1、专业基础主要课程：测量学（5）、测量平差基础（5）、控制测量学（5）、摄影测量学（4）、测绘数据计算机处理（3）专业课：GPS（4）、GIS（3）、工程测量（4）、数字制图（3）、近代平差（2）等v 大地测量与测量工程v 摄影测量与遥感v 地图制图与地理信息系统工程 数学政治英语测量平差l前修课程：高数、几何与代数、概率与数理统计l课程分两个学期进行：第二学年上学期：3学分 第三学年下学期：2学分l后续课程：测绘数据的计算机处理、控制测量、近代平差l讲授为主，例题、习题相结合。l内容：本学期主要讲前五章的内容。l参考书目：测量平差原理，於宗俦等，测绘出版社 误差理论与测量数据处理，测量平差教研
2、室，测绘出版社。第一节 观测误差第二节 补充知识停止返回第一节：概述 1、测量平差的研究对象误差 任何量测不可避免地含有误差 v闭合、附合水准路线v闭合、附合导线v距离测量v角度测量.停止返回l由于误差的存在，使测量数据之间产生矛盾，测量平差的任务就是消除这种矛盾，或者说是将误差分配掉，因此称为平差。180)(180)(实际理论停止返回l测量仪器：i角误差、2c误差l观测者：人的分辨力限制l外界条件：温度、气压、大气折光等三者综合起来为观测条件停止返回l系统误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。停止返回系统误差
3、的存在必然影响观测结果。削弱方法：采用一定的观测程序、改正、附加参数l偶然误差/随机误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号上都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律，但从大量误差上看有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。不可避免，测量平差研究的内容l粗差：错误停止返回停止返回测量平差的任务：对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，求未知量的最可靠值。评定测量成果的质量停止返回测量平差产生的历史最小二乘法产生的背景18世纪末，如何从多于未知参数的观测值集合求出未知数的最佳估值？最小二乘的产生1794年，从概率统计角度，提出了最小二乘18
4、06年，A.M.Legendre，从代数角度，提出了最小二乘。决定彗星轨道的新方法1809年，天体运动的理论停止返回测量平差产生的历史最小二乘法原理的两次证明形成测量平差的最基本模型1912年，对最小二乘原理进行证明，形成数学模型：12020)(,0lim)(PQAXLEnEAXLn最小二乘解：PLAPAAXTT1)(测量平差理论的扩展一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵（1）由nm个数有次序地排列成m行n列的表叫矩阵通常用一个大写字母表示，如：mnmmnnnmaaaaaaaaaA212222111211停止返回(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素a11、a22ann 称为对角元素。(
5、3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O表示。(4)对于 的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对角矩阵。如：nn)(00000022112211nnmnnmaaadiagaaaA(5)对于 对角阵，若a11=a22=ann=1，称为单位阵，一般用E、I表示。停止返回（6）若aij=aji，则称A为对称矩阵。停止返回提示：越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。此平差问题，由于选择了u个独立参数，方程总数由r个增加到c=r+u个，故平差的自由度为r=c-u。提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。若DXY=0，则X、Y表示为相互独立的观测量。例2:若要
6、在两已知点间布设一条附和水准路线,已知每公里观测中误差等于5.例2:若要在两已知点间布设一条附和水准路线,已知每公里观测中误差等于5.测量仪器：i角误差、2c误差若DXY=0，则X、Y表示为相互独立的观测量。例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P3、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表地图制图与地理信息系统工程削弱方法：采用一定的观测程序、改正、附加参数元素a11、a22ann 称为对角元素。观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，设
7、t个相互独立的未知参数，则条件个数c=n+t-t=n,即n个误差方程：一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵频数/d将K与x值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值与参数平差值。如果在平差问题中，不是选t个而是选定ut个参数，其中包含t个独立参数，则多选的s=u-t个参数必是t个独立参数的函数，亦即在u个参数之间存在着s个函数关系，它们是用来约束参数之间应满足的关系。第八节 协因数与协因数传播律数理统计中所述的估计量最优性质，主要是估计量应具有无偏性、一致性和有效性的要求。矩阵的基本运算：BA（1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则：（2）具有相同行列数的两矩阵A、B相加减，其行列数与A、B
