1、 长春市长春市 2020 届高三质量监测（三）届高三质量监测（三） 数学（文科）试题参考答案及评分参考数学（文科）试题参考答案及评分参考 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. A 2. C 3. B 4. B 5. C 6. B 7. C 8. B 9. D 10. B 11. B 12. D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，15 题第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分） 13. 31 2 14. 4 15. 2， 65 4ln2 4 16. 880 三、解答题 【题号】17 【参考答案与评分细则】 （）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，
2、从这一刀（100 张） 纸中抽出一个容量为 5 的样本， 并设抽出 2 张正牌分别为A、B， 2 张副牌分别为a、b， 1 张废品为t，从其中任取两张的所有可能情况为：AB、Aa、Ab、At、Ba、Bb、 Bt、ab、at、bt，共 10 种，其中不含废品的情况有AB、Aa、Ab、Ba、Bb、ab， 共 6 种，因此随机抽出两张，其中无废品的概率为 3 5 （6 分） （）由频率分布直方图可知， 一刀（100 张）宣纸中有正牌宣纸100 0.1 440=张. 有副牌宣纸100 0.05 4 240 =张，有废品100 0.025 4 220 =张. 所以该公司一刀宣纸的利润为40 1040 5
3、20 ( 10)400+ + =元. 所以估计该公司生产宣纸的年利润为 400 万元. （12 分） 【题号】18 【参考答案与评分细则】 （1）法一：由22 cossinabCcB=+，由正弦定理得 所以2sin2sincossinsinABCBC=+， 又()ABC= +，因此sinsin()ABC=+， 2sin()2sincossinsinBCBCBC+=+， 即2sincos2cossin2sincossinsinBCBCBCBC+=+， 所以2cossinsinsinBCBC=，由sin0C ， 所以2cossinBB=，即tan2B =. （6 分） 法二：由22 cossina
4、bCcB=+，由余弦定理得 所以 222 22sin 2 abc abcB ab + =+，整理得 222 sinacbacB+=， 又 222 2cosacbacB+=，则2cossinacBacB=，即2cossinBB=，即tan2B =. （6 分） （2）法一： 由tan2B =，(0, )B，因此 2 5 sin 5 B =， 5 cos 5 B =. 又 4 C =，所以 23 10 sinsin()sin()(sincos ) 4210 ABCBBB =+=+=+= 因为 sinsin BCAB AC =，所以 5 3 ABBC=， 又ABC面积为6，即 1 sin6 2 AB
5、 BCB=，即 152 5 6 235 BCBC=， 解得3 2BC =. （12 分） 法二： 过A作AHBC于H，设AHx=， 在 RtABH中，因为tan2B =，所以 2 x AH =， 在 RtACH中，又 4 C =，则tan1C =，由CHx=， 则 3 2 BCx=，即 2 13 24 ABC SBC AHx =， 所以ABC面积为6，即 2 3 6 4 x =，2 2x =，即 3 3 2 2 BCx= . （12 分） 【题号】19 【参考答案与评分细则】 （）过A作DCAF 于F，ABCD，ABBC， 1= BCAB，则1=AFDFCF o DAC90= ， 即ACDA，
6、 又PA底面ABCD，AC平面ABCD， ACPA，又ADPA, 平面PAD，AADPA= AC平面PAD.又PD平面PAD， ACPD. （6 分） （）PA底面ABCD，PABC又ABBC 又ABPA,平面PAB，BC平面PAB. 9 2 3 1 = PAEPAECACEP SBCVV 3 2 = PAE S 1= PAB S 得2 3 2 = EB PE PB PE 连DB交AC于G，连EG， EB PE AB DC GB DG =2 GEPD，PD平面AEC，GE平面AEC，PD平面AEC. （12 分） 【题号】20 【参考答案与评分细则】（） 设过点M的直线l的方程为4ykx=+，
7、 交抛物线 2 2xpy= 于 11 ( ,)P x y， 22 (,)Q xy由OPOQ， 可得 1212 0x xy y+=， 将直线l的方程为4ykx=+ 与抛物线方程 2 2xpy=联立可求得2p=，即抛物线的标准方程为 2 4xy=. （5 分） （）已知点N是抛物线上的点，过点N作准线的垂线，与x轴将于点A，与准线的交 点为B， 而NF的中点到x轴的距离为 1 222 NANBNF+ =， 即以NF为直径的圆与x轴 相切. （12 分） 【题号】21 【参考答案与评分细则】 （1）( )(1),( )22 x fxaexg xx=+=+ 由已知得 (1)(1) (1)g(1) fg
8、 fc = = ， 即 24 3 ae aebc = =+= ，解得 2 1 2 a e b c = = = ，所以切线斜率为(1)4 g =， 所以切线方程为24(1)yx=，即420xy=. （4 分） （2） 2 ( ) x x e f x e =， 2 ( )21g xxx=+ 设( )( ) 2 ( )2(21) x h xk ef xg xkx exx=+， 即( )0h x 对任意 1,)x +恒成立，从而 min ( )0h x， ( )2 (1)2(1)2(1)(1) xx h xk xexxke=+=+， 1当0k 时，( )0h x，( )h x在 1,)x +单调递减，
9、 又(1)220hke=时，( )0h x=，解得 1 1x = ， 2 lnxk= i）当ln1k时，当 1,)x +，( )0h x，( )h x单调递增， 又 min 22() ( )( 1)20 kek h xh ee = +=，( )h x单调递增， 则 min 22() ( )( 1)20 kek h xh ee = +=，所以( )0h x 恒成立； iii）当ln1k ，即0ke ，解得1a. 224 13 11 a abaa aa + +=+= + ， 4 2 (1) ()37 1 aba a += ， 当且仅当 4 1 1 = a a ，即3=a时等号成立，此时 22 4 1 + = a b a ， 当3,4=ab时， min ()7+=ab.（10 分）
