1、1-2 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform一、定义及存在条件一、定义及存在条件函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点),定义函数dxdyyfxfjyxfffFyxyx)(2exp),(),(为函数f(x,y)的傅里叶变换,记作:F(fx,fy)=f(x,y)=F.T.f(x,y),或 f(x,y)F(fx,fy)F.T.f(x,y):原函数,F(fx,fy):像函数或频谱函数dxKfxF),()()(变换核积分变换:傅里叶变换的核:exp(-j2fx)1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier
2、 Transform一、定义(续)由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:f(x,y)和F(fx,fy)称为傅里叶变换对记作:f(x,y)=-1F(fx,fy).显然 -1 f(x,y)=f(x,y)综合可写:f(x,y)F(fx,fy)F.T.F.T.-1x(y)和 fx(fy)称为一对共轭变量,它们在不同的范畴(时空域或频域)描述同一个物理对象.yxyxyxdfdfyfxfjffFyxf)(2exp),(),(1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform一、定义(续)描述了各频率分量的相对幅值和相移.x,y,fx,fy 均为实变量，F(fx,fy)一般是复函数,F(
3、fx,fy)=A(fx,fy)e jf(fx,fy)振幅谱位相谱yxyxyxdfdfyfxfjffFyxf)(2exp),(),(F(fx,fy)是f(x,y)的频谱函数1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform广义 F.T.对于某些不符合狄氏条件的函数,求F.T.的方法.例:g(x,y)=1,在(-,+)不可积对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数,函数系列变换式的极限原来函数的广义F.T.可定义:g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t)t 则 g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t)t 1-2 二维傅里叶变换 2-D
4、 Fourier Transform 二、广义 F.T.根据广义傅立叶变换的定义和d 函数的定义:g(x,y)=limt2sinc(tfx)sinc(tfy)=d(fx,fy)t 则 rect(x/t)rect(y/t)=t2sinc(tfx)sinc(tfy)1=d(fx,fy)按照广义变换的概念可以得出一系列特殊函数的F.T.rect()tx)(sinc )sin()(21)2exp(21)2exp()2exp()(rect2/2/2/2/xxxfjfjxxxxxfffeefjxfjfjdxxfjdxxfjxxxtttttttttt重要推论:rect(x)=sinc(fx)1-2 二维傅里
5、叶变换 2-D Fourier Transform 二、极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换特别适合于圆对称函数的F.T.依F.T.定义:sincos )(tan122ryrxxyyxr空域fffsincos )(tan122yxxyyxffffff频域极坐标变换dxdyyfxfjyxfffFyxyx)(2exp),(),(1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 极坐标下的二维傅里叶变换令:)sin ,cos(),()sin ,cos(),(fffrrfrgFG 则在极坐标中:fff200)cos(2exp)sin,cos()sin,cos(rdrrjrrf
6、dF则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为：ffff200200)cos(2exp),(),()cos(2exp),(),(drjGdrgdrrjrrgdG1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 傅里叶-贝塞尔变换0000)2()(2)()2()(2)(drJGrgdrrJrrgG圆对称函数的F.T.仍是圆对称函数,称为F-B(傅-贝)变换,记为G()=g(r),g(r)=-1G()drdrjrrgG020)cos(2exp)(),(ff 当 f 具有园对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)=g(r,)=g(r).依F.T.定义:利用贝塞尔函数关系)(2)cos(ex
7、p020aJdjaf1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 傅里叶-贝塞尔变换例:利用F-B变换求圆域函数的F.T.定义:是圆对称函数22 ,01 ,1)(circyxrrr其它100)2(2)(circdrrrJr作变量替换,令r=2r,并利用:xxxJdJ010)()()2()(21)(circ12002JdrrJrr1-2 二维傅里叶变换2-D Fourier Transform三.虚、实、奇、偶函数的 F.T.将频谱函数G(f)分别写成实部(余弦变换)和虚部(正弦变换),然后根据g(x)的虚、实、奇、偶 性质讨论频谱的相应性质.注意:并非实函数的频谱一定是实
8、函数.只有厄米函数(实部为偶函数,虚部为奇函数)的频谱才一定是实函数.例:rect(x)(实、偶)sinc(fx)(实、偶)F.T.但是,rect(x-1)(实、非偶)复函数 F.T.1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform四、F.T.定理-F.T.的基本性质1.线性定理 Linearity 设 g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),F.T.F.T.2.空间缩放 Scaling(相似性定理）g(x,y)+b h(x,y)=G(fx,fy)+b H(fx,fy)F.T.是线性变换 bfafGabbyaxgyx,1),(1-2 二维傅里叶变换Four
9、ier Transform四、F.T.定理 空间缩放注意空域坐标(x,y)的扩展(a,b1),导致频域中坐标(fx,fy)的压缩及频谱幅度的变化.反之亦然.g(x)x0 1/21/21g(ax)a=2x01/41/41fG(f)01-11f02-21/2)(1afGax空域压缩F.T.F.T.频域扩展1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform四、F.T.定理 3.位移定理 Shifting g(x-a,y-b)=G(fx,fy)exp-j2(fxa+fyb)设 g(x,y)G(fx,fy),F.T.频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.g(x,y)expj2(fax+f
10、by)=G(fx-fa,fy-fb)空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数振幅分布不变,但位相随频率线性改变.推论:由1=d(fx,fy)expj2(fax+fby)=d(fx-fa,fy-fb)复指函数的F.T.是移位的d 函数1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform四、F.T.定理 4.帕色伐(Parseval)定理若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压,则|g(x)|2dx 代表信号的总能量(或总功率)|G(f)|2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率)yxyxdfdfffGdxdyyxg22),(),(设 g(x,y)G(fx,fy),F.T.P
11、arseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给出.或者说等于各频率分量的能量之和能量守恒1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform四、F.T.定理-Parseval定理的证明dxdfxfjfGdffxjfGdxxgxgdxxg)2exp()(*)2exp()()(*)()(2交换积分顺序,先对x求积分:dxxffjdfdffGfG)(2exp)(*)(利用复指函数的F.T.)()(*)(dfdffffGfGd利用d 函数的筛选性质dffGfG)(*)(1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform四、F.T.定理 5.卷积定理空域中两个函数的卷积,其F.
12、T.是各自F.T.的乘积.g(x,y)*h(x,y)=G(fx,fy).H(fx,fy)设 g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),F.T.F.T.g(x,y).h(x,y)=G(fx,fy)*H(fx,fy)空域中两个函数的乘积,其F.T.是各自F.T.的卷积.将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用.亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform卷积定理的证明tttdxhgdxfxj)()()2exp(左交换积分顺序:tttddxfxjxhg)2exp()()(应用位移定理tttdfjfHg)2exp()()(tttdfjgfH)2exp()()(应用F.T.定义右g(x-a,y-b)=G(fx,fy)exp-j2(fxa+fyb)位移定理
