1、 全国全国100所名校最新高考模拟示范卷所名校最新高考模拟示范卷 数学卷（三）数学卷（三） （120分钟 150分） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共12小题，每小题小题，每小题5分，共分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的的 1已知集合 |10Axx， |0Bx x，则AB（ ） A(1,) B(0,1) C(0,) D1,) 2设复数z满足 3 1 i z i （i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知 3 log 0.3a ， 4.1 3b
2、， 3 2 c ，则（ ） Acba Bcab Cabc Dacb 4已知双曲线 22 :1 44 yx C，P是双曲线渐近线上第一象限的一点，O为坐标原点，且| 2 2OP ， 则点P的坐标是（ ） A( 2, 2) B(3,3) C( 2, 6) D(2,2) 5已知 3 sin2 4 ，则 1 tan tan （ ） A 8 3 B 4 3 C 8 3 D 4 3 5已知| |2ab， 2 1aa b，则向量a，b的夹角（ ） A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 7函数( )3 ln| x f xx的大致图象为（ ） A B C D 8中国古典乐器一般按“八音”分类“八音”是我国最早
3、按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法， 最先见于周礼春官大师，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（po）、竹”八音其中“金、石、 木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从打击乐器、弹拨乐器中任取 不同的两音，含有弹拨乐器的概率为（ ） A 3 10 B 2 5 C 1 2 D 1 4 9已知不同直线l、m与不同平面a，且l，m，则下列说法中正确的是（ ） A若a，则lm B若a，则lm C若l，则a D若a，则m 10在一次某校举行的演讲比赛中，甲、乙、丙、丁四位同学表现都很优秀，甲说：“乙这次应该是第一 名”；乙说：“丁这次应该是第一名”；丙说：“第一名应该不是我
4、”；丁说：“我不赞同乙的判断”若 这四位同学中只有一人判断正确，则获得这次演讲比赛第一名的人是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 11 已知函数( )3sin()f xx（其中0，0） ， 其图象向右平移 6 个单位长度得( )yg x 的图象，若函数( )g x的最小正周期是，且 3 122 g ，则（ ） A 1 2 ， 2 3 B 1 2 ， 3 C2 ， 2 3 D2 ， 3 12已知数列 n a， n b都是公差为2的等差数列， 1 a是正整数，若 11 26ab，则 1210 aaa bbb （ ） A220 B180 C100 D80 二、填空题：本题共二、填空题：本题共4小题，每小
5、题小题，每小题5分，共分，共20分分把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上 13若变量, x y满足约束条件 2 0 30 0 xy xy xy ，则32zxy的最大值为_ 14已知 n S是正项等比数列 n a的前n项和，若 3 7 4 S ， 3 1 4 a ，则公比q _ 15在三棱锥PABC中，ABAP，CBAP，CBAB，2ABBC，点P到底面ABC的距 离为1则三棱锥PABC的外接球的表面积为_ 16已知抛物线 2 :4(0)C ypx p的焦点为F，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点，与y轴的 正半轴交于点S， 与准线l交于点T， 且| 2|F AA S， 则|
6、AF _ （用含p的式子表示） ，| | | FB TS _ 三、解答题：共三、解答题：共70分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第第1721题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答第都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共60分分 17在如图所示的平面四边形ABCD中，已知ADCD，5AD ，7AB ，30BDC （1）求sinDBA的值； （2）求BD的长 18金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生，新生接待其实也是和社会沟通的一个平台校 团委、
