1、机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 内容提要2.1 引言2.2 拉格朗日插值2.3 均差与牛顿插值公式2.4 埃尔米特插值2.5 分段低次插值2.6 三次样条插值三次样条插值机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 2.1 引言引言 许多实际问题都用函数许多实际问题都用函数 y=f(x)来表示某种内在规律的来表示某种内在规律的数量关系。若已知数量关系。若已知 f(x)在某个区间在某个区间 a,b 上存在、连续，上存在、连续，但只能给出但只能给出 a,b 上一系列点的函数值表时，或者函数有上一系列点的函数值表时，或者函数有解析表达式，但计算过于复杂、使用不方便只给出函数值解析表
2、达式，但计算过于复杂、使用不方便只给出函数值表（如三角函数表、对数表等）时，为了研究函数的变化表（如三角函数表、对数表等）时，为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值。因此我们希望规律，往往需要求出不在表上的函数值。因此我们希望根根据给定的函数表做一个既能据给定的函数表做一个既能 反映函数反映函数 f(x)的特性，又便的特性，又便于计算的简单函数于计算的简单函数 P(x)，用，用 P(x)近似近似 f(x)。这就引出了。这就引出了插值问题。插值问题。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 的的方方法法称称为为插插值值法法。函函数数称称为为插插值值区区间间，求求插插值值节节点
3、点的的区区间间值值称称为为插插值值节节点点，包包含含插插的的插插值值函函数数，点点为为成成立立，就就称称，使使，若若存存在在一一简简单单函函数数上上的的值值上上有有定定义义，且且已已知知在在点点在在区区间间设设函函数数)(,)()(),1,0()()(,)(101010 xPbaxxxxfxPniyxPxPyyybxxxabaxfyniinn 1、提出问题（插值法的定义）、提出问题（插值法的定义）2、几何意义、外插、内插、几何意义、外插、内插 P(x)f(x)x*(外插)x0 x1x(内插)x2x3P(x*)f(x*)机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 3、插值的种类、插值的种类
4、选取不同的函数族构造选取不同的函数族构造 P(x)得到不同类型的插值得到不同类型的插值若若 P(x)是次数不超过是次数不超过 n 的代数多项式，就称为的代数多项式，就称为多项式插值多项式插值；若若 P(x)为分段的多项式，就称为为分段的多项式，就称为分段插值分段插值；若若 P(x)为三角多项式，就称为为三角多项式，就称为三角插值三角插值。本章只讨论多项式插值与分段插值。主要研究内容为如何本章只讨论多项式插值与分段插值。主要研究内容为如何求出插值多项式，分段插值函数；讨论插值多项式求出插值多项式，分段插值函数；讨论插值多项式 P(x)的存的存在唯一性、收敛性及估计误差等。在唯一性、收敛性及估计误
5、差等。4、多项式插值问题、多项式插值问题010101(),()()(0,1,)()()nnnniiyf xa baxxxbyyynP xaa xa xP xyinP xf x已知：函数在区间上有定义及在点上的函数值。求：次多项式，满足即为的插值多项式机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 插值多项式的存在唯一性插值多项式的存在唯一性 0)(x111)()()()()(x11102n121102002102102n12110200 njiijnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxDVandemondexfxfxfxfaaaaxxxxxxxx其系数行列式为范德蒙其系数行列式为范德蒙组
6、组使其满足如下线性方程使其满足如下线性方程定多项式的系数，定多项式的系数，插值条件满足等价于确插值条件满足等价于确对于多项式插值问题，对于多项式插值问题，机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 定理定理1(存在存在唯唯一性一性)满足插值条件的满足插值条件的不超过不超过 n 次的插值多项式次的插值多项式是存在是存在唯唯一的一的。2.2 拉格朗日插值拉格朗日插值一、线性插值与抛物插值一、线性插值与抛物插值1、线性插值、线性插值 。使使它它满满足足，要要求求线线性性插插值值多多项项式式在在端端点点函函数数值值上上有有定定义义及及在在区区间间数数线线性性插插值值问问题题：已已知知函函11111
7、111)(,)(),()(),(,)(kkkkkkkkkkyxLyxLxLxfyxfyxxxfyy=f(x)L1(x)yxxk+1xk0机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 1)(0)(0)(1)()()()()()()()()()()(,)()()()()()(1111111111111111111111111 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkKkkkkkkkkKkkkkkkkkxlxlxlxlxxiixlxlixlxlyxlyxlxLyyxxxxxlxxxxxlxLyxxxxyxxxxxLxxxxyyyxLxL处满足处满足与与在节点在节点也是线性函数也是线性函数与
