1、12.6 2.6 固有值与固有函数固有值与固有函数.0)()0(,0)()(lXXxXxX 在本章的前三节我们应用分离变量法求解弦振在本章的前三节我们应用分离变量法求解弦振动方程、一维热传导方程和二维拉普拉斯方程的动方程、一维热传导方程和二维拉普拉斯方程的有关定解问题时，都需要解决一个含参变量有关定解问题时，都需要解决一个含参变量的的也属于也属于施图姆施图姆-刘维尔问题刘维尔问题常微分方程的边值问题，常微分方程的边值问题，这样的问题称为这样的问题称为固有值问题固有值问题。2施图姆施图姆-刘维尔方程的一般形式刘维尔方程的一般形式0)()()(yxyxqdxdyxpdxd ,)()(baCxpxp
2、);(0)(bxaxp (95)(95),)(baCxq),()(baCxq;0)(xq,)(baCx.0)(x其中其中 1.1.2.2.或者或者而在而在区间端点处至多有一阶极点，且区间端点处至多有一阶极点，且3.3.方程方程(95)(95)加上边界条件就称为加上边界条件就称为施图姆施图姆-刘维尔问题刘维尔问题那些使那些使施施-刘问题刘问题存在存在非非0 0解解的的 值，值，称为该问题称为该问题的的固有值固有值，而相应于给定的固有值的，而相应于给定的固有值的非非0 0解解，称为，称为固有函数固有函数。0)(222 FnrFrFr0)(222 FnrFrFr0)(222 FnrFrFr例如例如:
3、0)(222 FnrFrFr关于固有值和固有函数的几点结论：关于固有值和固有函数的几点结论：(1)(1)存在无穷多个实的固有值：存在无穷多个实的固有值：,21n0)(xq);,3,2,1(0 nn.),(,),(),(21 xyxyxynn),(xyn)(xyn)(x0)()()(dxxyxyxnmba).(nm 当当时，时，对应于这些固有值对应于这些固有值有无穷多个固有函数：有无穷多个固有函数：(2)(2)如果把对应于固有值如果把对应于固有值的固有函数记为的固有函数记为那么所有那么所有组成一个组成一个带权函数带权函数的的正交函数正交函数系系，即，即(96)(96)4)(xf),(ba1),(
4、)(nnnxycxfbanbanndxxyxdxxyxfxc)()()()()(2);,3,2,1(n(3)(3)类似于傅里叶级数，按类似于傅里叶级数，按固有函数系展开固有函数系展开有下有下面的面的收敛性收敛性：若函数若函数在在内有一阶连续导数及分段内有一阶连续导数及分段连续的二阶导数，并且满足所给的边界条件，连续的二阶导数，并且满足所给的边界条件，)(xf),(ba则则在在内可以按固有函数展开为内可以按固有函数展开为绝对且绝对且一致收敛一致收敛的级数：的级数：其中其中(97)(97)515.15.试证问题试证问题 0)()1()1(,02eyyexyyxyx)(xyn,1 e固有函数系固有函
5、数系x1在在上带权函数上带权函数正交。正交。tex xtln,11)1(1)1(222ttttttxxyxyxxyxxyy0yyyytttt0 yytt解解作变换作变换则有则有,1xyytx代入原方程有代入原方程有(1)(1)首先求出固有函数系首先求出固有函数系)(xyn的具体表达式的具体表达式齐次欧拉方程齐次欧拉方程练习练习6),lnsin()(xnxynxtln.0)1()0(yy将将代入即得代入即得),2,1(n0 yytt,)(2nn).,(sin)(21ntntyn 0)()1()1(,02eyyexyyxyx)(xyn,1 e固有函数系固有函数系x1在在上带权函数上带权函数正交。正
6、交。齐次欧拉方程齐次欧拉方程解解)lnsin()(xnxyn则原问题的固有函数系为则原问题的固有函数系为),2,1(n15.15.试证问题试证问题练习练习7 0)()1()1(,02eyyexyyxyx)(xyn,1 e固有函数系固有函数系x1在在上带权函数上带权函数正交。正交。解解(2)(2)现在验证固有函数系现在验证固有函数系)(xyn的函数正交性的函数正交性齐次欧拉方程齐次欧拉方程dxxyxyxmne)()(1110)()(dttytymn10sinsintdtmtn,nm,21,0.nm tex 作变换作变换15.15.试证问题试证问题练习练习8思考思考 试证问题试证问题 0)()1(
