1、插值与数据拟合插值与数据拟合第七讲第七讲插值与数据拟合插值与数据拟合7.1 引言引言 在工程和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据(xi,yi)(i=1,2,n)揭示自变量 x 与因变量 y 之间的关系，一般可以用一个近似的函数关系式 y=f(x)来表示。函数 f(x)的产生办法因观测数据与要求的不同而异，通常可采用两种方法：插值与数据拟合。7.1.1 插值 引例 7.1.1 已经测得在北纬 32.3 海洋不同深度处的温度如下表：表7.1.1根据这些数据，我们希望能合理地估计出其它深度（如 500米、600米、1000米）处的水温。解决这个问题，可以通过构造一个与给定数据相适应的函数来解决，
2、这是一个被称为插值的问题。深度x(m)46671495014221634水温y(C)7.044.283.402.542.13 解决这个问题，可以通过构造一个与给定数据相适应的函数来解决，这是一个被称为插值的问题。插值问题的基本提法插值问题的基本提法：对于给定的函数表其中 f(x)在区间 a,b 上连续，x0，x1，xn为 a,b 上 n1个互不相同的点，要求在一个性质优良、便于计算的函数类 P(x)中，选出一个使P(xi)=yi，i=0,1,n (7.1.1)成立的函数 P(x)作为 f(x)的近似，这就是最基本的插值问题（见图7.1.1）。xx0 x1 xny=f(x)y0y1 yn 为便于
3、叙述，通常称区间 a,b 为插值区间，称点 x0，x1，xn为插值节点，称函数类 P(x)为插值函数类，称式(7.1.1)为插值条件，称函数 P(x)为插值函数，称 f(x)为被插函数。求插值函数 P(x)的方法称为插值法。4006008001000120014001600180023456789 图 7.1.1 插值问题示意图 引例 7.1.2 在某化学反应中，已知生成物的浓度与时间有关。今测得一组数据如下：表7.1.2根据这些数据，我们希望寻找一个 y=f(t)的近似表达式（如建立浓度y与时间 t 之间的经验公式等）。从几何上看，就是希望根据给定的一组点（1,4.00），,（16,10.6
4、0），求函数 y=f(t)的图象的一条拟合曲线。时间t（分）12345678浓度y1034.006.408.008.809.229.509.709.86时间t（分）910111213141516浓度y10310.0010.2010.3210.3210.5010.5510.5810.603 一维数据插值的 Matlab 实现S(x0)=y0，S(xn)=yn (7.3 二维数据插值的 Matlab 实现 所给数据是精确的；P0 为函数的初值。就是函数系 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,cosmx,sinmx 的广义多项式。methos 为采用的插值方法：e01sff(x,y,z,
5、rnw,fnodes,px(j),py(i)；(2)(x)=0.其中 1、2、1、2、1、2 为定数。船的吃水深度为 5 英尺，问在矩形区域 (75，200)(50，150)里的哪些地方船要避免进入。75,2000,119。spline：表示双三次样条插值。4)是关于 a0,a1,a2,am 的线性方程组，称为正规方程组。Fun 表示函数Fun(p,xdta)的M文件；解：下面分别用最邻近插值、双线性插值、双三次插值和双三次样条插值，给出不同月份按纬度变化的气旋值（插值结果），并作出可视化图形如下。spline：表示三次样条插值。3三次 Hermite 插值三次 Hermite 插值问题的基本
6、提法一：已知一维数据一个典型的容易想到的方法是“反距离加权平均”方法，又称之为 Shepard 方法。数据拟合问题的基本提法数据拟合问题的基本提法：对于给定的函数表 其中 f(x)在区间 a,b 上连续，x0，x1，xn为 a,b 上 n1个互不相同的点，要求找一个简单合理的函数近似表达式 (x)，使 (x)与 f(x)在某种准则下最为接近，这就是最基本的数据拟合问题（见图7.1.2）。通常，我们称 (x)为给定数据点的拟合函数。xx0 x1 xny=f(x)y0y1 yn图7.1.2 数据拟合问题示意图 024681012141634567891011 7.1.3 插值与数据拟合的基本理论依
