1、 5.3 复数的乘法复数的乘法 与除法与除法 一、复数的乘法与除法一、复数的乘法与除法1.复数乘法的法则复数乘法的法则复数的乘法与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得但必须在所得的结果中把的结果中把i2换成换成-1,并且把实部合并并且把实部合并.两个复数的积两个复数的积仍然是一个复数仍然是一个复数,即即:(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.2.复数乘法的运算定理复数乘法的运算定理复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律配律.即对任何即对任何z1,z2,z
2、3有有z1z2=z2z1;(z1z2)z3=z1(z2z3);z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.实数集实数集R中正整数指数的运算律中正整数指数的运算律,在复数集在复数集C中仍然成中仍然成立立.即对即对z1,z2,z3C及及m,nN*有有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.2)()(222abibabia 3:复数的一个重要性质复数的一个重要性质两个共轭复数两个共轭复数z,z的积是一个实数的积是一个实数,这个实数等于每一这个实数等于每一个复数的模的平方个复数的模的平方,即即z z=|z|2=|z|2.4:复数的除法法则复数的除法法则先把除式写成分式的形式先
3、把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分再把分子与分母都乘以分母的共轭复数母的共轭复数,化简后写成代数形式化简后写成代数形式(分母实数化分母实数化).即即).0()()(2222 dicidcadbcdcbdacdicbia5.共轭复数的乘除性质共轭复数的乘除性质:;_2_1_21zzzz .)(_2_1_21zzzz 6.一些常用的计算结果一些常用的计算结果|2121zzzz|2121zzzz(1)如果如果nN*有有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上事实上 可以把它推广到可以把它推广到nZ.(2)设设 ,则有则有:i2321 .01;12_23 事
4、实上事实上,与与 统称为统称为1的立方虚根的立方虚根,而且对于而且对于 ,也也有类似于上面的三个等式有类似于上面的三个等式._ _(3).11;11;1;2)1(2iiiiiiiiii 7.例题选讲例题选讲例例1.计算计算:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i);(2)(1+2i)(3-4i)解解:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.(2)原式原式=.525125105434683)43)(43()43)(21(432122iiiiiiiiii 例例2:计算计算:(1)i+2i2+3i3+2019i2019;解解:原式原式=(i-2-3i
5、+4)+(5i-6-7i+8)+(2019i-2019-2019i +2019)=501(2-2i)=1002-1002i.(2)2003)11(3443iiii 解解:原式原式=.0)(34)34(2003 iiiiii(3)iiii212)1()31(63 解解:原式原式=.0)2321(121)12()2()31(3333 iiiiiiiiii练习练习:计算计算:.)2321)(2(;)12()22()1(65082002iiii 答案答案:(1)255-i;(2)1.例例3:已知复数已知复数 ,且且z2+az+b=1+i,求实数求实数 a,b.iiiz 2)1(3)1(2解解:iiii
6、iz 232332.151326)2)(2()2)(3(iiiiiii 所以所以(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即即-2i+a-ai+b=1+i,从而有从而有:(a+b)+(-a-2)i=1+i.43121 baaba练习练习2:已知已知z=1+i,(1)若若 ,求求 ;(2)若若 ;求求a,b的值的值.43_2 zz|),(1122Rbaizzbazz 答案答案:(1);(2)a=-1,b=2.2OABDxyOABCxy例例4:如图所示如图所示,平行四边形平行四边形OABC(O,A,B,C按逆时针方按逆时针方 向向)中中,各顶点对应的复数依次是各顶点对应的复数依次是zO=0,zA=a
