1、弧长和扇形面积第一课时 生活里有好多物品或者建筑都呈现出流畅的圆弧形，小学已经学过了有关圆的周长和面积公式，你还记得吗？弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？（R表示圆的半径，d表示圆的直径）圆的周长公式：或2Rd圆的面积公式：2R如图所示，在半径为R的 O上，有两动点A、B，当A、B两点在圆上运动时，想一想弧AB的长度与什么因素有关？当AOB360时，弧AB的长表示什么意思？探究一：弧长的计算公式活动1动画展示，探究新知。重点知识与AOB的大小有关当AOB1时呢？弧AB的长与整个圆的周长是什么关系？O的周长，即l2R此时
2、弧AB的长是整个圆的周长的 ，即l 。136012360R当AOB2时，弧AB的长呢？当AOBn时，弧AB的长呢？此时弧AB的长是整个圆的周长的 ，即l 。236022360R弧AB的长 ，这就是弧长的计算公式，其中n表示弧AB所对的圆心角的度数，R表示弧AB所在圆的半径。此时弧AB的长是整个圆的周长的 ，即l 。360n2360nR2360180nnRlR根据弧长的计算公式，我们可知，只要知道n和R就可以求弧长。探究一：弧长的计算公式重点知识特别的，几个特殊圆心角所对的弧长是我们经常用到的，比如：当n30时，弧长l3023606RR当n60时，弧长l6023603RR当n45时，弧长l452
3、3604RR当n90时，弧长l9023602RR当n120时，弧长l120223603RR当n180时，弧长l1802360RR探究一：弧长的计算公式重点知识运用弧长计算公式解决下列各题：（1）半径为3cm，圆心角为30的弧长为_（2）半径为6cm，圆心角为120的弧长为_（3）半径为4cm，长度为2的弧所对的圆心角是_（4）圆心角为150，长度为5的弧所在圆的半径是_通过上面的4个问题，我们不难发现弧长、圆心角度数、半径三者中可以“知二求一”。探究一：弧长的计算公式活动2例题演练，巩固新知。重点知识690 4cm2cm观察下面阴影部分图形，它像我们生活中的什么图案呢？像上面阴影这样由两条半径
4、和圆心角所对的弧围成的图形就叫做扇形。探究二：扇形面积的计算公式活动1引入概念重点知识扇子的形状 你能类比前面弧长计算公式的推导，得到扇形的面积计算公式吗？试试看吧！类似前面弧长的讨论，我们可以知道扇形AOB的面积也与圆心角AOB的大小有关：当AOB360时，扇形AOB的面积就是整个圆的面积，即 。探究二：扇形面积的计算公式活动2类比弧长，探究新知。重点知识即 。21360SR2SR当AOB1时，扇形AOB的面积就是整个圆面积的 ，1360即 。22360SR当AOB2时，扇形AOB的面积就是整个圆面积的 ，2360即 。2360nSR当AOBn时，扇形AOB的面积就是整个圆面积的 ，360n
5、 扇形AOB的面积 ，这就是扇形面积的计算公式，其中n表示弧AB所对的圆心角的度数，R表示弧AB所在圆的半径。2360nSR 同样的根据扇形面积的计算公式，我们可知，只要知道n和R就可以求扇形面积。探究二：扇形面积的计算公式重点知识特别的，几个特殊圆心角所对的扇形面积是我们经常用到的，比如：当n30时，扇形面积S223036012RR当n60时，扇形面积S22603606RR当n45时，扇形面积S22453608RR当n90时，扇形面积S22903604RR当n120时，扇形面积S221203603RR当n180时，扇形面积S221803602RR探究二：扇形面积的计算公式重点知识运用扇形面积
6、计算公式解决下列各题：（1）半径为3cm，圆心角为30的扇形面积为_（2）半径为6cm，圆心角为120的扇形面积为_（3）半径为4cm，面积为4的扇形所对应的圆心角是_（4）圆心角为150，面积为 的扇形所在圆的半径是_ 通过上面的4个问题，同样可以发现扇形面积、圆心角度数、半径三者中可以“知二求一”。探究二：扇形面积的计算公式活动3例题演练，巩固新知。重点知识2234cm212cm90 53 现在我们从特殊到一般的方法推导出弧长的计算公式 和扇形面积的计算公式 ，对比这两个公式，你能找到它们之间的联系吗？探究二：扇形面积的计算公式活动4对比联系，拓展新知。重点知识都含有；都与圆心角度数n有关
7、；都与圆的半径R有关；180nRl 2360nRS 实际上，扇形的面积计算公式里就包含着一个弧长计算公式，聪明的你们发现了吗？因为 ，而l ，所以 。RRnRnS180213602lRS21180Rn 这样我们又得到了一个扇形面积的计算公式：。在这个公式里，圆心角的度数n不见了，取而代之的是弧长l，只要知道弧长l和半径R就能求出扇形面积了。lRS21 同时 这个公式还比较简洁，简单到和我们三角形的面积计算公式非常相似。不同的是，三角形的底是一条线段，而扇形的“底”是一条弧线；三角形的高是底上的一条过顶点的垂线段，而扇形的“高”是弧线上任意一条半径。lRS21探究二：扇形面积的计算公式重点知识例
8、1.填空（若结果含圆周率的请保留）（1）一个扇形的圆心角为120，半径为3，则这个扇形的面积为_（2）圆心角为135，半径为4的弧长为_解：（1）圆心角n120，半径R3扇形面积（2）圆心角n135，半径R4弧长活动1基础性例题探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识3360312036022RnS31804135180Rnl33练习.填空（若结果含圆周率的请保留）（1）一个扇形的圆心角为240，半径为6，则这个扇形的面积为_（2）圆心角为45，半径为8的弧长为_解：（1）圆心角n240，半径R6扇形面积（2）圆心角n45，半径R8弧长24224360624036022RnS2
