1、第四节第四节 定积分的应用定积分的应用v理解微元法理解微元法v熟练掌握用定积分求平面图型的面积、旋转物熟练掌握用定积分求平面图型的面积、旋转物体的体积体的体积v了解函数的平均值了解函数的平均值v了解定积分在医药学上的应用了解定积分在医药学上的应用回顾曲边梯形求面积的问题()baAf x dx定积分的元素法问题的提出问题的提出曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)(xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy (),dAf x dxx x+dxA面积表示为定积分的步骤如下（2）计计算算iA 的的近近似似值值iiixfA )(i
2、ix （3）求和，得求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA ab xyo)(xfy （4）求极限，得A的精确值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示提示 若若用用A 表表示示任任一一小小区区间间,xxx 上上的的窄窄曲曲边边梯梯形形的的面面积积，则则 AA，并并取取dxxfA)(，于于是是 dxxfA)(dxxfA)(lim.)(badxxfxdxx dA面积元素当当所所求求量量U符符合合下下列列条条件件：微元法的一般步骤：1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间a,b；2)设想把区间a,b分为n个小区间，取其中一小区间，并记为x,x+d
3、x,求出相应于这个小区间的部分U的近似；如U能近似的表示为a,b上的一个连续函数x处的f(x)与与dx的乘积，就称 f(x)dx为U处的微分元，且记为dU，dU=f(x)dx；应用方向：应用方向：平面图形的面积；旋转体的体积；平面曲平面图形的面积；旋转体的体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等。线的弧长；功；水压力；引力和平均值等。3(),(),.baUf x dxa bUf x dxU）以以所所求求量量 的的微微分分元元为为被被积积表表达达式式 在在 区区间间上上作作定定积积分分 得得 即即为为 所所求求量量 的的积积分分表表达达式式这这个个方方法法通通常常叫叫做做微微元元法法思考
4、题思考题微元法的实质是什么？微元法的实质是什么？微元法的实质仍是微元法的实质仍是“和式和式”的极限的极限.xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12xxxx x 一一.平平面面图图形形的的面面积积(),()()(),():yf xyg xf xg xxaxb ab 由由曲曲线线及及直直线线所所围围成成的的平平面面图图形形 的的面面积积为为()()baAf xg x dx(),()()(),():xyxyyyycyd cd,由由曲曲线线及及直直线线所所围围成成的的平平面面
5、图图形形理理的的面面积积为为同同()()dcAyy dy2.43.1yxyx求由抛物线与直线求由抛物线与直线所围成的图形的面积所围成的图形的面积例例22.24.yxyx求求抛抛物物线线与与直直线线所所围围成成的的图图形形的的面面积积例例解解两曲线的交点两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4,2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy12(),()(),:xtTtTyt 特特别别地地 当当曲曲边边梯梯形形的的曲曲边边由由给给出出时时 则则此此曲曲边边梯梯形形的的参参数数方方面面积积为为程程2112()().TTdtTTAtt其中 和是
6、对应于曲线的起点及终点的其中 和是对应于曲线的起点及终点的参数值参数值2222.1(3).xyabab求椭圆所围成的面积求椭圆所围成的面积例例解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 画出草图，便于合理选择积分变量（重要环节）；求出交点坐标，以便确定积分限；写出微分元（大减小；即上减下，右 减左）（关键环节）；以微分元为被积表达式，求起点至终点的定积分。小结.5.若若图图形形是是几几条条曲曲线线所所围围成成,则则需需分
7、分成成若若干干块块,然然后后分分别别求求出出其其面面积积,再再相相加加 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体，这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转轴旋转轴。圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、旋转体的体积Oyxy=f(x)ab一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx，取取以以dx为为底
8、底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdV2)(xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)()(xfy 类似地，如果旋转体是由连续曲线类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx 、直线、直线cy 、dy 及及y轴所围轴所围成的曲边梯形绕成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，轴旋转一周而成的立体，体积为体积为xyo)(yx cddyy2)(dcVyrhPxo.4,rh 证证明明底底半半径径为为 高高为为 的的圆圆锥锥的的体体积积公公式式例例2,2yxxx 求求由由以以及及 轴轴所所围围成成的的图图形形 绕绕两两坐坐标
9、标轴轴旋旋转转所所例例5 5得得的的体体积积.yr解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，,0hx 在在,0h上任取小区间上任取小区间,dxxx，xo直线直线 方程为方程为OP以以dx为底的窄边梯形绕为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的轴旋转而成的薄片的体积为体积为dxxhrdV2 圆锥体的体积圆锥体的体积dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxo三、三、定积分在医学中的应用举例,)(1)(badxxfabf 在在区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点，积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab)(f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线
10、)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等等于于同同一一底底边边而而高高为为)(f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。1、胰岛素平均浓度的测定例6、由实验测定病人的胰岛素浓度，先让病人禁食，以降低体内血糖水平，然后通过注射给病人大量的糖。假定由实验测得病人的血液中的胰岛素的浓度C(t)(单位/ml)为 55025)10()()5(ttetttCtk其中 ,时间 t 的单位是分钟，求血液中的胰岛素在一小时内的平均浓度C(t)（判断患者是否患有糖尿病）202ln k6001()()60C tC t dt560051()()60C t dtC t dt560(5)051(10
11、)2560k ttt dtedt23 5(5)60051151560312k tttek11.632 2、染料稀释法确定心输出量、染料稀释法确定心输出量 例7：心输出量是指每分钟心脏泵出的血量，在生理学实验中常用染料稀释法来测定。把一定量的染料注入静脉，染料将随血液循环通过心脏到达肺部，再返回心脏而进入动脉系统。假定在时刻假定在时刻 t=0 时注入时注入 5mg 的染料，自染料的染料，自染料注入后便开始在外周动脉中连续注入后便开始在外周动脉中连续 30 秒监测血液中秒监测血液中染料的浓度，它是时间的函数染料的浓度，它是时间的函数 C(t):18138330532146C(t)t(s)C(mg/
12、l)320031830()(404531026)1018ttc ttttt 当或当330(),22,().c tMQQc tQ注入染料的量与在秒之内测到的平均浓度的比值是半分钟里心脏泵出的血量 因此 每分钟的心输出量 是这一比值的 倍 即试求这一试验中的心输出量解解 18322310)102645340(1301dtttt318)102624533404(130102342tttt )25.1379(340230102 59375.1 dttCtC)(1301)(300_ 因此min)/(275.659375.152)(2_LtcMQ 3.脉管稳定流动时血流量的测定 例8：设有半径为R，长为L的一段刚性血管，两端的血压分别为 和 ，已知在血管的横载面上离血管中心 r 处的血流速度符合Poiseuille公式2p)(21pp 其中 为血液粘滞系数，求单位时间流过该横载面的流量Q)(4)(2221rRLpprV 1prL2prr+drdrrdss 21p()2Q dQ V rrdr R0Q()2V rrdrR22120()24ppRrrdrLR221202()4ppRrrdrL2221202424RpprrRL4128ppRL