7、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计 数据如下： 愿意 不愿意 男生 60 20 女生 40 40 （1）通过估算，试判断男、女哪种性别的学生愿意投入到新生接待工作的概率更大 （2）能否有99%的把握认为，愿意参加新生接待工作与性别有关？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd 2 0 P Kk 0.05 0.01 0.001 0 k 3.841 6.635 10.828 19在四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD为正方形，ACBDO， 1 AO 平面ABCD （1）证
8、明： 1 AO平面 11 BCD （2）若 1 2ABAA，求点C到平面 11 ABB A的距离 20 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ， 左、 右顶点分别为 1 A， 2 A， 上、 下顶点分别为 1 B， 2 B， 且 1( 0 , 1 ) B， 112 AB B为等边三角形，过点(1,0)的直线与椭圆C在y轴右侧的部分交于M、N两点，O为坐标原点 （1）求椭圆的标准方程； （2）若 2 21 | 5 MN ，求直线MN的方程 21已知函数 2 ( )(ln )2f xa xxxx （1）当2ae 时（e为自然对数的底数），求函数( )f x的极值； （2）( )fx
9、为( )yf x的导函数，当0a ， 12 0xx时，求证： 1212 1122 22 xxxx f xfxf xfx （二）选考题：共（二）选考题：共10分分请考生在第请考生在第22、23两题中任选一题作答两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分 22选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为 22cos 2sin x y （为参数），直线l经过点( 1, 3 3)M 且倾斜角为 （1）求曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程； （2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，满足A为M
10、B的中点，求tan 23选修4-5：不等式选讲 设函数( ) |1|2 | 1f xxxa （1）当1a 时，解不等式( ) 6f x ； （2）设 1 2 a ，且当21a x 时，不等式( ) 26f xx 有解，求实数a的取值范围 2020年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试参考答案数学模拟测试参考答案 1B 本题考查集合的运算，因为10x所以1x ，所以(,1)A ，因为(0,)B ，所以 (0,1)AB 2A 本题考复数的运算及几何意义，由 3(3)(1)24 12 1(1)(1)2 iiii zi iii ，所以复数z在复平面 内对应点的坐标为
11、(1,2)，所以z在复平面内的对应点位于第一象限 3 C 本题考查指数、 对数的大小比较， 因为 3 log 0.30a ， 4.1 3(0,1)b ， 3 1 2 c ， 所以abc 4D 本题考查双曲线的性质，等轴双曲线 22 4yx过第一象限的渐近线方程为yx，因为 |2 2OP ，所以点P的坐标为(2,2) 5A 本题考查三角恒等变换 3 sin2 4 ， 3 sincos 8 ， 则 1sincos18 tan tancossinsincos3 6 C 本题考查向量的数量积 因为 2 1aa b， 所以1a b ， 所以 1 cos 2| a b a b ， 所以 2 3 x 7A
12、本题考查在函数的图象与性质因为函数( )f x为非奇非偶函数，所以函数图象不关于y轴对称，排 除选项C，D，当x 时，函数值 f x ，故排除选项B 8B 本题考查中国传统文化与古典概型，设事件A “从打击乐器和弹拨乐器中任取两音，含有弹拨乐 器”，从打击乐器和弹拨乐器中任取两音的基本事件有：（金、石），（金，木），（金，革），（金， 丝），（石，革），（石，丝），（木，革），（木，革），（木，丝），（革，丝）；含有弹拨乐器的 基本事件有：（金，丝），（石，丝），（木，丝），（革，丝），所以 42 ( ) 105 P A 8C 本题考查在空间中的线面关系若a，l，m可能为异面关系，故选项A不正
