1、1第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答3-1 3-1 多项式解答多项式解答3-2 3-2 位移分量的求出位移分量的求出3-3 3-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷3-4 3-4 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力3-5 3-5 级数式解答级数式解答3-6 3-6 简支梁受任意横向载荷简支梁受任意横向载荷 习题课习题课1一、应力函数取一次多项式一、应力函数取一次多项式3-1 3-1 多项式解答多项式解答cybxa应力分量：0,0,0yxxyyx应力边界条件：0YX结论：（1）线形应力函数对应于无面力、无应力的状态。（2）把任何平面问题的应力函数加上一个线性函数
2、，并不影响应力。二、应力函数取二次多项式二、应力函数取二次多项式22cybxyax1.对应于 ，应力分量 。2ax0,2,0yxxyyxa22ax结论：应力函数 能解决矩形板在 方向受均布拉力（设 ）或均布压力（设 ）的问题。如图3-1（a）。y0a0axyobbbbxyoa2a2xyoc2c22.对应于 ，应力分量 。bxybyxxyyx,0,0结论：应力函数 能解决矩形板受均布剪力问题。如图3-1（b）。bxy图3-1（a）（b）（c）3x3.应力函数 能解决矩形板在 方向受均布拉力（设 ）或均布压力（设 ）的问题。如图3-1（c）。2cy0c0c三、应力函数取三次多项式三、应力函数取三次
3、多项式3ay对应的应力分量：0,0,6yxxyyxay结论：应力函数（a）能解决矩形梁受纯弯曲的问题。如图3-2所示的矩形梁。（a）MMhl2h2hyxx图xy图3-214具体解法如下:如图3-2,取单位宽度的梁来考察,并命每单位宽度上力偶的矩为 。这里 的因次是力长度/长度，即力。MM在左端或右端，水平面力应当合成为力偶，而力偶的矩为 ，这就要求：M2222,0hhhhxxMydydy222226,06hhhhMdyyaydya前一式总能满足，而后一式要求：32hMa 代入式（a），得：0,0,123yxxyyxyhM5将式（a）中的 代入，上列二式成为：x因为梁截面的惯矩是 ，所以上式可改
4、写为：1213hI0,0,yxxyyxyIM结果与材料力学中完全相同。注意：注意：对于长度 远大于深度 的梁，上面答案是有实用价值的；对于长度 与深度 同等大小的所谓深梁，这个解答是没有什么实用意义的。lhlh63-2 3-2 位移分量的求出位移分量的求出 以矩形梁的纯弯曲问题为例，说明如何由应力分量求出位移分量。一、平面应力的情况一、平面应力的情况 将应力分量 代入物理方程0,0,yxxyyxyIMxyxyxyyyxxEEE)1(2)(1)(17得形变分量：0,xyyxyEIMyEIM（a）再将式（a）代入几何方程：yuxvyvxuxyyx得：0,yuxvyEIMyvyEIMxu前二式积分得
5、：)(2),(221xfyEIMvyfxyEIMu（b）（c）其中的 和 是任意函数。将式（c）代入（b）中的第三式1f2f8得：xEIMdxxdfdyydf)()(21等式左边只是 的函数，而等式右边只是 的函数。因此，只可能两边都等于同一常数 。于是有：yxxEIMdxxdfdyydf)(,)(21积分以后得：022012)(,)(vxxEIMxfuyyf代入式（c），得位移分量：022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu其中的任意常数 、须由约束条件求得。0u0v（d）9（一）简支梁（一）简支梁如图3-3（a），约束条件为：0)(,0)(,0)(00000ylxyxyxvvu由式
6、（d）得出：22)(2,)2(yEIMxxlEIMvylxEIMu代入式（d），就得到简支梁的位移分量：EIMlvu2,0,000梁轴的挠度方程：xxlEIMvy)(2)(0MMoxylMMoxyl图3-3（a）（b）10（二）悬臂梁（二）悬臂梁如图3-3（b），约束条件为：0)(,0)(,0)(000ylxylxylxxvvu由式（d）得出：EIMlEIMlvu,2,0200代入式（d），得出悬臂梁的位移分量：222)(2,)(yEIMxlEIMvyxlEIMu梁轴的挠度方程：20)(2)(xlEIMvy二、平面应变的情况二、平面应变的情况 只要将平面应力情况下的形变公式和位移公式中的 换为