9、180845180Rnl探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识例2.填空（若结果含圆周率的请保留）（1）75的圆心角所对的弧长是2.5cm，则此弧所在圆的半径是_（2）一个扇形的弧长是20cm，半径是6 cm，则该扇形的面积是_【思路点拨】第1小问知道的是圆心角和弧长，根据弧长公式反过来求半径，只需根据弧长公式建立关于半径的方程即可；第2小问也可以先求出对应的圆心角度数后再求扇形面积，但是比较复杂。另外两个题目需注意单位的问题。解：（1）圆心角n75，弧长l=2。5cm弧长 ，解得R6（2）弧长l=20cm，半径R6扇形的面积5.218075180RRnl2606202121
10、cmlRS6 cm 60 cm 探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识练习：填空（若结果含圆周率的请保留）（1）75的圆心角所扇形的面积是7.5 cm，则此扇形所在圆的半径是_（2）一个扇形的面积是20 cm，半径是4 cm，则该扇形的周长是_【思路点拨】第1小问知道的是圆心角和扇形面积，根据扇形面积公式反过来求半径，只需根据扇形面积公式建立关于半径的方程即可；第2小问也可以先求出对应的圆心角度数后再求弧长，但是比较复杂。同时第2小问要注意扇形周长包含两条半径。解：（1）圆心角n75，扇形面积S=7.5 cm 扇形面积 ，解得 R6（2）扇形面积S=20 cm，半径R4cm扇
11、形的面积 ，解得 l=10扇形的周长为10+4+4=（10+8）cm5.73607536022RRnS2042121llRS探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识例1.制造弯型管道时，经常要先按照中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图所示的管道的展直长度L（结果保留整数）。【思路点拨】本题需审清题目中“展直长度”的含义：展直长度包括一段弧长和两端700mm的线段长。解：由弧长公式得弧AB的长 ，所以展直长度 。活动2提升型例题)(1570500180900100mml2 70015702970()Lmm探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识练习：如图是一
12、段弯型管道，其中OO90，中心线的两条圆弧半径都是1000 mm，求图中管道的展直长度（取3.142）。解：由弧长公式，两端弧长均为 ，所以展直长度L 。500180100090l2 50030001000 3.14230006142()mm【思路点拨】本题中展直长度包括两段弧长和一条长3000mm的线段长。探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识解：连接OA、OB，过点O做OCAB，垂足为D，交弧AB于点C，连接AC。OC0.6 m，DC0.3 mODOCDC0.3mODDC又ADDCAD是线段OC的垂直平分线ACAOOCAOC是等边三角形例2.如图，水平放置的圆柱形排水管道
13、的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）。探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识例2.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）。从而AOD60，AOB120又AO0.6 m，DO0.3 mOABOABSS扇形31033.06.022AD m353AB2AD有水部分的面积S3100912.00.22（m）3.0353213606.01202探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识 练习：如图是一个马戏团帐篷的地面，是一个半径为20
14、m的圆形，从点A到点B有一段笔直的栅栏，且AOB90，观众坐在阴影区域内看马戏，如果每平方米可以坐3名观众，估计阴影区域内坐满观众时可以坐多少人？解：AOB90，OAOB20m （平方米）每平方米可以坐3名观众 估计坐满观众时可以坐 3114342人【思路点拨】弓形的面积扇形面积三角形面积11420010020202120360902AOBAOBSSS扇形阴影探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识例1.如图，RtABC的边BC位于直线l上，AC=，ACB=90o，A=30o，若RtABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线上l时，求点A所经过的路线的长。（结果用