7、据 插值方法与数据拟合的基本理论依据，就是数学分析中的 Weierstrass 定理：设函数 f(x)在区间 a,b 上连续，则对 0，存在多项式P(x)，使得即：有界区间上的连续函数被多项式一致逼近。)()(max,xPxfbax 7.1.4 实际应用中两种方法的选择 在实际应用中，究竟选择哪种方法比较恰当？总的原则是根据实际问题的特点来决定采用哪一种方法。具体说来，可从以下两方面来考虑：1如果给定的数据是少量的且被认为是严格精确的，那么宜选择插值方法。采用插值方法可以保证插值函数与被插函数在插值节点处完全相等。2如果给定的数据是大量的测试或统计的结果，并不是必须严格遵守的，而是起定性地控制
8、作用的，那么宜选用数据拟合的方法。这是因为，一方面测试或统计数据本身往往带有测量误差，如果要求所得的函数与所给数据完全吻合，就会使所求函数保留着原有的测量误差；另一方面，测试或统计数据通常很多，如果采用插值方法，不仅计算麻烦，而且逼近效果往往较差。7.2 一维数据的基本插值方法简介一维数据的基本插值方法简介 插值函数类的取法很多，可以是代数多项式，也可以是三角多项式或有理函数；可以是 a,b 上任意光滑函数，也可以是分段光滑函数。在此介绍最基本、最常用的两种插值方法：分段多项式插值与三次样条插值，及其 Matlab 实现。7.2.1 一维数据的分段多项式插值 对于给定的一维数据分段多项式插值就
9、是求一个分段（共 n 段）多项式 P(x)，使其满足 P(xi)=yi（i=0,1,n）或更高的要求。一般地，分段多项式插值中的多项式都是低次多项式（不超过三次）。xx0 x1 xny=f(x)y0y1 yn 1分段线性插值 分段线性插值函数 P1(x)是一个分段一次多项式（分段线性函数）。在几何上就是用折线代替曲线，如图 7.2.1，故分段线性插值亦称为折线插值。其插值公式为 其中 xxi,xi+1)1.2.7()(11111iiiiiiiiyxxxxyxxxxxP图 7.2.1 分段线性插值示意图 2分段二次插值 分段二次插值函数 P2(x)是一个分段二次多项式。在几何上就是分段抛物线代替
10、曲线 y=f(x)，故分段二次插值又称为分段抛物插值。其插值公式其中 xxi-1,xi+1 111111111111112)()()()()()()(iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxP)2.2.7(1111 iikkikjijjkjyxxxx 3三次 Hermite 插值 三次 Hermite 插值问题的基本提法一：已知一维数据求一个三次多项式 P3(x)，使之满足P3(xi)=yi，P3(xi)=mi，i=0,1 (7.2.3)xx0 x1y=f(x)y0y1y=f(x)m0m1下面的(7.2.5)、(7.2.6)两式构成里三
11、次 Hermite插值基本提法一的插值公式P3(x)=0(x)y0 1(x)y1 0(x)m0 1(x)m1 (7.2.5)6.2.7()()()()(21)(21)(2010112101002010101121010100 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 三次 Hermite 插值问题的基本提法二：已知一维数据求一个三次多项式 P3(x)，使之满足P3(xi)=yi，i=0,1,2，P3(x1)=mi (7.2.3)xx0 x1x2y=f(x)y0y1y2y=f(x)m1下面的(7.2.9)、(7.2.10)两式构成里三次Hermite 插值基本提法二的插值
