1、Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,第9章概率论与数理统计问题的计概率论与数理统计问题的计算机求解算机求解高等应用数学问题的MATLAB求解Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,第第9章章 概率论与数理统概率论与数理统计问题的计算机求解计问题的计算机求解概率分布与伪随机数生成统计量分析数理统计分析方法及计算机实现统计假设检验方差分析与主成分分析Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.1 概率分布与伪随机数生成概率分布与伪随机数生成概率密度函数与分布函数概述常见分布的概率密度函数与分布函数概率问题的求解随机数与伪随机数Slide 1(of 11
2、)2/13/2023星期六,9.1.1 概率密度函概率密度函数与分布函数概述数与分布函数概述连续随机变量概率密度记为 ，概率密度函数满足：，且 由概率密度可以定义出概率分布函数：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,概率分布函数 的物理意义，随机变量 x 满足x x发生的概率函数 为单调递增函数，并且满足：和Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.1.2 常见分布的概率常见分布的概率密度函数与分布函数密度函数与分布函数Poisson分布正态分布F分布T分布c2 分布G分布Rayleigh分布Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,相关相关MATL
3、AB函数函数后缀：pdf，cdf，inv，rnd，stat，fitSlide 1(of 11)2/13/2023星期六,Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.1.2.1 Poisson分布分布Poisson分布的概率密度为：其中，l为正整数Poisson分布的概率密度函数：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,Poisson分布的分布函数：Poisson分布的逆概率分布函数：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.1试分别绘制出l=1,2,5,10时Poisson分布的概率密度函数与分布函数曲线MATLAB求解语句：Slide 1(o
4、f 11)2/13/2023星期六,9.1.2.2 正态分布正态分布正态分布的概率密度函数为：其中，m和s2分别为正态分布的均值和方差 正态分布的概率密度函数调用格式：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,正态分布的分布函数：正态分布的逆概率分布函数：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.2分别绘制出(m,s2)为(-1,1),(0,0.1),(0,1),(0,10),(1,1)时正态分布的概率密度函数与分布函数曲线Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,MATLAB求解语句：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.1.
5、2.3 F 分布分布F 分布的概率密度为：F 分布的概率密度是参数p和q的函数，且p和q均为正整数Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,F 分布的概率密度函数调用格式：F 分布的分布函数：F 分布的逆概率分布函数：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.3给定(p,q)对为(1,1),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1)，试绘制出F分布的概率密度和分布曲线MATLAB求解语句：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.1.2.4 T 分布分布T 分布的概率密度为：T 分布的概率密度是参数k的函数，且k为正整数Slide 1(of
6、 11)2/13/2023星期六,T 分布的概率密度函数调用格式：T 分布的分布函数：T 分布的逆概率分布函数：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.4绘制出k=1,2,5,10时T分布的概率密度函数与分布函数曲线MATLAB求解语句：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.1.2.5 c c2分布分布c2 分布的概率密度为：其中，k为正整数c2分布是一种特殊的G分布，其中，且Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,c2 分布的概率密度函数调用格式：c2 分布的分布函数：c2 分布的逆概率分布函数：Slide 1(of 11)2/13/
7、2023星期六,例例 9.5绘制出k=1,2,3,4,5时的c2分布的概率密度函数与分布函数曲线MATLAB求解语句：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.1.2.6 G G分布分布G分布的概率密度为：其中，G(a)为G-函数满足：G(a)=aG(a-1)，G(1)=1并且G(1/2)=pSlide 1(of 11)2/13/2023星期六,G分布的概率密度函数调用格式：G分布的分布函数：G分布的逆概率分布函数：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.6试分别绘制出(a,l)为(1,1),(1,0.5),(2,1),(1,2),(3,1)时G分布的概
8、率密度和分布曲线MATLAB求解语句：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,接上页为了避免函数图像在0附近的跳变，选择横坐标向量：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.1.2.7 Rayleigh分布分布Rayleigh分布的概率密度为：该函数是b的函数Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,Rayleigh分布的概率密度函数调用格式：Rayleigh分布的分布函数：Rayleigh分布的逆概率分布函数：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.7试分别绘制出b=0.5,1,3,5时Rayleigh分布的概率密度函数与分布
9、函数曲线MATLAB求解语句：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.1.3 概率问题的求解概率问题的求解三个求取概率的公式：的概率 的概率 的概率Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.8已知某随机变量x为Rayleigh分布，且b=1，分别求出该随机变量x值落入区间0.2,2及区间1,)的概率MATLAB求解语句：落入区间0.2,2 落入区间1,)Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.9二维随机变量(x,h)的联合概率密度为求出MATLAB求解语句：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.1.4 随机数与
