1、12目的与要求：目的与要求：掌握掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛 朗级数的概念、性质及基本计算方法、朗级数的概念、性质及基本计算方法、孤孤 立奇点的概念及判定、零点与极点的关系立奇点的概念及判定、零点与极点的关系。重点：重点：难点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数函数展开成洛朗级数3 无穷级数无穷级数：一无穷多个数构成的数列一无穷多个数构成的数列w1，w2，w3，wn，写成写成w1+w2+w3+wn+就称为无穷级数。这仅是一种形就称为无穷级数。这仅是一种形式上的相加。这种加法是不是具有式上的相加。这种加法是
2、不是具有和数和数呢？这个呢？这个和数和数的确切意义是什么？的确切意义是什么？为什么要研究级数为什么要研究级数？(1)(1)级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；(2)(2)常微分方程的级数解。常微分方程的级数解。研究级数需关心的研究级数需关心的问题：问题：(1)(1)级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据；级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据；(2)(2)收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。4 设设wn(n=1,2,)为一复数列为一复数列,表达式表达式 的称为的称为复数项级数复数项级数，其中其中 是复数是复数。
3、ikkkwuv000innnnkkkkkkswuv010,kkkwwww级数前面级数前面n项的和项的和 若部分和数列若部分和数列 sn(n=1,2,)=1,2,)有复数极限有复数极限slim()nnss 即若即若(3.1)本节内容与实数项级数类似，只作扼要介绍。本节内容与实数项级数类似，只作扼要介绍。5说明说明:与实数项级数相同与实数项级数相同,判别复数项级数敛散判别复数项级数敛散性的基本方法是性的基本方法是:lim.利利用用极极限限nnss1nnsw 则称复数项级数则称复数项级数(3.1)(3.1)收敛于收敛于s,s,且称且称s s为为(3.1)(3.1)的和的和,写写成成 若复数列若复数列
4、sn(n=1,2,)没没有极限有极限,则称级数则称级数(3.1)(3.1)为发散为发散.61-21nnzzzs ,1时时由于当由于当 z,)1(11 zzznzzsnnnn 11limlim,11z .1时级数收敛时级数收敛所以当所以当 z的敛散性的敛散性.0 nnz分析级数分析级数例例1 173.3.复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件证证因为因为12nnswww1212()i()nnuuuvvv,nni (1)定理定理 )(11收敛的收敛的充要条件充要条件级数级数 nnnnnivuw .11都收敛都收敛和和 nnnnvu8 :极限存在的充要条件极限存在的充要条件根据根据ns ,的极限存
5、在的极限存在和和nn 说明说明 复数项级数的审敛问题复数项级数的审敛问题 实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理定理).11 nnnnvu都收敛都收敛和和级数级数于是于是92200kkkkkwuv若若收敛，则称收敛，则称0kkw绝对收敛绝对收敛 (2)对于任一小的正数对于任一小的正数 ，必存在一必存在一 N 使得使得 nN 时有时有1121 nppnnnpkk nswwww 式中式中 p 为任意正整数为任意正整数.0kkv0kku0kkw10 11i(1)nnn1 1 级级数数是是否否收收敛敛？解解111 ;nnnun 因因为为发发散散2111.nnnvn 收收敛敛所以原级数发散所以原