12、公式P3(x)=0(x)y0 1(x)y1 0(x)m0 1(x)m1 (7.2.9)10.2.7()()()()()()()(11)(1)()()()()()()()()(21012101212022103210112120 1201202102210 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2如果给定的数据是大量的测试或统计的结果，并不是必须严格遵守的，而是起定性地控制作用的，那么宜选用数据拟合的方法。对于给定的一维数据最后，用指数函数一个向量；通过以上的计算和分析，我们得出如下结论：本问题可用指数函数或有理分式函数来拟合，其拟合函数分别为当
13、 1、2 为零时，则为第一边值条件，当 1、2 为零时，则为第二边值条件。2 一维数据的三次样条插值p=lsqcurvefit(Fun,p0,xdata,ydata)，求一个三次多项式 P3(x)，使之满足11)式，可列出 n1个方程，方程组中未知数的个数比方程个数多 2，还需附加 2 个条件才能进行求解。1的求解（见教材）(5)Matlab 程序而给定的数据是散乱的、随机分布时，没有固定的方法，但一般的处理思想是：从给定的数据出发，依据一定的规律恢复出规则分布点上的数据，转化为数据分布有规律的情形来处理。fnodes,a,rnw,b,c=e01sef(x,y,z)；e01sff(x,y,z,
14、rnw,fnodes,px(j),py(i)；二维数据插值的方法也有很多。3边界条件p=lsqcurvefit(Fun,p0,xdata,ydata)，数据拟合问题的形式多种多样，解决的方法也有许多。为使(x)在整体上尽可能与给定数据的函数 f(x)近似，我们常采用偏差的平方和达到最小，即为了讨论方便，下面三个假设是合理的：7.2.2 一维数据的三次样条插值 上述介绍的分段多项式插值，其优点为计算简单、稳定性好、收敛性有保证，且易于在计算机上实现。但它也明显存在着缺陷。它只能保证在每个小区间段 xi,xi+1 内光滑，在各小区间连接点 xi 处连续，却不能保证整条曲线的光滑、光顺性，难以满足某
15、些工程的要求。对于象高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数。而由 60 年代开始，首先起源与航空、造船业等工程设计的实际需要而发展起来的样条插值，既保留了分段多项式插值的各种优点，又提高了插值函数的光滑度。在此，仅介绍应用最广且具有二阶连续导数的三次样条插值方法。1三次样条插值问题的基本提法 对于给定的一维数据求一个三次多项式 S(x)满足条件 （1）S(xi)=yi，i=0,1,n；（2）S(x)具有二阶连续导数，特别在节点 xi 上应满足连续性要求，即对 i=0,1,n 有xx0 x1xny=f(x)y0y1yn)0()0()0()0()0()0(iii
16、iiixSxSxSxSxSxS 2三次样条插值函数 给定区间 a,b 的一个划分：a=x0 x1 0，存在多项式P(x)，使得i=(xi)yi(i=1,2,n)，(7.(4)问题求解的 Matlat 程序，略。上述介绍的分段多项式插值，其优点为计算简单、稳定性好、收敛性有保证，且易于在计算机上实现。pf(i,j),ifail=通过对散点图的分析可以看出，数据点的分布为一条单调上升的曲线。7.3.1 双三次样条插值 双三次样条插值方法，是用来解决规则区域上给定数据有规律分布的插值问题的常用方法。实际上，双三次样条函数是由两个一维三双三次样条函数是由两个一维三次样条函数作直积产生的次样条函数作直积
17、产生的。对任意固定的 y0c,d，S(x,y0)是关于 x 的三次样条函数，同理，对任意固定的 x0a,b，S(x0,y)是关于 y 的三次样条函数。从而，根据一维三次样条函数的算法可以设计出 S(x,y)的具体算法。7.3.2 改进的 Shepard 方法 改进的 Shepard 方法，也称反距离加权平均法，这是解决规则区域上给定数据散乱、随机分布的插值问题的一个常用的方法。问题：设 T=a,bc,d 上散乱分布 N 个点 V1，V2，VN，其中 Vk=(xk，yk)处给出数据 fk，k=1,2,N。要寻求 T 上的二元函数 F(x，y)，使F(xk，yk)=fk，k=1,2,N。一个典型的
