，则称构成了群，则称是是的子群。的子群。例如：例如：是一个群，则是一个群，则是它的子群吗？是它的子群吗？注意：注意：若若是一个群，称是一个群，称和和是是 的的平凡子群平凡子群。关于子群的几个重要定理：关于子群的几个重要定理：定理定理5-4.6：设设是
30、一个群，是一个群，是是的子群，的子群，那么那么中的幺元中的幺元e也必定是也必定是中的幺元中的幺元。证明：证明：设设中的幺元中的幺元 为为e1，对于任一，对于任一x S G必有必有 e1*x=x=e*x，故，故e1=e。群群定理定理5-4.7：设设是一个群，是一个群，B是是G的非空子集的非空子集,如果如果B是一个有限集是一个有限集,那么那么,只要运算只要运算*在在B上封闭上封闭,必定必定是是的子群。的子群。(非常重要非常重要,常作为证明子群的依据来用常作为证明子群的依据来用,要求熟练掌握要求熟练掌握)证明：证明：P195,详讲详讲。定理定理5-4.8：设设是一个群，是一个群，S是是G的非空子集的
31、非空子集,如果对如果对于于S中的任意元素中的任意元素a和和b都有都有a*b-1 S,则则必定是必定是的子群。的子群。(重要程度同定理重要程度同定理5-4.7)群群5.5 阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群n如果一个群如果一个群中的运算中的运算*是可交换的，则称该群为是可交换的，则称该群为阿贝尔群阿贝尔群,或称或称交换群交换群。nEX:和和均阿贝尔群。均阿贝尔群。n如果一个群如果一个群，G中的每一个元素都是中的每一个元素都是 G 内某一固定元素内某一固定元素 a 的的某一次幂，则此群为由某一次幂，则此群为由 a 所生成的循环群，而元素所生成的循环群，而元素 a 称为此群的生成称为此群的生成元。元。
32、nEX:P191的例的例1中的代数系统是循环群。中的代数系统是循环群。n定理定理5-5.2:任何一个循环必定是阿贝尔群。任何一个循环必定是阿贝尔群。n定理定理5-5.3:设设是一个由元素是一个由元素a G生成的有限循环群。如果群的生成的有限循环群。如果群的阶数是阶数是n,则则an=e,且且G=a,a1,a2,an=e,其中其中e是是G中的幺元中的幺元,n是使是使an=e的的最小正整数。最小正整数。半群半群5.7 陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理n定义定义5-7.1:设设是一个群是一个群,A，B P(G),且且A，B非空，记非空，记 AB=a*b|a A,b B 和和 A-1=a-1|a A
33、 分别称为分别称为A，B的积的积和和A的逆的逆。n定义定义5-7.2:设设是群是群 的一个子群的一个子群a G，则集合，则集合aH称为由称为由a确定确定的的H在在G中的左陪集，简称为中的左陪集，简称为H关于关于a的左陪集，记为的左陪集，记为aH。元素。元素a称为陪集称为陪集aH的代表元素的代表元素。n定理定理5-7.1(拉格朗日定理拉格朗日定理):设设是群是群 的一个子群，那么的一个子群，那么 （a）R=|a G，b G且且a-1*b H 是是G中的一个等价关系。对于中的一个等价关系。对于 a G，若记若记aR=x|x G 且且 R 则则aR=aH。(b)如果如果G是有限群是有限群,|G|=n
34、,|H|=m,则则 m|n。(非常重要非常重要,用来判断子群是否正确用来判断子群是否正确,重点掌握重点掌握)半群半群根据拉格朗日定理根据拉格朗日定理,可以直接得到以下两个重要的推论可以直接得到以下两个重要的推论:n推论推论1:任何质数阶的群不可能有非平凡子群。任何质数阶的群不可能有非平凡子群。n推论推论2:设设是是n阶有限群阶有限群,那么对于任意的那么对于任意的a G，a的阶必是的阶必是n的因子且必有的因子且必有an=e,这里这里e是群是群中的中的幺幺元元。如果如果n为质数为质数,则则必是循环群必是循环群。半群半群5.8 同态与同构同态与同构1、同态定义、同态定义：设：设与与是两个代数系统，如