6、级数发散.例例111(2)(1)ninn 2 2级级数数 是是否否收收敛敛？2111 ;nnnun 因因为为收收敛敛3111.nnnvn 收收敛敛所以原级数收敛所以原级数收敛.11120()()()(),kkkw zw zw zw z 设复变函数列设复变函数列wk(z)定义在区域定义在区域B上，则由上，则由wk(z)构构成的级数称成的级数称 当选定当选定z的一个确定值时，函数项级数变成一个的一个确定值时，函数项级数变成一个复数项级数。复数项级数。由于函数项级数定义在区域由于函数项级数定义在区域 B(或曲线或曲线l)上上，所所以以它的收敛的概念是相对于定义域它的收敛的概念是相对于定义域B(或曲线
7、或曲线l)而言的。而言的。12 1.1.复变函数项级数一致收敛的充分必要条件复变函数项级数一致收敛的充分必要条件定义定义：任给：任给 0，存在一个与，存在一个与z无关的自然数无关的自然数N()，当，当n N()时，对时，对B(或或l)上所有上所有z，均有：均有：1()n pkk nw z(p为任意自然数为任意自然数)，则称在，则称在B(或或l)一致收敛。一致收敛。：若若wk(z)在在B内连续，函数级数内连续，函数级数 在在B内一致收内一致收敛，则和函数敛，则和函数。0()kkwz0000lim()lim()kkzzzzkkwzwz 这个性质说明：如果级数的每一项都是连续函数，则一致收这个性质说
8、明：如果级数的每一项都是连续函数，则一致收敛敛级数可以逐项求极限。级数可以逐项求极限。13 性质性质2 2：若级数若级数 在区域在区域B B内的分段光滑曲线内的分段光滑曲线l上一致收上一致收敛，且敛，且wk(z)为为l上的连续函数，则上的连续函数，则：0()kkwz00()()ddkkllkkwzzwzz1420010200()()()kkka zzaa zza zz这是一种这是一种特殊形式的常用函数项级数特殊形式的常用函数项级数。幂级数幂级数：通项为幂函数的级数：通项为幂函数的级数:15 1.1.阿贝尔定理阿贝尔定理 如果级数如果级数 在在z0点点收敛，那么在以收敛，那么在以a点为圆心点为圆
9、心，为半径的圆内为半径的圆内绝对收敛，而绝对收敛，而 上一致收敛上一致收敛。0kkkaza0zazaaz 0 如果级数如果级数 在在z1点点发散，则在发散，则在 内处处内处处发散发散。0kkkaza1zaza 由于发散的幂级数没有多大用处，故重点研究幂级数的敛由于发散的幂级数没有多大用处，故重点研究幂级数的敛散性。散性。2.2.求收敛圆半径求收敛圆半径R的公式的公式 绝对收敛是指绝对收敛是指 收敛，后者为正项收敛，后者为正项级数，因此可用正项级数的比值判别法和根式判别法确级数，因此可用正项级数的比值判别法和根式判别法确00()kkkazz00()kkkazz16(1)(1)比值判别法比值判别法
10、110100()liml(1im1)kkkkkkkkazzazzrrazzar引入收敛半径引入收敛半径 1001lim1limkkkkkkaazzzzaa即有:1001lim1:limkkkkkkaazzzzaa即有1limkkkaRa定收敛半径定收敛半径 R。绝对收敛绝对收敛 发散发散 绝对收敛绝对收敛 发散发散 0zzR则若则若:级数级数001n pkkkkk nazznN zwz ()(),在在圆圆内内满满足足时时 ,的的,所以所以0zzR 绝对收敛绝对收敛 .17所以所以.R注意注意:10zzR ,由由于于11101010kkkkkazzzzRazzlim.1 1(),npkk nwz
11、 满满.柯柯西西不不足足判判据据000kkkazzzzR ,故故在在圆圆外外发发散散（2 2）当）当0zzR ,时时CRz0R18(2)(2)根式判别法根式判别法发散发散001lim()lim1 kkkkkkkrazzzzarr绝对收敛发散01limkkkzza所以所以01limkkkzza1limkkkRa绝对收敛绝对收敛0zzR对应级数绝对收敛对应级数绝对收敛 则若则若:19:20R.(极限不存在极限不存在),),1 R .,00 ,kkkazz则则级级数数内内处处处处敛敛在在复复平平面面收收000 ,kkkazzzz则则级级数数对对内内发发于于复复平平面面除除均均散散以外的一切 4.4.