18、容易想到的方法是“反距离加权平均”方法，又称之为 Shepard 方法。这方法的基本思想是，在非给定数据的点处，定义其函数值由已知数据点与该点距离的近或远作加权平均决定。按照上述的思想，可从给定的数据恢复出规则分布点上的数据，接下来就可应用双三次样条插值或其它的二维数据插值方法来处理。7.3.3 二维数据插值的 Matlab 实现 1规则区域上给定数据有规律分布的二维插值 数据形式为：y1y 2y nx1x11z12z1nx 2z21z22z2nx mzm1zm2zmn 插值函数为：interp2()。其调用格式为 zi=interp2(x,y,z,xi,yi,methos),其中 x，y，z
19、 为插值节点，均为向量；zi 为被插值点(xi,yi)处的插值结果；methos 为采用的插值方法：nearest：表示最临近插值，linear：表示双线性插值，cubic：表示双三次插值，spline：表示双三次样条插值。注意：上述 methos 中所有的插值方法都要求 x 和 y是单调的网格，x 和 y 可以是等距的也可以是不等距的。2规则区域上给定数据散乱或随机分布的二维插值 数据形式为：(x1,y1)(x2,y2)(xn,yn)z1z2zn 插值函数为：e01sef和e01sff，。通常两者配合使用，其调用格式为 fnodes,a,rnw,b,c=e01sef(x,y,z)；pf(i,
20、j),ifail=e01sff(x,y,z,rnw,fnodes,px(j),py(i)；其中 x，y，z 为插值节点，均为向量；px(j)，py(i)为被插值节点；pf(i,j)为被插值点(px(j),py(i)处的插值结果；它输出参数涉及插值算法，可以不用了解。e01sef 的输出 fnodes 和 rnw 为确定插值的参数，它们是 e01sff 需要的输入参数，因此两函数需配合使用。3实例 例 7.3.1 气旋变化情况的可视化 表 7.3.1 是气象学家测量得到的气象资料，它们分别表示在南半球地区按不同纬度、不同月份的平均气旋数字。根据这些数据，绘制出气旋分布曲面图形。010102020
21、303040405050606070708080901月2.418.720.822.137.348.225.65.30.32月1.621.418.520.128.836.624.25.303月2.416.218.220.527.835.525.55.404月3.29.216.625.137.24024.64.90.35月1.02.812.929.240.337.621.14.906月0.51.710.132.641.735.422.27.107月0.41.48.333.046.23520.25.30.18月0.22.411.231.039.934.721.27.30.28月0.55.812.5
22、28.625.935.722.670.310月0.89.221.132.040.339.528.58.6011月2.410.323.928.138.24025.36.30.112月3.61625.525.643.441.924.36.60.3 解：下面分别用最邻近插值、双线性插值、双三次插值和双三次样条插值，给出不同月份按纬度变化的气旋值（插值结果），并作出可视化图形如下。在工程和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据(xi,yi)(i=1,2,n)揭示自变量 x 与因变量 y 之间的关系，一般可以用一个近似的函数关系式 y=f(x)来表示。px(j)，py(i)为被插值节点；成立的函数 P(
23、x)作为 f(x)的近似，这就是最基本的插值问题（见图7.二维数据插值的方法也有很多。1 分段线性插值示意图其中 1、2、1、2、1、2 为定数。从几何上看，就是希望根据给定的一组点（1,4.在此，我们只简单介绍以最小二乘法为准则的一维数据拟合方法。e01sff(x,y,z,rnw,fnodes,px(j),py(i)；methos 为采用的插值方法：(3)(x)=0.2 一维数据的三次样条插值求一个三次多项式 P3(x)，使之满足在实际应用中，究竟选择哪种方法比较恰当？总的原则是根据实际问题的特点来决定采用哪一种方法。linear：表示双线性插值，P3(x)=0(x)y0 1(x)y1 0(
