1、第二讲几何之圆与扇形 教学目标组合图形的面积计算，除了直线型面积计算“五大模型”，跟圆有关的曲线型面积也是得别重要的组成部分。其中，尤以结合情境的曲线形面积计算为最常见考点。卷筒软纸中的数学右图为一圈“心相印”圈纸的截面图，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴，若纸的厚度为0.4毫米，问：中心的卷轴到纸用完时大约会转多少圈？这卷纸展开后大约有多长？（取3.14） 想 挑 战 吗？教师版答案提示：纸的厚度为：（厘米），那么有圈纸，中心的卷轴到纸用完时大约会转175圈；圆环的面积为：，因为纸的厚度为0.4毫米，即0.04厘米，所以纸展开后的长度约为：厘米.利用“加、减”思想解答问题【例1
2、】 如图，一个“月牙”形屏幕在屏幕上随意平行移动（不许发生转动也不越过屏幕边界），已知线段AB是月牙外半圆弧的直径，长为2厘米。初始时，A、B两点在矩形屏幕的一条边上。屏幕的长和宽分别为30厘米和20厘米。问：屏幕上“月牙”擦不到的部分的面积是多少平方厘米？（取3）分析：由于“月牙”形屏幕在屏幕上只能平行移动（不许发生转动也不越过屏幕边界），所以它擦不到的地方只是屏幕的右上角和右下角两部分，如右下图中斜线所示区域，其面积为0.5平方厘米。前铺如右图所示，等腰直角三角形ABC的高AD=4厘米，以AD为直径作圆分别交AB、AC与E、F，求阴影部分的面积。（取3）分析：连接EF，那么有，计算可得阴影
3、部分面积为6平方厘米。巩固一个长方形的长为9，宽为6，一个半径为l的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是多少？(取3)分析：圆无法运动到的部分是右下图中角处的阴影部分面积的4倍， 拓展如右图所示，用一块面积为36平方厘米铝板下料，可裁出七个同样大小的圆铝板。问余下的边角料的总面积是多少平方厘米？分析：由图可知大圆直径是小圆直径的3倍，所以每个小圆面积是大圆面积的，即4平方厘米，所以余下的边角料的总面积是8平方厘米.【例2】 如右图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形。（取3）分析：所要求的阴影面积是用
4、正六边形的面积减去六个小扇形面积，正六边形的面积已知，现在关键是小扇形面积如何求，只要知道扇形的圆心角，问题就解决了。边形的内角和为：，正多边形的每条边相等，每个内角也相等。所以正六边形每个内角为120，这样就可求出扇形的面积，进而得到阴影面积为：巩固 如右图，求阴影部分的面积，其中OABC是正方形. （取3关键在于求出正方形的面积，我们知道正方形是特殊的菱形，菱形面积为对角线乘积的一半，所以正方形面积为18，阴影面积为圆的面积减去正方形面积为9。也可以这样想，连接OB，将上半部分移至下面，可形成一个扇形减去三角形的阴影面积，这样也非常容易得到答案，其实有许多图形通过“割、移、补“简化计算，下
5、面让我们来看看吧！巩固 右图是一个等腰直角三角形，直角边长2 厘米图中阴影部分面积是多少平方厘米？（取3）分析：如右下图添加辅助线，那么原图阴影部分可转化为下图中的阴影部分，过度到下一专题。拓展 求右图中阴影部分的面积（取3）分析：法1：我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的、部分面积和即可，其中、面积相等易知、部分均是等腰直角三角形，但是部分的直角边AB的长度未知单独求部分面积不易，于是我们将、部分平移至一起，如下右图所示，则、部分变为一个以AC为直角边的等腰直角三角形，而AC为四分之一圆的半径，所以有AC=10两个四分之一圆的面积和为150，而、部分的面积和为1/21010=5
6、0，所以阴影部分的面积为150-50=100(平方厘米)法2：欲求图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180，使A与C重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.利用“割、补、移”思想解答问题【例3】 如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连结起来那么，图中阴影部分的面积为多少平方厘米？(取314)分析：由移补知，阴影部分面积等于两圆之间的半个圆环面积大圆的半径为: ,所求面积为：(平方厘米)前铺 算图626中阴影部分的面积(单位：分米)。（取3
7、）分析：将右边的扇形向左平移，如图所示。两个阴影部分拼成个直角梯形。(5+10)52=752=375(平方分米)前铺 如右图所示，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求图中阴影部分占大圆面积的百分之几？分析：把3个阴影旋转到一个方位，我们不难发现3个阴影的面积和是大圆面积的1/4.【例4】 下图中阴影部分的面积(单位：厘米)。（取3）分析：（1）将图中左半叶阴影部分向右翻折，与右上部分的阴影合拼成斜边为4厘米的等腰直角 三角形。如右图（附）所示，即得：444=4(平方厘米)（2）如右图（附），我们添加两条辅助线，而后发现可将圆内弓形割补 到上部，那么阴影部分面积=1/4大圆-正方形=1/435