7、 ，换为 即可。E21E1113-3 3-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷 设有矩形截面的简支梁，深度为 ，长度为 ，受均布载荷 ，体力不计，由两端的反力 维持平衡。如图3-4所示。取单位宽度的梁来考虑，可视为平面应力问题。hl 2qqlqlqqllloxy2h2h图3-4 用半逆解法。假设 只是 的函数：xy)(yfy则：)(22yfx对 积分，得：)()(1yfyxfxx)()()(2212yfyxfyfx解之，得：其中，、是任意函数，即待定函数。)(1yf)(2yf（a）（b）12 现在考察，上述应力函数是否满足相容方程。为此，对 求四阶导数：将以上结果代入相容方程，得：424414
8、442442222444)()(2)(,)(,0dyyfddyyfdxdyyfdxydyyfdyxx0)(2)()()(2122424414244dyyfddyyfdxdyyfdxdyyfd相容条件要求此二次方程有无数的根(全梁内的 值都应该满足它),所以,它的系数和自由项都必须等于零。即：x0)(2)(,0)(,0)(2242441444dyyfddyyfddyyfddyyfd13前面两个方程要求：GyFyEyyfDCyByAyyf23123)(,)(第三个方程要求：23452610)(KyHyyByAyf（c）（d）将式（c）和（d）代入式（b），得应力函数：234523232610)()
9、(2KyHyyByAGyFyEyxDCyByAyx（e）相应的应力分量为：)23()23(2622)26()26(2222232223222GFyEyCByAyxyxDCyByAyxKHyByAyFEyxBAyxyxyyx（f）（g）（h）14这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。如果要使全部应力边界条件都满足，除非常数 、等于特定值，这样以上应力分量才是正确的解答。ABK 因为 面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于 yz面。这样，和 应当是 的偶函数，而 应当是 的奇函数。于是由式（f）和（h）可见：yzxyxxyx0GFE 将上式代入应力分量表达式，三个应力分量变为：)23(26
10、22)26(2223232CByAyxDCyByAyKHyByAyBAyxxyyx 上式中共有六个待定常数，利用应力边界条件求出。（一）考察上下两边的边界条件0)(,)(,0)(222hyxyhyhyyq（i）15整理，得：0430432480248222323ChBAhChBAhqDChBhAhDChBhAh由于这四个方程是独立的，互不矛盾的，而且只包含四个未知数，所以联立求解，得：2,23,0,23qDhqCBhqA将上面所得常数代入应力分量表达式（i），得：xhqxyhqqyhqyhqKHyyhqxhqxyyx2362232264623333323（k）（l）（j）16（二）考察左右两边
11、的边界条件 由于对称性，只需考虑其中的一边。考虑右边：22220)(0)(hhlxxhhlxxydydy（m）（n）将式（j）代入式（m），得：0)2646(322332dyKHyyhqyhqlhh积分，得：0K 将式（j）代入式（n），得：0)646(322332ydyHyyhqyhqlhh积分，得：hqhqlH103217将式（l）代入，上式成为：2223)236(hhqldyhqlyhql 另一方面，在梁的右边剪应力满足：22)(hhlxxyqldy将 和 代入式（j），得：yhqyhqlyhqyxhqX53646323323（p）HK将式（p）、（k）、（l）整理，得应力分量：)4(6
12、)21)(1(2)534()(6223222223yhxhqhyhyqhyhyqyxlhqxyyx（q）18式（q）可以改写为：bIQShyhyqhyhyqyIMxyyx222)21)(1(2)534(各应力分量沿铅直方向的变化大致如图3-5所示。在 的表达式中，第一项是主要项，和材料力学中的解答相同，第二项是弹性力学提出的修正项。对于通常的浅梁，修正项很小，可以不计。对于较深的梁，则需注意修正项。xy 的最大绝对值是 ，发生在梁顶。在材料力学中，一般不考虑这个应力分量。和材料力学里完全一样。qxy19xyxy图3-52h2h3-4 3-4 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力 设有楔