35、果存是两个代数系统，如果存在一个映射在一个映射f：A B，使得对，使得对 x1，x2 A，都有，都有 f（x1 x2）=f（x1）*f（x2），就称），就称f是一个从是一个从到到 的同态映射，或说的同态映射，或说 与与同态。同态。把把称为称为的一个同态象的一个同态象.其中其中f(A)=x|x=f(a),a A B 若若f是满射，则称是满射，则称与与满同态；满同态；若若f是单射，则称是单射，则称与与单同态；单同态；若若f是双射，则称是双射，则称与与同构；同构；群群EX1：设集合设集合A=a，b，c，在，在A上定义运算。如下表，那么，上定义运算。如下表，那么，V1=，V1=，其中，其中 I 是正整
36、数集合，是正整数集合，+运算是普运算是普通的加法。通的加法。V1 和和V1是否同态？是否同态？解：解：作映射作映射 f：IA，abcaabcbbabcacb,(),axf xbx 是偶数是偶数是奇数是奇数同构与同态同构与同态2、同构、同构两个代数系统同构必须具备以下三个条件：两个代数系统同构必须具备以下三个条件：这两个代数系统是同类型的。这两个代数系统是同类型的。该两个代数系统的两个集合里的元素是一一对应的。该两个代数系统的两个集合里的元素是一一对应的。定义在这两个集合上的运算法则完全相同。定义在这两个集合上的运算法则完全相同。*abaabbbb01001111EX1：设设A=aA=a，b b
37、，c c，dd，在，在 A A 上定义一个二元运算上定义一个二元运算“”，又又设设B=B=，在，在 A A 上定义一个二元运算上定义一个二元运算“*”，如下表：如下表：证明：证明：和和是同构是同构证明：证明：考察映射考察映射 f(a)=,f(b)=,f(c)=,f(d)=显然，显然，f 是一个是一个从从A到到B的双射，由表容易验证的双射，由表容易验证 f 是由是由（和和的同构。的同构。考察映射考察映射 g，使得，使得 g(a)=,g(b)=,g(c)=,g(d)=，g也是由也是由和和的同构。的同构。两个代数系统是同构，他们之间的同构映射可以是不唯一两个代数系统是同构，他们之间的同构映射可以是不
38、唯一的。的。abcdaabcdbbaaccbddcdabcd*同构与同态同构与同态EX2：设代数系统设代数系统及及。其中。其中U=1，2，3，V=4，5，6，而其运算可分别由下表：，而其运算可分别由下表：试问：它们是同构吗？试问：它们是同构吗？123133323333333*456466656666666同构与同态同构与同态解：解：作映射作映射 f：I2I，f(x)=2x，则则 f 是双射。是双射。对任何对任何a，b I，f(a+b)=2(a+b)=2a+ab=2a+2b=f(a)+f(b)因此，因此，V1 和和 V2 同构同构EX3:设代数系统设代数系统V1=，V2=，其中，其中I是整数集是
39、整数集合，合，+运算是一般的加运算运算是一般的加运算，V1 和和 V2 是否同构？是否同构？同构与同态同构与同态EX4:设代数系统设代数系统V1=，V2=，其中，其中A1=1，2，3，4，A2=a，b，c，d，*和和 的运算分别如下表，的运算分别如下表，V1 和和 V2 是否同构？是否同构？解：解：作双射作双射 f：A1A2，f(1)=b,f(2)=d,f(3)=c,f(4)=a,abcdabbbdbaadbccbcadaacd*123414124242343143341211同构与同态同构与同态 2群同态的性质：群同态的性质：定理定理1；设；设是群（是群（G1，）到（）到（G2，*）的同态映