7、+ai/2,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,(a,b为实数为实数),求求zC/zA的值的值.解解:因为因为OABC是平行四边形是平行四边形,.,CABzzzOCOAOB 即即.23)(32)(232aibaiaaibiaaia 即即.622332 baabaa.22226iiizzAC 例例5:已知复数已知复数z满足满足|z|=5且且(3+4i)z是纯虚数是纯虚数,求求 z.解解1:设设z=a+bi(a,bR),则则(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i.由已知得由已知得).0(43034043 aabbaba代入代入a2+b2=|z|2=25,解得解得a2=16.当当a=4时
8、时,b=3,z=4+3i,所以所以z=4-3i;当当a=-4时时,b=-3,z=-4-3i,所以所以z=-4+3i.解解2:由已知可设由已知可设(3+4i)z=ki(kR且且k0).则则.25325443)43(4322ikkikiikiz .2525)253()254(,5|22 kkkz.3434),34(_iiziz 或或从从而而例例6:若若 是纯虚数是纯虚数,求求z的对应点的对应点Z的轨迹的轨迹.11 zz解解:设设 ,则则z-1=ki(z+1).)0,(11 kRkkizz.121111222ikkkkkikiz 设设z=x+yi(x,yR),则则).0,(1211222 kRkkk
9、ykkx消去消去k,得得x2+y2=1且且y0.所以所以z的对应点的对应点Z的轨迹是以原点为圆心的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆为半径的圆,除去圆与除去圆与x轴的交点轴的交点(1,0)和和(-1,0)二、重要性质的应用二、重要性质的应用公式公式z z=|z|2=|z|2在整个复数知识中占有十分重要的地在整个复数知识中占有十分重要的地位位,它既是共轭复数与复数模的桥梁它既是共轭复数与复数模的桥梁,又在处理复数为实又在处理复数为实数或纯虚数时的重要工具数或纯虚数时的重要工具.公式的变形公式的变形:;特别地特别地,当当|z|=1时时,.zzz2_|zz1_ 复数复数z为实数的几个充要条件为实数的几
10、个充要条件:(1)Im(z)=0;(2)z=z;(3)z20;(4)存在非零实数存在非零实数k,使得使得|z-ki|=|z+ki|.复数复数z为纯虚数的几个充要条件为纯虚数的几个充要条件:(1)Re(z)=0且且Im(z)0;(2)z+z=0且且z0;(3)z20;(4)存在非零实数存在非零实数k,使得使得|z-k|=|z+k|且且z0.在上述的条件中在上述的条件中,特别要注意对第特别要注意对第(2)个结论的灵活个结论的灵活运用运用,事实上这是一个最常用的结论事实上这是一个最常用的结论.例例1:已知已知|z|=1,求求|z2+z+1|的最值的最值.解解1:设设z=x+yi(x,yR),则则x2
11、+y2=1,|x|1,|y|1.故故|z2+z+1|=|x2+2xyi-y2+x+yi+1|=|(x2-y2+x+1)+(2xy+y)i|=|(2x2+x)+(2x+1)yi|=|2x+1|x+yi|=|2x+1|.所以所以,当当x=1时时,|z2+z+1|最大值最大值=3;当当x=-1/2时时,|z2+z+1|最小值最小值=0.解解2:由于由于z z=|z|2=1,故若设故若设z=x+yi(x,yR),则有则有|z2+z+1|=|z2+z+z z|=|z|z+1+z|=|2x+1|(以下同解以下同解1).例例2:设非零复数设非零复数z1,z2满足满足|z1+z2|=|z1-z2|,求证求证:
12、(z1/z2)20解解2:_21212212212121)()(|zzzzzzzzzzzz )()()()(_2_121_2_121_2121zzzzzzzzzzzz解解1:.0)(|1|1|1|221212121212 zzzzzzzzzzz纯纯虚虚数数|1|)1(|)1(|2122122122121 zzzzzzzzzzzzz.0|)(0|02221221212122212_1_21 zzzzzzzzzzzzzz解解3:设设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),代入条件式并利代入条件式并利 用模的计算公式可得用模的计算公式可得ac+bd=0.从而可知从而可知z1/z2是纯虚数