10、伪随机数随机数与伪随机数生成不同种类分布的随机数的函数调用格式生成nm的G分布的伪随机数矩阵生成c2分布的伪随机数Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,生成 T 分布的伪随机数生成F 分布的伪随机数生成Rayleigh分布的伪随机数Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.10令b=1，生成300001个Rayleigh分布的随机数,并用直方图检验生成数据的概率分布情况MATLAB求解语句：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.2 统计量分析统计量分析随机变量的均值与方差随机变量的矩多变量随机数的协方差分析多变量正态分布的联合概率密度即
11、分布函数基于Monte Carlo法的数学问题求解Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.2.1 随机变量的均值与方差随机变量的均值与方差假设连续随机变量x的概率密度函数为数学期望Ex：数学方差Dx：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.11用积分方法求取G分布(a0,l0)的均值与方差MATLAB求解语句：结果：和 Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,在实际中测出一组样本数据则它们的均值和方差分别为：无偏的方差：称 为“标准差”Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,已知一组随机变量样本数据构成的向量：求向量各个元素
12、的均值：求向量各个元素的方差：求向量各个元素的标准差：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.12生成一组30000个正态分布随机数，均值为 0.5，标准差为 1.5，分析数据实际的均值、方差和标准差，及减小随机变量个数的结果MATLAB求解语句：使用300个随机数:Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,对于常见的分布函数，可以通过MATLAB命令直接求出该分布的均值和方差（分布类型标识后加后缀“stat”）：返回的变量为相关分布的均值和方差Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.13求出Rayleigh分布（b=0.45）的均值
13、与方差MATLAB求解语句：结果：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.2.2 随机变量的矩随机变量的矩假设 为连续随机变量，且 为其概率密度函数，则该变量的 阶原点矩 阶中心矩为：可见，Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.14考虑G分布(a0，l0)的原点矩和中心矩，并由前几项结果总结一般规律MATLAB求解命令：通项表达式：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,直接求出：计算原问题的中心矩：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,给定的随机数为一些样本点该随机变量的 阶原点矩该随机变量的 阶中心矩Slide 1(
14、of 11)2/13/2023星期六,例例 9.15给生成一组30000个正态分布随机数，均值为 0.5，标准差为 1.5，试求出随机数的各阶矩MATLAB求解命令：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,求出各阶矩的理论值：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.2.3 多变量随机数的协方差分析多变量随机数的协方差分析随机数 为二维随机变量对 的样本二维样本的协方差：二维样本的相关系数：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,协方差矩阵：其中，计算协方差矩阵的函数调用格式其中，的各列均表示不同的随机变量的样本值Slide 1(of 11)2/13
15、/2023星期六,例例 9.16试用MATLAB语言产生 4个满足标准正态分布的随机变量，并求出其协方差矩阵MATLAB求解语句：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.2.4 多变量正态分布的多变量正态分布的联合概率密度即分布函数联合概率密度即分布函数给定n组正态分布随机变量 ，它们的均值分别为 ，可以构成一个均值向量 ，这些变量的协方差矩阵为 ，这些随机变量的联合概率密度为 其中，Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,求随机变量的联合概率密度的函数调用格式：其中，为n列的矩阵，每一列表示一个随机变量Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例
16、 9.17给定 ，绘制联合概率密度函数；若协方差矩阵的非对角线元素为0，绘制新的概率密度函数MATLAB求解语句：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,消除协方差矩阵的非对角元素：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,产生多变量正态分布随机数的函数调用格式该函数可以生成m组满足多变量正态分布的随机变量，返回的 为mn矩阵，每一列表示一个随机变量。Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.18观察均值为 ，协方差矩阵为 的二维正态分布的伪随机数的分布情况MATLAB求解语句：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.2.5 基
17、于基于Monte Carlo法的数学问题求解法的数学问题求解Monte Carlo法是通过大量实验来求取随机变量近似值的一种采用的方法在现代科学研究中，Monte Carlo法经常用来求解一些建模困难的问题Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.19试用Monte Carlo法近似求出p的值 数学求解公式：MATLAB求解语句：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.20试用Monte Carlo法计算积分假设 Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,MATLAB求解语句：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.3
18、 数理统计分析数理统计分析方法及计算机实现方法及计算机实现参数估计与区间估计多元线性回归与区间估计非线性函数的最小二乘参数估计与区间估计Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.3.1 参数估计与区间估计参数估计与区间估计求取参数与区间估计的函数调用格式：其中，是实测一组数据，m是该分布的均值，s2是该分布的方差，Dm及Ds2是置信区间，为用户指定的置信度Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,函数norminv()可用于求出相关值，这样就可以得出所需的参数G 分布的均值和方差可以通过gamfit()函数求出，Rayleigh分布的参数估计函数为raylfit()