40、射，）的同态映射，e1和和e2分别分别为（为（G1，）和（）和（G2，*）的）的单位元单位元，则，则 （e1）=e2 （a-1）=（a）-1，对，对 a G1证：证：（e1 e1）=（e1）*（e1）=（e1）=（e1）*e2由由 G2 的消去律，的消去律，（e1）=e2任取任取a G1，由，由（a-1）*（a）=（a-1 a）=（e1）=e2（a）*（a-1）=（a a-1）=（e1）=e2可知：可知：（a-1）是）是（a）的逆元，）的逆元，（a-1）=（a）-1群群定理定理5-8.2：设：设f是从代数系统是从代数系统到代数系统到代数系统的同的同态映射。态映射。a)若若是半群是半群,那么在那
41、么在f的作用下的作用下,同态象同态象也是也是半群。半群。b)若若是独异点是独异点,那么在那么在f的作用下的作用下,同态象同态象也也是独异点。是独异点。c)若若是群是群,那么在那么在f的作用下的作用下,同态象同态象也是群。也是群。证明证明:(详细讲解详细讲解)群群5.9 环与域环与域1、定义、定义对具有两个二元运算的代数系统对具有两个二元运算的代数系统，如果，如果（1）是交换群是交换群(阿贝尔群阿贝尔群)；（2）是半群是半群;（3）“”对对“+”满足分配律，即对满足分配律，即对 a,b,c U,a (b+c)=(a b)+(a c)(b+c)a=b a+c a 成立成立 则称则称是环。是环。如果
42、如果是含幺半群，是含幺半群，则称则称是含幺的环是含幺的环如果如果U，是可换半群，则称是可换半群，则称U,+,是可换环。是可换环。EX：在数系中，整数、有理数、实数对普通的加法及乘法运算在数系中，整数、有理数、实数对普通的加法及乘法运算构成的代数系统是环吗？正整数对普通的加法及乘法运算构构成的代数系统是环吗？正整数对普通的加法及乘法运算构成的代数系统是环吗？成的代数系统是环吗？lI，+，、Q；+，、R；+，都是环，都是环，lI+，+，不是环。不是环。约定：约定：在环在环U，+，中运算符中运算符“+”及及“”通常称为通常称为“加加”与与“乘乘”，U，+中的幺元称作中的幺元称作加法幺元，并记为加法幺
43、元，并记为，或或者称为乘法零元，者称为乘法零元，而用而用 a 表示表示 a 的加法逆元。的加法逆元。零元零元，对，对 a U，有：，有：+a=a，对，对 a U，存在，存在-a U，使得，使得a+（-a）=。如果如果U，是含幺半群，则把运算是含幺半群，则把运算“”的幺元称为乘法的幺元称为乘法幺元，并记为幺元，并记为e，如果，如果U中的元素存在乘法逆元，就用中的元素存在乘法逆元，就用a-1表示。表示。环环由环的定义中可知：加法的幺元必是对乘法的零元。由环的定义中可知：加法的幺元必是对乘法的零元。证明：对环证明：对环U，+，a，b，c U，有：，有：a（b+c）=a b+a c （b+c）a=b
44、a+c aU，+是群，故必存在幺元，是群，故必存在幺元，U，使得，使得 a （b+）=a b=a b+=a b+a 由于群满足消去律，故由于群满足消去律，故=a （b+）a=b a=b a+=b a+a =a a =a=故加法幺元故加法幺元“”是乘法的零元，是乘法的零元，U，中有零元。中有零元。环环2、定理：、定理：设设U，+，是一个环，则对任意的是一个环，则对任意的a,b,c U，有：，有：（1）a =a=（2）a （-b）=(-a)b=-(a b)（3）(-a)(-b)=a b （4）a (b-c)=a b-a c（5）(b-c)a=b a-c a其中其中是加法幺元、是加法幺元、-a 是是
45、 a 的加法逆元，并记的加法逆元，并记a+（-b）=a-b环环证明：证明：是加法幺元是加法幺元 是乘法零元，故是乘法零元，故a =a=a b+a （-b）=a (b+(-b)=a =a （-b）=-(a b)同理可证：（同理可证：（-a）b=-（a b）（-a）（-b）=-a (-b)=-(a b)=a ba （b-c）=a （b+(-c)）=a b+a (-c)=a b-a c(b-c)a=b+(-c)a=b a+(-c)a=b a-c a环环3定义：定义：设设U，+，是一个环，是一个环，a，b U，若，若a，b，但但 a b=，则称，则称U，+，有零因子。有零因子。4、定理：、定理：若若U
