1、概率统计概率统计下页结束返回.古典概型古典概型 一、古典概型的定义一、古典概型的定义 二、古典概型计算公式二、古典概型计算公式五、几何概型及其计算五、几何概型及其计算三、古典概型计算步骤三、古典概型计算步骤四、古典概型计算举例四、古典概型计算举例下页概率统计概率统计下页结束返回knn()kn!(1)(1)()!knnAn nnknk!nnAnn()knknkknkACA!()!nknk(1)(1)!n nnkk概率统计概率统计下页结束返回n1m2mnmn21nNmmm1m2mnm概率统计概率统计下页结束返回n1m2mnmn21nNmmm12n概率统计概率统计下页结束返回 古典概型古典概型 1.
2、古典概型古典概型 若试验若试验E具有以下两个特征：具有以下两个特征：(1)所有可能的试验结果所有可能的试验结果(样本点样本点)为有限个，为有限个，即即=1，2，n；(2)每个样本点发生的可能性相同，每个样本点发生的可能性相同，即即 P(1)=P(2)=P(n)则称这类试验的数学模型为等可能概型（古典概型）则称这类试验的数学模型为等可能概型（古典概型）.古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式设随机试验设随机试验E为古典概型，其样本空间为古典概型，其样本空间及事件及事件A分别为：分别为：=1，2，n A=i1，i2，ik则随机事件则随机事件 A 的概率为：的概率为：下页下页()A
3、kP An事件 中包含的样本点数中样本点的总数概率统计概率统计下页结束返回3.古典概型的概率计算步骤古典概型的概率计算步骤(1)指出样本点指出样本点(样本点样本点)；(2)计算样本空间中样本点计算样本空间中样本点(样本点样本点)总数总数n；(3)指出事件指出事件A；(4)计算事件计算事件A中样本点中样本点(样本点样本点)总数总数k；(5)计算事件计算事件A的概率的概率P(A)下页()AkP An事件 中包含的样本点数中样本点的总数概率统计概率统计下页结束返回4.1 古典概型的概率计算举例古典概型的概率计算举例（“数一数数一数”法）法）例例1.抛一枚硬币，问硬币落地后正面向上的概率是多少？抛一枚
4、硬币，问硬币落地后正面向上的概率是多少？解：解：显然，样本点为：显然，样本点为：正面向上正面向上，反面向上反面向上，因而样本空间，因而样本空间=正面向上正面向上，反面向上反面向上，所以所以的样本点总数为的样本点总数为2 设设A=“正面向上正面向上”或设或设A表示表示“正面向上正面向上”事件事件，则，则A包含包含的样本点为的样本点为正面向上正面向上，即它包含的样本点总数为，即它包含的样本点总数为1 所以，所以，P(A)=1/2=0.5例例2.将一枚硬币抛两次，问试验后有一次正面向上的概率是将一枚硬币抛两次，问试验后有一次正面向上的概率是多少？多少？解：解：样本点为：样本点为：正正,正正,正正,反
5、反,反反,正正,反反,反反，因而样本，因而样本空间空间=正正,正正,正正,反反,反反,正正,反反,反反，所以所以的样本点的样本点总数为总数为4下页下页概率统计概率统计下页结束返回4.1 古典概型的概率计算举例古典概型的概率计算举例（“数一数数一数”法）法）例例2.将一枚硬币抛两次，问试验后有一次正面向上的概率是多将一枚硬币抛两次，问试验后有一次正面向上的概率是多少？少？解：解：样本点为：样本点为：正正,正正,正正,反反,反反,正正,反反,反反，因而样本空间，因而样本空间=正正,正正,正正,反反,反反,正正,反反,反反，所以所以的样本点总数为的样本点总数为4 设设A=“有一次正面向上有一次正面向