15、含的式子表示）。活动3探究型例题3解：AC=，ACB=90o，A=30，可以由勾股定理计算斜边长度是2，点A第一次落在l上时经过的路线长度是 ，31202180探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识点A第二次落在l上时经过的路线长度是 ，点A第三次落在l上时经过的路线长度与第二次落在l上时经过的路线长度相同，也是 ，所以当点A三次落在直线l上时，经过的路线长度是：90312021801809031202180180120218090312022180180（）44323433【思路点拨】解旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是前提，另外计算连续的弧长问题，注意旋转规律
16、，进行多次循环旋转的有关弧长之和的计算。探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识练习：如图，在边长为1的正方形组成的网格中，ABC的顶点都在格点上，将ABC绕点C顺时针旋转60，求点A所经过的路径长。解：ABC绕点C顺时针旋转60，顶点A经过的路径是以C为圆心AC为半径，圆心角为60的弧，根据勾股定理，可以得到AC的长为 ，根据弧长公式 ，可求路径长为 。10180rnl103【思路点拨】解答旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是关键。探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识例2.（1）如图（1），以ABC的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则图中阴影部分的
17、面积是_（2）如图（2），若将三角形改为四边形，半径不变，则阴影部分的面积是_（3）若改为n边形，半径不变，则阴影部分的面积是_（4）如图（3），以n边形各顶点为圆心，1为半径作圆，则图中阴影部分面积是_探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识例2.（1）如图（1），以ABC的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则图中阴影部分的面积是_解：（1）设三角形三个内角度数分别为x1，x2，x3 x1+x2+x3=180又半径为1222312221231113603603601801113603602xxxSxxx阴影探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识例2.（2）如图（
18、2），若将三角形改为四边形，半径不变，则阴影部分的面积是_解：（2）设四边形四个内角度数分别为x1，x2，x3，x4 x1+x2+x3+x4 =360又半径为1222231242212341111360360360360360011360360 xxxxSxxxx阴影探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识例2.（3）若改为n边形，半径不变，则阴影部分的面积是_解：（3）设n边形n个内角度数分别为x1，x2，x3，xn x1+x2+x3+xn =180（n-2）又半径为12222312221231111360360360360180(2)2113603602nnxxxxSxxx
19、xnn阴影探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识例2.（4）如图（3），以n边形各顶点为圆心，1为半径作圆，则图中阴影部分面积是_解：（4）设n边形n个外角度数分别为x1，x2，x3，xn x1+x2+x3+xn =360又半径为1222231222123111136036036036036011360360nnxxxxSxxxx阴影探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识【思路点拨】阴影部分的面积是由多个扇形组成的，而这些扇形的圆心角之和恰好是多边形的内角和或外角和。探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识练习：等边ABC的边长为a，分别以A
20、、B、C为圆心，为半径的圆两两相切于点O1、O2、O3。求弧O1O2、弧O2O3、弧O3O1围成的图形面积S（图中阴影部分）。2a解：连接AO2，BO2CO2，ABC是等边三角形AO2BCABa，BO2在RtABO2中，由勾股定理：AO22a2133224ABCSaaa 131232222231803()()4360248ABCAO OBO OCO OaSSSSSaaa阴影扇形扇形扇形223()22aaa探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识（1）弧长是圆周的一部分，它的大小取决于圆心角占360的比例，因此弧长的计算公式是：（n表示圆心角度数，R表示圆的半径）；（2）扇形面积是圆的面积的一部分，它的大小取决于圆心角占360的比例，因此扇形面积的计算公式是：（n表示圆心角度数，R表示圆的半径）；（3）扇形面积第二种求法：（其中，l表示弧长，R表示圆的半径）。2360RnSlRS212360180nn RlR（1）灵活应用弧长计算公式 ，一般半径、圆心角、弧长三者之间可以“知二求一”；（2）灵活应用扇形面积计算公式 ，一般半径、圆心角、扇形面积三者之间可以“知二求一”；（3）注意扇形面积还可能直接用 来求；（4）弓形的面积可以转化为求扇形面积与三角形面积之差。180Rnl2360RnSlRS21谢 谢