46、，+，没有零因子，则两个消去律都成立，没有零因子，则两个消去律都成立，即对即对U中的元素中的元素a，b，c有：有：a，a b=a c b=c，a，b a=c a b=c，反之，环反之，环U，+，有消去律成立，则此环没有零因子。有消去律成立，则此环没有零因子。环环证：证：由由 a b=a c a b+（-a c）=a c+（-a c）=即即a b-a c=，a （b-c）=。a，且无零因子，且无零因子，a （b-c）=b-c=b=c（若（若b-c，则因，则因a，且，且a （b-c）=，则该环有零因子）。，则该环有零因子）。同理：同理：a，b a=c a b=c，即两个消去律都成立。，即两个消去律
47、都成立。假设环中有零因子，设假设环中有零因子，设a，b U，且且a，b，但，但a b=，当当a时，时，a b=a ，由消去律：由消去律：b=，这与，这与b矛盾。矛盾。同理：当同理：当b时，有：时，有：a=，这与，这与a矛盾。矛盾。环（环（U，+，）有消去律成立，则环中无零因子）有消去律成立，则环中无零因子 环环第六章第六章 格与布尔代数格与布尔代数6.1格的概念格的概念n本章将介绍其他的代数系统格和布尔代数，格论是数学的一个分支，不仅在近代解析几何有重要的作用，而且在计算机领域也有一定的用途；布尔代数形成比较早，在19世纪，就已经有了相当的发展，布尔代数是研究和逻辑、集合等运算有关的知识。6.
48、1格的概念及性质格的概念及性质lEX：偏序集(2,3,5,7,14,15,21,/)，“/”为整除关系。其hasze图如下：2,7的最小上界、最大下界各为什么？2,3呢？5,14呢？l2,7的最小上界为14。最大下界无。l2,3的最小上界无，最大下界无。l5,14的最小上界无，最大下界无。6.1格的概念格的概念l然而也存在这样一类偏序集，它的每一对元素都有最小上界和最大下界，如：偏序集(1,2,3,4,6,8,12,24,/)：其Hasze图如下：一、格一、格1定义：设定义：设是一个偏序集，若对是一个偏序集，若对A中的任两个中的任两个元素元素a、b，都有最小上界和最大下界，则称，都有最小上界和
49、最大下界，则称为格。为格。n其中其中上确界上确界 lub a,b，记为，记为ab,称为称为a和和b的并。的并。下确界下确界 glb a,b，记为，记为ab,称为称为a和和b的交。的交。n将将、，看作集合上的两个二元运算，故格也，看作集合上的两个二元运算，故格也记作记作。一、格一、格下述偏序集能构成格的是（？）(a)(b)(c)(d)bbcdefacdfabcdefghabcdefac二、格的性质二、格的性质定理1：若是一个格，则对任意a、b、cA，有（1）aab，bab （2）aba，abb（3）若ac且bc，则abc（4）若ca且cb，则cab二、格的性质二、格的性质（1）aab，bab 证
50、明：因ab=luba，b，它显然是 a 的一个上界，aab，同理：bab。（2）aba，abb证明：因ab=glba，b，它显然是 a 的一个下界，aba，同理：abb。二、格的性质二、格的性质（3）若ac且bc，则abc 证明：ac且bc，由上界的定义知，c是a，b的一个上界，而ab是a，b的最小上界，abc。（4）若ca且cb，则cab证明：ca且cb，由下界的定义知，c是a，b的一个下界，而ab是a，b的最大下界，cab。二、格的性质二、格的性质推论：在中，对于任意a，b，cA，如果bc，则 abac，abac。n定理2：若是一个格，则对于任意a，bA，以下三个公式等价；（1）ab （2