24、x)m0 1(x)m1 (7.表7.注意：上述 methos 中所有的插值方法都要求 x 和 y是单调的网格，x 和 y 可以是等距的也可以是不等距的。其中 1、2、1、2、1、2 为定数。具有这种特性的曲线很多，我们选取如下三种函数来拟合：7.4 一维数据拟合的最小二一维数据拟合的最小二乘法简介乘法简介 数据拟合问题的形式多种多样，解决的方法也有许多。在此，我们只简单介绍以最小二乘法为准则的一维数据拟合方法。7.4.1 数据拟合的最小二乘法简介 对于给定的一组测量数据设y=(x)为一拟合函数，记i=(xi)yi(i=1,2,n)，(7.4.1)则称 i 为拟合函数(x)在 xi 点处的偏差或
25、残量。xx1x2xny=f(x)y1y2yn 为使(x)在整体上尽可能与给定数据的函数 f(x)近似，我们常采用偏差的平方和达到最小，即来保证每个偏差的绝对值|i|都很小。这一原则称为最小二乘原则，根据最小二乘原则确定拟合函数(x)的方法称为最小二乘法。)2.4.7(min)(1212niiiniiyxS 1.线性最小二乘拟合 我们知道，函数系 xk|k=0,1,m 的线性组合(x)=a0 a1x a2x2 amxm 为 m 次多项式。一般地，若函数系 k(x)|k=0,1,m 是线性无关的，则其线性组合称为函数系 k(x)|k=0,1,m 的广义多项式。如三角多项式就是函数系 1,cosx,
26、sinx,cos2x,sin2x,cosmx,sinmx 的广义多项式。)3.4.7()()(0mkkkxaxmkkmkkkxbkxax00)sin()cos()(设 k(x)|k=0,1,m 为一线性无关的函数系，取拟合函数为(7.4.3)式给出的广义多项式，使得(7.4.2)成立。由于 (x)的待定系数a0,a1,a2,am 全部以线性形式出现，故我们称之为线性最小二乘拟合。在式(7.4.2)中，目标函数 S 是关于参数 a0,a1,a2,am 的多元函数，由多元函数取得最小值的必要条件知，欲使 S 达到极小，须满足mkxSk,2 ,1 ,0即亦即其中 k=0,1,m，式(7.4.4)是关
27、于 a0,a1,a2,am 的线性方程组，称为正规方程组。从正规方程组(7.4.4)中解出 a0,a1,a2,am，于是就得到了最小二乘拟合函数(x)。0)()(1niikiixyx)4.4.7()()()(101 niikimjjniikijxyaxx 2非线性最小二乘拟合 如果拟合函数(x)=(x,a0,a1,a2,am)的待定参数 a0,a1,a2,am 不能全部以线性形式出现，如指数拟合函数等，这便是非线性最小二乘拟合问题。一般地，非线性最小二乘拟合问题是一个非线性函数的极小化问题，可用非线性优化方法求解。xaeaax210)(3最小二乘拟合函数的选择 最小二乘法中，拟合函数的选择是很
28、重要的。可以通过对给定数据的分析来选择，也可以直接由实际问题给定。最常用的是多项式和样条函数，尤其是当不知道该选择什么样的拟合函数时，通常可以考虑选择样条函数。另外，对同一问题，也可选择不同的函数进行最小二乘拟合，比较各自误差的大小，从中选出误差较小的作为拟合函数。7.4.2 一维数据拟合的 Matlab 实现 1.多项式函数拟合 拟合函数的命令为：polyfit()，其调用格式为：a=polyfit(xdata,ydata,m)，其中 m 表示多项式的最高阶数；xdata，ydata 为将要拟合的数据，它们都 是以数组方式输入；a 输出参数，为拟合多项式的系数 a=a0,a1,a2,am。多