8、与它们满足下面条件它们满足下面条件称为线性插值基函数，称为线性插值基函数，与与，即，即及及数分别为数分别为的线性组合得到，其系的线性组合得到，其系是由两个线性函数是由两个线性函数由两点式看出，由两点式看出，（两点式）（两点式）（点斜式）（点斜式）直接给出直接给出的表达式可由几何意义的表达式可由几何意义机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 2、抛物插值、抛物插值 。使使它它满满足足要要求求抛抛物物插插值值多多项项式式，的的函函数数值值和和、在在节节点点上上有有定定义义及及在在区区间间数数抛抛物物插插值值问问题题：已已知知函函112211-22111-1-1-11-1)(,)(,)(),
9、()(),()(,)(kkkkkkkkkkkkkkkkkyxLyxLyxLxLxfyxfyxfyxxxxxxfy22-1-111-11-11-11-1111()()()()()()()()()()()()()()()()()1kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkL xL xlx ylx ylx ylxlxlxlxlxlxi lxlxlxiixxxlxl、表示为已知节点函数值的组合形式组合系数分别为、及，、与通常称为抛物插值基函数，它们满足下面条件、与也是抛物函数在节基函数法求处足解点与满1111111111()0()0()0()1()0()0()0()1kkkkkkkkkkkkkkkxl
10、xlxlxlxlxlxlx机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 求解基函数求解基函数)()()()(1)()(,1)()2()()(),()()(0)(0)()1()(111111111111111111111111 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxlxxxxAxxxxAxlxlAxxxxAxlixlxlxxxlxlxl故有故有于是于是得得由由为待定常数）为待定常数）（其中（其中于是设于是设满足条件满足条件又由于又由于的零点，的零点，是函数是函数与与知知与与由由先求基函数先求基函数机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列)()()
11、()()()(1-11-111-11-1kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxlxxxxxxxxxl 同同理理可可得得11-11-11-11-1-111112)()()()()()()(kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL抛抛物物插插值值公公式式为为二、拉格朗日插值多项式二、拉格朗日插值多项式 上面针对 n=1 和 n=2 的情况，得到了一次和二次插值多项式，这种用基函数表示的方法很容易推广到一般情况。下面讨论如何构造 n+1 个节点的 n 次插值多项式。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列),1,0(,)(),
12、(),1,0()(1,)(1100njyxLxLnnjxfyxxxnxxxfyjjnnjjnn 使使它它满满足足次次插插值值多多项项式式要要求求的的函函数数值值个个节节点点在在上上有有定定义义及及在在区区间间已已知知函函数数、拉拉格格朗朗日日插插值值问问题题：),1,0,(,0,1)(),1,0()(),1,0()()()(,)()()()(0nkjjkjkxlnkxiinnkxlinxlxlyxLxLkjkkknkkknn 处处满满足足在在节节点点的的多多项项式式函函数数是是不不超超过过，它它们们满满足足下下面面条条件件次次插插值值基基函函数数通通常常称称为为组组合合系系数数为为的的组组合合
13、形形式式表表示示为为已已知知节节点点函函数数值值基基函函数数法法求求解解机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(11)()()()(,1)()2()()()()(),()()(),1,1,1,0(),1,1,1,0(0)()1(),1,0()(111101101110110110110110knknknkkkkkkknnnnkkkkkknkkknkkkkkknkkkkkkkkkknkkkkkjjkkxxxxxlxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlxxxxxxxxAxxxxx
14、xxxAxlxlAxxxxxxxxAxlixlxlnkkjxnkkjxlnkxl 则则易易得得若若引引入入记记号号故故有有于于是是得得由由为为待待定定常常数数）（其其中中于于是是设设满满足足条条件件又又由由于于的的零零点点，函函数数是是知知由由求求基基函函数数机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 nkknknknnxxxxyxLxLn011)()()()()(为为次次拉拉格格朗朗日日插插值值多多项项式式。且依赖于且依赖于）（这里这里插值余项插值余项对任何对任何件的多项式，则件的多项式，则是满足拉格朗日插值条是满足拉格朗日插值条内存在，节点内存在，节点在在上连续，上连续，在在设设定理定