12、复变幂级数在收敛圆内的性质复变幂级数在收敛圆内的性质设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为,R 00)(kkkzza是收敛圆是收敛圆内的解析函数内的解析函数。(1)0)()(kkkz0zazw它的和函数它的和函数Rz0z 20(2)在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分,)(zw即即 0.,d)(d)(kckkcRz0zczz0zazzw 且且可表为连续函数的回路积分。可表为连续函数的回路积分。1201020()()()1()2diRCw zaa zza zzwz 21 证明证明:记记 CR1上点为上点为，CR1内任一点为内任一点为 z，则圆上的幂级则圆上的幂级数可写为数可写为利用柯西
13、公式利用柯西公式用有界函数用有界函数112 iz 相乘后，在相乘后，在CR1上一致收敛上一致收敛1110102202010201()2()1122()12()()()R1CdiddiidiRRRCCCwzaazzzazzaa zza zzw z 0zz1RC201020()()()waazaz 2211111201020111()()2()()01020!()2()()()!222()()()()()()didddiiiRRRRnCnnnCCCnnnnnwzaazaznnnzzzaa z za z zwz 且幂级数在收敛圆内可任意且幂级数在收敛圆内可任意逐项求导逐项求导0zzC1RC证明证明:
14、幂级数幂级数 乘以乘以1!12()innz 201020()()()waazaz (3)在收敛圆在收敛圆内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到,)(zw.)()(11 kkkz0zkazw即即Rz0z 23cosikak因因为为111 R=limlimkkkkkkkkaeeaee 所所以以故收敛半径故收敛半径.1eR 0kkk z(cosi)例例1求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径解解12cosh(),kkkee1,e24解解1244 i(cosisin)因因为为(1 i)nna 1limnnnaRa例例201(i)nnnz求求 的收敛半径的收敛半径.42i,e
15、42i();nne 1(2)lim(2)nnn1.225例例3 计算计算11()d,.2nlnzzlz 其其中中 为为解解:和函数和函数11(),()nnw zzz111()dlIzzz 所所以以20i 01nnzz,111zz 111ddclzzzz2 i.26.,)(,)()1(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn 设设,)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf ),()()()(00 nnnnnnzbzazgzf 00110,)(nnnnnzbababaRz 5.幂级数的运算与性质在收敛半径在收敛半径R=min(r1,r2)内内:如果当如果当rz 时时,)(0
16、 nnnzazf又设在又设在Rz 内内)(zg解析且满足解析且满足,)(rzg 那末当那末当Rz 时时,0.)()(nnnzgazgf(2)(2)幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算2700:kkkk 数数项项级级数数发发问问如如果果复复和和均散,0()?kkk 级级数数发发吗吗也也散散思考题答案思考题答案不一定。不一定。幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?由于在收敛圆周上由于在收敛圆周上z确定确定,可以依复数项级可以依复数项级数敛散性讨论。数敛散性讨论。思考题答案思考题答案28 3.2 3.(1)（4）(5）4.(1)(3)29上节证明了：幂级数在其
17、收敛圆内解析上节证明了：幂级数在其收敛圆内解析本节证明其本节证明其逆定理逆定理：解析函数可以展开成幂级数，且这种：解析函数可以展开成幂级数，且这种 展开式是唯一的。展开式是唯一的。解析函数与幂级数的密切关系解析函数与幂级数的密切关系其中展开系数其中展开系数 ak 称为泰勒级数称为泰勒级数 如图：设如图：设 f(z)在区域内解析，在区域内解析，z0为内任一点，为为内任一点，为z0到到区边界的最短距离，则当区边界的最短距离，则当|zz0|R 时，时，f(z)可展开为泰勒可展开为泰勒级数级数00()()kkkf zazz 0110()1()2()!dikkkCRfzfazk CR1为半径为的圆。为半
18、径为的圆。BCR1 0zz30证明证明：1.设设f(z)在内解析在内解析,在图示的在图示的CR1圆上应用柯西公式圆上应用柯西公式112()()iRCff zdz 其中其中z为圆为圆CR1内某一点内某一点,|zz0|=r，CR1为包含为包含z的圆的圆，|z0|=R,(0 r R)，为为CR1上的点上的点。如图如图:B1RCz.内任意点内任意点R0z.CR1.r312.将被积函数变成级数将被积函数变成级数01(1)1kkttt利用利用 将将 展开成以展开成以z0为中心的级数为中心的级数 被积函数写成：被积函数写成：0010000000000()11111()()()()1kkkkkzzzzzzzz
