1、一、一、定积分应用的微元法定积分应用的微元法二、二、用定积分求平面图形的面积用定积分求平面图形的面积三、三、用定积分求体积用定积分求体积四、四、平面曲线的弧长平面曲线的弧长 用定积分计算的量的特点：用定积分计算的量的特点：(1)(1)所求量（设为所求量（设为 F）与一个给定区间）与一个给定区间 ba,有关，有关，且在该区间上具有可加性且在该区间上具有可加性.就是说，就是说，F是确定于是确定于 ba,上上的整体量，当把的整体量，当把 ba,分成许多小区间时，整体量等于分成许多小区间时，整体量等于各部分量之和，即各部分量之和，即niiFF1 .(2)(2)所求量所求量 F在区间在区间 ba,上的分
2、布是不均匀的，上的分布是不均匀的，也就是说，也就是说，F的值与区间的值与区间 ba,的长不成正比的长不成正比.（否则的（否则的话，话，F使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了）使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了）.用定积分概念解决实际问题的四个步骤：用定积分概念解决实际问题的四个步骤：第一步：将所求量第一步：将所求量 F分为部分量之和，即分为部分量之和，即:niiFF1;第二步：求出每个部分量的近似值，第二步：求出每个部分量的近似值，iF);,2,1()(nixfii 第三步：写出整体量第三步：写出整体量 F的近似值，的近似值，niiFF1iniixf)(1；第四步：取第四步：取0ma
3、xix时的时的iniixf)(1极限，则得极限，则得 nibaiixxfxfF10d)()(lim.而第三、第四两步可以合并成一步：在区间而第三、第四两步可以合并成一步：在区间 ba,上无限累加，上无限累加，即在即在 ba,上积分上积分.至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，这是这是 F能用定积分计算的前提，于是，上述四步简化能用定积分计算的前提，于是，上述四步简化后形成实用后形成实用的微元法的微元法.定积分应用的微元法定积分应用的微元法：(一一)在区间在区间 ba,上任取一个微小区间上任取一个微小区间 xxxd,，然后写出，然后写出在这个小区间上的部
4、分量在这个小区间上的部分量F的近似值，记为的近似值，记为xxfFd)(d(称为称为 F的微元的微元);（二二）将微元将微元Fd在在ba,上积分（无限累加），即得上积分（无限累加），即得 .d)(baxxfF观察上述四步我们发现，第二步最关键，因为最后的被积表观察上述四步我们发现，第二步最关键，因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的，这只要把近似式达式的形式就是在这一步被确定的，这只要把近似式iixf)(中的中的变量记号改变一下即可（变量记号改变一下即可（i换为换为 x；ix换为换为 xd）.微元法中微元的两点说明：微元法中微元的两点说明：(1 1)xxfd)(作为作为F的近似值表达式，
5、应该足够准确，确切的近似值表达式，应该足够准确，确切的 说，就 是 要 求 其 差 是 关 于的 说，就 是 要 求 其 差 是 关 于x的 高 阶 无 穷 小的 高 阶 无 穷 小.即即 )(d)(xoxxfF.这样我们 就知道了，称作 微元的量这样我们 就知道了，称作 微元的量 xxfd)(，实际上是所求量的微分，实际上是所求量的微分 Fd;(2 2)具体怎样求微元呢具体怎样求微元呢?这是问题的关键，这这是问题的关键，这要要分析问分析问题的题的实际实际意义意义及数量关系，一般按及数量关系，一般按着着在局部在局部 xxxd,上，上，以以“常代变常代变”、“匀代不匀匀代不匀”、“直代曲直代曲”
6、的思路（局部线的思路（局部线性 化），写 出 局 部 上 所 求 量 的 近 似 值，即 为 微 元性 化），写 出 局 部 上 所 求 量 的 近 似 值，即 为 微 元 xxfFd)(d.1.1.直角坐标系下的面积计算直角坐标系下的面积计算 用微元法不难将下列图形面积表示为定积分用微元法不难将下列图形面积表示为定积分.（2 2）由上、下两条曲线由上、下两条曲线)()()(),(xgxfxgyxfy及及bxax,所围成的图形所围成的图形，如下页右图，如下页右图，面积微元面积微元,d)()(dxxgxfA，面积，面积baxxgxfAd)()(.（1 1）曲线曲线),0)()(xfxfybxax
7、,及及 Ox轴所围轴所围图形图形，如下页左图，如下页左图，面积微元面积微元xxfAd)(d，面积，面积baxxfAd)(.（3 3）由左右两条曲线由左右两条曲线)(),(yxyx及及dycy,所所围成图形（图围成图形（图见下页见下页）面积微）面积微元（元（注意，这时就应取横条矩注意，这时就应取横条矩形形 Ad，即取，即取 y为为积分变量积分变量）yyyAd)()(d，面积面积dcyyyAd)()(.O y x x x d x a b)(x f y x O y x x d x a)(x f y )(x g y b 例例 1 1 求两条抛物线求两条抛物线22,xyxy所所围成的图形的面积围成的图形