15、理项。项。也称为插值多项式的余也称为插值多项式的余则其截断误差为则其截断误差为近似近似上用上用若在若在、插值余项与误差估计、插值余项与误差估计xbaxnfxLxfxRbaxxLbxxxabaxfbaxfxLxfRxfxLbannnnnnnnnn,)()!1()()()()(,)(,),()(,)(2),()(),()(,21)1(10)1()(机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 0110101(0,1,)()()0()()()()()()()(),()()()()()()()(),(knnknnnnnnx knR xR xR xK x xxxxxxK xxK xxxa btf tL
16、 tK x txtxtxtx xxxt证明：由条件知节点是的零点，即。于是其中是与有关的待定函数。现把看成上的固定点，作函数根据插值条件和余项定义，知在点及处均为零。故1111),2(),1()(),()(,)(,),()()(1)!()0()()(,),(1)!nnnna bnta bntta bnta ba bfnK xfK xa bxn（）（）（）（）在上有个零点，根据罗尔定理，在内至少有个零点。对再应用罗尔定理，可知在内至少有 个零点。依次类推，在上至少有一个零点，记为使于是，且依赖于于是得到插值余项。证毕。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 定理表明：定理表明：(1)插值
17、误差与节点和点插值误差与节点和点 x 之间的距离有关之间的距离有关,节点距离节点距离 x 越近越近,插值误差一般情况下越小。插值误差一般情况下越小。(2)若被插值函数若被插值函数 f(x)本身就是不超过本身就是不超过 n 次的多项式次的多项式,则有则有f(x)g(x)。,),)()()(61)(2,),)()(21)()(21)(1)()!1()()()(,)(max)3(202102101021111)1(xxxxxxxxfxRnxxxxxxfxfxRnxnMxRxfxLMxfnnnnnbxa 时时，抛抛物物插插值值余余项项为为当当时时，线线性性插插值值余余项项为为当当的的截截断断误误差差限
18、限是是逼逼近近那那么么多多项项式式如如果果我我们们可可以以求求出出机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 1 010 0 ,00001niikniikiniikiknnk(x)lkn,kx(x)lx(x)lxx(x)R(x)fn)(kxf(x)时，有特别当由此得于是有时，由于当机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 34)5.0(3)5.0(2)5.0(1)5.0()5.0()(3)(2)()()()()()()()()1(34)05.0)(15.0()0)(1()5.0)(1(2)5.00)(10()5.0)(1()5.0(32)5.01)(01()5.0)(0(,5.0,0
19、121022102221002210210 lllLfxlxlxlxlxfxlxfxlxfxLxxxxlxxxxlxxxxlxxx二二次次插插值值多多项项式式为为作作二二次次插插值值，解解：取取节节点点 (2)2,(1)1,(0)2,(0.5)3,(0.5)1fffff已知试选用适合的插例2-值节点通过二次插值多项式计算的近似值，使之精度尽可能高。3、应用举例、应用举例 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 用二次插值计算用二次插值计算 ln(11.25)ln(11.25)的近似值的近似值,并估计误差并估计误差。例2-2 给定函数值表给定函数值表420426.2484907.2)11
20、12)(1012()1125.11)(1025.11(397895.2)1211)(1011()1225.11)(1025.11(302585.2)1210)(1110()1225.11)(1125.11()25.11()25.11ln(,12,11102210 Lxxx作作二二次次插插值值，解解：取取节节点点x10111213lnx2.302585 2.397895 2.484907 2.564949机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 在区间在区间10,1210,12上上lnx 的三阶导数的三阶导数 (2/x(2/x3 3)的上限的上限 M M3 3=0.002,=0.002,可
21、得误差估计式可得误差估计式注：实际上注：实际上,ln(11.25)=2.420368,ln(11.25)=2.420368,|R|R2 2(11.25)|=0.000058(11.25)|=0.000058 32(11.25)|(11.2510)(11.2511)(11.2512)|3!0.0000781MR)2-3()(yf x反插值法已知单调连续函数在如下采样点例处的函数值x1.01.41.82.0yi=f(xi)-2.0-0.80.41.2使使误误差差尽尽可可能能小小。内内根根的的近近似似值值在在求求方方程程,2,10)(*xxf 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 675.