13、形体,如图3-6a所示，左面铅直,右面与铅直角成角 ，下端无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为 ，液体的密度为 ，试求应力分量。问题：问题：gxy2Ngoxyyx图图图图3-6（a）（b）20 取坐标轴如图所示。假设应力函数为：3223eycxyybxax（二）边界条件（二）边界条件左面（）应力边界条件：0 x0)(,)(00 xxyxxgy这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。（一）应力分量（一）应力分量 在该问题中，体力分量 ，所以应力分量的表达式为：gYX,0cybxyxgybyaxYyxeycxXxyxyyx22266222222（a）21右面（），应力边界条件：ytgx 0Y
14、X0)()(0)()(ytgxxyytgxyytgxxyytgxxlmml将式（a）代入，得：02,6cygyey0,6/cge代入式（a），得：bxgybyaxgyyxxyyx226（b）将式（b）代入，得：0)(2602gmltgmbamtgglbmtg（c）又：sin)90cos(),cos(,cos),cos(0yNmxNl22代入式（c），得：3236,2ctggctggactggb将这些系数代入式（b），得：223)()2(gxctgyggctgxgctggctggyyxxyyx各应力分量沿水平方向的变化大致如图3-6b所示。注意：注意：1.沿着坝轴，坝身往往具有不同的截面，而且坝
15、身也不是无限长的。因此，严格说来，这里不是一个平面问题。2.对于坝身底部来说，上面的解答是不精确的。3.在靠近坝顶处，以上解答也不适用。233-5 3-5 级数式解答级数式解答 用逆解法。假设应力函数为：)(sinyfx（a）其中 是任意常数，它的因次是长度-1，而 是 的任意函数。)(yfy将式（a）代入相容方程，得：0)()(2)(sin422244yfdyyfddyyfdx（b）yDychyCyshyBchyAshyf)(解之，得：其中 、都是任意常数。得到应力函数的一个解答：ABCD)(sinyDychyCyshyBchyAshx假设应力函数为：)(cos1yfx同样可以得出应力函数的
16、另一个解答：（c）24仍然是该微分方程的解答。所以可以得到三角级数式的应力函数：)(cos)(sin11yychDyyshCychByshAxyychDyyshCychByshAxmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 相应的应力分量：将式（c）与（d）叠加，得：)(cos)(sinyychDyyshCychByshAxyDychyCyshyBchyAshx其中 、也都是任意常数。ABCD)(cosyychDyyshCychByshAx（d）25)2()2(cos)2()2(sin121222yychDyyshCychCByshDAxyychDyyshCychCByshDAxymmmmmmm
17、mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmxcos)sin121222yychDyyshCychByshAxyychDyyshCychByshAxxmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmy26)()(sin)()(cos12122yychCyyshDychDAyshCBxyychCyyshDychDAyshCBxyxmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmxy这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。如果能够选择其中的待定常数 、或再叠加以满足平衡微分方程和相容方程的其它应力分量表达式，使其满足某个问题的边界条件，就得出该问题的解答。mmAmBmCmmAmBmCmD
