1、2023-2-15机械工程二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示S(S+2n)n2R(s)C(s)图3-8 标准形式的二阶系统方块图_2222)()()(nnnSsRsCs（3-18）n自然频率（或无阻尼振荡频率）阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统的动态特性，可以用和n加以描述,二阶系统的特征方程：0222nnSS（3-19）122,1nnS（3-20）3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 Unit-Step Response of Second-Order Systems阻尼比是实际阻尼系数F与临界阻尼系数的比值CmFFJKFFKJFKJKT1212212121 CF
2、临界阻尼系数，1时，阻尼系数2023-2-15机械工程二 二阶系统的单位阶跃响应 若系统的输入信号为单位阶跃函数，即若系统的输入信号为单位阶跃函数，即 则二阶系统的阶跃路应函数的则二阶系统的阶跃路应函数的LaplaceLaplace变换式为变换式为：1()(),()ix tu tL u ts22211()()2nonnXsG sssss21()()nndndsssjsj2023-2-15机械工程其响应函数讨论如下：（1 1）当）当 ，系统为欠阻尼系统时，由式（，系统为欠阻尼系统时，由式（3.4.83.4.8）有有 或或 式（式（3.4.103.4.10）中的第二项是瞬态项，是减幅正弦振荡函）中
3、的第二项是瞬态项，是减幅正弦振荡函数，它的振幅随时间数，它的振幅随时间t t的增加而减小。的增加而减小。111222221()()()1ndondndsx tLLLsss 21 ecossin1ntddtt(0)t 20211()1 esin1ntdx ttarctg(0)t 01（3.4.103.4.10）2023-2-15机械工程 （2 2）当）当 ，系统为无阻尼系统时，由式，系统为无阻尼系统时，由式(3.4.9)(3.4.9)可可知知 （3 3）当）当 ，系统为临界阻尼系统时，由式，系统为临界阻尼系统时，由式（3.4.83.4.8），有），有 其其响应的变化速度为响应的变化速度为：由此式
4、可知：当由此式可知：当t=0t=0时，时，时，时，时，时，这说明过渡过程在开始时刻和最终时刻，这说明过渡过程在开始时刻和最终时刻的变化速度为零，过渡过程是单调上升的。的变化速度为零，过渡过程是单调上升的。0()1 cosnx tt(0)t 112-t-t21()()=1-(1-t)e-2tennnonnnsx tLLss 1(1)entnt 20()entnx tt(0)t 0(0)0;xt 0()0;0 xt 0()0 x t 01(3.4.12)(3.4.12)2023-2-15机械工程（4）当 ，系统为过阻尼系统时，由式（3.4.8）有 式中，112221()(+1)(-1)nonnsx
5、 tLLsss 2222(1)(-1)22-1+11e-e2121nntt 22(1)(-1)2222111e-e21(1)21(-1)nntt 12212ee121s ts tnss 0t(3.4.13)(3.4.13)21(1)ns 22(1)ns 12023-2-15机械工程 计算表明，当计算表明，当 时，在式（时，在式（3.4.133.4.13）的）的两个衰减的指数项中，两个衰减的指数项中，的衰减比的衰减比 的要快的要快得多，因此，过渡过程的变化以得多，因此，过渡过程的变化以 项其主项其主要作用。从要作用。从S S平面看，愈靠近虚轴的根，衰减平面看，愈靠近虚轴的根，衰减越慢，对过渡过程
6、影响愈大，起主导作用。越慢，对过渡过程影响愈大，起主导作用。1.52es t1es t2es t式（式（3.4.103.4.10）式（）式（3.4.133.4.13）所描述的单位阶）所描述的单位阶跃响应函数如图跃响应函数如图3.4.33.4.3所示所示2023-2-15机械工程2023-2-15机械工程二阶系统的单位阶跃响应函数过渡过程特性二阶系统的单位阶跃响应函数过渡过程特性 ：为衰减振荡，随着阻尼的减小，振荡愈加强烈；=0：等幅振荡；=1和1时：单调上升。过渡过程的持续时间：过渡过程的持续时间：无振荡单调上升的曲线：=1时的时间t最短；在欠阻尼系统中，当=0.4-0.8时，时间比=1时的更