8、相同，其元素等于A、B对应元素之和、差。且具有可交换性与可结合性。（3）设A为m*s的矩阵，B为s*n的矩阵,则A、B相乘才有意义，C=AB，C的阶数为m*n。OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC，ABC=A（BC）停止返回l对于任意矩阵Cmn:mnmmnnnmcccccccccC212222111211将其行列互换，得到一个nm阶矩阵，称为C的转置。用：nmnnnnmnTcccccccccC212221212111停止返回TTCDDC则：,)1(AATT)(2(TTTBABA)(3(TTkAkA)(4(TTTABAB)(5(（6）若AAT则A为对称矩阵。停止返回l给定一个
9、n阶方阵 A，若存在一个同阶方阵B，使AB=BA=I（E），称B为A的逆矩阵。记为：1 ABlA矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的行列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否则为奇异矩阵停止返回111)(1(ABABAA11)(2(II1)(3(TTAA)()(4(11矩阵。对称矩阵的逆仍为对称)5()11,1(),()6(2211122111nnnnaaadiagaaadiagA矩阵且：对角矩阵的逆仍为对角停止返回（1）伴随矩阵法：设Aij为A的第i行j列元素aij的代数余子式，则由n*n个代数余子式构成的矩阵为A的伴随矩阵的转置矩阵A*称为A的伴随矩阵。*1212221212111*1,AAAAA
10、AAAAAAAAnnnnnn停止返回11525812182113212411131则：nnnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211100010001212222111211nnnnnnaaaaaaaaa（2）初等变换法：nnnnnnbbbbbbbbb212222111211100010001经初等变换：nnnnnnnnbbbbbbbbbA2122221112111停止返回l随机变量l误差分布曲线l概率密度曲线l数学期望l方差停止返回第一节 概述第二节 偶然误差的规律性第三节 衡量精度的指标第四节 协方差传播律停止返回第五节 协方差传播律在测量上的应用第六节 协方差传播律第七节
11、权与定权的常用方法第八节 协因数与协因数传播律第二节 偶然误差的规律性观测值：对该量观测所得的值，一般用观测值：对该量观测所得的值，一般用Li表示表示。真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大小的数值，一般用小的数值，一般用 表示。表示。L一、几个概念一、几个概念真误差：观测值与真值之差，真误差：观测值与真值之差，一般用一般用 i=-Li 表表示。示。L第一节 概述停止返回按间接平差求各点的高程平差值。第三节 参数估计与最小二乘原理确定几何模型最大独立观测个数为t,那么再多进行一个观测就第 五 章 间 接 平 差第四节 参数估计与最小二乘原理n=7,
12、t=5-1-1=3,r=7-3=4取 的初值：形成测量平差的最基本模型解算法方程，求出联系数K与x值。(5)对于 对角阵，若a11=a22=ann=1，称为单位阵，一般用E、I表示。如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P3、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表若DXY=0，则X、Y表示为相互独立的观测量。以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。三、平差值函数的协因数必要观测:能够唯一确定一个几何模型所必要的观测n=7,t=5-1-1=3,r=7-3=4由于未知参数ut，则u个未知参数间肯定存在u-t个函数关系，称为约束条件。设j、k的坐标为未知参
13、数：观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，条件方程个数c。第三学年下学期：2学分观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、L2Ln可表示为：nnLLLL211,停止返回nnLLLL211,nnnLLLLLL21211,l例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。误差区间+个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20450.1260.630460.1280.6400.200.40400.1120.560410.11
14、50.5750.400.60330.0920.460330.0920.4600.600.80230.0640.320210.0590.2950.801.00170.0470.235160.0450.2251.001.20130.0360.180130.0360.1801.201.4060.0170.08550.0140.0701.401.6040.0110.05520.0060.0301.60000000和1810.5051770.495 停止返回l例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差