13、确； 若，l，m可能为平行、相交或异面关系，故选项B不正确； 由面面垂直的判定定理，若l，l，则，故选项C正确； 若，n，由面面垂直的性质定理知，当mn时，m，故选项D不正确 10C 本题考查逻辑推理由题意乙说：“丁应该是第一名”，丁说：“我不赞同乙的判断”，说明这两 位同学有一个判断正确，另一个判断不正确，所以甲、丙判断不正确，所以获得这次演讲比赛第一名的人 减是丙 11C 本题考查三角函数的图象与性质由题意可得( )3sin 6 g xx ，因为函数( )g x的最 小正周期是， 所以 2 | ， 所以2 ， 因为0， 所以2 ， 所以( )3sin2 3 g xx ， 因为 3 122
14、g ，所以 1 sin 62 ，所以2k或 2 2() 3 kkZ，因为0，所以 2 3 12A 本题考查等差数列的综合应用因为 1 1111 212124(2) na aaanan bbbabaaan ， 所 以 数 列 n a b是 以 11 224ba为首项，4为公差的等差数列，所以 1210 1 1041094220 2 aaa bbb 解题技巧：本题为等差数列的综合应用，有一定的思维量，先确定数列 n a b是那一种数列，因为 1 4(2) nn aa bbn ，所以数列 n a b为等差数列；再根据 11 26ab，求出首项 1 a b的值，最后利用等差 数列的n项和公式即可算出结
15、果 13 3 2 本题考查简单的线性规划，先作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，联立 20 30 xy xy ， 解得 1 3 , 2 2 B ，当目标函数过点B时取最大值，所以 max 133 32 222 z 14 1 2 本题考在求等比数列的基本量因为 3 7 4 S ， 3 1 4 a ，所以 2 1 2 1 7 1 4 1 4 aqq a q ，解得 1 2 q 或 1 3 q （不合题意，舍去） 159 本题考查多面体与球因为ABAP，CBAP，CBABB，所以PA 底面ABC因 为点P到底面ABC距离为1所以1AP 因为CBAP，CBAB，ABPAA，所以BC 平 面PAB，
16、 故 BBCPB，90PBCPAC， 即 该 球 的 直 径 为CP， 222222 2213CPABCBAI所以球的半径为 3 2 R ， 2 49SR 16 1 3 p 2 本题考查抛物线的定义与平面几何知识过点A作准线的垂线，垂足为M，AM与y辅交 于点N，因为| 2|FAAS，所以 |1 |3 SA SF ，所 1 | 33 ANOF p ，所以 4 | 3 AMp，根据抛物线的 定义知 4 | | 3 AFAMp因为 12 | 23 ASAFp，所以| 2SFp，所以| 2TSp根据抛物线的 性质： 112 |2AFBFp ，所以 311 4|pBFp ，解得| 4BFp，所以 |4
17、 2 |2 FBp TSp 【温馨提示】2019年全国卷出现了两空题，2020年全国、卷都有一定概率出现两空题，故此题 设置两空 17解：本题考查解三角形 （1）因为30BDC，ADCD，所以60ADB 在ABD中， 由正弦定理得 sinsin ADAB DBAADB ， 即 57 sinsin60DBA ， 解得 5 3 sin 14 DBA （2）在ABD中，由余弦定理得 222 2cosABBDADBDADADB， 即 2 5240BDBD，解得8BD 或3（不合题意，舍去） 18解：本题考查用频率估计概率、独立性检验 （1）由调查数据，男学生愿意投入到新生接待工作的比率为 60 0.7
18、5 80 ，所以男学生愿意投入到新生接待 工作的概率估计值是0.75； 女学生愿意投入到新生接待工作的比率为 40 =0.5 80 ，所以女学生愿意投入到新生接待工作的概率估计值是 0.5所以男生愿意投入到新生接待工作的概率更大 （2）因为 2 K的观测值 2 160(60404020)32 =10.6676.635 80 80 100603 k ， 所以有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关 19解：本题考查线面平行，点面距 （1） 连接 11 AC， 设 111 11 BDACQ， 连接 1 OC， 因为在四棱柱 1111 ABCDABC D，O， 1 O分别为AC， 11 AC