8、的面积.解解（1 1）画出图形简图（）画出图形简图（如右上图如右上图）并求出曲线交）并求出曲线交点以确定积分区间：点以确定积分区间：O y x x x d x 1(1,1)O y x y c d()xy ()xy dyy 解方程组解方程组,22xyxy得交点得交点（0 0，0 0）及及（1 1，1 1）.(2)(2)选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作 Ad均可，习惯上取竖条，即取均可，习惯上取竖条，即取 x为积分变量，为积分变量，x变化范围为变化范围为00，11，于是，于是 ,d)(d2xxxA(3)(3)将将A表示成定积分，并计算表示
9、成定积分，并计算 10103232.313132d)(xxxxxA例例 2 2 求求xy22及及4 xy所围成所围成图形图形面积面积.解解 作图（作图（如下图如下图）求出交点坐标为求出交点坐标为)4,8(),2,2(BA.观察图得知，宜取观察图得知，宜取 y为积分变量，为积分变量，y 变化范围为变化范围为 2 2，44（考虑一下，若（考虑一下，若取取 x为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处），为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处），于是得于是得 ,d21)4(d2yyyA.1861421d21)4(4242322yyyyyyAO y B A 4-2 y x y+dy 2.2.极坐标下的
10、面积计算极坐标下的面积计算 曲边扇形曲边扇形：是指由曲线是指由曲线)(rr 及两条射线及两条射线,所围所围成的图形（成的图形（如如右下右下图图）.取取 为积分变量，其变化范围为为积分变量，其变化范围为,，在微小区间，在微小区间 d,上上“以常代变以常代变”，即以小扇形面积，即以小扇形面积 Ad作为小曲边扇形面积的近似作为小曲边扇形面积的近似值，于是得面积微元为值，于是得面积微元为 ,d)(21d2rA 将将Ad在在,上积分上积分,便得曲便得曲边边 扇形面积为扇形面积为 .d)(212rAO x ()rr d 例例 4 4 计算双纽线计算双纽线)0(2cos22aar所围成的所围成的图形图形的的
11、面积（面积（如下图所示如下图所示）.解解 由于图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，由于图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，再再 4 4 倍即可，在第一象限倍即可，在第一象限 的变化范围的变化范围为为 4,0，于是，于是 222440014cos2 dsin2.2AaaaO a y x 4 解解 先求两线交点，以确定先求两线交点，以确定 的变化范围，解方程组的变化范围，解方程组 1 cos,3cos.rr 由由cos1cos3得得 21cos ，故故 3 ，考虑到图形的对称性，得所求考虑到图形的对称性，得所求的的 面积为面积为 O x 2 3 3cosr 1 cosr 302322d
12、)cos3(21d)cos1(212A例例 5 5 求心形线求心形线 1 cosr 及圆及圆cos3r所围成的阴影所围成的阴影部分面积（部分面积（如如右右下图下图）.3023d)2cos1(29d)22cos1cos21(23302sin21292sin41sin223.451.1.平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直设一物体被垂直于某直于某直线的平面所截线的平面所截的的面积面积可求，则该物体可求，则该物体可用定积分求其体积可用定积分求其体积.为求体积微为求体积微元元，在微小区间，在微小区间 d,xxx上视上视 )(xA不不变，即把变，即把d,xxx上的立体薄
13、片近似看作上的立体薄片近似看作 )(xA为底，为底，xd为高的柱片，于是得为高的柱片，于是得 ,d)(dxxAV 再在再在x的变化区间的变化区间,ba上积分，上积分，则得公式则得公式 .d)(baxxAV不妨设上述直线为不妨设上述直线为 x轴，则在轴，则在 x处的截面面积处的截面面积 )(xA是是x的已知连续函数，求该物体介于的已知连续函数，求该物体介于 ax 和和 )(babx之间的体积（之间的体积（如右下如右下图）图）.O x y b x a()A xdxx 例例 6 6 设有底圆半径为设有底圆半径为 R的圆柱，被一与圆柱面交成的圆柱，被一与圆柱面交成 角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔
