1、为为 理理 解解 而而 教教一、理念丰满，但现实很骨感一、理念丰满，但现实很骨感l“老师，从前学的数学，都听不懂，我们都是背的！”我的天啊！这个当年每次数学考试都是一百分的小孩，数学，居然是这么辛苦学的！“那国中呢？”“一路背到底啊！”“那高中呢？”“就很惨啊？背不来！”（邬瑞香我的数学教学模式，载詹志禹主编，建构论，正中书局（台湾），2002）l小萝莉背乘法口诀.flvl现场调查：看到这个词，你头脑中马上浮现出什么？三角形的高垂线线段从三角形的一个顶点向它的对边二、二、“理解理解”，意味着，意味着l“在定义与图形这两者中，他们更倾向于利用一些图形作为概念的代表，并用它们来表示概念。”PME：
2、数学教育心理 P37l人在头脑中存储并加工概念，往往不是文字的定义，而是概念表象概念表象“与概念名称有关的非语言的东西，它可以是视觉表象，思维图形，或是一个印象或经验，例如一个模型、一条曲线、一个符号、一组变化的动作等。”PME:数学教育心理P49“理解理解”心理学意义的解读心理学意义的解读l用建构主义的观点看，“学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分，那么才说明是理解了。”l为了理解所做的具体工作：“寻找并建立恰当的新、旧知识之间的联系，使概念的心理表象建构得比较准确，它与其余概念表象的联系比较合理，比较丰富和紧密。”PM
3、E:数学教育心理P64l对新知识的理解必须要有心理基础：旧知或经验。l理解涉及三方面的建构：一是建立起准确贴切的概念表象；二是处理新旧知识间的关系；三是组织起相应的关系结构，利于新概念的存储和提取。案例剖析：有余数的除法（练习）案例剖析：有余数的除法（练习）余数余数,为什么不叫为什么不叫:“鱼数鱼数”、“愚数愚数”、“愉数愉数”？是什么意思？是什么意思？余粮、余粮、“余余”余热、余热、余音、余音、余震余震 除法的除法的与余数的与余数的“除除”“余余”耳刀旁儿耳刀旁儿除法的除法的与余数的与余数的“除除”“余余”耳刀旁儿耳刀旁儿“理解理解”的外在行为表现：的外在行为表现：l能讲得清楚所学知识和生活
4、经验间的能讲得清楚所学知识和生活经验间的联系与区别联系与区别，或能，或能说清楚新知识与相关旧知识间的联系与区别（生活中的说清楚新知识与相关旧知识间的联系与区别（生活中的“高高”与数学中的与数学中的“高高”，平行线的，平行线的“高高”与三角形与三角形的的“高高”）；）；l能根据定义举出恰当的正面能根据定义举出恰当的正面例子例子和反面例子；和反面例子；l能在变式的情境中能在变式的情境中辨认辨认和运用概念（和运用概念（是梯形吗？）；是梯形吗？）；l能用儿童个性化的方式来能用儿童个性化的方式来表征概念表征概念（“减法的本事真大减法的本事真大啊啊”）；）；l能将概念从文字表达能将概念从文字表达转换转换成
5、符号的、图像的或者口头的成符号的、图像的或者口头的表述。（概念间多种表征形式间进行转换）表述。（概念间多种表征形式间进行转换）l能知道所学知识的能知道所学知识的本质本质是什么（例半径就是画圆时圆规是什么（例半径就是画圆时圆规两脚间张开的距离）；两脚间张开的距离）；l能从能从不同的角度不同的角度对概念对概念下定义下定义（从（从“分数分数”、“比比”的的角度给百分数下定义）；角度给百分数下定义）；l能在复习情境里，画出合适的概念间的关系图，能讲清能在复习情境里，画出合适的概念间的关系图，能讲清楚知识的楚知识的来龙去脉来龙去脉；l能从概念出发作出初步的能从概念出发作出初步的判断判断；比如三角形内角和
6、是；比如三角形内角和是180度，那么一个三角形里就不可能有两个直（钝）角；度，那么一个三角形里就不可能有两个直（钝）角；l能在貌似无关的两个或几个概念间找到能在貌似无关的两个或几个概念间找到内在联系内在联系；“堆”在一起的条形图，其本质和扇形图无异。所以，重要的不是形式，而是数学本质。看到不同数学对象间的统一性，才是更有素养的数学教师。l理解是个动态的过程，往复循环，逐步递进，不是一劳永逸的事情，上述各种行为可能是在反复多次的建构反思中逐渐表现出来的。绝对一点讲，理解只有深浅之分，没有彻底之说。三、基于课堂教学的建议三、基于课堂教学的建议l教学：教学：善于促进深入思考；善于呈现知识的形成过程；