6、上”，则，则A=正正,反反,反反,正正，显然显然A包含的样本点总数为包含的样本点总数为2 所以，所以，P(A)=2/4=0.5下页概率统计概率统计下页结束返回4.1 古典概型的概率计算举例古典概型的概率计算举例（“数一数数一数”法）法）例例3.口袋中有口袋中有100只球，编号依次为只球，编号依次为1,2,3,100，现从中任取，现从中任取一球，问取得的球编号不超过一球，问取得的球编号不超过20的概率？的概率？解：解：样本点为：样本点为：1号球号球,2号球号球,100号球号球，因而样本空，因而样本空间间=1号球号球,2号球号球,100号球号球，所以所以的样本点总数的样本点总数为为100 设设A=
7、“取得的球编号不超过取得的球编号不超过20”，则则A=1号球号球,2号球号球,20号球号球，显然显然A包含的样本点总数为包含的样本点总数为20 所以，所以，P(A)=20/100=0.2问题：问题：在本例中，取得的球编号为在本例中，取得的球编号为5的倍数的概率是多少？的倍数的概率是多少？下页概率统计概率统计下页结束返回4.2 古典概型的概率计算举例古典概型的概率计算举例（“算一算算一算”法）法）例例4.7件产品中有件产品中有3件次品，现从中任取件次品，现从中任取3件问件问3件中恰有件中恰有1件次品件次品的概率？的概率？解：解：7件产品中任意件产品中任意3件的一个组合，是一个样本点，即是一个件的
8、一个组合，是一个样本点，即是一个可能的基本结果可能的基本结果(说明这一点很重要！说明这一点很重要！)，因此，所有可能的基本事，因此，所有可能的基本事件总数件总数(即样本空间中的样本点总数即样本空间中的样本点总数)为为37.C1234,C C12343718.35C CC 设设A=“3件中恰有件中恰有1件次品件次品”,则则A包含的样本点总数为包含的样本点总数为从而，从而，P(A)=下页概率统计概率统计下页结束返回4.2 古典概型的概率计算举例古典概型的概率计算举例（“算一算算一算”法）法）例例5.一套一套5卷的选集随机地排放在书架上，问：卷的选集随机地排放在书架上，问：(1)第第1卷放在最左卷放
9、在最左边的概率？边的概率？(2)从左到右正好按卷号排成从左到右正好按卷号排成12345的的概率？概率？解：解：5卷选集在卷选集在5个位置上的任一种排列，是一个样本点，因此，所个位置上的任一种排列，是一个样本点，因此，所有可能的样本点总数有可能的样本点总数(即样本空间中的样本点总数即样本空间中的样本点总数)为为5！设设A=“第第1卷放在最左边卷放在最左边”,B=“从左到右正好按卷号排成从左到右正好按卷号排成12345”则则A包含的样本点总数为包含的样本点总数为1*4!，B包含的样本点总数为包含的样本点总数为1从而，从而，P(A)=4!/5!，P(B)=1/5!小结：小结：计算样本空间所含样本点总
10、数，有时用排列有时用组合，那么计算样本空间所含样本点总数，有时用排列有时用组合，那么何时用排列何时用组合？一般来讲，当考虑何时用排列何时用组合？一般来讲，当考虑“顺序顺序”时用排列，不考时用排列，不考虑虑“顺序顺序”时用组合另外，当考虑时用组合另外，当考虑“顺序顺序”时，样本空间及所关心时，样本空间及所关心的事件的事件A所包含的样本点总数的计算，都要用排列，反之亦然所包含的样本点总数的计算，都要用排列，反之亦然下页下页概率统计概率统计下页结束返回4.3 古典概型的概率计算举例古典概型的概率计算举例（利用运算性质）（利用运算性质）例例6.口袋中有口袋中有6只球，其中白球只球，其中白球4只，黑球只