14、形体积（如角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积（如右右下下图）图）.O y x R R a 222xyR a 解解 取坐标系如图，则底圆方程为取坐标系如图，则底圆方程为 222,xyR在在 x处垂直于处垂直于 x轴作立体的截轴作立体的截面，得一直角三角形，两条直角边分面，得一直角三角形，两条直角边分别为别为 y及及 tany，即，即22xR 及及tan22xR，其面积为，其面积为tan)(21)(22xRxA，从而得楔形体，从而得楔形体积为积为 RRRxxRxxRV02222d)(tandtan)(21tan32)3(tan3022RxxRR.2、旋转体体积旋转体体积 设 旋 转 体 是
15、 由 连 续 曲 线设 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线)(xfy 和 直 线和 直 线)(,babxax，及，及 x轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转而轴旋转而成（如下图），我们来求它的体积成（如下图），我们来求它的体积 V.在区间在区间 ,ba上点上点 x处垂直处垂直 x轴的截面面积为轴的截面面积为 在在x的变化区间的变化区间,ba内积分，得旋转体体积为内积分，得旋转体体积为 O y x b a A(x).()(2xfxA.d)(2baxxfV类似地，由曲线类似地，由曲线)(yx，直线，直线dycy,及及 y轴所围成的曲边梯形轴所围成的曲边梯形绕绕 y轴旋转，所得旋转体体
16、积（如下轴旋转，所得旋转体体积（如下页左图）为页左图）为.d)(2dcyyV例例 7 7 求由星形线求由星形线 222333(0)xyaa 绕绕 x 轴旋轴旋转所成旋转体体积（如上右图）转所成旋转体体积（如上右图）.解解 由方程由方程 323232ayx O y x c d()xy y O x a-a 解出解出 2y33232)(xa ，于是所求体积为，于是所求体积为 aaaxxaxyV0332322d)(2d.10532d)33(2320343232342axxxaxaaa设有曲线设有曲线)(xfy（假定其导数（假定其导数)(xf 连续），我们来连续），我们来计算从计算从 ax 到到 bx
17、的一段弧长的长度的一段弧长的长度 s（如下页左图）（如下页左图）.我们仍用微元法，取我们仍用微元法，取 x为积分变量，为积分变量，,bax，在微小，在微小区间区间,dxxx内，用切线段内，用切线段 MT来近似代替小弧段来近似代替小弧段 MN（“常代变”）得弧长微元为（“常代变”）得弧长微元为 .d1)d()d(d222xyyxQTMQMTs22这里这里xysd1d2也称为弧微分公式也称为弧微分公式.在在x的变化区间的变化区间,ba内积分，就得所求弧长内积分，就得所求弧长 .d)(1d122babaxxfxys若曲线由参数方程若曲线由参数方程 (),()xtyt )(t给出，这时弧长微元为给出，
18、这时弧长微元为 2222d(d)(d)()()d.sxyxxt于是所求弧长为于是所求弧长为.d)()(22ttts注意：计算弧长时，由于被积函数都是正的注意：计算弧长时，由于被积函数都是正的.因此，为使弧长因此，为使弧长为正，定积分定限时要求下限小于上限为正，定积分定限时要求下限小于上限.O x a y x b A M N B x d s d Q y d ydxy T O x a y-a 例例 9 9 两根电线杆之间的电线，由于自身重量而下垂成曲线，两根电线杆之间的电线，由于自身重量而下垂成曲线，这一曲线称为悬链线，已知悬链线方程为这一曲线称为悬链线，已知悬链线方程为 )ee(2axaxay
19、)0(a 求从求从ax到到ax 这一段的弧长（如上这一段的弧长（如上页页右右图图）解解 由于弧长公式中被积函数比较复杂，所以代公式前，要由于弧长公式中被积函数比较复杂，所以代公式前，要将将 sd部分充分化简，然后再求积分部分充分化简，然后再求积分.这里，这里，)ee(21axaxy，于，于是是 221d1 d1(ee)d.4xxaasyxx故悬链线这段长为故悬链线这段长为 aaxysd12 aaxaxx0d)ee()ee()ee(10aaaaxax 1()dee2xxaax例例 10 10 求摆线求摆线(sin),(1 cos)xa ttyat 在在 20 t的一段长的一段长)0(a.解解 )cos1()(tatx,tatysin)(,于是于是 ttattytxsd)cos1(2d)()(d22 ttad2sin2,由于在由于在2,0上，上，02sint，故，故这一拱摆线长为这一拱摆线长为 .82cos4d2sin22020atattas 思考题思考题 1.1.什么叫微元法什么叫微元法?用微元法解决实际问题的思路及用微元法解决实际问题的思路及步骤如何步骤如何?2 2 求平面图形的面积一般分为几步求平面图形的面积一般分为几步?谢谢观看！2020