7、善于运用直观去解释抽象；善于揭示内在联系；善于将学习差错转化为教学资源；l练习：善于设计变式思考的练习 教学：善于促进深入思考教学：善于促进深入思考 按部就班，真思考不够。得到长方形面积后，也就知道了平行四边形面积，但为什么要去寻找底、高和面积间的关系？视频l探究平行四边形面积的计算办法，把平行四边形转化为长方形的方向明确无误。那么下面的思考有问题吗？问题出在哪里？长方形面积=长宽，也就是邻边邻边所以，平行四边形面积=邻边邻边 任何知识都具有思想性，你把握了知识内在的数学思想方法了吗？l也就是说，要常用“为什么、解释、说明、联系、区别、对比、分析、推断、解决、发现、概括”等词语来提问，促进较高
8、思维向深入迈进。教学：善于呈现知识的形成过程教学：善于呈现知识的形成过程l百分数虽然带有“数”的帽子，但问起“小学阶段认识哪些数”时，都不曾把百分数列入。那百分数的本质意义到底是什么？课前 由来教学：善于运用直观解释抽象教学：善于运用直观解释抽象l不要把数学看得高深莫测，荷兰数学教育家弗赖登塔尔说“数学是系统化的常识”。初等数学中绝大多数数学知识其最初的源头都在生活。因而，教学中把数学知识那最初的生活源头给揭示出来，让学生知道来龙去脉，就能促进学生对数学知识的理解。l数学中诸多规定，也有“为什么”可说。当好奇的孩子问“为什么”的时候，教师的态度决定了孩子们对知识的情绪感受数学是蛮不讲理的还是温
9、情有趣的。孩子们问起为什么，孩子们问起为什么，总能得到有意义的回答总能得到有意义的回答l十进制 结绳计数-点手数数-解放手指l二月天数最少l符号的由来、字母缩写l奥尔格康托：数学的本质在于它的自由l数学规定一定有其内在的道理！策略一：l加减号：卖酒的商人用“-”表示酒桶里的酒卖了多少。当把新酒灌入大桶的时候，就在“-”上加一竖，意思是把原线条勾销，这样就成了个“+”号。l等号：再没有其它东西，比平行的两线更相似了。l米 metre ml千米 kilometre kml分米 decimetre dml厘米 centimetre cml毫米 millimetre mml吨 ton tl克 gram
10、 gl千克 kilogram kg 数学中的诸多“为什么”都有解，只不过由于历史的渊源，有些无从考察。不过，从已知的典故中我们可以真切地感受到：数学的本性是和人性相通的。无论怎样，都要记得“数学是人想出来的”。策略二：打比方说清楚数学道理策略二：打比方说清楚数学道理l3x2+5x+6=0与4x2+7x+8=0是两个不同的方程。l用字母表示系数，统一成：ax2+bx+c=0l研究这个字母方程，也就研究了能用一元两次方程解题的所有问题，自称为“类的计算”。l用字母表示数的伟大意义在于理解：明明知道这个数是多少，但偏偏还要用字母来表示它。策略三：善于利用几何直观策略三：善于利用几何直观l主要是指利用
11、图形描述和分析问题（先描再思）。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果（价值1）。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用（价值2）。录自义务教育数学课程标准2011年版1.50比比1.5精确度更高精确度更高l1.450-1.549，四舍五入，精确到十分位都是1.5；1.495-1.504，四舍五入，精确到百分位都是1.50。这个事情，有些老师已经做了。但学生就体会到了1.50的精确度更高吗？小数点的作用有多大？小数点的作用有多大？有了直观图，就带来了视觉视觉冲击力冲击力，学生对小数点的作用感受就不一般。1200800
12、哪个数据更具有代表性？哪个数据更具有代表性？3800哪个数据更具有代表性？哪个数据更具有代表性？平均数平均数1200中位数中位数800有些精彩，是因为直观得精彩！有些精彩，是因为直观得精彩！l325能被3整除吗？“画出倒数的样子来画出倒数的样子来”（画面积都是（画面积都是1的长方形）的长方形）只有直观只有直观上懂，才算上懂，才算真懂！真懂！教学：善于揭示内在联系教学：善于揭示内在联系l加乘与减除的计算方法迥异，但有了负数，加减一体；有了倒数，乘除互化；数与形界限分明，但引入了坐标，数的问题便可以转化为形的问题；已知和未知泾渭分明，但有了代数，未知也可以像已知一样参加运算；从代数表达式看，直是线