7、短，而且振荡不太严重。设计：设计：二阶系统一般工作在=0.4-0.8的欠阻尼状态。保证振荡适度、持续时间较短。特征参数 与值 决定 瞬态响应 决定 过渡过程。n012023-2-15机械工程 在根据给定的性能指标设计系统时，将一阶系统与二阶系统相比，通常选择二阶系统，这是因为二阶系统容易得到较短的过渡过程时间，并且也能同时满足对振荡性能的要求。2023-2-15机械工程三 二阶系统响应的性能指标考虑：一）产生阶跃输入比较容易，而且从单位阶跃响应也较容易求得任何其它输入的响应；二）在实际中，许多输入与阶跃输入相似，而且阶跃输入又往往是实际中最不利的输入情况。因此:性能指标以系统对单位阶跃输入的时
8、域响应量值给出。因为：无振荡的单调过程的过渡时间太长，故除了那些不允许产生振荡的系统外，通常都允许系统有适度的振荡，以获得较短的过渡过程时间。所以：在设计二阶系统时，常使系统在欠阻尼（通常取 ）状态下工作。0.4 0.82023-2-15机械工程2023-2-15机械工程（1 1）上升时间）上升时间（2 2）峰值时间）峰值时间（3 3）最大超调量）最大超调量（4 4）调整时间）调整时间（5 5）振荡次数）振荡次数N NrtptpMst2023-2-15机械工程1、上升时间 响应曲线从原工作状态出发，第一次达到输出稳态值所需的时间定义为上升时间（对响应曲线从原工作状态出发，第一次达到输出稳态值所
9、需的时间定义为上升时间（对于过阻尼系统，一般将响应曲线从稳态值的于过阻尼系统，一般将响应曲线从稳态值的10%10%上升到上升到90%90%所需的时间称为上升时间）。所需的时间称为上升时间）。欠阻尼二阶系统（欠阻尼二阶系统（），阶跃相应为：），阶跃相应为：根据定义，根据定义，时，时，由式（由式（3.4.93.4.9），得），得 考虑考虑 故有故有 令令 得得 因为上升时间因为上升时间 是是 第一次到达输出稳态值的时间，故取第一次到达输出稳态值的时间，故取 即即 由关系式由关系式 ，当，当 增大，增大，就增大。就增大。rto2(t)1 ecossin1ntddxtt 211 e(cossin),1
10、n rtd rd rtt d2cossin0;1rd rtt21.d rtgte0,n rt21,arctg,2,3,.d rt,d rt.rdt21dnrt01(0)t rtt当()1rx t(3.4.9)(3.4.9)rt()x t2023-2-15机械工程2、峰值时间 响应曲线达到第一个峰值所需的时间定义为峰值时间，响应曲线达到第一个峰值所需的时间定义为峰值时间，将式（将式（3.4.93.4.9）对时间）对时间t t求导数，并令其为零，便可求得求导数，并令其为零，便可求得峰值时间即由峰值时间即由 由定义取由定义取 因此因此 可见峰值时间是有阻尼振荡周期可见峰值时间是有阻尼振荡周期 的一半
11、，另外，的一半，另外，由关系式（由关系式（3.4.153.4.15）及）及 可知，当可知，当一定时，一定时，增大，增大，就减小；当就减小；当 一定时，一定时，增大，增大，就增大，此情就增大，此情况与况与 的相同。的相同。pt()0pt tdx tdtsin0d pt0,2,d ptdptpdt2/d 21dnnptnptrt(3.4.15)(3.4.15)2023-2-15机械工程3、最大超调量 最大超调量定义，即最大超调量定义，即 因为最大超调量发生在峰值时间，因为最大超调量发生在峰值时间，时，故将式时，故将式（3.4.93.4.9）与）与 代入式（代入式（3.4.163.4.16），可求得
12、：），可求得：超调量超调量 只与阻尼比只与阻尼比有关，而与无阻尼固有频率有关，而与无阻尼固有频率 无关。所以，无关。所以，的大小说明系统的阻尼特性。当系统阻尼比的大小说明系统的阻尼特性。当系统阻尼比确定后，即可求得确定后，即可求得与其相对的超调量与其相对的超调量 ；反之，如果给出了系统所要求的；反之，如果给出了系统所要求的 ，也，也可由此确定相应的阻尼比。当可由此确定相应的阻尼比。当=0.4=0.40.80.8时，相应的超调时，相应的超调量量 。PM()()100%3.4.16()ppx txMx2/2/1ecossin100%1:e100%3.4.17ndppMM 即/pdtt()1x pM