11、，黑球2只现从中任取只现从中任取1只只(取取后不放回后不放回)，然后再任取，然后再任取1只，求：只，求：(1)取到取到2只白球的概率只白球的概率?(2)取到取到两个颜色相同的球的概率两个颜色相同的球的概率?(3)至少取到至少取到1只白球的概率只白球的概率?解：解：6只球中的任意只球中的任意2只球的一种排列，是一个样本点，因此，所只球的一种排列，是一个样本点，因此，所有可能的样本点总数为有可能的样本点总数为A62 设设A=“取到取到2只白球只白球”,B=“取到取到2只黑球只黑球”,C=“取到两个颜色取到两个颜色相同的球相同的球”,D=“至少取到至少取到1只白球只白球”则则A包含的样本点总数为包含
12、的样本点总数为A42，B包含的样本点总数为包含的样本点总数为A22，则则P(A),P(B)可求可求 而显然，而显然，C=AB=A+B；D+B=（即（即D与与B互逆），互逆），从而有，从而有，P(C)=P(A)+P(A)；P(D)=1-P(B)下页下页概率统计概率统计下页结束返回4.4 古典概型的概率计算举例古典概型的概率计算举例（经典问题）（经典问题）例例7.设有设有n个球，随机的放到个球，随机的放到m个盒子中去，个盒子中去，(nm)，求下列事求下列事件的概率件的概率(1)A=“指定的指定的n个盒子中各有一个球个盒子中各有一个球”；(2)B=“恰有恰有n个盒子各有一个球个盒子各有一个球”解：解
13、：n个球在个个球在个m位置上的任一种放法是一个样本点所以位置上的任一种放法是一个样本点所以,中的样本点总数为中的样本点总数为 mn 个个 (1)指定的指定的n个盒子各放入一个球，就是个盒子各放入一个球，就是n个球在个球在n个指定的个指定的盒子中的排列，即盒子中的排列，即 A 中的样本点数为中的样本点数为n!，从而，从而P(A)可求可求 (2)因为没有指定是哪因为没有指定是哪n个盒子，这个盒子，这n个盒子可以从个盒子可以从m个盒子个盒子中任意选取，共有中任意选取，共有Cmn 种选法，即种选法，即B中的样本点数为中的样本点数为Cmn n!，于是于是P(B)可求可求下页概率统计概率统计下页结束返回例
14、例8可化为分球入盒的问题可化为分球入盒的问题（）生日问题：（）生日问题：a)宿舍住着名同学，求个人生日的月份互不相同的概率；宿舍住着名同学，求个人生日的月份互不相同的概率；b)一个班有一个班有30名同学，求至少有名同学，求至少有2人的生日在同天的概率人的生日在同天的概率提示：提示：a)设设“人人生日月份生日月份 各不相同各不相同”将每一个月份看作将每一个月份看作个盒子，共有个盒子，将个盒子，共有个盒子，将每个学生看作个球，共有每个学生看作个球，共有个球个球661212)(AAP概率统计概率统计下页结束返回2025304050551000.41 0.57 0.71 0.89 0.97 0.99
15、0.9999997npb)设设B“至少有至少有人人生日生日在同在同天天”3036530()1()10.71,365AP BP B 若有人，概率为若有人，概率为0.97概率统计概率统计下页结束返回例例8 可化为分球入盒的问题可化为分球入盒的问题（）抽签问题：（）抽签问题：设有设有a个白球，个白球，b个黑球，由个黑球，由a+b个同学依次抽个，求第个同学依次抽个，求第k个个人抽到黑球的概率人抽到黑球的概率提示：提示：设设“第第k个个人抽到黑球人抽到黑球”将将a+b个人看作个人看作a+b 个盒子个盒子 将将a+b个球个球放入放入a+b盒中，每盒个盒中，每盒个问题化为问题化为，求第，求第k个盒放入的是黑
16、球的概率个盒放入的是黑球的概率(1)!().()!b abbP Aabab概率统计概率统计下页结束返回说明：说明：事实上事实上例例8(2)有许多解法，下面再给出一种比较简捷的有许多解法，下面再给出一种比较简捷的解法解法另解：另解：解法的关键是把注意力放在第解法的关键是把注意力放在第k次取球上即第次取球上即第k次出现次出现的事件为样本点，显然，第的事件为样本点，显然，第k次取球共有次取球共有a+b种取法种取法(即样本点总即样本点总数数)，而第，而第k次取到黑球，只有次取到黑球，只有b种取法种取法(即事件即事件A包含的样本总数包含的样本总数)，于是，于是，P(A)=b/(a+b)小结小结:试验的样
