1、2.22.2导数的基本公式与运算法则导数的基本公式与运算法则2.2.12.2.1基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式(x)=x-1.(ax)=axlna.(ex)=ex.0(cc为任意常数).ln1)(logaxxa .1)(lnxx (sinx)=cosx.(cosx)=-sinx.(tanx)=sec2x.(cotx)=-csc2x.(secx)=secxtanx.(cscx)=-cscxcotx.,11)(arcsin2xx 另外还有反三角函数的导数公式：另外还有反三角函数的导数公式：,11)(arccos2xx ,11)(arctan2xx .11)cotarc(2xx 例例1
2、 1 求下列函数的导数：求下列函数的导数：(1)yx x(2)2xy(3)lgyx定理定理2.2.1设函数设函数 u(x)、v(x)在在 x 处可导处可导，)0)()()(xuxuxv在在 x 处也可导，处也可导，(u(x)v(x)=u(x)v (x);(u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x);.)()()()()()()(2xuxvxuxvxuxuxv 2.2.22.2.2导数的四则运算导数的四则运算且且则它们的和则它们的和、差差、积与商积与商推论推论 1(cu(x)=cu(x)(c 为常数为常数).推论推论 2.)()()(12xuxuxu ()uvwu vwuv wuvw乘
3、法法则的推广：乘法法则的推广：补充例题：补充例题：求下列函数的导数：求下列函数的导数：解解根据推论根据推论 1 可得可得(3x4)=3(x4)，(5cos x)=5(cos x)，(cos x)=-sin x，(ex)=ex，(1)=0，故故f (x)=(3x4 ex+5cos x 1)=(3x4)(ex)+(5cos x)(1)=12x3 ex 5sin x.f (0)=(12x3 ex 5sin x)|x=0=1又又(x4)=4x3，例例 1设设 f(x)=3x4 ex +5cos x-1，求求 f (x)及及 f (0).例例 2设设 y=xlnx，求求 y .解解根据乘法公式，有根据乘
4、法公式，有y =(xlnx)=x(lnx)(x)lnxxxxln11 .ln1x 解解根据除法公式，有根据除法公式，有22222)1()1()1()1)(1(11 xxxxxxxy例例 3设设,112 xxy求求 y .2222)1()1()1()()1()(1(xxxxx.)1(12)1()1(2)1(222222 xxxxxxx教材教材P32 P32 例例2 2 求下列函数的导数：求下列函数的导数：3(1)cosyxx2(2)xyx e2(3)1xyx32(4)23 sinyxxxe解：解：332(1)(cos)()(cos)3sinyxxxxxx2222(2)()()()2(2)xxxx
5、xxyx exex exex exxe22222(1)(1)(3)()1(1)xxxxxyxx2221(2)(1)xxxx222)1(1xx 32(4)(2)(3 sin)()yxxxe0)sin(3)(23xxx)cos(sin362xxxx2.2.3 2.2.3 高阶导数高阶导数如果可以对函数如果可以对函数 f(x)的导函数的导函数 f (x)再求导，再求导，所得到的一个新函数，所得到的一个新函数，称为函数称为函数 y=f(x)的二阶导数，的二阶导数，.dd22xy记作记作 f (x)或或 y 或或如对二阶导数再求导，则如对二阶导数再求导，则称三阶导数，称三阶导数，.dd33xy记作记作
6、f (x)或或 四阶或四阶以上导四阶或四阶以上导数记为数记为 y(4)，y(5)，y(n),dd44xy,ddnnxy或或 ，而把而把 f (x)称为称为 f(x)的一阶导数的一阶导数.例例3 3 求下列函数的二阶导数求下列函数的二阶导数(1)cosyxx(2)arctanyx(1)cos(sin)cossinyxxxxxxxxxxxxxycossin2)cos(sinsin21(2)1yx222)1()1(xxy22)1(2xx解：解：二阶以上的导数可利用后面的数学软件二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算来计算 2.2.4 复合函数的求导法则2.2 ()()()()()dydy dudx
7、du dxdyfuu xduu xxyf uuyf u xxx定理若函数在点 可导，函数 在点 处可导，则复合函数在点 可导，且或记作：推论推论设设 y=f(u)，u=(v)，v=(x)均均可导可导，则复合函数则复合函数 y=f (x)也可导也可导，.xvuxvuyy 以上法则说明：复合函数对自变量的导数等于复合以上法则说明：复合函数对自变量的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.23tan4.1(31);2)sin(2);3)lncos;4);5)2xxyxyxyxyey例 求下列函数的导数：）32322222222(1)(
8、),()31,()3()()3(31)(31)3(31)618(31)yux u xxyuxuxu xxxxxxx解：函数可以分解为(2)2 cos(2)(2)1cos(2)2cos(2)2xyxxxxxx把当作中间变量，(3)cos1sin(cos)tancoscosxxyxxxx 把当作中间变量，tantan2tan(4)tan()(tan)secxxxxyeexxe把当作中间变量，(5)(2)2 ln2()2 ln2xxxxyx 把当作中间变量，先将要求导的函数分解成基本初等函数先将要求导的函数分解成基本初等函数,或或常数与基本初等函数的和、差、积、商常数与基本初等函数的和、差、积、商.