15、，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。误差区间+个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20400.0950.475460.0880.4400.200.40340.0810.405410.0850.4250.400.60310.0740.370330.0690.3450.600.80250.0590.295210.0640.3200.801.00200.0480.240160.0430.2151.001.20160.0380.190130.0400.200.2.402.6010.0020.01020.0050.00252.60000000和2100.499211
16、0.501停止返回(K/n)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差概率密度函数曲线用直方图表示:停止返回面积=(K/n)/d*d=K/n所有面积之和=k1/n+k2/n+.=1 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.630 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.475 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差停止返回提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。22221)(ef1、在
17、一定条件下的有限观测值中，其误差的绝对值不会超过一定的界限；2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的次数多；3、绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；4、当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近于零，即Limni=1nni=Limnn=0偶然误差的特性：停止返回第三节 衡量精度的指标精度：所谓精度是指精度：所谓精度是指偶然误差偶然误差分布的密集离散程度。分布的密集离散程度。一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。不同。提示：提示：一组观测值具有相同的分布，但
18、偶然一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。误差各不相同。频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差停止返回可见：左图误差分布曲线较高可见：左图误差分布曲线较高 且陡峭，精度高且陡峭，精度高 右图误差分布曲线较低右图误差分布曲线较低 且平缓，精度低且平缓，精度低一、方差一、方差/中误差中误差 f()00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差 1122面积为122221)(ef第三节第三节
19、 衡量精度的指标衡量精度的指标停止返回dfEDnn)()()(lim222方差：方差：中误差：nnlim2提示：提示：越小，误差曲越小，误差曲线越陡峭，误差分布线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。越密集，精度越高。相反，精度越低。相反，精度越低。n2方差的估值：n如果在平差问题中，不是选t个而是选定ut个参数，其中包含t个独立参数，则多选的s=u-t个参数必是t个独立参数的函数，亦即在u个参数之间存在着s个函数关系，它们是用来约束参数之间应满足的关系。观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，条件方程个数c。形成测量平差的最基本模型精度：所谓精度是指偶然误差分布的密集离散程度。一般用r
20、表示，r=n-t。且陡峭，精度高些量以及其精度。按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：（2）为了在条件平差过程中，直接估计一对于变量X，Y，其协方差为：例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.第二节 基础方程和它的解GPS（4）、GIS（3）、工程测量（4）、数字制图（3）、近代平差（2）等以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。相关了，即形成函数关系，也称为观测多余了。n=7,t=5-1-1=3,r=7-3=4频数/d频数/d三、概括平差模型的引入外
21、界条件：温度、气压、大气折光等二、平均误差二、平均误差停止返回 ndfEnlim)()(在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望。学期望。与中误差的关系：与中误差的关系：54n三、或然误差三、或然误差 f()0闭合差1150%停止返回%50)(p32四、极限误差四、极限误差32 或限%7.99)33(%5.95)22(%3.68)(ppp四、相对误差四、相对误差中误差与观测值之比，一般用中误差与观测值之比，一般用1/M表示。表示。一、协方差)()(YEYXEXEXY对于变量对于变量X，Y，其协方差为：，其协方差为：停止返回)()(X