17、本空间并不唯一，样本空间究竟是什么，这完全试验的样本空间并不唯一，样本空间究竟是什么，这完全取决于你赋予样本点的意义至于怎样指派样本点，很难给出取决于你赋予样本点的意义至于怎样指派样本点，很难给出固定的规则，依赖于观察问题的角度，这正是初学者感到困难固定的规则，依赖于观察问题的角度，这正是初学者感到困难的地方也正是因为这样，的地方也正是因为这样，古典概型古典概型的问题才具有很强的挑战的问题才具有很强的挑战性，并使不少人对此产生浓厚兴趣性，并使不少人对此产生浓厚兴趣 下页下页概率统计概率统计下页结束返回 当试验结果为无限时，会比古典概率复杂得多这里讨论当试验结果为无限时，会比古典概率复杂得多这里
18、讨论无限样本空间中具有某种无限样本空间中具有某种“等可能性等可能性”的一类问题的一类问题 设设为某个区域（可以是一维，也可以是二维、三维）测度为某个区域（可以是一维，也可以是二维、三维）测度为为m(）；A为为的子区域，测度为的子区域，测度为m(A)任意向任意向中投掷的点中投掷的点落在落在A中的可能性与中的可能性与A A的测度成正比，但与的测度成正比，但与A的形状和的形状和A在在中的中的位置无关则我们规定位置无关则我们规定 A)()()(mAmAP5.几何概型几何概型下页下页概率统计概率统计下页结束返回例例9.甲、乙两艘轮船要在某个舶位停靠甲、乙两艘轮船要在某个舶位停靠6小时，假定它们在一昼夜的
19、小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机的到达试求这两艘船中至少有一艘在停靠舶位时必时间段中随机的到达试求这两艘船中至少有一艘在停靠舶位时必须等待的概率须等待的概率解：解：设设x为甲到达的时刻为甲到达的时刻(0 x24)，y为乙到达的时刻为乙到达的时刻(0y24)A=两艘船中至少有一艘在停靠舶位时必须等待两艘船中至少有一艘在停靠舶位时必须等待须须6 yx 因此因此(x,y):0 x24,0y24,m()=242 A(x,y):6 yx，m(A)=242-(24-6)2所以所以)()()(mAmAP4375.016724)624(24222o24624下页概率统计概率统计下页结束返回 作业：作业：2
20、3页页 6，7，9，10 结束概率统计概率统计下页结束返回01：1,2,310：1,4,519：2,3,728：3,4,702：1,2,411：1,4,620：2,4,529：3,5,603：1,2,512：1,4,721：2,4,630：3,5,704：1,2,613：1,5,622：2,4,731：3,6,705：1,2,714：1,5,723：2,5,632：4,5,606：1,3,415：1,6,724：2,5,733：4,5,707：1,3,516：2,3,425：2,6,734：4,6,708：1,3,617：2,3,526：3,4,535：5,6,709：1,3,718：2,3,627：3,4,6说明：说明：若用若用1,2,3表示表示3个次品，用个次品，用4,5,6,7表示表示4个正品，则以下为样本个正品，则以下为样本空间空间(样本点总数为样本点总数为35)，绿色的为，绿色的为A包含的样本点包含的样本点(18个个)算法：算法：A的样本点是从的样本点是从中逐个挑选出来的！其个数等价于中逐个挑选出来的！其个数等价于“形成形成”事件事件A的种数这是矛盾转化的关键思路的种数这是矛盾转化的关键思路下页