19、，均匀分布的参数估计函数为unifit()，Poisson分布的参数估计函数为poissfit()Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.21试用gamrnd()函数生成一组a=1.5,l=3的伪随机数，用参数估计的方法以不同的置信度进行估计，比较估计结果选择置信度为 ：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,选择300,3000,30000,300000,3000000个随机数，将置信度设为MATLAB求解语句：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.3.2 多元线性回归与区间估计多元线性回归与区间估计输出信号 为n路输入信号 的线性组
20、合：其中，为待定系数Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,进行m次实验，将实测数据列表如下：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,建立起如下的矩阵形式的方程：其中 为待定系数向量 为误差构成的向量 为各个观测值Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,测出的自变量值构成矩阵：目标函数选择为使得残差的平方和最小：系数向量 为：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,求最小二乘解的函数调用格式：或求多变量线性回归参数估计与置信区间估计的函数调用格式：其中，1-a为用户指定的置信度Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9
21、.22给定线性回归方程如下，生成120组随机输入值 ，计算输出向量 ，估计出系数用最小二乘计算公式：计算出 的置信度的置信区间Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,给输出样本叠加N(0,0.5)区间的正态分布噪声，再绘制参数估计的置信区间：将噪声方差设为0.1：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.3.3 非线性函数的最小非线性函数的最小二乘参数估计与区间估计二乘参数估计与区间估计假设数据 满足函数原函数严格写成引入目标函数：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,参数估计的函数调用格式最小二乘拟合由置信度为 的置信区间与函数lsqcurvef
22、it()的功能相似Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.23给定 得出 置信度的置信区间，并叠加均匀分布的噪声信号再进行参数与区间估计MATLAB求解语句：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,给样本点数据 叠加上 区间均匀分布的噪声信号MATLAB求解语句：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.24给定原型函数如下试利用nlinfit()函数求解多变量非线性回归问题Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,定义函数并且生成观测数据Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,用非线性回归参数估计函数求出
23、的值，并绘制出原观测数据与拟合数据Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.4 统计假设检验统计假设检验统计假设检验的概念及步骤假设检验问题求解Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.4.1 统计假设检验的概念及步骤统计假设检验的概念及步骤先假设总体具有某种统计特征（如具有某种参数或遵从某种分布），然后再检验这个假设是否可信，这种方法称为统计假设检验方法统计假设检验在统计学中是有重要地位的Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.25已知某产品的平均强度 公斤，现改变制作方法，从新产品中随意抽取200件，得平均强度为 公斤，标准差为 公斤
24、，问强度有无显著影响 引入两个命题：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,选取统计量该统计量满足标准正态分布给出显著性水平，引入a判定出现“取伪”错误的概率用1-a表示假设可以被接受的的概率Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,用逆正态分布函数求出 的值，使得：MATLAB求解命令：计算统计量u的值，若 ，则不拒绝 假设，否则拒绝该假设Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.4.2 假设检验问题求解假设检验问题求解正态分布的均值假设检验正态分布假设检验其他分布的Kolmogorov-Smirnov检验Slide 1(of 11)2/13/202
25、3星期六,9.4.2.1 正态分布的均值假设检验正态分布的均值假设检验假设检验的函数调用格式若已知正态分布的标准差s若未知正态分布的标准差sSlide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.26试用正态分布随机数函数生成一组随机数，并对该随机数进行均值假设检验生成一组400个 的正态分布随机数，并引入假设MATLAB求解语句：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,假设设置为采用T-检验对假设 进行检验：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.4.2.2 正态分布假设检验正态分布假设检验Jarque-Bera检验的函数调用格式：Lilliefors
26、检验的函数调用格式：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.27某工厂生产的白炽灯的流明为随机变量x，满足正态分布N(m,s2)，随机抽取120个样的流明数如下，试检验正态分布的假设Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,接上页Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,MATLAB求解语句：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,接上页：调用正态分布拟合函数normfit()：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.28用统计学工具箱生成一组G分布数据，用现成函数验证其是否为正态分布数据，显然这些数据不是正
27、态分布的，所以假设检验结果应该是1MATLAB求解语句：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.4.2.3 其他分布的其他分布的Kolmogorov-Smirnov检验检验Kolmogorov-Smirnov检验是检验任意已知分布函数的一种有效的假设检验算法函数调用格式：其中，cdffun为两列的均值，第1列为自变量，第2列应该为要检验的分布函数在自变量处的值Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.29生成一组G分布数据，对生成的随机数进行假设检验：该随机数满足G分布生成G分布的数据假设进行检验Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.