13、npMpMpM25%1.5%pM2023-2-15机械工程4、调整时间 是指定微小量，一般取是指定微小量，一般取 所需的所需的时间，定义为调整时间时间，定义为调整时间 。，在。，在 之后，系统的输出不会超之后，系统的输出不会超过下述允许范围：过下述允许范围：又因此时又因此时 因此因此 由由 所表示的曲线是式（所表示的曲线是式（3.4.203.4.20）所描述的减幅正弦曲线）所描述的减幅正弦曲线的包络线，因此，可将由式（的包络线，因此，可将由式（3.4.203.4.20）所表达的条件改为：）所表达的条件改为：解得解得()()()xx tx ()()()xx tx()1,x()1 3.4.19x
14、t 20211()1 esin1ntdx ttarctg 221esin 3.4.201ntdtarctg e1nt2e1nt 2.1111sntnst0.02 0.05 sttst2023-2-15机械工程 若取若取 得得 若取若取 得得 当当 时，可分别将式（时，可分别将式（3.4.223.4.22）和式）和式（3.4.233.4.23）近似取为：）近似取为：与与之间的精确关系，可由式（之间的精确关系，可由式（3.4.203.4.20）求）求得，当得，当 ，为最小；当为最小；当 ，为最小，在设计二阶系统时，一般取为最小，在设计二阶系统时，一般取 作作为最佳阻尼比。为最佳阻尼比。此时不仅此时
15、不仅 小，而且起调量小，而且起调量 也不大，取也不大，取 的另一理由将在的另一理由将在4.44.4中说中说明。明。21411,snnt213 11.snnt4;snt 3.snt0.02,0.05,00.7st0.02 0.7,st时0.05 0.68,st0.707stpM0.707（3.4.223.4.22）（3.4.233.4.23）2023-2-15机械工程 具体设计具体设计：根据最大超调量：根据最大超调量 的要求，的要求，确定阻尼确定阻尼，所以调整时间，所以调整时间 主要是根据主要是根据系统的系统的 来确定的。来确定的。由此可见，二阶系统的特征参数由此可见，二阶系统的特征参数 决决定
16、系统的调整时间定系统的调整时间 和最大超调量和最大超调量 ；反过来，根据对反过来，根据对 的要求，也能确的要求，也能确定二阶系统的特征参数定二阶系统的特征参数 。pMstnn和stPMsptM和,n 2023-2-15机械工程5、振荡次数N 在过渡过程时间 内，穿越其稳态值 的次数的一半定义为振荡次数，从式（3.4.10）可知，系统的振荡周期是 所以其振荡次数为：因此，当 时，由 ，得 从式（3.4.24）和式（3.4.25）可以看出，振荡次数N随着的增大而减小，它的大小直接反映了系统的阻尼特性。2/sdtN 21.5 1N0stt()x t()x2/,d 00.7,0.05 4/snt（3.
17、4.243.4.24）（3.4.253.4.25）2023-2-15机械工程由以上讨论，可得如下结论：（1）要使二阶系统具有满意的动态性能指标，要使二阶系统具有满意的动态性能指标，必须选择合适的阻尼比必须选择合适的阻尼比和无阻尼固有频率和无阻尼固有频率 ，提高提高 ，可以提高系统的响应速度，减少，可以提高系统的响应速度，减少增大增大，可以减弱系统的振荡性能，降低，可以减弱系统的振荡性能，降低 ，减，减小小N N，但增大，但增大 。一般情况下，系统在欠阻尼状态一般情况下，系统在欠阻尼状态 下工下工作，通常根据允许的超调量来选择阻尼比作，通常根据允许的超调量来选择阻尼比.（2 2）系统的响应速度与
18、振荡性能（稳定性）之）系统的响应速度与振荡性能（稳定性）之间是存在矛盾的。间是存在矛盾的。要兼顾系统的振荡性能和响应要兼顾系统的振荡性能和响应速度速度，就要选取合适的，就要选取合适的和和 值。值。nnrtptstpMrtpt(01)n2023-2-15机械工程四.二阶系统计算举例 解 由图3.4.6（a）可知，是阶跃力输入，8.9N，是输出位移。由图3.4.6（b）可知系统的稳态输出 0.03m，0.0029m，此系统的传递函数显然为：式中：22()11()()oiXsG scskX smscsksmm8.9()iNX ss()ix t()ix t()ox t()ox()()opox tx2p
