1、2/13/20233.13.1导数的几何意义导数的几何意义2/13/2023先来复习导数的概念先来复习导数的概念 定义定义：设函数：设函数y=f(x)在点在点x0处及其附近有定义处及其附近有定义,当当自变量自变量x在点在点x0处有改变量处有改变量x时函数有相应的改变量时函数有相应的改变量y=f(x0+x)-f(x0).如果当如果当x0 时时,y/x的极限的极限存在存在,这个极限就叫做函数这个极限就叫做函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数(或变化或变化率率)记作记作 即即:,|)(00 xxyxf 或或00000()()()limlim.xxf xxf xyfxxx 2/13/2023 瞬时
2、速度就是位移函数瞬时速度就是位移函数s(t)对时间对时间t的导数的导数.是函数是函数f(x)在以在以x0与与x0+x 为端点的区间为端点的区间x0,x0+x(或或x0+x,x0)上的上的平均变化平均变化率率,而导数则是函数而导数则是函数f(x)在点在点x0 处的处的变化率变化率,它反映了函它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度数随自变量变化而变化的快慢程度 xxfxxfxy )()(00 如果函数如果函数y=f(x)在点在点x=x0存在导数存在导数,就说函数就说函数y=f(x)在点在点x0处处可导可导,如果极限不存在如果极限不存在,就说函数就说函数 f(x)在点在点x0处处不可导不可导.00
3、00()()()limxxf xf xfxxx思考一下，导数可以用下式表示吗？2/13/2023 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数的基本方法是的基本方法是:00(1)()();yf xxf x 求函数的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx 取极限，得导数注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负.自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形式哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相
4、对应的形式.2/13/2023下面来看导数的几何意义:y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如图如图,曲线曲线C是函数是函数y=f(x)的图象的图象,P(x0,y0)是曲线是曲线C上的上的任意一点任意一点,Q(x0+x,y0+y)为为P邻近一点邻近一点,PQ为为C的割线的割线,PM/x轴轴,QM/y轴轴,为为PQ的的倾斜角倾斜角.tan,:xyyMQxMP则则yx请问：是割线PQ的什么?斜率!2/13/2023PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T请看当点请看当点Q沿着曲线逐渐向点沿着曲线逐渐向点P接近时接近时,割线割线PQ绕着绕着点点P逐渐转动的情况逐渐转动的情况.2/
5、13/2023 我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ有一个极限位置有一个极限位置PT.则我们把直线则我们把直线PT称为曲称为曲线在点线在点P处的处的切线切线.设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线PQ的的斜率斜率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率.即即:00000()()()limlimxxf xxf xykf xxx 切线 这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法率的一种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.2/1
6、3/2023例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的基本步骤的基本步骤:先利用切线斜率先利用切线斜率的定义求出切线的斜率的定义求出切线的斜率,然后然后利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.2/13/20232/13/20232/13/2023练习练习:如图已知曲线如图已知曲线 ,求求:(1
7、)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率;(2)点点P处的切线方程处的切线方程.)38,2(313Pxy上一点上一点 yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：.42|22 xy即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4.(2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.2/13/202300()()()limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致发生混淆时，在不致发生混淆时
8、，导函数导函数也简称也简称导数导数000()()()()().yfxxfxfxfxx 函 数在 点处 的 导 数等 于 函 数的 导 函 数在 点处 的 函 数 值 什么是导函数?由函数由函数f(x)在在x=x0处求导数的过程可以看到处求导数的过程可以看到,当当时时,f(x0)是一个确定的数是一个确定的数.那么那么,当当x变化时变化时,便是便是x的一个函数的一个函数,我们叫它为我们叫它为f(x)的导函数的导函数.即即:2/13/2023如何求函数如何求函数y=f(x)的导数的导数?(1)()();yf xxf x 求函数的增量(2):()();yf xxf xxx求函数的增量与自变量的增量的比
9、值0(3)()lim.xyyfxx 求极限，得导函数2/13/2023.yxy例4.已知，求xyxxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 看一个例子:2/13/2023下面把前面知识小结下面把前面知识小结:a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全 过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的
10、状态。b.要切实掌握求导数的三个步骤：要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增）求函数的增 量；量；（2）求平均变化率；）求平均变化率；（3）取极限，得导数。）取极限，得导数。2/13/2023（3）函数）函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值，即处的函数值，即 。这也是。这也是 求函数在点求函数在点x0处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。)(0 xf)(xf 0|)()(0 xxxfxf 小结:（2）函数的导数，是指某一区间内任意点）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的而言的,就是函数就是函数f(x)的导函数的导函数 。)(xf（1