13、是纯虚数,故故(z1/z2)20.例例3:求同时满足下列两个条件的所有复数求同时满足下列两个条件的所有复数z:(1)1z+8/z 5;(2)z的实部和虚部都是整数的实部和虚部都是整数.解解:.8,0)81)(,88,88,8,581_ zzzzzzzzzzzzzzzzRzzzz或或(1)故此时无解故此时无解.524828,0,581,_ zzzzzzzRzzz(2).51,88_ zzzzzz,2521,521),(xxZyxyixz则则设设.27,8.21,22 或或又又或或yyxxZx.22iz 练习练习1:设复数设复数 ,求证求证 是纯虚数的充要条件是是纯虚数的充要条件是|z|=1.1
14、z11 zz练习练习2:求复数求复数z,使使(1)|z-4|=|z-4i|;(2)是实数同时是实数同时 成立成立.114 zzz答案答案:z=0或或-2-2i或或3+3i.练习练习3:已知已知|z|=1,求求|z2-z+3|的最值的最值.答案答案:当当 时时,取最小值取最小值 ,当当z=-1时时,取最大值取最大值5.iz32231 311三、实系数一元二次方程三、实系数一元二次方程实系数一元二次方程实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,当当=b2-4ac0时时,有有两个共轭虚根两个共轭虚根:.2422,1aibacbx 此时韦达定理仍然成立此时韦达定理仍然成立,并且注意到两根共轭并且注意到两
15、根共轭,从而有从而有 .|)Re(2)Re(22221212121acxxxxabxxxx几何意义几何意义:两根在复平面内的对应点关于两根在复平面内的对应点关于x轴对称轴对称.如方程如方程x2+x+1=0的两根为的两根为.2321i 例例1:设方程设方程x2-2x+2=0的两根为的两根为x1,x2,求求x14+x24的值的值.解解:,12,1ix .8)2()2()1()1(22444241 iiiixx例例2:已知方程已知方程x2+x+a=0有两虚根有两虚根x1、x2,且且|x1-x2|=3,求求 实数实数a.解解:.41041 aa,21412,1iax .25314|14|21 aaia
16、xx说明说明:由于由于x1、x2是虚根是虚根,因此原来在实根时的计算式因此原来在实根时的计算式 不再成立不再成立.21221214)(|xxxxxx 例例3:设关于设关于x的方程的方程x2+4x+m=0(mR)的两个复数根为的两个复数根为 x1、x2,且且x1、x2在复平面内对应的点分别为在复平面内对应的点分别为A、B,|AB|=2,求求m的值的值.解解:=16-4m.(1)当当 时时,40 m即即.422,1mx ).0,42(),0,42(mBmA .3242 mm又又|AB|=2,故故(2)当当 时时,40 m即即.422,1imx ).4,2(),4,2(mBmA .5242 mm又又
17、|AB|=2,故故综合综合(1)、(2)得得m=3或或5.类类1:设设x1、x2是关于是关于x的方程的方程x2-3x+m=0的两根的两根,mR,且且|x1|+|x2|=4,求求m的值的值.解解:由韦达定理得由韦达定理得:x1+x2=3,x1x2=m.(1)当当x1,x2R时时,=9-4m0,m9/4.故当故当0m9/4时时,则由则由得得x1x20,从而又由从而又由得得|x1|+|x2|=x1+x2=3,与已知矛盾与已知矛盾.所以所以m0,此时此时x1x29/4.则由则由得得x1x2=x1x1=|x1|2=m.又由已知得又由已知得,|x1|+|x2|=2|x1|=4,|x1|=2,所以所以m=4
18、.类类2:已知方程已知方程x2+2px+1=0的两个虚根为的两个虚根为x1、x2,且且x1、x2、1在复平面内的对应点是一个正三角形的三个在复平面内的对应点是一个正三角形的三个 顶点顶点,求实数求实数p.解解:由已知知由已知知=4p2-40,得得p21.又方程的两个虚根为又方程的两个虚根为.122,1ippx 故故x1的对应点为的对应点为A ,x2的对应点为的对应点为B1的对应点为的对应点为C(1,0).)1,(2pp )1,(2pp 又由又由A,B关于关于x轴对称轴对称,且且|OA|=|OB|=1.2132cos1 pp(满足满足p21).故所求的故所求的p值为值为1/2.四、小结四、小结1.进行复数的除法运算时进行复数的除法运算时,通常进行分母实数化通常进行分母实数化.2.利用某些特殊复数的运算结果利用某些特殊复数的运算结果,可以常常化简复数的可以常常化简复数的 运算运算.3.掌握重要性质以及复数为实数和纯虚数的条件掌握重要性质以及复数为实数和纯虚数的条件.4.掌握实系数一元二次方程有虚根时的理论和应用掌握实系数一元二次方程有虚根时的理论和应用.5.在复数的运算过程中在复数的运算过程中,要注意复数整体的把握和应用要注意复数整体的把握和应用.五、作业：五、作业：p.267268课后强化训练课后强化训练.谢谢！