19、ts2023-2-15机械工程（1）求k 由Laplace变换的终值定理可知：而 0.03m，因此k297N/m.。其实，根据Hooker定律很容易直接计算k。因为 即为静变形，即可视为静载荷，从而有 即得020()lim()lim()18.98.9limoootssxx ts XsNNmscsksk()ox()ox()ix()()ioxk x()/()8.9/0.03297/iokxxNmN m 2023-2-15机械工程(2)求m 由式（3.4.16）得 又由式（3.4.17）求得 将 代入 中，得 。再由 求得m77.3kg。（3）求求c c 由 ，求得0.0029100%9.6%0.0
20、3pM0.62,0.6pts21pdnt11.96ns2/nk m2/nc m181.8/cN s m2023-2-15机械工程例3.解(1)将系统的闭环传递函数写成如式（3.4.1）所示的标准型式：对照式（3.4.1），可知此二阶系统的 和 。将值代入式（3.4.17）得 但 ，故不能满足本题要求。22225031.62()0.05502 0.316 31.6231.62BGsssss 0.316131.62ns35%pM35%5%pM2023-2-15机械工程(2)图3.4.7（b）所示系统的闭环传递函数为：为了满足条件：，由式（3.4.17）算得 。现因 ，而 从而求得 从此题可以看出，
21、如第二章所讲，当系统加入微分负反馈时，相当于增加了系统的阻尼比，改善了系统振荡性能，即减小了 ，但并没有改变无阻尼固有频率 。22501000()0.05(1 50)5020(1 50)1000BGsss5%pM0.69131.62ns20(1 50)2n0.0236spMn2023-2-15机械工程 3.5 高阶系统的响应分析 实际上，大量的系统，用高阶微分方程来描述。这种系统叫做高阶系统。对高阶系统的研究和分析，一般是比较复杂的。在分析高阶系统时，要抓住主要矛盾，忽略次要因素，使问题简化为零阶、一阶与二阶环节等的组合，而且也可包含延时环节，而一般所关注的，往往是高阶系统中的二阶振荡环节的特
22、性。因此，本节将着重阐明高阶系统过渡过程的闭环主导极点的概念，并利用这一概念，将高阶系统简化为二阶振荡系统。2023-2-15机械工程 351 高阶系统的时间响应分析 设高阶系统的动力学方程（此处未计入延时环节）为：于是系统的传递函数为：()(1)110()()()()nnnna xtaxta x ta x t()(1)110()()()()mmmimiiib xtbxtb x tb x t11101110()()()()()mnmmmninnb sbsbsbXsM sG sX sD sasa sa sa()nm（3.5.13.5.1）2023-2-15机械工程若若n n阶系统的传递函数有阶系
23、统的传递函数有q q个实数极点和个实数极点和2r2r个共轭复数极点（包个共轭复数极点（包含共轭虚数）则可写成为：含共轭虚数）则可写成为：故系统的单位阶跃响应函数的故系统的单位阶跃响应函数的LaplaceLaplace变换式为：变换式为：式中式中12211(1)()(1)(21)miiqrjknkjkKsG sT sT nksT s()()()XsG sXsi12211(1),(1)(21)miiqrjknkjkKssT sT nksT s2.qrn2023-2-15机械工程 由以上分析可知，在系统的传递函数的极点中，如果距虚轴最近的一对共轭复数极点的附近没有零点，而其他的极点距虚轴的距离都在这
24、对极点距虚距离的五倍数上时，则系统的过渡过程的形式及其性能指标主要取决于距虚轴最近的这对共轭复数极点。这种距虚轴最近的极点称为“主导极点”，它们经常以共轭复数的形式成对出现。应用主导极点分析 高阶系统的过渡过程，实质上就是把高阶系统近似作为二创振荡系统来处理，这样就大大简化了系统的分析和综合工作，但在应用这种方法时一定要注意条件，同时还要注意，在精确分析中，其他极点与零点对系统过渡的影响不能忽视。2023-2-15机械工程 3.6 系统误差分析与计算 “准确准确”是控制系统的一个重要性能是控制系统的一个重要性能 。实际系统实际系统：输出量不能绝对精确地达到所期望：输出量不能绝对精确地达到所期望