22、1)0()0(01302.003125.03271.0675.1)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(31*322313032103132120231021312101320113020103210131LfxyyyyyyyyyyyyyyyyfyyyyyyyyyyyyyfyyyyyyyyyyyyyfyyyyyyyyyyyyyfyLyfxxfy于于是是有有项项式式为为进进行行三三次次插插值值，插插值值多多的的反反函函数数对对解解：yi-2.0-0.80.41.2f-1(yi)=x1.01.41.82.00?分析：求解如上问题等价于求解x关于y
23、的反函数问题。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 520015 02-4iiii(xx)l(x),l(x)x,x,x证明其中是关于点的例插值基函数。02222 22250250502502505025022502xxx (x)lx(x)lxx(x)lx (x)lx(x)xlx(x)lx (x)lxxx(x(x)lx)(xiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii证明机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 22222,12-58.maxmaxa x ba x bfC a,bf(b)f(a)f(x)f(a)(xa)(ba)MbaMf(x)C a,ba,b 设试证：其中。记号
24、表示在区间上二阶导数连续的函数空间例222118122)maxmaxmaxmaxMa)(bb)a)(x(xM b)a)(x(x(f(x)Lf(x)a)(xabf(a)f(b)f(a)f(x)a)(xb-af(b)-f(a)f(a)(x)lb,f(b)(a,f(a),(bxabxabxabxa 于是的线性插值为通过两点证明机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 2.3 均差与牛顿插值公式均差与牛顿插值公式一、均差及其性质一、均差及其性质 问题的引入：拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，理问题的引入：拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，理论分析方便，但插值节点增减时全部插值及函数均要随之论分析
25、方便，但插值节点增减时全部插值及函数均要随之变化，实际计算不方便，希望把公式表示为如下形式。变化，实际计算不方便，希望把公式表示为如下形式。),1,0()(,)()()()()(1010102010njfxPaaaxxxxaxxxxaxxaaxPjjnnnnn 满满足足的的插插值值条条件件为为为为待待定定系系数数。其其中中机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列。为为此此引引入入均均差差定定义义。依依次次递递推推可可得得到到推推得得时时，当当推推得得时时，当当时时，当当nnnnaaxxxxffxxffafxxxxaxxaaxPxxxxffafxxaaxPxxfaxPxx,)()()(,)
26、()()(312010102022212022021022010111010110000 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 1、均差定义、均差定义阶阶均均差差，的的为为函函数数二二阶阶均均差差。一一般般地地，称称的的关关于于点点为为函函数数阶阶均均差差，的的一一关关于于点点为为函函数数定定义义（均均差差）：称称kxfxxxxxfxxxfxxxfxxxxfxxxxfxxfxxxfxxxfxxxfxfxxfkkkkkkkkkkkkkk)(,)(,)()()(,11102010110010001000 2、均差的基本性质、均差的基本性质 kjkjjjjjjjkxxxxxxxxxfxxf
27、xfxfk01100)()()()(,)(,),()1(的的线线性性组组合合，即即阶阶均均差差可可表表为为函函数数值值2、均差的基本性质、均差的基本性质 kjkjjjjjjjkxxxxxxxxxfxxfxfxfk01100)()()()(,)(,),()1(的的线线性性组组合合，即即阶阶均均差差可可表表为为函函数数值值2、均差的基本性质、均差的基本性质 kjkjjjjjjjkxxxxxxxxxfxxfxfxfk01100)()()()(,)(,),()1(的的线线性性组组合合，即即阶阶均均差差可可表表为为函函数数值值机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列,)1(012010 xxxfx
28、xxxfxxfkkk 即即对对称称性性。次次序序无无关关，称称为为均均差差的的表表明明均均差差与与节节点点的的排排列列性性质质10100,(2),kkkkf xxf xxf xxxx性质0()0(3)(),(),!nnnf xa bnxxa bnff xxa bn性质若在上存在 阶导数，且节点则 阶均差与导数关系如下：机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 xi(xi)一阶均差二阶均差三阶均差n阶均差x0 x1x2x3 xn(x0)(x1)(x2)(x3)(xn)x0,x1x1,x2x2,x3 xn-1,xnx0,x1,x2x1,x2,x3 xn-2,xn-1,xnx0,x1,x2,x
29、3 xn-3,xn-2,x2,x3 x0,x1,xn均差计算表均差计算表机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 例如例如 由函数y=(x)的函数表写出均差表.解解 均差表如下i0123xi-2-112(xi)531721ixi(xi)一阶均差二阶均差三阶均差0123-2-112531721-2743-1-1机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 二、牛顿插值公式二、牛顿插值公式),(,),(,),(,)()(,01010110100000nnnnxxxxxfxxxfxxxfxxxxxfxxfxxfxxxxfxfxfbax 上上一一点点，可可得得看看成成根根据据均均差差定定义义，