11、）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。常数，不是变数。c.弄清弄清“函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数”、“导函数导函数”、“导数导数”之间的区别与联系。之间的区别与联系。2/13/2023（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxx
12、fxfy d.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：小结:无限逼近的极限思想是建立导数无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求概念、用导数定义求 函数的导数的函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解基本思想，丢掉极限思想就无法理解导导 数概念。数概念。2/13/2023函数函数 y=f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率处的瞬时变化率称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=x0 处的处的导数导数,记作记作)(0 xf 或或 ,即即0|xxy000000)()(lim )()(lim)(0 xxxfxfxxfxxfxfxxx2/13/2023 问题问题:如图如图,当点当点 沿着曲线沿着曲
13、线 趋近趋近于点于点 时时,割线割线PPn的变化趋势是什么的变化趋势是什么?)4,3,2,1)(,(nxfxPnnn)(xf)(,(00 xfxP 当点当点 Pn 趋近于点趋近于点 P 时时,割线割线PPn趋近于确定的位置趋近于确定的位置,这个确定的直这个确定的直线线 PT 称为过点称为过点 P 的的切线切线.00)()(xxxfxfknnn)()()(lim)()(lim0000000 xfxxfxxfxxxfxfkxnnxxn令令 ,则则0 xxxnxxxn0即当即当x无限趋近于无限趋近于0时时,kn无限趋近于点无限趋近于点 处的处的斜率斜率.)(,(00 xfxPP4P3P2P1Txyo
14、Py=f(x)x0 xn2/13/2023例例1 已知已知 ,求曲线求曲线 在在 处的切线的斜率处的切线的斜率.2)(xxf)(xfy 2x 分析分析:为求得过点为求得过点(2,4)的切线的斜率的切线的斜率,可从经过点可从经过点(2,4)的任意一条直线的任意一条直线(割线割线)入手入手.xxxkPQ44)2(2解解:设设 ,则割线则割线PQ的斜率的斜率)2(,2(),4,2(2xxQP当当 无限趋近于无限趋近于0时时,无限趋近于常数无限趋近于常数4,即即xPQk,4)4(lim)2(0 xfx从而曲线从而曲线 在点在点P(2,4)处的切线斜率为处的切线斜率为4.)(xfy 2/13/2023例
15、例2 如图如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数它表示跳水运动中高度随时间变化的函数105.69.4)(2ttth的图象的图象.根据图象根据图象,请描述、比较请描述、比较曲线曲线 在在 附近的变化情况附近的变化情况.210,ttt)(th 解解:可用曲线可用曲线 h(t)在在 t0,t1,t2 处的处的切线刻画曲线切线刻画曲线 h(t)在上述三个时刻在上述三个时刻附近的变化情况附近的变化情况.(1)当当 t=t0 时时,曲线曲线 h(t)在在 t0 处的切处的切线线 l0 平行于平行于 x 轴轴.故在故在 t=t0 附近曲附近曲线比较平坦线比较平坦,几乎没有升降几乎没有升降.(2)当当 t
16、=t1 时时,曲线曲线 h(t)在在 t1 处的处的切线切线 l1 的斜率的斜率 h(t1)0.故在故在t=t1 附近曲线下降附近曲线下降,即函数即函数 h(t)在在 t=t1 附近单调递减附近单调递减.tohl0t0t1l1t2l2t4t3(3)当当 t=t2 时时,曲线曲线 h(t)在在 t2处的切线处的切线 l2 的斜率的斜率 h(t2)0.故在故在 t=t2 附近曲线下降附近曲线下降,即函数即函数 h(t)在在t=t2 附近也单调递减附近也单调递减.2/13/2023例例2105.69.4)(2ttth.根据图象根据图象,请描述、比较请描述、比较曲线曲线 在在 附近的变化情况附近的变化
17、情况.210,ttt)(th解解:可用曲线可用曲线 h(t)在在 t0,t1,t2 处的处的切线切线刻画曲线刻画曲线 h(t)在上述三个时刻附近的变在上述三个时刻附近的变化情况化情况.(1)当当 t=t0 时时,曲线曲线 h(t)在在 t0 处的切线处的切线 l0 平行于平行于 x 轴轴.故在故在 t=t0 附近曲线比较平附近曲线比较平坦坦,几乎没有升降几乎没有升降.(2)当当 t=t1 时时,曲线曲线 h(t)在在 t1 处的切线处的切线 l1 的斜率的斜率 h(t1)0.故在故在t=t1 附近曲线下附近曲线下降降,即函数即函数 h(t)在在 t=t1 附近单调递减附近单调递减.tohl0t
18、0t1l1t2l2t4t3(3)当当 t=t2 时时,曲线曲线 h(t)在在 t2处的切线处的切线 l2 的斜率的斜率 h(t2)0.故在故在 t=t2 附近曲线下降附近曲线下降,即函数即函数 h(t)在在t=t2 附近也单调递减附近也单调递减.从图可以看出，直线从图可以看出，直线 l1 的的倾斜程度倾斜程度小于直线小于直线 l2 的的倾斜程度倾斜程度，这，这说明说明 h(t)曲线在曲线在 l1 附近附近比在比在 l2 附近附近下降得缓慢下降得缓慢2/13/2023练习：练习：坐标是多少？则点，处切线的斜率为在点、已知曲线PPxxy164222处切线方程为多少？的斜率为多少？点处切线，则点上一
19、点、已知曲线PPPxy)8,2(2122/13/20233()31f xx已知 的切线的斜率等于，则这样的、切线有（）A.1条 B.2条 C.多于2条 D.不能确定2/13/2023小结：小结：0000000()()()()()()limxf xxxfxf xxxf xxf xkfxx 在处导数即为 所表示曲线在处切线的斜率，即几何意义：000()()()yf xfxxx：切方程 线 0 xx 确定处切线的斜率，从而确定切线 作 用：的方程作业：作业：2/13/2023作业:85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，
20、也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 9
21、1.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于
22、独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的
23、脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘
24、过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错
25、了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。
26、BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，
27、机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