25、的数值，期望的数值与实际输出的差就是所谓的数值，期望的数值与实际输出的差就是所谓的误差。的误差。1.1.存在随机干扰作用时，可能带来随机误差；存在随机干扰作用时，可能带来随机误差；2.2.元件的性能不完善、变质或者存在诸如干摩擦、元件的性能不完善、变质或者存在诸如干摩擦、间隙、死区等非线性时，也可能带来误差。间隙、死区等非线性时，也可能带来误差。本节讨论在没有随机干扰作用，元件也是理本节讨论在没有随机干扰作用，元件也是理想的线性元件的情况下，系统的误差想的线性元件的情况下，系统的误差。2023-2-15机械工程 稳定的自动控制系统，在某一典型输入作用下，稳定的自动控制系统，在某一典型输入作用下
26、，系统的运动大致可以分为两个阶段系统的运动大致可以分为两个阶段：过渡过程或瞬态；某种新的平衡状态或稳态。系统的输出量系统的输出量:瞬态分量瞬态分量(或自由响应或自由响应););稳态分量稳态分量(或强迫响应或强迫响应)系统的误差系统的误差:瞬态误差瞬态误差;稳态误差稳态误差 瞬态误差瞬态误差随过渡过程逐渐衰减，稳态误差最后随过渡过程逐渐衰减，稳态误差最后成为误差的主要部分。这一误差与系统的输入、成为误差的主要部分。这一误差与系统的输入、系统的结构和参数有关。系统的结构和参数有关。对对不稳定系统不稳定系统根本谈不上误差问题。根本谈不上误差问题。2023-2-15机械工程1.系统的误差与偏差的计算
27、控制系统的误差控制系统的误差：以系统输出端为基准来定义的。：以系统输出端为基准来定义的。设设 是控制系统所希望的输出，是控制系统所希望的输出，是其实际的输出，是其实际的输出，则误差定义为：则误差定义为：其其LaplaceLaplace变换记为变换记为 （为避免与偏差（为避免与偏差E(s)E(s)混淆，用下混淆，用下标标1 1区别），区别），控制系统的偏差控制系统的偏差：以系统的输入端为基准来定义的以系统的输入端为基准来定义的,记记为：为：其其LaplaceLaplace变换为变换为 ：式中，式中，H(s)H(s)为反馈回路的传递函数；为反馈回路的传递函数；()()()oroe txtx t1(
28、)()()oroE sXsXs()()()itx tb t()()()()()()iioE sX sB sX sH s Xs()orxt()ox t1()E s()E s(3.6.1)(3.6.1)(3.6.2)(3.6.2)2023-2-15机械工程 偏差偏差 之间存在关系之间存在关系：闭环控制系统闭环控制系统之所以能对输出之所以能对输出Xo(s)Xo(s)起自动控制作用，就在于起自动控制作用，就在于运用偏差运用偏差 进行控制。当进行控制。当 时，时，由于由于E(s)E(s)0 0，控制作用力图将，控制作用力图将Xo(s)Xo(s)值调节到值调节到Xor(s)Xor(s)值；反之值；反之 时
29、，应有时，应有E(s)E(s)0 0，而使，而使 不再对不再对Xo(s)Xo(s)进行调节。进行调节。1()()E sE s与误差()E s()()oroXsXs()=()oroXsXs()E s2023-2-15机械工程 当当 时时:故故 或或 由上式可求得一般情况下系统的由上式可求得一般情况下系统的误差与偏差之间的关系误差与偏差之间的关系为：为：或或 偏差偏差：在实际系统中是可以测量的在实际系统中是可以测量的,因而具有一定的物因而具有一定的物理意义；理意义；误差误差：在实际系统中无法测量，因而一般只具在实际系统中无法测量，因而一般只具有数学意义，在性能指标中经常使用。有数学意义，在性能指标
30、中经常使用。在后面叙述中，在后面叙述中，均采用偏差进行计算与分析均采用偏差进行计算与分析。如果需要计。如果需要计算误差，求出偏差后依据算误差，求出偏差后依据(3.6.4)(3.6.4)式可求出。式可求出。对单位反馈系统来说来说对单位反馈系统来说来说 ，故偏差，故偏差 与误差与误差e(t)e(t)相同相同.上述关系如图上述关系如图3.6.13.6.1所示。所示。()=()oroXsXs()()()()()()()0ioiorE sX sH s XsX sH s Xs()()()iorX sH s Xs1()()()oriXsX sH s1()()()E sH s E s11()()()E sE