19、zzzzzzz0100()()()()kkkzzffzz3.将上式沿将上式沿CR1积分积分1z级数级数 在在CR1上一致收敛上一致收敛 和和 f()在在CR1上有界上有界0100()()kkkzzz32级数级数 在在 B内内一致收敛一致收敛 逐项积分逐项积分0100()()()kkkzzfz11100110000000100()11()()()d()d2 i()2 i()()()1()d2 i()RRRkkkkCCkkkCkkkkkzzff zfzzzzzfzazzz于是于是1010112()()d()i()!RkkkCfafzzk 其中其中4.展开式是唯一的展开式是唯一的33 若若 f(z)
20、能展开成另一种形式能展开成另一种形式：201020()()()f zCC zzC zz(1)那么当 z=z0：00000()()f zCCf za(2)对z求导：101()Cfza2012030()2()3()fzCC zzC zz230()23 2()fzCC zz2021()2Cfza()01()!kkkCfzak展开式唯一展开式唯一34 来求来求 ak。由展开式的唯一性，可以用任何方便的办法来求解一个由展开式的唯一性，可以用任何方便的办法来求解一个解析函数的泰勒展开式，不必一定要用积分表达式解析函数的泰勒展开式，不必一定要用积分表达式11012()di()RkkCfaz 说明：说明：(1
21、)解析函数与泰勒级数之间存在密切关系解析函数与泰勒级数之间存在密切关系：a.幂级数在其收敛圆内解析；幂级数在其收敛圆内解析；b.解析函数可以展开成幂级数，且这种展开式是唯一的解析函数可以展开成幂级数，且这种展开式是唯一的。(2)如果如果f(z)在在B内有一阶导数存在，则内有一阶导数存在，则f(z)可在可在B内每一点的内每一点的邻域内展开成泰勒级数。而对于实变函数来说，邻域内展开成泰勒级数。而对于实变函数来说，f(x)的一的一阶导数存在，它的二阶或高阶导数可能不存在，因此阶导数存在，它的二阶或高阶导数可能不存在，因此 f(x)就不可能展开成泰勒级数。就不可能展开成泰勒级数。35;,00级数称为级
22、数称为时时当当 z)(zf因为解析，可以保证无限阶导数因为解析，可以保证无限阶导数的连续性的连续性;注意：注意：所以复变函数展为泰勒级数的实用范围所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多。就要比实变函数广阔的多。说明说明:0()kkkf za z36常用方法常用方法:直接法和间接法直接法和间接法.1.1.直接法直接法:()01(),0,1,2,!kkafzkk由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数.)(0展开成幂级数展开成幂级数在在将函数将函数zzf例例1，.0 的泰勒展开式的泰勒展开式在在求求 zez010 1 2()(),(,)zkzek故有故有2012!kkzkzz
23、zezkk()(),zkzee37,在复平面内处处解析在复平面内处处解析因为因为ze。R所以级数的收敛半径所以级数的收敛半径2.2.间接展开法间接展开法:借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式 ,结合解结合解析函数的性质析函数的性质,幂级数运算性质幂级数运算性质 (逐项求导逐项求导,积分等积分等)和其它数学技巧和其它数学技巧 (代换等代换等),),求函数求函数的泰勒展开式。的泰勒展开式。间接法的优点间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径 ,因而比因而比直接展开更为简洁直接展开更为简洁 ,使用范围也更为广泛。使用范围也更为广泛。38例例2 2)(21si
24、nizizeeiz 210121()()!kkkzk0012()()!kkkkizizikk.0 sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在利用间接展开法求利用间接展开法求 zz23231122311223()()()!()()()!kkizizizizikizizizizik31122123()()()()!kkkizizizizikk 2131321()!kkzzzk39附附:常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式20112),!kkzkzzzezkk 201211),kkkzzzzz 20131111)()(),kkkkkzzzzz 3521413521)sin(),!()!kkzzzzzk
25、)1(z)1(z)(z)(z40242511242)cos(),!()!kkzzzzk )(z231611231)ln()(),kkzzzzzk 1011()kkkzk)1(z 32!3)2)(1(!2)1(1)1()7zzzz 11()(),!kkzk )1(z41例例3 3.)1(1 2的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zz 解解21111()kkzzzz 1 z zz11)1(1221112311(),.kkzzkzz 上式两边逐项求导上式两边逐项求导,11)1(12 zzz上有一奇点上有一奇点在在由于由于,1区域内解析区域内解析即在即在 z故可在其解析区域内展开成故可在其解析区域