8、5-1/255=25/4。注：正方形也是菱形，菱形面积是对角线乘积的一半。（3）把阴影部分下端的一块割下，补在上面的空白部分，这样阴影部分面积=1/4大圆 1/4小圆 = 71/4 。 （4）采用“补”的思想。三角形内角和是180度，所以阴影部分面积=半圆面积=3/2 。【例5】 平面上有7个大小相同的圆，位置如图所示如果每个圆的面积都是10，那么阴影部分的面积是多少? （取3）分析：题中阴影部分面积可以视为一个完整的圆与6个阴影部分的面积和而图形可以通过割补得到图形，而图形是一个圆心角为60度的扇形，即1/6圆所以，原题图中阴影部分面积为1个完整圆与6个1/6圆，即2个圆的面积即原题图中阴影
9、部分面积为210=20巩固右图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米? （取3）分析：法1：如图所示， 可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形，而这个正方形与图中的正方形形状、大小相同每个正方形的面积为(112) 4=0.54=2平方厘米，所以阴影部分的总面积为24=8 法2：我们可以将图中空白部分分成8个形状相同、面积相等的小图形 ，原题图中的整个图形的面积为四个圆的面积减去公共的4个的面积，即8个的面积，而阴影部分面积又是整个图形面积减去4个的面积，即8个的面积.那么，原题图中阴影部分面积为4个圆面积减
10、去16个的面积所以，原题图中阴影部分总面积为：4113-160.25=8(平方厘米)奇思妙解【例6】 如图，阴影部分的面积是25平方厘米，试求圆环的面积。(取3)分析：设大圆、小圆半径分别为，阴影面积为25平方厘米，则有所以（平方厘米）巩固 大圆半径为R，小圆半径为r，两个同心圆构成一个环形。以圆心O为顶点，半径R为边长作一个正方形：再以O为顶点，以r为边长作一个小正方形。图中阴影部分的面积为50平方厘米，求环形面积。分析：环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能。题中已知阴影部分的面积，也就是平方厘米，那么环形的面积为: =157(平方厘米)。【例7】 如右
11、图所示，求阴影部分的面积。（取3）分析：利用“包含与排除”的思路解答，巩固如右图所示，正方形的边长为10，以各边为直径在正方形内画半圆，则所构成的阴影面积为多少？（取3）分析：利用“包含与排除”的思路解答，阴影面积4个半圆面积正方形面积50拓展如右图，ABCD是平行四边形，AD=8厘米，AB=10厘米，DAB=30，高CH=4厘米，弧BE、DF分别以AB、CD为半径，弧DM、BN分别以AD、CB为半径，则阴影部分的面积是多少？ （取3.14,精确到0.01）分析：旋转构图【例8】 一只狗被拴在底座为边长3米的等边三角形建筑物的墙角上（如右图），绳长是4米，求狗所能到的地方的总面积。（取3.14
12、）分析：如右图所示，羊活动的范围是一个半径4m，圆心角300的扇形与两个半径1m，圆心角120的扇形之和。所以答案是43.96m2。【例9】 如右图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和3cm的长方形。它的对角线长恰好是5cm。让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90后到达长方形的位置，这样连续做三次，A点到达E点的位置。求A点走过的路程的长。（取3）分析：如右下图，A点走过的总路程等于三个半径分别为4cm，5cm，3cm的1/4弧长之和18 cm。【例10】 如图，ABCD是一个长为4，宽为3.对角线长为5的正方形，他绕C点按顺时针方向 旋转90，分别求出四边扫过图形的面积。（取3）分析：（1）
13、容易发现，DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段长 度为半径的圆的，如下图：因此DC边扫过图形的面积为4，BC边扫过图形的面积为；（2）研究AB边的情况。在整个AB边上，距离C点最近的点是 B点，最远的点是A点，因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见右图中阴影部分：下面来求这部分的面积。观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：扇形ACA面积+三角形ABC面积一三角形ABC面积一扇形BCB面积扇形ACA面积一扇形BCB面积；（3）研究AD边扫过的图形。由于在整条线段上距离C点最远的点是A，最近的点是D，所以我们可以画出AD边扫过的图形，如下图阴影部分所示：用与前面同样的