9、任何初等函数的导数都可以按常数和基本任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述复合函数的求导初等函数的求导公式和上述复合函数的求导法则求出法则求出.复合函数求导的关键复合函数求导的关键:正确分解初等函数正确分解初等函数的复合结构的复合结构.求导方法小结：求导方法小结：2 3221(1);(2)cos3 (3)32 4 lgcos(32)xyxyyxxx 练习：求下列函数的导数(课堂练习)（）；（）222222222(1)6(1)(2)3 ln3 sin323(3)232cos(32)sin(32)(4)(32)4 tan(32)cos(32)cos(32)xxyxxyxyxx
10、xxyxxxxx 解:例例5 5：求下列函数的导数：求下列函数的导数（1）（2）（3）（4）2cosxy 232xxeyxylnlnln)1ln(2xxy2.2.5 隐函数的导数00()yxF xyF xyyy x与 的关系由方程（，）确定，未解出因变量的方程（，）=所确定的函数称为隐函数6()1.ydyyy xyxedx 例 设函数由方程所确定，求(1)(),()(1)1yyyyyyyyyxyxeyexeex eyxeyeeyxe 解：上式两边对 求导，则有 即1;2.xyyy隐函数的求导步骤：（）方程两边对 求导，求导过程中把 视为中间变量，得到一个含有 的等式（）从所得等式中解出227(
11、)cos().dyyy xyxyxdx例 设函数由方程所确定，求222222222222222222 sin()()1 sin()(22)1 2 sin()2 sin()12 sin()1 2 sin()1 2 sin()12 sin()xxyxyxyyxyxyyyxxyyxyyyxyyxxyxxyyyxy 解：方程两边分别对 求导，得2()2.dyyy xxyyxdx练习：设函数由方程所确定，求2 ()()2 22(2)222xxyyyx yy yxyyyyyxy解：两边分别对 求导，得*2.2.7 二元函数的偏导数的求法二元函数的偏导数的求法求 对自变量 (或 )的偏导数时,只须将另一自变
12、量 (或 )看作常数,直接利用一元函数求导公式和四则运算法则进行计算.),(yxfz xyyx例例1 1 设函数设函数324(,)23,f x yxx yy求求(,),xfx y(,),yfx y(1,1),xf(1,1),yf解：解：xyxyyxxyxfxx43)32(),(242332423122)32(),(yxyyxxyxfyy111413)1,1(2xf14)1(1212)1,1(32yf例例2 2 设函数设函数 求),ln()(2222yxyxzxzyz解：解：xxyxyxyxyxxz)ln()ln()(222222222222222212 ln()()()xxxyxyxyxy22
13、2 ln()2xxyx222 ln()1xxy类似可得类似可得2222222)()ln(2yxyyxyxyyz222 ln()1yxy*2.2.8 二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数函数函数 z=f(x,y)的两个偏导数的两个偏导数),(yxfxzx ),(yxfyzy 一般说来仍然是一般说来仍然是 x,y 的函数，的函数，如果这两个函数关于如果这两个函数关于 x,y 的偏导数也存在，的偏导数也存在，则称它们的偏导数是则称它们的偏导数是 f(x,y)的二阶偏导数的二阶偏导数.依照对变量的不同求导次序，依照对变量的不同求导次序，二阶偏导数有四二阶偏导数有四个：（用符号表示如下）个：（用符号
14、表示如下）xzxxzx22xz ),(yxfxx ;xxz xzyxzyyxz 2),(yxfxy ;xyz yzxyzxxyz 2),(yxfyx ;yxz yzyyzy22yz ),(yxfyy .yyz 其中其中 及及 称为二阶混合偏导数称为二阶混合偏导数.),(yxfxy ),(yxfyx 类似的，可以定义三阶、四阶、类似的，可以定义三阶、四阶、n 阶偏导数，阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，),(,),(yxfyyxfx而称为函数称为函数 f(x,y)的一阶偏导数的一阶偏导数.注：当两个二阶导数连续时，它们是相等的注：当两个二阶导数
15、连续时，它们是相等的 即即 ),(yxfxy (,)yxfx y例例 3arctan,xy设 z试求函数的四个二阶偏导函数试求函数的四个二阶偏导函数yxz 2xyz 222zy22zx思考题一思考题一 求曲线求曲线 上与上与 轴平行轴平行的切线方程的切线方程.32xxy x思考题一解答思考题一解答232xy 令令0 y0322 x321 x322 x切点为切点为 964,32 964,32所求切线方程为所求切线方程为964 y964 y和和 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微
16、笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，
17、生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知
18、抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的
19、景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克
20、 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词
21、未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之
22、的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是
23、成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