22、EXYEYEYXYXXY0XYYX表示表示X、Y间互不相关，对于正态分布间互不相关，对于正态分布而言，相互独立。而言，相互独立。0XYYX表示表示X、Y间相关间相关nnyxxyyxyxnxylim对于向量对于向量X=X1，X2，XnT，将其元素间的，将其元素间的方差、协方差阵表示为：方差、协方差阵表示为：停止返回22122221112212121nnnnnnnxxxxxx矩阵表示为：矩阵表示为：2212222111221nnnnnXXD方差协方差阵方差协方差阵)()(TXXXEXXEXED特点特点：I 对称对称 II 正定正定 III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当各观测量互不相关时，为对
23、角矩阵。当 对角元对角元 相等时，为等精度观测。相等时，为等精度观测。2212222111221nnnnnXXD若：111)(rnrnYXZYYYXXYXXZZDDDDDTYXTXYDYEYXEXED)()(若若DXY=0，则，则X、Y表示为相互独立的观测量。表示为相互独立的观测量。已知：01,11,1211,.,KXKZDXXXXnnXXTnnTXXZZKKDD那么：停止返回证明：证明：设：设：XnTnnXEXXXX,.,)(,.,21211,TXXXXXXED)(TZZZZZZED)(那么：那么：停止返回TXXTTXXTTXXTXXTZZZZKKDKXXKEKXXKEKKXKKXEZZED
24、)()()()(例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。解算法方程，求出联系数K与x值。观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，条件方程个数c。将K值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值测量学（5）、测量平差基础（5）、控制测量学（5）、摄影测量学（4）、测绘数据计算机处理（3）附有限制条件的间接平差定权，P为单位阵，形成法方程为：观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，条件方程个数c。三者综合起来为观测条件（四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。任意2个角度+1个边、2个边+1个角度、三个边。(
25、2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。II 正定根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P3、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表。三、附有参数的条件平差法条件类型：图形条件、圆周条件、极条件、固定方位条件、固定边长条件、固定坐标条件一、必要观测、多余观测第四节 协方差传播律元素a11、a22ann 称为对角元素。例1:设 ，已知 ，求 的方差 。21221132xxyxxyDXX3114Fyy12F2例2:若要在两已知点间布设一条附和水准路线,已知每公里观测中误差等于5.0mm,欲使平差后线路中点高程中误差
26、不大于10mm,问该路线长度最多可达几公里?停止返回已知：,.,211,XXTnnDXXXX 0221120222212121012121111tntntttnnnnkXkXkXkZkXkXkXkZkXkXkXkZ1,01,1,tnnttKXKZTXXZZKKDD1,01,1,rnnrrFXFYTFZTXXZFDFKDD)(停止返回停止返回例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。例4：设有函数，1,11,11,rrtnnttYFXFZ已知XYYYXXDDD求ZYZXZZDDD四、非线性函数的情况设有观测值设有观测值X的非线
27、性函数：的非线性函数：),()(21nXXXfXfZ已知：XXTnnDXXXX,.,211,ZZD求：TnnXXXX,.,0001,021停止返回将Z按台劳级数在X0处展开：二次以上项）()()()()()()(),(00022020110100021nnnnXXXfXXXfXXXfXXXfZniinnniXXfXXfXXfXXfXXXfZ1000202101000)()()()(),(21),),(0020121nnXfXfXfkkkK（）（）（niiniXXfXXXfk1000000)(),(21001,21kKXkXkkkZnnTXXZZKKDD例例4、根据极坐标法测设、根据极坐标法测设
28、P点的坐标，设已知点的坐标，设已知点无误差，测角中误差为点无误差，测角中误差为m，边长中误差，边长中误差ms，试推导试推导P点的点位中误差。点的点位中误差。ABPmssmump停止返回l根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式l写出观测量的协方差阵l对函数进行线性化l协方差传播停止返回a1b1a2b2abaNbN1（s)2(s)N(s)ABTP1TP2TPN-1协方差传播在测量中的应用一、水准测量的精度停止返回作业1、在高级水准点A、（高程为真值）间布设水准路 线，如下图，路线长分别为 ，设每公里观测高差的中误差为 ，试求：（1）将闭合差按距离分配之后的p1、p2点间高差的中误差；（2）分