14、方法可以求出面积为：前铺 右图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针 方向旋转60，此时B点移动到B点，求阴影部分的面积。（图中长度单位为cm，圆周率按3计算）分析：面积等于=圆心角为60的扇形面积+半圆-空白部分面积（也是半圆）=圆心角为60的扇形面积=cm2巩固如右图，一个半径为1厘米的小圆盘沿着一个半径为4厘米的大圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后，小圆盘运动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（取3）分析：小圆盘运动过程中扫过的面积由两部分组成：第一部分：半径为6厘米，中心角为90度的扇形减去半径为4厘米，中心角为90度的扇形，面积为：；第二部
15、分是半径为1厘米的2个半圆，总面积是3，所以扫过的面积为18平方厘米.【例11】 右图是一个直角边长为1的等腰直角三角形。当三角形绕C点顺时针旋转90。时，斜边AB扫过的图形面积是多少? （取3）分析：如右下图，从C向AB作垂线交AB于D。AB距C点最近的点是D点，最远的点是A点与B点，所以当ACB绕C点顺时针旋转90度时，A点转到A点与B点重合，B点转到B点。AB扫过的图形就是上图中阴影部分。，两部分的面积和等于半径为1的半圆减去ABB的面积，等于（/2-1)。I，两部分的面积等于正方形CDBD减去扇形CDD的面积。因为正方形CDBD与三角形ABC的面积相等，所以CD=。扇形CDD的面积是C
16、D=。I，两部分的面积和等于（-），阴影部分的面积为：（-1）+（-）=-=5/8。专题展望熟练掌握本节内容，寒假班将学习等积变形、旋转平移、借来还去（踩凳子、差等原理）、整体考虑。练习二1如右图，图中五个相同的圆的圆心连线构成一个边长为10厘米的正五边形，求五边形内阴影部分的面积（取3.14）分析：正五边形的内角为：，所求阴影面积是5个半径为5厘米、圆心角为108的扇形面积之和，即.2如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中 阴影部分面积为，空白部分面积为，那么这两个部分的面积之比是多少？ （取3）分析：如右下图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形。
17、设大圆半径为，则，所以：=（3.142）：2=57：100 3 如右图所示，最外面是正方形为4米，图中阴影部分的面积为5平方厘米，那么最里面正方形的边长是多少？ 分析：将图形的阴影进行适当移动，可得右下图，我们可以得到阴影部分最顶端的小三角形为：，所以最小的正方形面积为4，那么其边长为2。4 如右图所示，平行四边形ABCD的面积是40cm2，求图中阴影部分的面积。分析：平行四边形面积=底高=直径高=2r高=40，所以r高=20，所以阴影面积=10cm2.5 如右图，将边长为1的正三角形放在一条直线上，让三角形绕顶点C顺时针转动到达位置，再继续这样转动到达位置。求A点走过的路程的长（取3）。分析
18、：A走的总路程等于半径为1的圆的周长的2/3，即4。6 如右图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，ABC=60，此时BC长5厘米。以点B为中心，将ABC顺时针旋转120，点A，C分别到达点E，D的位置。求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积。（取3）分析：如右下图所示，将图形l移补到图形II的位置，则阴影部分为一圆环的。面积为：(AB一BC)3=(10一5)3 =7533=75(平方厘米)。成长故事被玷污的20美元时刻关注自己的内在价值 在一次讨论会上，一位著名的演说家没讲一句开场白，却高举着一张20美元的钞票。面对会议室里的200个人，他问：“谁要这20美元?”一只只手举了起来。他接着说：“我打算把这20美元送给你们中的一位，但在这之前，请准许我做一件事。”他说着将钞票揉成一团，然后问：“谁还要?”仍有人举起手来。他又说：“那么，假如我这样做又会怎么样呢?”他把钞票扔到地上，又踏上一只脚，并且用脚碾它。尔后他拾起钞票，钞票已变得又脏又皱。“现在谁还要?”还是有人举起手来。 演说家最后说：“朋友们，你们已经上了一堂很有意义的课。无论我如何对待那张钞票，你们还是想要它，因为它并没贬值。它依旧值20美元。人生路上，我们会无数次被自己的决定或碰到的逆境击倒、欺凌甚至碾得粉身碎骨。我们觉得自己似乎一文不值。但无论发生什么，你们永远不会丧失价值。”