13、性方程，曲是非线性方程，差别明显，但在微分中两者等同无异；古人“一尺之捶，日取其半，万世不竭”，每次的取出皆是有限，但不断地超越，便是无限数学本就是内在辩证统一的体系。知识间的关系有了新的发现，教学也就有了新的可能。l自行反思和整理：画出“知识树”、“关系图”。提炼：三角形具有三个角、三条边的固有特征是三角形中最重要的知识点。教学：善于将学习差错转化为教学资源教学：善于将学习差错转化为教学资源l错误的回答（解答）虽然是错的，但却是孩子们投入思考自己创造的结果。学习者获得的对知识的主观理解，即便和知识的客观意义有出入和错误，但就学习者认知结构内部来说，它们是自洽的。所以，学习错误准确地诉说了学生
14、心智内部那里出了问题，为促进学生理解步入数学的深处提供了契机。有时正确的解答如果没有错误例证的反衬，学生并不会获得鲜明而又真切的正确解答或操作承载的实质意义。研究“三角形的三边关系”在围成三角形的例子中是看不出头绪的。但如果问“这三根小棒为什么围不成三角形？”，学生回答“那两根小棒太短了”或“下面的那根小棒太长了”，自然地启示了同学们研究三边关系，便是研究“两边长度和和第三边长度间的关系”。所以，一个完整的数学学习阶段，必然包括着“错中悟理”的阶段。有些典型性学习差错，即便学生学习中暂时没有暴露出来，但作为教师也可以将其呈现出来，用来诊断学生是真理解还是假理解。练习：练习：善于设计变式思考的练
15、习l平行四边形的面积计算：l计算练习不仅要操练算法，也要触及算理，触及推理、解释等能力。变式的本质是题目要促进学生思考变式的本质是题目要促进学生思考l下面哪种图形具有稳定性（）三角形 平行四边形 梯形l“人”字梁的结构利用了三角形哪个特点？（）稳定性 内角和是180度 具有三条边l有两个三角形，都是用3厘米、4厘米、5厘米的小棒摆成的，关于这两个三角形下面哪个说法是正确的？形状不同面积相等 形状相同面积不等 形状相同面积相等l两极分化l来不及l学生天生差l考试考不过四、困惑与碰撞四、困惑与碰撞l命题：命题依据教育部制订的课程标准（2011年版），关注学科本质、学习过程，确保基础性，突出思考性，
16、让有独立学习、独立思考能力的学生更有利于发挥出水平。也就是说在控制控制难度的前提下增加灵活性，确保难度的前提下增加灵活性，确保基本分的前提下增加思考性，不基本分的前提下增加思考性，不增加负担的前提下增加理解性增加负担的前提下增加理解性，而且逐步增加这方面的权重。试题关注学习过程：试题关注学习过程：l推导平行四边形面积公式时，需要剪、移、拼，把平行四边形转化为长方形。下面有两种方法，有不同之处，比如甲同学剪下的是三角形，乙同学剪下的是梯形，也有很多相同之处，比如 。（写出一点即可）试题改自教科书，试题改自教科书，它们的解答情况和平时怎么教密切相关它们的解答情况和平时怎么教密切相关（2）4级台阶的
17、两个侧面要涂上油漆，涂油漆的面积有多少平方米？（3）4级台阶体积有多少立方米？关注讲道理：关注讲道理：l小林计算4.083.4、40.83.4、4083.4三题后，发现商依次扩大10倍，造成这种变化的原因是（）。A被除数依次扩大了10倍 B三题就是不一样的题C被除数依次扩大了10倍，而同时除数不变l2 ，用画图或说理等办法说清楚计算结果等于6。l l0没有倒数，这是因为？（）A0a=0（a表示任何数）B0a=0（a表示非0的任何数）C这是规定，没有理由实验小学的统计分析：选A:432人，59.67%选B：217人，29.97%选C：75人，10.36%31关注独立思考能力：关注独立思考能力：l看到“万 千 百 十 个”，在数学里你想到了什么？（），（），（），（）。（有一种想法可以得2分，请注意：像十个“十”是一个“百”，十个“百”是一个“千”等非常类似的想法，只能算一种，得2分。“注意”中已经给出的想法以及类似的想法都不得分。得分不封顶。）