29、配闭合差后P1点的高程中误差。kmSkmSkmS2,3,4321mmm0.11AP1P2B作业2、在相同条件下，观测两个角度A=150000，B=750000，设对A观测4个测回的测角精度（中误差）为3，问观测9个测回的精度为多少？停止返回系统误差的存在必然影响观测结果。4个必要的起算数据为：将其行列互换，得到一个nm阶矩阵，称为C的转置。形成测量平差的最基本模型例1:设 ，已知 ，测量平差原理，於宗俦等，测绘出版社按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角
30、和的真误差，并按误差区间的间隔0.不同的观测序列，分布不同。观测三个内角的任意两个即可,称其必要元素个数为2，必要元素有 种选择三者综合起来为观测条件设j、k的坐标为未知参数：条件平差的自由度即为多余观测数r，即条件方程个数。(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。观测值：对该量观测所得的值，一般用Li表示。n=7,t=5-1-1=3,r=7-3=4观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，现有u个参数ut，包含t个独立参数，则条件个数r+u,其中，有s个限制条件：二、间接平差法平差步骤如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P3、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线
31、的长度及观测高差列入下表为了线性化，取X的近似值：第七节 权与定权的常用方法一、权的定义22002:,),.,2,1(iiiipniL，则定义如选定任一常数它们的方差为设称为观测值Li的权。权与方差成反比。2222122022202120211:1:1:nnnppp生变化。而变化，但权比不会发权的大小随一20)(，即对应一组权。选定了二20)(（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，一个问题只选一个0。（四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。二、单位权中误差测值。的观测值称为单位权观等于称为单位权中误差，权10三、常用的定权方法三、常用的定权方法1、水准测量的权、水准测量的
32、权iiscp iiNcp 或2、边角定权、边角定权停止返回221iissPP2622)10(issbai第八节 协因数与协因数传播律一、协因数与协因数阵2020220222111:,jiiijjjjjiiiiijjijipQpQpQLL令协方差为它们的方差为设的协因数。为iiiLQ的协因数。为jjjLQ或相关权倒数。的协因数关于为jiijLLQijjijjjiiiQQQ20202202变换形式为：nnnnnnnnnnnXXQQQQQQQQQD212222111211202212222111221不难得出：QXX为协因数阵XXXXQD20特点特点：I 对称，对角元素为权倒数对称，对角元素为权倒数
33、 II 正定正定 III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当各观测量互不相关时，为对角矩阵。当 为等精度观测，单位阵。为等精度观测，单位阵。nnnnnnXXQQQQQQQQQQ212222111211二、权阵二、权阵EQPQPLLLLLLLL1第一节 测量平差概述第二节 测量平差的数学模型第三节 参数估计与最小二乘原理停止返回一、必要观测、多余观测确定平面三角形的形状观测三个内角的任意两个即可,称其必要元素个数为2，必要元素有 种选择确定平面三角形的形状与大小s1s3s26个元素中必须有选择地观测三个内角与三条边的三个元素，因此，其必要元素个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1个角度、三个
34、边。停止返回23C3323131323CCCCC必须有选择地观测6个高差中的3个，其必要元素个数为3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或h1、h2、h4等确定如图四点的相对高度关系ADCBh1h6h5h2h4h3必要观测:能够唯一确定一个几何模型所必要的观测 一般用t表示。停止返回特点:给定几何模型，必要观测及类型即定，与观测无关。必要观测之间没有任何函数关系，即相互独立。确定几何模型最大独立观测个数多余观测:观测值的个数n与必要观测个数t之差 一般用r表示，r=n-t。确定几何模型最大独立观测个数为t,那么再多进行一个观测就相关了，即形成函数关系，也称为观测多余了。观测值:为了确定几何模型
35、中各元素的大小进行的实际 观测，称为观测值，观测值的个数一般用n表示。nt,，可以确定模型，还可以发现粗差。二、测量平差必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观测必然可用这t个元素表示，即形成r个条件。123tnrtn180ADCBh1h6h5h2h4h3336tnrtn0621hhh0432hhh0546hhh停止返回实际上：1800621hhh0432hhh0546hhh180第二节 测量平差的数学模型一、条件平差法条件平差法0WA以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。即为条件平差的函数模型。条件平差的自由度即为多余观测数r，即条件方程个数。二、间接平差法间接平差法