30、把把)()()()(,)()(,)(,)(,)()(,001010102100100 xRxNxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxfbaxnnnnnn 上上一一点点，可可得得看看成成把把式式，就就得得到到只只要要把把后后一一式式代代入入前前一一机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列（牛顿插值余项）（牛顿插值余项）称为牛顿插值多项式称为牛顿插值多项式（其中其中)()(,)()()(,)(,)(,)()(001010102100100nnnnnnxxxxxxxfxRxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxN 值值。计计算算令令近近似似；用用误误差差计计算
31、算的的两两种种方方式式,)()()2(,)1(0100nnnnxxxfxNxfxxfxxxf 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 解 由差商表知x0,x1=-2,x0,x1,x2=3,x0,x1,x2,x3=-1,于是有例2-6 对例如中的(x),求节点为 x0,x1 的一次插值x0,x1,x2 的 二次插值和 x0,x1,x2,x3 的三次插多项式.ixi(xi)一阶均差二阶均差三阶均差0123-2-112531721-2743-1-1机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 例2-7 给出给出 f(x)的函数表，求的函数表，求4次牛顿插值多项式，并计次牛顿插值多项式，并计
32、算算f(0.596)的近似值。的近似值。xi(xi)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差五阶均差0.400.550.650.800.901.050.410750.578150.696750.888111.026521.253821.116001.186001.275731.384101.515330.280000.358930.433480.524930.197330.213000.228630.031340.03126-0.00012机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 63192.0)596.0()596.0()8.0)(65.0)(55.0)(4.0(03134.0)65.0)(5
33、5.0)(4.0(19733.0)55.0)(4.0(28.0)4.0(116.141075.0)(44NfxxxxxxxxxxxN于于是是95501063.3)596.0(,xxfx)(R4截截断断误误差差机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 2.4 埃尔米特插值埃尔米特插值 不少实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，而不少实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等，且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特（满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特（HermiteHermite）插值
34、）插值多项式。多项式。y=L10(x)-3试用数据表建立不超过 次的埃尔米特插值例2 8多项式。x012(x)129(x)030机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 123)1)(0(3)0(11)1)(0(2,1,0)0(1,0)0()(22 xxxxxxxfxffxN件件的的二二次次插插值值多多项项式式为为以以已已知知函函数数值值为为插插值值条条（待待定定系系数数法法）解解法法一一1)2)(1)(0()()(1,34,3)1()1()2)(1)(0()()(323323 xxxxxNxHkkfHxxxkxNxH。进进而而有有求求得得即即令令设设待待求求插插值值函函数数为为机动上页
35、下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 1)1)(1)(0(1)1)(0(2)0(11)1)(1)(0(2,1,1,0)1)(0(1,1,0)0(1,0)0()(33 xxxxxxxxxxfxxfxffxHxi(xi)一阶均差二阶均差三阶均差01121229137241解法二（用重节点的均差表建立埃尔米特多项式）解法二（用重节点的均差表建立埃尔米特多项式）机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 2.5 分段低次插值分段低次插值一、高次插值的病态性质一、高次插值的病态性质 一般总认为Ln(x)的次数n越高逼近f(x)的精度越好，但实际上并非如此。这是因为对任意的插值节点，当n时，Ln(x
36、)不一定收敛于f(x)。20世纪初龙格（Runge）就给了一个等距节点插值多项式Ln(x)不一定收敛于f(x)的例子。y=L10(x),次插值插值多10的0)110关于节点作,2010101上取等距节取11在区间,251对1012(x)L,(i=xf(x).h=,+ih,i=-x,-)x+f(x)=(ii-机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 x1y=L10(x)o-10.5y1.51龙格现象龙格现象机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 为分段线性插值。称上是线性函数。在每个小区间满足：求一折线记，的函数值，上设已知节点(x)I,xx(x)I,n);,(kf(x)ICa,b
