1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义向量数乘运算及其几何意义1.1.向量加法三角形法则向量加法三角形法则aAbBCabaaAbBbOCab特点特点：首尾相接首尾相接特点特点:共起点共起点b a b Ba ABAab O特点：共起点，连终点，方向指向被减向量特点：共起点，连终点，方向指向被减向量2.2.向量加法平行四边形向量加法平行四边形法则法则3.3.向量减法三角形法则向量减法三角形法则复习回顾复习回顾:实际背景实际背景33 ,aa 一一物物体体作作匀匀速速直直线线运运动动，一一秒秒钟钟的的位位移移对对应应向向量量那那么么在在同同方方向向上上 秒秒的的位位移移对对应应的的向向量量用用表表示示，
2、试试画画出出该该向向量量,看看看看它它们们有有何何关关系系？a3a 思考：思考：已知非零向量已知非零向量 ,作出作出 和和 ,你能说明它们的几何意义吗？你能说明它们的几何意义吗？aaaa()()()aaa aBACOaaaNMQPaaaOCOAABBCaaa PNPQQMMNaaa （）（）（）3a 记作-3a 记作 一般地，我们规定实数一般地，我们规定实数与向量与向量 的积是一的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，aa|;aa（1 1）（2 2）当）当 时，时，的方向与的方向与 的方向相同；的方向相同；当当 时，时，的方向与的方向与 的方向相反。
3、的方向相反。aa0aa0特别的，当特别的，当 时，时，00.a一.向量数乘的定义它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下：a3(2)a3(2)a6a=abab22ab2a2b2()22abab3 26222,()()(),(),aaaa babab (1 1)根根据据定定义义 求求作作向向量量和和为为非非零零向向量量并并进进行行比比较较，看看看看它它们们有有何何关关系系？(2 2)已已知知向向量量求求作作向向量量和和并并进进行行比比较较，看看看看它它们们有有何何关关系系？探探究究设设 为实数，那么为实数，那么,(1)()();(2)();(3)().aaaaaabab 特别的，我们有特别
4、的，我们有()()(),().aaaabab 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于对于任意向量任意向量 ，以及任意实数，以及任意实数 ，恒有，恒有ab，1212().abab 12,例例1.计算：计算：34322332(1)(2)(3)();()();()().aababaabcabc 13 412()()aa 原原式式233225()ababab原原式式解解:二.例题讲解3233252()abcabcabc 原原式式2 263)3(342);3()2(2)4()0 .abcabcxaxaxabx 计算:(1)（2）已知求141269126
5、abcabc解：（）原式13a2 33244440 xaxaxab（）原等式可化为34xab 340 xab整理得练习练习:思考思考:0().a abba 向向量量与与 共共线线，当当且且仅仅当当有有唯唯一一一一个个实实数数，使使向量共线定理向量共线定理(重点重点)abba 问问题题二二：如如果果向向量量 与与 共共线线那那么么，？abbaab 对对于于向向量量 与与，以以及及实实数数问问题题一一：如如果果那那么么，向向量量 与与 是是否否共共线线？(0)a 例例2.如图，已知任意两个向量如图，已知任意两个向量 ，试作，试作a b、2,3.OBab OCab ,OAab 你能判断你能判断A、B
6、、C三点之三点之间的位置关系吗？为什么？间的位置关系吗？为什么？abab2b3bABCO解解:2-()3-()2ABOBOAababbACOCOAababb 2ACAB,A B C所以三点共线练习练习:A AD DE EC CB BAEADDE 解：解：333()3ABBCABBCAC .ACAE 与共线ABCMabD,.ABCDMABaADba bMA MB MCMD 例3.如图,的两条对角线相交与点且你能用表示和111222MCACab 1111()2222MDMBDBabab 1111()2222MAACabab 1111()2222MBDBabab:.ABCDACABADabDBABA
7、Dab 解 在中()如图所示，D是 ABC的边AB上的中点，则向量CD11221122 BCBABCBAC BCBA BCBA练习练习:ADCBA课堂小结课堂小结:(0)a 3334220 ()A.ba(a),a,b B.mab,nab,m/n C.a,b ab.D.abcabc1 1.下下列列各各式式叙叙述述不不正正确确的的是是为为非非零零向向量量 则则共共线线则则若若共共线线,则则存存在在唯唯一一的的实实数数 使使得得,则则练习练习:C1321123333 ABCDABD=2DB,CD=CA+C,()A.B.C.-D.-AB2 2.在在三三角角形形中中,已已知知 是是边边上上一一点点,若若
8、则则A33 .,().oABCDA B Ca b cODAabcB abcC abcD abc已已知知一一点点 到到平平行行四四边边形形的的 个个顶顶点点的的向向量量分分别别为为则则向向量量等等于于B4.已知四边形已知四边形ABCD中，中，E、F分别是分别是AD和和BC的中点，的中点，求证：求证：12EF(ABDC)1212124 .e eeeekek 6 6.设设，是是两两个个不不共共线线的的向向量量，而而和和2 2共共线线，求求实实数数 的的值值12124 eeeke解解：向向量量和和2 2共共线线12124 ,()ekeee存存在在实实数数使使得得2 28k 24k 由由向向量量相相等等的的条条件件,得得0()a a 5.5.求求已已知知向向量量的的 单单位位向向量量.1321123333ABCDABD=2DB,CD=CA+C,()A.B.C.-D.-AB 7 7.在在三三角角形形中中,已已知知 是是边边上上一一点点,若若则则名师一号名师一号P 79P 79练习练习:AP91 A组组 9 11作业作业:思考题:1212124.e eeeekek 2.设，是两个不共线的向量，而和2共线，求实数 的值12124eeeke 解：向量和2共线1212,(4)ekeee 存在实数使得28k 24k 由向量相等的条件,得(0)a a 1.求已知向量 的单位向量.