18、mD273-6 3-6 简支梁受任意横向载荷简支梁受任意横向载荷问题：问题：设简支梁的跨度为 ，高度为 ，坐标轴如图3-7所示，上下两边的横向载荷分别为 及 ，左右两端的反力分别为 及 。lH)(xq)(1xqR1RR1R)(xq)(1xqlHxyo图3-728为了满足边界条件（c），取：0mmmmDCBA),3,2,1(mlmm上下两边正应力的边界条件：)()(),()(10 xqxqHyyyy上下两边剪应力的边界条件：0)(,0)(0Hyxyyxy左右两端正应力的边界条件：0)(,0)(0lxxxx左右两端剪应力的边界条件：1000)(,)(RdyRdyHlxxyHxxy（a）（b）（c）
19、（d）29应力分量简化为：lymychClymyshDlymchDmlAlymshCmlBlxmlmlymychDlymyshClymchBlymshAlxmlmlymychDlymyshClymchCmlBlymshDmlAlxmlmmmmmmmmxymmmmmymmmmmmmx)()(cossin)2()2(sin122212221222（1）30代入边界条件（b）和（a），得：由此可以得出求解系数 、的方程。mAmBmCmD0)()(cos0cos1212lHmHchClHmHshDlHmchDmlAlHmshCmlBlxmmDmlAlxmmmmmmmmmmmm)(sin11222xql
20、HmHchDlHmHshClHmchBlHmshAlxmmlmmmmm)(sin1222xqBlxmmlmm（e）（f）（g）（h）31由式（e）、（f），得：0)()(0lHmHshlHmchmlDlHmHchlHmshmlClHmshBlHmchADmlAmmmmmm（i）（j）按照傅立叶级数展开法则，有：lmlxmdxlxmxqlxq01sinsin)(2)(与式（g）对比，得：lmdxlxmxqlBml0222sin)(2从而，得：lmdxlxmxqmlB022sin)(2（k）32同样由式（h），得：lmmmmdxlxmxqmllHmHchDlHmHshClHmchBlHmshA01
21、22sin)(2（）l求出式（k）及式（）右边的积分以后，可由（i）、（j）、（k）、（）四式求得系数 、，从而由公式（1）求得应力分量。llmAmBmCmD 求出应力分量后，可由式（d）求得反力 及 ，并利用两个反力与荷载的平衡作为校核之用。R1R结论：结论：1.用级数求解平面问题时，计算工作量很大。2.由于梁的两端的应力边界条件不能精确满足，因而应力的解答只适用于距两端较远之处；对于跨度与高度同等大小的梁，这种解答是没有用处的。333-7 3-7 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答习题课习题课练习练习1设有矩形截面的竖柱，其密度为 ，在一边侧面上受均布剪力 ，如图1，试求应力分量
22、。q解：解：1.采用半逆解法，设 。导出 使其满足双调和方程：0 x0)()(,00,0)()()()()(,0414444224444144444122dxxfddxxfdyyxydxxfddxxfdyxxfxyfxfyXxyxxyqhg图134 取任意值时，上式都应成立，因而有：y23232312341444)()(,)(0)(,0)(FxExCxBxAxyFxExxfCxBxAxxfdxxfddxxfd式中，中略去了常数项，中略去了 的一次项及常数项，因为它们对应力无影响。)(xf)(1xfx（1）2.含待定常数的应力分量为：)23(26)26(0222222CBxAxyxPyFExBA
23、xyYyxXxyxyyx（2）353.利用边界条件确定常数，并求出应力解答：,0)(0 xx能自然满足：0,0)(0Cxyx,0)(hxx能自然满足：0,026,0)(23,)(02FEFExqBhAhqyyhxyx（3）,0)(0yyx不能精确满足，只能近似满足：hhyyxydxBxAxdy000200)23(,0)(023BhAh由式（3）、（4）解出常数 和 ，进而可求得应力分量：ABhqBhqA,2（4）36（1）中的 不能略去，因为 对剪应力有影响。（2）在上端部，首先应使应力分量精确满足边界条件，如不能，则可运用圣维南原理放松满足。本题 能精确满足，因此，在此处是精确解，而 在上端