26、内展开成的幂级数的幂级数z42例例4 4*.0 )1ln(泰泰勒勒展展开开式式处处的的在在求求对对数数函函数数的的主主值值 zz分析分析如图如图,1OR=1xy.1 的幂级数的幂级数内可以展开成内可以展开成所以它在所以它在zz ,1,1 )1ln(是它的一个奇点是它的一个奇点平面内是解析的平面内是解析的向左沿负实轴剪开的向左沿负实轴剪开的在从在从 z43000111d()dzzkkkzzzz即即23111231ln()()kkzzzzzk 1 z 将展开式两端沿将展开式两端沿 l 逐项积分逐项积分,得得解解zz 11)1ln(20111()()kkkkkzzzz )1(z,0 1 的曲线的曲线
27、到到内从内从为收敛圆为收敛圆设设zzl 44解析延拓解析延拓：将解析函数定义域加以扩大将解析函数定义域加以扩大 例例;幂级数：幂级数：在以在以z=0为圆为圆心的单位圆心的单位圆B内代表一个解析函数，令为内代表一个解析函数，令为级数的收敛域级数的收敛域B即解析函数定义域半径即解析函数定义域半径R=1。231,zzz2311()1,11f zzzzzz 在单位圆在单位圆B内，取一点内，取一点为圆心进行将为圆心进行将f1(z)泰勒展开泰勒展开这级数的收敛域这级数的收敛域b的半径为的半径为 1210022212()i/(i/)()i/,!i/kkkkkkzffzzk 11i/25lim1i/2,21i
28、/2kkkR 45 上例说明，收敛域上例说明，收敛域b 跨出原来的收敛域跨出原来的收敛域B 之外，之外，而级数而级数(1)在收敛域在收敛域B内内.b 代表解析函数代表解析函数 f2(z)，于，于是称是称 f2(z )为为 f1(z)在在 b内的解析延拓。内的解析延拓。定义定义：若若f1(z)和和f2(z)分别在分别在B,b内解析，且在内解析，且在B与与b重叠的区重叠的区域中有域中有f1(z)=f2(z)，则称则称f2(z)为为f1(z)在在b中的解析延拓中的解析延拓，f1(z)为为f2(z)在在B中的解析延拓中的解析延拓。可以证明，无论采用何种方法，函数可以证明，无论采用何种方法，函数 f(z
29、)的解的解析延拓是析延拓是唯一唯一的。这样，可以采用某些最方便的方法的。这样，可以采用某些最方便的方法来进行解析延拓。来进行解析延拓。/2zi0z46 首先在首先在B1 内任取一点内任取一点 z0，将，将 f 1(z)在在 z0 的邻域展开成泰的邻域展开成泰勒级数勒级数 设级数的收敛区域为设级数的收敛区域为B2 2。如果。如果B2 2超出了超出了B1 1的范围。由于在的范围。由于在B1和和B2的重叠区域的重叠区域 f1(z)=f2(z)，所以，所以 f2(z)就是就是 f1(z)在在 B2中的解析延拓。中的解析延拓。这样不断作下去，得到一系列的解析这样不断作下去，得到一系列的解析 Bn,fn(
30、z)(n=2,3.)(n=2,3.)。一个解析元素一个解析元素 Bn,fn(z)的全部解析延拓的集合，称为的全部解析延拓的集合，称为 f1(z)所产生的完全解析函数所产生的完全解析函数 F(z)，F(z)的定义域是邻解析元的定义域是邻解析元素给出的定义域的总和。素给出的定义域的总和。1122()()()()nnf zzBfzzBF zfzzB()1020000()()()()!kkkkkkfzfzzzazzk(二二)泰勒级数展开泰勒级数展开解析延拓的方法解析延拓的方法47 3.3(1)（3）(6）(8)4849例例1.1.10)1(1)(zzzzzf及及在在都不解析都不解析,但在圆环域但在圆环
31、域01z及及011z内都是解析的内都是解析的.)1(1)(zzzf ,111zz 而而1,1112 zzzzzk:10 内内在圆环域在圆环域 z所以所以)1(1)(zzzf ,121 kzzzz即即在在)(zf10 z内可以展开成幂级数内可以展开成幂级数.5011()(1)111(1)fzzzzz kzzzz)1()1()1(1112.)1()1()1(1)1(121 kzzzz10100100()()()()()kkkkf zazzazzaa zzazz，若，若f(z)在在R 2z-z0R1 内解析内解析,f(z)可以展开成含有负幂次项的级数可以展开成含有负幂次项的级数,即即内，内，在圆环域
32、在圆环域110 z51 本节将讨论在以本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析的函为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义留数留数数和计算留数数和计算留数的基础。的基础。52定理定理C为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线.0z,)()(0kkkzzazf ),1,0(n，在在环形域环形域设设 )(102RzzRzf 内可展开成洛朗级数内可展开成洛朗级数在在Bzf)(为洛朗系数为洛朗系数.1012()di()kkCfaz 其其中中2R1R.