29、项式在 x 处的值 y 可用如下命令格式计算：y=polyval(a,x)。2.一般的曲线拟合 拟合函数的命令为：curvefit()，或lsqcurvefit()，其调用格式为 p=curvefit(Fun,p0,xdata,ydata)，或 p=lsqcurvefit(Fun,p0,xdata,ydata)，其中 Fun 表示函数Fun(p,xdta)的M文件；P0 为函数的初值。若要求点 x 处的函数值 y，可用程序 f=Fun(p,x)计算。3实例 例 7.4.1 求解7.1.2 引例7.1.2。解：(1)选择拟合曲线 作出给定数据的散点图如下：02468101214165678910
30、11给 定 数 据 的 散 点 图通过对散点图的分析可以看出，数据点的分布为一条单调上升的曲线。具有这种特性的曲线很多，我们选取如下三种函数来拟合：多项式(x)=a0 a1x amxm，m 为适当选取的正整数；（a 0,b 0）。baxxx)(xbaex)(2)拟合运算 首先，分别用二、三、六次多项式拟合，计算得输出参数分别为 p1=0.0445，1.0711，4.3252 p2=0.0060，0.1963，2.1346，2.5952 p3=0.0000，0.0004，0.0103，0.1449，1.1395，4.9604，0.0498拟合函数分别为 (1)(x)=0.0445 1.0711x
31、 4.3252x2 (2)(x)=0.0060 0.1963x 2.1346x2 2.5952x3 (3)(x)=0.0004x 0.0103x2 0.1449x3 1.1395x4 4.9304x5 0.0498x6；其次，再用有理分式拟合，计算得输出参数分别为p=0.0841，0.1392拟合函数为 baxxx)(1392.00841.0)(ttx 最后，用指数函数拟合，计算得输出参数分别为p=11.3578，1.0873拟合函数为 三种方式五个种函数的拟合曲线见图 7.4.27.4.4。xbaex)(tex0873.13578.11)(图 7.4.2 多项式函数拟合曲线图 图7.4.3
32、有理分式函数拟合曲线图 但它也明显存在着缺陷。表7.(1)(x)=0.p2=0.y=polyval(a,x)。具有这种特性的曲线很多，我们选取如下三种函数来拟合：y=f(x)2 改进的 Shepard 方法methos 为采用的插值方法：这方法的基本思想是，在非给定数据的点处，定义其函数值由已知数据点与该点距离的近或远作加权平均决定。表7.P(xi)=yi，i=0,1,n (7.nearest：表示最临近插值，其中 f(x)在区间 a,b 上连续，x0，x1，xn为 a,b 上 n1个互不相同的点，要求在一个性质优良、便于计算的函数类 P(x)中，选出一个使当 1、2 为零时，则为第一边值条件
33、，当 1、2 为零时，则为第二边值条件。1分段线性插值其中 xxi-1,xi+12如果给定的数据是大量的测试或统计的结果，并不是必须严格遵守的，而是起定性地控制作用的，那么宜选用数据拟合的方法。可以是 a,b 上任意光滑函数，也可以是分段光滑函数。船的吃水深度为 5 英尺，问在矩形区域 (75，200)(50，150)里的哪些地方船要避免进入。这一原则称为最小二乘原则，根据最小二乘原则确定拟合函数(x)的方法称为最小二乘法。图7.4.4 指数函数拟合曲线图 (3)误差分析 和给定的 16 组数据比较，三种方式五个函数拟合的误差见下表：表7.4.1 五个函数拟合的误差表其中：偏差平方和以及平均偏
34、差平方和为：偏差平方和平均偏差平方和最大偏差二次多项式拟合4.44160.27761.3518三次多项式拟合1.22920.07680.6067六次多项式拟合0.11690.00730.2684有理分式拟合0.57320.03580.4772指数函数拟合0.17770.01110.2544niiiniiyx1212)(niiiniiyx1212)(161161 从上表中求得的误差情况来看，好似六次多项式函数拟合的最好，指数函数拟合次之，然后分别是有理分式函数拟合、三次多项式函数拟合和二次多项式函数拟合。但是，就这个实际问题的本质来说，化学反应中生成物的浓度到一定时间后应基本稳定，即当 t 时，
