1、第二节第二节 数学变分法简介数学变分法简介Ay1By2ynP 例2 求简支梁在P力作用下运动时的能量。两端简支梁在力P作用下运动，其挠曲线y(x,t)可取不同的函数形式(y1,y2,yn)，该系统的能量随y(x,t)不同而不同，计算如下：TUtxy),(总能量总能量 总势能（弹性势能和外力势）总势能（弹性势能和外力势）动能动能 由上式可见，总能量与由上式可见，总能量与y(x,t)取什么样的函数有关，而与梁在支座取什么样的函数有关，而与梁在支座AB间间x的取值没有直接关系。的取值没有直接关系。第二节第二节 数学变分法简介数学变分法简介二 泛函的定义 对于某一族函数对于某一族函数y(x)中的每一个
2、函数中的每一个函数yi(x)，有一个值与之对应，有一个值与之对应，亦即，如果变量亦即，如果变量对于函数对于函数y(x)的关系成立，那么，变量的关系成立，那么，变量叫做依赖于叫做依赖于函数函数y(x)的泛函。记为的泛函。记为=y(x)，简言之，泛函是函数的函数（但，简言之，泛函是函数的函数（但不是隐函数）。不是隐函数）。y(x)叫泛函叫泛函的宗量。的宗量。)()(xgytfx)()()(tfgxgytfxii隐函数！隐函数！泛泛 函！函！第二节第二节 数学变分法简介数学变分法简介3.2.2 变分法中的一些概念和计算方法变分法中的一些概念和计算方法一 变分问题ABy(x)yxO 例1 最速降线问题
3、（1696年约翰.伯努力）如图，A、B两点不在同一铅垂线上，求质点从A滑到B用时间最少所沿的曲线。该曲线是一条圆滚线，该问题是求泛该曲线是一条圆滚线，该问题是求泛函函Ty(x)的极小值。的极小值。例2 等周问题（早已被古希腊人发现，但其变分特性18世纪才被察觉）SL 求长为一定的封闭曲线L，使其所围的面积S最大。该封闭曲线为一个圆。该问题是求泛该封闭曲线为一个圆。该问题是求泛函函S(L)在在L为定长条件下的极大值。为定长条件下的极大值。第二节第二节 数学变分法简介数学变分法简介 定义：凡有关求泛函极大值和极小值的问题，都叫变分问题变分问题。二 变分法 求泛函极大值和极小值的方法叫做变分法。变分
4、法。三 泛函极值判定条件 设有一泛函y(x)，其一阶变分为，二阶变分为 2，其取极值的条件与函数取极值的条件相似，即 当=0时，取极值；同时若有：20时，取极小值；20时，取极大值；四 变分的计算方法 变分的计算方法与微分的计算方法相似，此处不做介绍。第二节第二节 数学变分法简介数学变分法简介五 变分的几何意义1 函数微分的几何意义xx+dxdxdyyy(x)xyO 函数y(x)的微分dy是函数y(x)随其自变量x的微小增量dx而产生的增量y的线性主部。它是一个值，对应不同的x，dy有不同的值。2 泛函宗量变分的几何意义 宗量y(x)的变分y是宗量y(x)在某一函数族中任意改变时，y(x)的增
5、量，即)()(0 xyxyy 此时有y(x)在y0(x)近旁改变着，y是一个函数，它不直接随x而变化，而只随y(x)的改变而变化，当y(x)改变时，对于同一个x值，有不同的y。ABy0(x)y(x)=y0(x)+yyxyO第二节第二节 数学变分法简介数学变分法简介3 泛函变分的几何意义 与函数微分相似，泛函y(x)的变分是泛函y(x)随宗量y(x)的微小增量y 而产生的增量的线性主部，与y 是线性关系，这可由泛函的台劳展开来理解。高阶无穷小),()()(yxyxyyxy高阶无穷小),()()(yxyxyyxy可见，为的线性主部，且与y呈线性关系。3.2.3 变分法的基本预备定理 如果函数F(x