33、0z53证证对于第一个积分对于第一个积分(CR1):121122()ddiiCCRRfff zzz )()(1100zzzz 因因为为00001kkzzzz 000001111zzzzz zz 0100(),()kkkzzz 1RC2RCBzz00z1R.z2RC1RC2R.54对于第二个积分对于第二个积分:21()2 iRCf d-z 所以所以 因为因为0011()()zzz z 001zzz 000111z zz zz 00()kkkazz112()diCRfz 0110012()d()i()kkCRkfzzz 0z1R.z2RC1RC2R.55则则212()diCRfz 01200112
34、()()d()illCRlzfzz 0010000011()()()()()llllllzzzzzzzz 10210112()()d()ikkCRkzfzz 0121012()()di()kkCRkfzzz 12012()di()kkCRfaz 5601(),kkkazz121()1()()22ddiiRRCCfff zzz 则则 1010122()d(,)i()kkCfakz 对于对于C为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条正向简单的任何一条正向简单0zkkkkkkzzazza )()(0100.)(0kkkzza 闭曲线闭曲线.可用一个式子表示为可用一个式子表示为:kkaa 与与57说明
35、说明:函数函数)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数.1)2)某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的幂项的级数是唯一的.定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法的一般方法.kkkzzazf)()(0 58常用方法常用方法 :1.:1.直接法直接法 2.2.间接法间接法 1.直接展开法直接展开法ka),2,1,0(d)()(2110 kzfiaCkk .)()(0kkkzzazf ,可可用代数运算、代换、求导
36、和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .2.间接展开法间接展开法59例例2 2,0 内内在在 z.)(2展展开开成成洛洛朗朗级级数数将将zezfz 解解由定理知由定理知:,)(kkkzazf 而而 d)()(2110 Ckkzfia d213 Ckei00z 令令f1=e,则则f1=e在在闭合回路闭合回路C内和内和C上均解析，上均解析，故由解析函数的导数公式故由解析函数的导数公式 d2(k+1)!3 Ck1eif(k+1)!1(k+1)kfka1(0)即有即有 如何计算如何计算ak?00zz.0z60间接法解：间接法解：直接展开直接展开ez !4!3!21143222zz
37、zzzzez !4!3!211122zzzz d213 Ckkeia022)(dd)!2(1 zzkkezk)!2(1 k !4!3!211122zzzz z0 2)!2()(kkkzzf故故61例例3 3 ;10)1 z;21)2 z.2)3 z内是处处解析的内是处处解析的,试把试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.解解,)2(1)1(1)(zzzf :)2)(1(1)(在圆环域在圆环域函数函数 zzzf ,10 )1内内在在 z62oxy12112121zz )1(2 zz 421212zz 2874321zz nnzzz22212122)(zf所以所以 nz
38、zzz2111则则,1 z由于由于12 z从而从而是泰是泰勒级数勒级数6312oxyzzz111111 21111zzz1 z由由11 z2 z12 z且仍有且仍有 2112121zz nnzzz22212122 ,21 )2内内在在 z64 842111121zzzzznn2oxy2 z由由12 z此时此时zzz211121 ,2 )3内内在在 z 21111zzz 2222121zz)(zf于是于是65 24211zzz仍有仍有zzz111111 21111zzz,121 zz此时此时 24211zzz 21111zzz.731432 zzz)(zf故故注意注意:0 z奇点但却不是函数奇点