35、f(t)常数。而我们有8906.111392.00841.0limttt3578.113578.11lim0873.1tte三个多项式函数拟合曲线的趋势也可从图 7.4.5 看出。图 7.4.5 0510152025-30-20-100102030三 条 拟 合 曲 线 的 趋 势 图实 线：二 次 多 项 式 拟 合 曲 线 虚 线：三 次 多 项 式 拟 合 曲 线 -虚 点 线：六 次 多 项 式 拟 合 曲 线 -(4)结论 通过以上的计算和分析，我们得出如下结论：本问题可用指数函数或有理分式函数来拟合，其拟合函数分别为tex0873.13578.11)(1392.00841.0)(t
36、tx拟合误差为 表7.4.2 (5)Matlab 程序 略。偏差平方和平均偏差平方和最大偏差指数函数拟合0.17770.01110.4772有理分式拟合0.57320.03580.25447.5 范例范例水道测量数据水道测量数据（AMCM 86A题）。本问题由加州海军研究生院数学系的Richard Franke 提供，问题如下：在某海域测得一些点（x,y）处的水深 z（单位：英尺）由表 7.5.1 给出，水深数据是在低潮时测得的。船的吃水深度为 5 英尺，问在矩形区域 (75，200)(50，150)里的哪些地方船要避免进入。表7.5.1 水道水深测量数据（单位：英尺）x129.0140.01
37、08.588.0185.5195.0105.5y7.5141.528.0147.022.5137.585.5z4868688x157.5107.577.081.0162.0162.0117.5y6.581.03.056.566.584.038.5z9988949 解：(1)假设 由题目给出的信息是很少的，除了 14 个位置的水深之外一无所知。显然，题目要求我们找出水深不到 5 英尺的区域。为了讨论方便，下面三个假设是合理的：所给数据是精确的；讨论区域的海底曲面是光滑的，更确切地说，可以认为曲面的一阶、二阶导数是连续的。因为我们可以认为讨论区域为浅水海域，由于长期的海水水流作用，形成的是以砾石或
38、沙为主要组成部分的海底，不存在珊瑚礁、水底峡谷、山脊等不可意料的突变地形。水深是一个按区域来划分的变量，在某个位置的水深与其周围区域的水深是相互依赖的，但这种依赖作用随距离的增大而减小。就我们讨论的问题来说，每一个给定数据点影响周围的每一个未知点，一个给定数据点离未知点越近，作用就越大。(2)问题分析 根据假设，海底曲面是连续光滑的，不存在珊瑚礁、水底峡谷、山脊等不可意料的突变地形，因而很自然的想法就是用某种光滑的拟合曲面去逼近已知的14 个数据点或以 14 个已知的数据点为基础，利用二维插值补充一些点的水深，以求得水深不超过 5 米的区域。在此，我们采用二维插值方法，应用 Matlab 程序
39、，作出矩形区域 (75，200)(50，150)范围内的海底地形图、水深不超过 5 米的危险区域的平面图以及水深不超过 5 米的危险区域的海底地貌图，并求出水深不超过 5 米的危险海域范围。(3)问题求解 采用改进的 Shepard 方法，利用 Matlab 软件作出作出作出矩形区域(75，200)(50，150)范围内的海底地形图、水深不超过 5 米的危险区域的海底地貌图、(75，200)(50，150)范围内的海底等高线图以及水深不超过 5 米的危险区域的平面图（见图 7.5.1 至图 7.5.4），并求出水深不超过 5 米的危险海域范围为：113.75,2000,119。(4)问题求解的 Matlat 程序，略。图 7.5.1 (75，200)(50，150)范围内的海底地形图 图 7.5.2 水深不超过5米的危险区域的海底地貌图 图 7.5.3 (75，200)(50，150)范围内的海底等高线图 80100120140160180200-50050100150(75,200),(-50,150)范 围 内 的 海 底 等 高 线 图图 7.5.4 水深不超过5米的危险区域的平面图 实验作业实验作业 日照时间分布旧车价格预测谢谢！