36、选择几何模型中t个独立变量为平差参数，每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，成为间接平差法。lBx 停止返回)(1,1,nrLFF)(1,1,tnXFL 三、三、附有参数的条件平差法附有参数的条件平差法 设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为参数，而0ut个参数，其中包含t个独立参数，则多选的s=u-t个参数必是t个独立参数的函数，亦即在u个参数之间存在着s个函数关系，它们是用来约束参数之间应满足的关系。在选定ut个参数进行平差时，除了建立n个观测方程外，还要增加s个约束参数方程，故称此
37、平差方法为附有限制件的间接平差法。lBx 0 xWCx停止返回)(1,1,unXFL 0)(1,1,usX五、五、平差的随机模型平差的随机模型数学模型数学模型停止返回函数模型函数模型随机模型：随机模型：12020PQD第三节 函数模型的线性化条件方程的综合形式为：条件方程的综合形式为：),(1,1,1,uncXLFF 为了线性化，取X的近似值：0X取 的初值：LLxXX0LL将F按台劳级数在X0，L处展开，并略去二次以及以上项：停止返回xXFLFXLFxXLFFXLXL00,0),(),(0,212221212111,XLnnnnnncLFLFLFLFLFLFnLFLFLFLFA0,21222
38、1212111,XLunnnuuucXFXFXFXFXFXFXFXFXFXFBBxAXLFxXLFF),(),(0一、条件平差法条件平差法0WA)(LFW 二、间接平差法间接平差法lBx BxXFLL)(0LXFl)(0三、概括平差模型的引入确定几何模型最大独立观测个数为t,那么再多进行一个观测就如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P3、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表。频数/d些量以及其精度。（3）设A为m*s的矩阵，B为s*n的矩阵,则A、B相乘才有意义，C=AB，C的阶数为m*n。外界条件：温度、气压、大气折光等削弱方法：采用一定的观测程序、改
39、正、附加参数(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。设j、k的坐标为未知参数：第七节 权与定权的常用方法地图制图与地理信息系统工程解算法方程，求出联系数K与x值。Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项：误差理论与测量数据处理，测量平差教研室，测绘出版社。四、附有限制条件平差的间接平差计算步骤地图制图与地理信息系统工程如果在平差问题中，不是选t个而是选定ut个参数，其中包含t个独立参数，则多选的s=u-t个参数必是t个独立参数的函数，亦即在u个参数之间存在着s个函数关系，它们是用来约束参数之间应满足的关系。测量仪器：i角误差、2c误差第二节 偶然误差的规律性三、三、附有参数的条件平差
40、法附有参数的条件平差法0WBxA四、四、附有限制条件的间接平差法附有限制条件的间接平差法lBx 0 xWCx)(1,1,unXFL 0)(1,1,usX第四节 参数估计与最小二乘原理 为了求得唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。一、一、参数估计及其最优性质参数估计及其最优性质对于上节提出的四种平差方法都存在多解的情况。以条件平差为例：0WA条件的个数r=n-t n，即方程的个数少，求解的参数多，方程多解。其它模型同。数理统计中所述的
41、估计量最优性质，主要是估计量应具有无偏性、一致性和有效性的要求。可以证明，这种估计为最小二乘估计。停止返回例：匀速运动的质点在时刻的位置y表示为：y0y0y实际上：则：得测定其位置，在与为了求,2121nnyyy)2,1(,niyii写成矩阵：写成矩阵：nnnXByyyY212121,111,YXB间接平差函数模型间接平差函数模型oyiiyiivmin)(22iiiyvynvvvV21令：min)()(YXBYXBVVTT则：二、二、最小二乘原理最小二乘原理按照最小二乘原理的要求，应使各个观测点观测值偏差的平方和达到最小。测量中的观测值是服从正态分布的随机变量，最小二乘原理可用数理统计中的最大
42、似然估计来解释，两种估计准则的估值相同。设观测向量为L，L为n维随机正态向量，其数学期望与方差分别为：nLLE21)(22112222111221nnnnLLDD停止返回)()(exp)2(11212/12/LTLnLDLDG其似然函数为：以间接平差法为例，顾及间接平差的模型与E（）=0得：)()(exp)2(11212/12/XBLDXBLDGTn按最大似然估计的要求，应选取能使lnG取得极大值时的 作为X的估计量。X)()(21)2ln(ln12/12/XBLDXBLDGTn停止返回由于上式右边的第二项前是负号，所以只有当该项取得极小值时，lnG才能取得极大值，换言之，的估计量应满足如下条
43、件：X最小)()(1XBLDXBLT为常数，则：，由于2012020PQDDLL最小)()(XBLPXBLT有：的估值，则是设,LXBVV最小PVVT即最小二乘原则。停止返回第 四 章 条件 平 差第一节 条件平差原理第二节 条件方程第三节 精度评定第四节 水准网平差示例停止返回第一节 条件平差原理一、基础方程和它的解011rnnrWVA最小PVVT按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：min)(2WVAKPVVTTTrbarkkkK1停止返回)(LFW 0WA12020PQD数学模型求其一阶偏导数，并令其为0：KQAKAPVKAPVAKPVdVdTTTTT1022011rnnrTWVA