24、部是近似解。（3）若设 ，则导出的应力函数 和应力分量为：4.分析：)(xfCxCx0)(0yyyxy)(xfxy)32(,)31(2,0hxhqxPyhxhqyxyyx（5）DCxxBPyFExCBxyyfxFxExfDCxxBxfxfdyyfdxxfyxyyx2231212)(),(26)(,2)()()()(（6）（7）37常数确定后代入式（7），所得结果与式（5）相同。练习练习2 如图2（a），三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度为 ，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。lxygolxygo0q0qlx图2（a）（b）解：解：1.设应力函数为：3223DyCxyyBxAx不难验证其满
25、足 。所以应力分量为：0438CyBxyxgyByAxYyxDyCxXxyxyyx222662222222.用边界条件确定常数，进而求出应力解答：上边界：0)(,0)(00yxyyy斜面：0cossin0cossincos,sin)90cos(0yxyxyxml解得：cot,cot2cotcot3,cot2,022gygygygxgDgCBAxyyx393.分析：本题的应力函数可用量纲分析方法得到，此函数亦可用来求解上边界受线形载荷 作用的问题，见图2（b）。0qlxq 40 练习练习3 3 如果 为平面调和函数，它满足，问02)(,22yxyx是否可作为应力函数。解：解：将代入相容条件，得：
26、x10)(2)2(2)(2)(221222222222212xxxyxxxxyx1满足双调和方程，因此，可作为应力函数。将代入相容条件得y2也能作为应力函数。把 代入相容条件，得：2)(223yx 0)444(444)()()(2322222222232yyxxyyxxyxyx所以，也可作为应力函数。3 练习练习4 4 图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用，试取应力函数为：，求简支梁的应力分量（体力不计）。FxyExDxyyCxBxyyAx3335330)2(,2222222yylxq00qO60lqyl30lqxlh解：解：1、由满足相容方程确定系数A与B的关系：BABxyAxyAxyy
27、xBxyyx3501207236,120,02244444（1）图32、含待定系数的应力分量为)2()3359(666620622422333FDyCxByyAxExCxyAxyDxyBxyyAxxyyx3、由边界条件确定待定系数：)3(0)(6)2(6)2(6,)(20302hyxyhyylxqExhCxhAxlxq)4(0)2(33)2(5)2(922422FhDCxhBhAx)6(0)2(33)2(5)2(9,0)()5(06)2(6)2(6,0)(22422232FhDCxhBhAxExhCxhAxhyxyhyy由以上式子可求得：)8(0,0)()7(6804,6)(4,5,3,122
28、22202030022030300DBhAlydylqlhqFhDhlqdylhqClhqBlhqAlqEhhlxxxhhxy由此可解得：lhqhlqFhlqlhqD804,310003004、应力分量为)9(203)(4(4)43(2)1032(22222223033230322230hlyxhylhqhyyhxlhqhlxyxylhqxyyx 练习练习5 5 如图所示，右端固定悬臂梁，长为l，高为h，在左端面上受分布力作用（其合力为P）。不计体力，试求梁的应力分量。34xyd1、用凑和幂次不同的双调和多项式函数的半逆解法来求解。显然，应力函数 所对应的面力，在梁两端与本题相一致，解：解：PyOhlx只是该函数在上、下边界面上多出了一个大小为 的剪应力，为了抵消它，在应力函数 上再添加一个与纯剪应力对应的应力函数 ：2443hd34xydxyb2xybxyd2342、由平衡条件得含有待定系数的应力表达式为：24222242230,6ydbyxxxydyxyyx3、利用边界条件确定，并求出应力分量：上、下边界：24,bd0)(,0)(22hyxyhyy图4左端部：Pdyhhxxyxx2200)(,0)(解得：233342623,0,122,23yhPhPxyhPhPdhPbxyyx