19、的中点，所以 11 OCAO， 11 OCAO，所以四边形 11 AOCO为平行四边形，所以 11 AOOC，因为 1 AO 平面 11 BCD， 1 OC 平面 11 BCD，所以 1 AO平面 11 BCB （2）连接 1 BO， 1 AB， 1 BA，因为 1 2ABAA， 1 AO 平面ABCD，所以 2 2BDAOOA， 所以 1 2BA 因为 1111 2 1122 22222 323 OABBAAOABAABO VVV ， 1 1 2 3 222 3 4 ABB A S，设点O到平面 11 ABB A的距离为 1 h，所以 1 12 2 2 3 33 h，所以 1 6 3 h ，
20、因为O为AC的中点，所以点C到平面 11 ABB A的距离 1 2 6 2 3 hh 20解：本题考查椭圆 （1）因为 1(0,1) B，所以1b ，因为 112 AB B为等边三角形，所以3ab，所以3a 所以椭圆的标准方程为 2 3 1 3 x y （2）当直线MN的斜率不存在时，可得 6 1, 3 M ， 6 1, 3 N ，所以 2 62 21 | 35 MN ，所以直 线MN的斜率存在，设直线MN的斜率为k，则直线MN的方程为(1)yk x，设 11 ,M x y， 22 ,N xy联立 3 2 1 3 (1) x y yk x ，化简得 2222 316330kxk xk，所以 2
21、 12 2 6 31 k xx k ， 2 12 2 33 31 k x x k ， 22 22 121212 2 2 31 212 21 |1|1 ()4 315 kk MNkxxkxxx x k ， 因为 1 0x ， 2 0x ，所以| 1k ，所以解得 2 3k 或 2 6 13 k （舍去），所以直线MN的方程 3(1)yx 21解：本题考查函数的极值与证明不等式 （1）因为 1(1)(2) ( )122 xxa fxax xx ，所以当2ae 时， 2(1)() ( ) xxe fx x ， 因为当01x时，( )0fx；当1xe时，( )0fx；当xe时，( )0fx；所以函数(
22、 )yf x 在(0,1)和(), e 上单调递增，在(1, ) e上单调递减，所以当1x 时，函数有极大值(1)21fe ，当 xe时，函数有极小值 2 ( )f ee （2） 由 1212 1122 22 xxxx f xfxf xfx ， 可得 12 1212 2 xx f xf xfxx ， 即 22 111122221212 12 2 (ln)2ln22 a a xxxxa xxxxxxaxx xx ， 化 简 可 得 12 1 212 2 ln a xxx a xxx ，因为0a ，所以 12 1 212 2 ln xxx xxx ，即 1 2 1 1 2 2 21 ln 1 x
23、xx x x x ，设 1 2 1 x t x ，构 造函数 2(1) ( )ln 1 t h tt t ， 2 2 (1) ( )0 (1) t h t t t ，则( )(1)0h th，则有 1 2 1 1 2 2 21 ln 1 x xx x x x ，从而有 1112 1223 22 xxxx f xfxf xfx 【解题技巧】本题为导数的综合，当证明结果较繁时我们一般可以利用分析法对其进行化简，找出要证明 问题的本质；对于双变量问题，可以利用构造函数法，把双变量转化为单变量，再利用导数去探讨它的相 关性质 22解：本题考查在极坐标与参数方程 （1）由已知曲线C的普通方程为 32 (
24、2)4xy，即 22 4xyx，因为cosx， 222 xy， 可得 2 4 cosp，化简为4cosp所以曲线C的极坐标方程为4cos 直线l的参数方程： 1cos , 3 3sin xt yt （t为参数，0） （2）设,A B对应的参数分别为 A t， B t， 将直线l的参数方程代入C并整理，得 2 6 ( 3sincos )320tt， 所以6( 3sincos ) AB tt，32 BA tt ， 又A为MB的中点，所以2 BA tt， 因此2( 3sincos )4sin 6 A t ，8sin 6 B t ， 所以 2 32sin32 6 AB tt ，即 2 sin1 6 因为0，所以 7 666 ， 从而 62 ，即 3 ，tan3 3 23解：本题考查绝对值不等式的解法 （1）因为1a ，( ) 6f x ，所以|1|2| 5xx 因为 21,2 |1|2|3, 12 12 ,1 xx xxx x x 当 2 215 x x ，解得23x； 12 3 5 x 剟 ，解得12x 剟，当 1 125 x x ，解得21x ，所以原不等式的解集为 2,3 （2）因为21ax ，( )26f xx，所以12126xxax ，所以3ax ，因为不等 式( )26f xx有解，所以31a ，即2a ，所以实数a的取值范围是 1 2, 2