44、KQAVWNWAQAKWKAQAaaTrrrT111)(0)(上式也称为法方程式停止返回二、条件平差的计算步骤停止返回1.根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数r。2.根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r。3.解算法方程，求出联系数K值。4.将K值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值5.为了检查平差计算的正确性，常用平差值 重新列出平差值条件方程式，看其是否满足方程。VLLL1L3L2L平差值。按条件平差求三内角的观测，得：对图中三个内角进行例,048359,909078,0221421121 oooLLL的距离如下：
45、高差观测值与水准路线高差点的高程，观测了四段为了确定为：为已知水准点，其高成：图中例DCmHmHBABA,013.10,013.12,2BADh1h4h2h3CBADh1h4h2h3C点高程的平差值。和求DCkmSmhkmSmhkmSmhkmSmh5.1,520.1,2,512.21,516.1,2,004.114332211程的平差值。采用条件平差求各点高，高差与测站数如图示，点水准路线上有三个固定点的高成为线，已知作业：一条闭合水准路321,330.16mAh1=+1.596mn1=3h2=-0.231mn2=4h3=+4.256mn3=12h4=-5.642mn4=6123第二节 条件方
46、程一、水准网tnrCqpqpt多余的独立起算数据网点数1列条件的原则：1、闭合水准路线2、附合水准路线包含的线路数最少为原则停止返回h1h7h5h6h3h4h2h8AODCBBAFGEDCh1h6h7h2h5h4h34373317tnrCt06520)(4570)(7610)(321hhhHHhhhHHhhhHHhhhBDABAC448415tnrCt0584042306310756hhhhhhhhhhhh停止返回二、测角网tnrCqpqpt多余的独立起算数据网点数424个必要的起算数据为：一个已知点（2个坐标）一个方位（1个）一个尺度（1个两已知点（4个坐标）停止返回列条件的原则：将复杂图形
47、分解成典型图形。条件类型：图形条件、圆周条件、极条件、固定方位条件、固定边长条件、固定坐标条件三角形大地四边形中心多边形扇形停止返回123243*2rt448444*2rt2810181047*2krt15611645*2krtAFEDCBG16543211109872220211918171615141312S、T第三节 精度评定一、计算单位权中误差rPVVT0二、协因数阵 停止返回第四节 水准网平差示例例：如图，A、B是已知的高程点，P1、P2、P3是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按条件平差求各点的高称平差值。路线号观测高差（m）路线长度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA
48、=5.016HB=6.0162+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.5h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B停止返回解：1、列条件方程4373115tnrCt042076305430521hhhhhhhhhhh0342067630854307521vvvvvvvvvvv停止返回0001010110010000111000010011A3687W2、定权取C=1，则：6.24.14.27.23.27.11.11PQ3、形成法方程0368743211.407.27.103.63.207.23.24.74.27.10
49、4.22.5kkkk停止返回4、解算法方程TTK4568.14414.04028.12226.05、计算改正数)(2.16.09.31.02.49.22.0mmVT6、计算平差值)(5962.02374.06531.00119.13588.00119.23588.1mLT7、计算高程平差值mLHHAP3748.311mLHHAP0279.722mLHHBP6121.673停止返回作业1：线号高差（m）路线长度（km）点号高程（m）11.1004A5.00022.3982B3.95330.2004C7.65041.0002 53.4042 63.4524 AoooBC123456P1P2P3如图
50、所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P3、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表 试用条件平差法求P1、P3、P3点高程的平差值。第一节 间接平差原理第二节 误差方程第三节 精度评定第四节 平差示例第 五 章 停止返回第一节 间接平差原理一、基础方程和它的解lBxV最小PVVT按函数极值的求法，极值函数：min)()(lBxPlBxPVVTT求其一阶偏导数，并令其为0：002PVBPBVTT停止返回0)(PlBxPBBTT代入误差方程：即为法方程式PlBPBBxTT1)(停止返回二、间接平差法平差步骤1、选择t个独立的未知参数2、将每个观测值表示成未知参数的函