37、(x)I(x)Ih,hxx hfffbxxxahkkhkhhhkkkkknn111010)3(10)2(;)1(,max,二、分段线性插值分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近f(x).110111111,n-,kxx,xfxxxxfxxxx(x)I,xx(x)Ikkkkkkkkkkhkkh上可表示为在每个小区间由定义知机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 nixxxyhxxyhxxxSiiiiiiii,2,1,)(1111分段线性插值分段线性插值三、分段抛物插值三、分段抛物插值三、分段抛物插值三、分段抛物插值nixxxyhxxxxyhxxxxyhxxxxxSiiiiiiii
38、iiiiii,2,1,21)(41)(21)()(12121211222121机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 2.6 三次样条插值三次样条插值 样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数。一、三次样条函数 y=L10(x)为三次样条插值函数。则称上给定函数值在节点上的三次样条函数。若是节点是给定节点，则称项式，其中上是三次多，且在每个小区间若函数定义S(x),n,j,y)S(x成立,n),)(jf(xyxx,xxS(x)bxxxa,xxa,bCS(x)jjjjjnnjj101
39、0 ,101012每个小区间上要确定4个待定系数，共有n个小区间，故应确定4n个参数。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 y=L10(x)(ii)(i)xbx,aba,)2()3(10 1(2)000000 121 33100n00 f)(xS,f)(xSf)(xS,f)(xS,n,j,y)S(xn)S(x)-(xS)(xS)-(xS )S(x)-S(x),n-,(jxa,bS(x)nnnnjjjjjjjjj 即两端的二阶导数已知，即已知两端的一阶导数值见的边界条件如下：边界条件），常上各加一个条件（称为的端点在区间个边界条件个）插值条件（满足连续性条件处应点上二阶导数连续，在节在
40、根据个）建立方程（确定待定系数的方法：机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 二、三次样条插值函数的建立 y=L10(x)是未知的。这里三次样条表达式可定出积分常数，得积分两次并利用对为上的线性函数，可表示在表达的二阶导数值下面我们利用,n),(jM,n-,j,hxx)hM(y hxx)hM(yh)x(xMhx)(xMS(x)S(x)S(x(x)ShxxMhxxM(x)S,xx(x)SS(x),n),(jM)(xSS(x)jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj101106666 ,y,y .102111231311j1jjj111 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程
41、数学系列 y=L10(x)可得利用同理求得由此可求得求导得对的方程组。下面我们建立求解)(xS)(xShyyMhMh)(xS hyyMhMh)(xS hMMhh)x(xMhx)(xM(x)SS(x),n),(jMjjjjjjj-j-j-jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj003606306yy22 101111111j12121机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 y=L10(x)得方程组，如果令出两个方程再由第一种边界条件导此可求得其中)x,x f-f(h6d,1),fx,x f(h6d1)x,x f-f(h62 )fx,x f(h62 63012166 1212 n1-nn
42、1-nnn010000n1-nn1-nn1-n01001011111111111 MM MMhyyMhMh)(xS ,n-,j,xfxhh,xfx,xfxdhhh,hhh,n-,jdMMMjjjjjjjjjjjjjj-jjjjjjjjjjjjjjjj机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 y=L10(x)0123 277 3012 3 27741284329413030S(x),27if(x).x(i,)f(x)f(.).f(x)f().f(x)f().f(x)f().S(.例如 设为定义在，上的函数，在节点上的值如下试求三次样条函数使它满足边界条件7303040 ).S().，。41
43、767000026 0000246 66646621131011211331300 :323233212210101000210321210 .),x-fxf(h d.,x,xfxd .,x,xfxd.)f,x(fxhd,hh,.h先计算解机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 y=L10(x)9.115M 0.830M 0.396M 23.531M 17.40002.70004.0000246.6666-MMMM2121221131021331232103210解得在建立方程组 ,x),(x.)(x.x)(.-x)(.,x),(x.)(x.x)(.-x)(.,.x),.(x.).(x
44、.)(x.)(x.S(x)S(x)3029 29519174 295191713096167330138330 2928 28961673 281383302923400429066000 287277273135314727220000288432214280727813 333333表达式最后得机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 知识结构图二插值法工具分段多项式插值存在唯一性多项式插值Hermite插值插值公式误差估计差商、差分Lagrange插值基及函数定义性质定义性质导数型差商型Lagrange插值多项式Newton插值多项式 等距节点插值公式 存在唯一性误差估计 插值公式 分段线性插值（公式、误差估计、收敛性）分段三次Hermite插值（公式、误差估 计、收敛性）三次样条插值（公式、存在唯一 性、误差估计、收敛性）机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列