39、但却不是函数)2)(1(1)(zzzf的奇点的奇点.本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心是各负幂项的是各负幂项的66说明说明:1.函数函数)(zf在以在以0z为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有数中尽管含有0zz 的负幂项的负幂项,而且而且0z又是这些又是这些项的奇点项的奇点,但是但是0z可能是函数可能是函数)(zf的奇点的奇点,也可能也可能)(zf的奇点的奇点.不是不是2.给定了函数给定了函数)(zf与复平面内的一点与复平面内的一点0z以后以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式式 (包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展
40、开式作为它的特例).).67解：解：间接法间接法 即通过即通过展开展开sinz为级数求解：为级数求解：z0zzzfsin)(.)!12()1(02 nnnnz例例4 )!12()1(!51!3111253nzzzzznn.0 sin 0洛朗级数洛朗级数的去心邻域内展开成的去心邻域内展开成在在将函数将函数 zzz68定义定义：若函数若函数f(z)在点在点z0处不解析处不解析（或没有定义）（或没有定义），但，但在点在点z0的某个的某个 内解析内解析，则称点则称点z0为为f(z)的的孤立奇点孤立奇点。00(0)zzRR 例例1z=0是函数是函数1/ze的孤立奇点的孤立奇点.1 z是函数是函数11 z
41、的孤立奇点的孤立奇点.注意注意:孤立奇点一定是奇点孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤但奇点不一定是孤立奇点立奇点.69例例2 2 指出函数指出函数0 z在点在点zzzf1sin)(2 的奇点特性的奇点特性.解解 kzz1,0),2,1(k即在即在0 z的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在的奇点存在,函数的奇点是函数的奇点是1/z=0和和sin(1/z)=0对应的点，即对应的点，即)(zf总有总有0 z不是孤立奇点不是孤立奇点.所以所以，因为因为01lim kk70kkkf zazz0()()定义定义 设设z0是解析函数是解析函数f(z)的孤立奇点的孤立奇点，f(z)在
42、在点点z0的某去心邻域的某去心邻域 内的罗朗展式为内的罗朗展式为00zzR (1)(1)若展式中若展式中，则称，则称z0为为f(z)的的可去奇点可去奇点；(2)(2)若展式中若展式中，则称则称z0是是f(z)的的极点极点，称称m为极点为极点z0的阶，按照的阶，按照m=1或或m1，称称z0是是f(z)的单极点或的单极点或m阶的极点；阶的极点；(3)(3)若展式中若展式中，则称，则称z0为为f(z)的的本性奇点本性奇点。71其和函数其和函数)(zF为在为在0z解析的函数解析的函数.说明说明:(1)0(0 zz)(lim)(00zfzfzz(2)无论无论在在是否有定义是否有定义,)(zf0z补充定义
43、补充定义则函数则函数在在0z解析解析.)(zf1可去奇点可去奇点如果洛朗级数中不如果洛朗级数中不含含 的负幂项的负幂项,0zz 0z)(zf那末孤立奇点那末孤立奇点 称为称为 的的可去奇点可去奇点.1)定义定义,)(0的孤立奇点的孤立奇点若是若是zfz.)()()(0010 kkzzazzaazf,)(00azf 000,)()(zzazzzFzf72 2)可去奇点的判定可去奇点的判定(1)定义判断定义判断:的洛朗级数无负的洛朗级数无负0z)(zf在在如果如果幂项则幂项则0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点.(2)极限判断极限判断:)(lim0zfzz若极限存在且为有限值若极限存在且为有限值,
44、则则0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点.如果补充定义如果补充定义:0 z时时,1sin zz那末那末zzsin在在0 z解析解析.例例3 42!51!311sinzzzz中不含负幂项中不含负幂项,0 z是是zzsin的可去奇点的可去奇点 .73例例4 说明说明0 z为为zez1 的可去奇点的可去奇点.解解 由定义判断由定义判断 zez1,!1!2111 nznz z0所以所以0 z为为的可去奇点的可去奇点.zez1 无负幂项无负幂项极限判断极限判断zzzzeze00lim1lim 因为因为0 z所以所以的可去奇点的可去奇点.为为zez1)1!1!211(12 nznzzz,1 742.极点极