6、)在线段x0,x1上连续且对于只满足某些一般条件的任意函数(x)有0)()(01dxxxFxx则在线段上0)(10 xFxxx上第二节第二节 数学变分法简介数学变分法简介 在后面的应用中F(x)将对应泛函中的某些项，而(x)则对应于宗量的变分，或是任给的虚位移。第三节 能量原理3.3.1 几种常用的能量原理和运用条件3.3.2 与能量原理有关的基本知识一 功与能的计算1.对加载过程与作功过程的描述 在分析静力学问题时，其加载过程永远是逐加、缓加逐加、缓加过程，因此应变和位移也是由零逐渐达到额定值。对于线弹性体，外力与其作用点的位移之间的关系以及其应力与应变之间的关系都是线性线性的，这样在加载过
7、程中，弹性体将只有外力功（或外力势能）与弹性势能之间将遵循能量守恒定律而转换，而没有动能和热量的 耗散，此时，外力与弹性势能之间将遵循能量守恒定律而转换。第三节 能量原理2.实功与虚功1）实功 由于Pk与vkk之间是线性关系，则有kkkvpw212)虚功 力pk在别的原因（如pm）引起的位移vkm上所做的功叫虚功，其计算公式为kmkvpw3.应变能 应变能是由内力所做实功来计算的。ABVkkPkKPkVkkABVkkPkKVmmVkmPm第三节 能量原理1）直梁弯曲的应变能 由材力可计算直梁弯曲的应变能为（线弹性材料）。对于纯弯曲梁，在弹性范围内，其弯矩M与两端截面相对转角成线性关系EIlMM
8、wU222一般梁，dxEIMUEIdxMdU2,222）（以内力表示MEIvdxEIMUl2)(2)()(21222以位移表示dxdxvdEIUlMM第三节 能量原理2）一般弹性体的应变能 弹性能密度 Tu21)(21zxzxyzyzxyxyzzyyxxu 以矩阵形式表示为 应变能为 dVDdVUTVTV21213.3.3 虚功原理 如果对载荷系作用下处于平衡的变形结构给一微小虚位移，那么，外力（或载荷）所做的虚功等于内力所做虚功，即ntiextWW第三节 能量原理说明如下：1.变形结构在外力和约束共同作用下必须处于平衡状态，若去掉约束，约束反力按外力对待。2.虚位移是指约束所允许的非常小的可
9、能位移，结构产生这一虚位移时，原平衡的外力并不改变其方向，虚位移可理解为位移的变分，也可理解为由其它原因引起的位移。3.外力虚功的计算iniiextvpW1式中 对应的虚位移。iipv 第三节 能量原理 4.内力虚功的计算 1）直梁弯曲)(int以内力表示）（dxEIMMWal虚转角dxEIM)()(2222int位移表示）（dxdxvddxvdEIWbl原平衡力系引起的弯矩虚转角2222)(dxvdEIdxdxvdMMMMdx第三节 能量原理2）一般弹性体 dvWTvint 对应虚位移的虚应变 原平衡力系引起的应力 3.3.4 最小势能原理 对于任何弹性结构，若其总势能表达为弹性位移的函数，
10、则当其处于稳定平衡状态时，其总势能必取极小值。说明：1.总势能的计算 总势能包括弹性势能（以应变能形式表示）和外力势能两部分，对于不同的结构有不同的表达形式。第三节 能量原理1）直梁的总势能21lqvdx1ldxdxvdEI2222)(21ldxqvdxvdEI)(21222外力势外力势的定义：从平衡位置到初始位置外力所做的功。ABVkkPkK第三节 能量原理2）一般弹性体的总势能qpB1B2B1固定边界；B2自由边界；q体积力；p面力Tzyxqqqq)(Tzyxpppp)(Twvu)(设则dvDvT212外力势dspdvqBTvT21dspdvqDBTvTT)21(2总势能为第三节 能量原理2.最小势能原理的数学表达式 由于是位移的函数或的泛函，而其平衡位置就是使取极小值的位置，因此最小势能原理的数学表达式为0此式可由虚位移原理导出（大家可以自己推导）。