7、)1(,032eyyexyyxyx)(xyn,1 e固有函数系固有函数系x在在上带权函数上带权函数正交。正交。tex xtln,11)1(1)1(222ttttttxxyxyxxyxxyy03yyyytttt02yyyttt解解作变换作变换则有则有,1xyytx代入原方程有代入原方程有(1)(1)首先求出固有函数系首先求出固有函数系)(xyn的具体表达式的具体表达式9思考思考 试证问题试证问题 0)()1()1(,032eyyexyyxyx)(xyn,1 e固有函数系固有函数系x在在上带权函数上带权函数正交。正交。),lnsin()(xnxxyn1xtln.0)1()0(yy将将代入即得代入即
8、得),2,1(n02yyyttt,1)(2nn).,(sin)(21ntnetytn解解)lnsin(1)(xnxxyn则原问题的固有函数系则原问题的固有函数系为为),2,1(n10思考思考 试证问题试证问题 0)()1()1(,032eyyexyyxyx)(xyn,1 e固有函数系固有函数系x在在上带权函数上带权函数正交。正交。解解(2)(2)现在验证固有函数系现在验证固有函数系)(xyn的函数正交性的函数正交性dxxyxyxmne)()(1102)()(dttytyemnt10sinsintdtmtn,nm,21,0.nm tex 作变换作变换练习练习14.(2)14.(2)求下列问题的特
9、征值与特征函数求下列问题的特征值与特征函数).()(),()(,)()(XXXXxXxX0解解0,)(xxBeAexXxxBeAexX)(1)(1)当当时，方程通解为时，方程通解为从而有从而有,0BA.0 BA,0 BA.0)(xX由边界条件得由边界条件得即此时原问题即此时原问题没有非平凡解没有非平凡解。).()(),()(,)()(XXXXxXxX0解解0,)(00BxAxX0AxX)(2)(2)当当时，方程通解为时，方程通解为从而有从而有,00A0BxX)(由边界条件得由边界条件得即此时原问题即此时原问题有一个非平凡解有一个非平凡解，121200BxX)(0B其中其中为任意常数。为任意常数
10、。练习练习14.(2)14.(2)求下列问题的特征值与特征函数求下列问题的特征值与特征函数).()(),()(,)()(XXXXxXxX0解解0(3)(3)当当时，方程通解为时，方程通解为.sincos)(xBxAxXxBxAxXcossin)()()(XX由条件由条件.sin0B)()(XX由条件由条件.sin0A,0B,0A,sin0).,(212nnn).,(cos)(21nnxAxXnn若若为求非为求非0 0解解，则则于是得于是得代入通解有代入通解有练习练习14.(2)14.(2)求下列问题的特征值与特征函数求下列问题的特征值与特征函数).()(),()(,)()(XXXXxXxX0解
11、解0(3)(3)当当时，方程通解为时，方程通解为.sincos)(xBxAxXxBxAxXcossin)()()(XX由条件由条件.sin0B)()(XX由条件由条件.sin0A,0A,0B,sin0).,(212nnn).,(sin)(21nnxBxXnn若若为求非为求非0 0解解，则则于是得于是得代入通解有代入通解有练习练习14.(2)14.(2)求下列问题的特征值与特征函数求下列问题的特征值与特征函数).()(),()(,)()(XXXXxXxX0解解0(3)(3)当当时，方程通解为时，方程通解为.sincos)(xBxAxXxBxAxXcossin)()()(XX由条件由条件.sin0B)()(XX由条件由条件.sin0A,sin0).,(212nnn).,2 ,1 (sin cos)(nnxBnxAxXnnn若若代入通解有代入通解有练习练习14.(2)14.(2)求下列问题的特征值与特征函数求下列问题的特征值与特征函数).()(),()(,)()(XXXXxXxX0解解0将将时对应的结果综合即得：时对应的结果综合即得：0和和).,(2102nnn,sin,cos,sin,cos,sin,cos,nxnxxxxx221特征值特征值对应的特征函数对应的特征函数为：为：练习练习14.(2)14.(2)求下列问题的特征值与特征函数求下列问题的特征值与特征函数