45、点 ,)()(1)(0zgzzzfm 10)(zz,)(0mzz 其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即级极点级极点.0z)(zfm那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的或写成或写成1)定义定义 0zz 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的负幂项负幂项,1012020)()()()(zzazzazzazfmm )(010zzaa)0,1(mam75说明说明:1.2.0)(0 zg特点特点:(1)(2)的极点的极点 ,则则0z)(zf为函数为函数如果如果.)(lim0 zfzz例例5 有理分式函数有理分式函数,)2(23)(2 zzzzf是二级极点是二级极点,0 z2
46、 z是一级极点是一级极点.20201)()()(zzazzaazgmmm内是解析函数内是解析函数在在 0zz762)极点的判定方法极点的判定方法)(zf的负幂项为有的负幂项为有0zz 的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有限项限项.在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内0zmzzzgzf)()()(0 其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析,且且 )(zg0z.0)(0 zg(1)定义判别定义判别(2)定义的等价形式判别定义的等价形式判别(3)(3)极限判断极限判断 )(lim0zfzz.77本性奇点3.如果洛朗级数中如果洛朗级数中含有无穷多个含有无穷多个0zz 那末孤立奇点那末孤立奇点0z称
47、为称为)(zf的的本性奇点本性奇点.的负幂项的负幂项,例如，例如，,!1!211211 nzznzze)0(z含有无穷多个含有无穷多个z的负幂项的负幂项 特点特点:在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内)(lim0zfzz不存在且不不存在且不为为.同时同时zze10lim不存在不存在.为本性奇点，为本性奇点，所以所以0 z781.定义定义 如果函数如果函数)(zf在无穷远点在无穷远点 z的去心的去心邻域邻域 zR内解析内解析,则称点则称点 为为)(zf的的孤孤立奇点立奇点.Rxyo79作变换作变换:1zt 并且规定此变换将并且规定此变换将:tfzf1)(则则映射为映射为 z,0 t扩充扩充 z
48、平面平面扩充扩充 t 平面平面映射为映射为)(nnzz)0(1 nnntzt映射为映射为 zRRt10 映射为映射为),(t 802 结论结论:在去心邻域在去心邻域 zR内对函数内对函数)(zf的研究的研究在去心邻域在去心邻域Rt10 内对函数内对函数)(t 的研究的研究Rt10 因为因为 )(t 在去心邻域在去心邻域内是解析的内是解析的,所以所以0 t是是)(t 的孤立奇点的孤立奇点.3 规定规定:m级奇点或本性奇点级奇点或本性奇点.)(t 的可去奇点的可去奇点、m级奇点或级奇点或本性奇点本性奇点,如果如果 t=0 是是 z是是)(zf的可去奇点、的可去奇点、那末就称点那末就称点811)1)
49、不含正幂项不含正幂项;2)2)含有有限多的正幂项且含有有限多的正幂项且mz为最高正幂为最高正幂;3)3)含有无穷多的正幂项含有无穷多的正幂项;那末那末 z是是)(zf的的 1)1)可去奇点可去奇点 ;2)m 级极点级极点;3)3)本性奇点本性奇点 .判别法判别法1(1(利用洛朗级数的特点利用洛朗级数的特点)4.判别方法判别方法:)(zf zR在在内的洛朗级数中内的洛朗级数中:如果如果82例例6 6 (1)函数函数1)(zzzf在圆环域在圆环域 z1内的洛朗展开式为内的洛朗展开式为:nnzzzzzf1)1(111111)(2不含正幂项不含正幂项所以所以 z是是)(zf的可去奇点的可去奇点 .(2
50、)(2)函数函数zzzf1)(含有正幂项且含有正幂项且 z 为最高正为最高正幂项幂项,所以所以 z是是)(zf的的一一级极点级极点.83(3)函数函数zsin的展开式的展开式:)!12(!5!3sin1253nzzzzzn含有无穷多的正幂项含有无穷多的正幂项所以所以 z是是)(zf的本性奇点的本性奇点.84判别法判别法2:(利用极限特点利用极限特点)如果极限如果极限lim()kf z1)1)存在且为有限值存在且为有限值 ;2)2)无穷大无穷大;3)3)不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大 ;那末那末 z是是)(zf的的1)1)可去奇点可去奇点 ;2)2)m级极点级极点;3)3)本性奇点本性奇点