28、5 方差分析与主成分分析方差分析与主成分分析方差分析主成分分析方法Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.5.1 方差分析方差分析单因子方差分析双因子方差分析多因子方差分析Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.5.1.1 单因子方差分析单因子方差分析单因子方差分析就是指对一些观察来说，只有一个外界因素可能对观测的现象产生影响求解单因子方差分析的函数调用格式其中，为需要分析的数据Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,单因子方差分析表单因子方差分析表Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,接上页Slide 1(of 11)2/13
29、/2023星期六,例例 9.30有5种药物比较疗效，将30个病人随机地分成5组，每组使用同一种药物，并记录病人治疗时间如下表，试评价疗效Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,MATLAB求解语句：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.5.1.2 双因子方差分析双因子方差分析如果有两种因子可能影响到某现象的统计规律，则应该引入双因子方差分析的概念观测量 可以表示为一个三维数组 ，表示第1个因子取第i个水平，第2个因子取第j个水平时，组内第k个对象的观测指标。Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,三个假设:为第一因子单独作用的效应 为第二因子单独
30、作用的效应 为两个因子同时作用的效应Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,3个概率的定义及意义为若 则拒绝假设若 则拒绝假设若 则拒绝假设Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,求解双因子方差分析问题的函数调用格式Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,双因素方差表双因素方差表Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,接上页Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,其中Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.31设为比较3种松树在4个不同地区的生长情况有无差别，在每个地区对每种松树随机地选择5株，测量它
31、们的胸径，得出的数据在下文的表中给出，试对它们进行双因子方差分析Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,松树数据Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,MATLAB command solutionsSlide 1(of 11)2/13/2023星期六,计算均值：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.5.1.3 多因子方差分析多因子方差分析MATLAB语言的统计学工具箱还可以进行三因子甚至多因子的方差分析，可以采用manova1()函数进行多因子方差分析Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,9.5.2 主成分分析方法主成分分析方法
32、假设某一事件发生可能受 这N个因素影响，而实测数据共有M组，这样可以假设这些数据由一个 矩阵 表示。记该矩阵的每一列的均值为Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,主成分分析方法的一般步骤主成分分析方法的一般步骤调用corr()函数，由矩阵 可以建立起协方差矩阵Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,由 矩阵可以分别得出特征向量 和对应的排序特征值 ，特征向量矩阵的每一列也都进行了相应的归一化，即 或 求解函数：eig()和fliplr()Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,计算主成分贡献率和累计贡献率主成分贡献率：累计贡献率：如果前n个特征值的累
33、计贡献率大于某个预期的指标，如 ，则可以认为这n个因素是原问题的主成分Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,建立新变量指标 ，即 其中变换矩阵第i列的系数 可以如下计算 ，Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,若前m个成分作主成分，则矩阵 的m列以后各值应该趋于0，上式化为：即，在适当的线性变换下，原来的N维问题就可以简化成m维问题Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,例例 9.32假设某三维曲线上的样本点由下列函数直接生成出来，试用主成分分析的方法对其降维处理MATLAB生成数据：Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,降维处理：
34、Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,本章内容简介本章内容简介本章介绍了各种常用的概率密度函数、概率分布函数，并绘制了用户指定参数下的概率密度、分布函数曲线，读者可以自己调用这些函数绘制出任意参数的曲线MATLAB 的统计学工具箱提供了一组函数，可以按照指定的分布生成伪随机数，这些函数的名称也可以根据表查出，可以用这些函数生成伪随机数Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,给出了一些常用统计量的数学定义和MATLAB语言求解方法及函数，如均值、方差，原点矩与中心矩、协方差矩阵等。还介绍了多变量分布伪随机数生成方法介绍了参数估计与区间估计问题的 MATLAB 语言求解，并对线性多元回归和一般非线性回归问题介绍了参数与区间估计算法。Slide 1(of 11)2/13/2023星期六,介绍了假设检验的概念，并对均值假设检验、正态分布假设检验和给定分布假设检验等问题给出了基于 MATLAB 语言的求解方法介绍了方差分析问题及其 MATLAB 求解，介绍单因子方差分析、双因子方差分析等内容及基于 MATLAB 语言的求解方法