31、sH s()1H s()t(3.6.4)(3.6.4)2023-2-15机械工程(2)误差的一般计算 一般情况下分析、计算系统的误差一般情况下分析、计算系统的误差e(t)e(t)：设输入 与干扰N(s)同时作用于系统，如图3.6.2所示.()iX s2023-2-15机械工程 现可求得在图示情况下的现可求得在图示情况下的Xo(s)Xo(s)，即，即 式中，式中，为输入与输出之间的传递函为输入与输出之间的传递函数数 为干扰与输出之间的传递函为干扰与输出之间的传递函数数 将式（将式（3.6.33.6.3）、式（）、式（3.6.53.6.5）代入式（）代入式（3.6.13.6.1）得）得：12212
32、12()()()()()()1()()()1()()()oiG s G sG sXsX sN sG s G s H sG s G s H s()()()()ixiNGs X sGs N s1212()()()1()()()ixG s G sGsG s G s H s212()()1()()()NG sGsG s G s H s3.6.5 3.6.5 2023-2-15机械工程 式中，式中，为无干扰为无干扰n n(t t)时误差时误差e e(t t)对于输入对于输入xixi(t t)的的传递函数，传递函数，为无输入为无输入xixi(t t)时误差时误差e e(t t)对于对于干扰干扰n n(t
33、t)的传递函数。的传递函数。与与 总称为误差传总称为误差传递函数，反映了系统的结构与参数对误差的影递函数，反映了系统的结构与参数对误差的影响响。1()()()()()()()()()iioroXiNX sE sXsXsGs X sGs N sH s1()()()()()iXiNGsX sGs N sH s()()()()iXiNs X ss N s NN1()();(s)-G(s)()iiXXsGsH s()iXs()Ns()iXs()Ns（3.6.63.6.6）2023-2-15机械工程3.系统的稳态误差与稳态偏差 系统的稳态误差系统的稳态误差：稳定的系统进入稳态后的误：稳定的系统进入稳态后
34、的误差差,因此因此,稳态误差的定义为稳态误差的定义为：为了计算稳态误差，可先求出系统的误差信号为了计算稳态误差，可先求出系统的误差信号的的LaplaceLaplace变换式，再用终值定理求解变换式，再用终值定理求解 同理，同理，系统的稳态偏差系统的稳态偏差lim()sstee t10lim()lim(),sstsee tsE s0lim()lim(),sststsE s3.6.73.6.7 3.6.83.6.8 3.6.93.6.9 2023-2-15机械工程4.与输入有关的稳态偏差 现分析如图现分析如图3.6.33.6.3所示的系统的稳态偏差。由图所示的系统的稳态偏差。由图3.6.33.6.
35、3可知可知 故故 由终值定理得稳态偏差为由终值定理得稳态偏差为 即即()()()()ioE sX sH s Xs()()()()iX sG s H s E s1()().1()()iE sX sG s H slim()lim(),sstttsE s0lim().1()()ssissX sG s H s（3.6.103.6.10）（3.6.113.6.11）2023-2-15机械工程稳态偏差不仅与系统特性（结构与参数）有关，而且与输入信号特性有关。设系统的开环传递函数Gk(s)为 式中，式中，n,mn,m分别为分别为GKGK(s s)的分母，分子阶数，的分母，分子阶数，k k是是系统的开环增益系
36、统的开环增益,v,v为串联积分环节的个数，或为串联积分环节的个数，或称系统的无差度，它表征辽系统的结构特征。称系统的无差度，它表征辽系统的结构特征。11(1)()()()(1)miiKnvjjKTsGsG s H ssT s 3.6.12 3.6.12 2023-2-15机械工程 若记 显然 则将系统的开环传递函数表达为则将系统的开环传递函数表达为 工程上一般规定：工程上一般规定：v=0,1,2v=0,1,2时时 分别称为分别称为0 0型型,I,I 型和型和II II 型系统型系统。v v 愈高愈高,稳态精度愈高稳态精度愈高,但稳定性愈差但稳定性愈差,因此因此,一般一般系统不超过系统不超过II
37、IIII型型。11(1)()(1)miionjjTsG sT s0lim()1osG sv()()()()oKKG sGsG s H ss 3.6.133.6.132023-2-15机械工程（1）当输入为阶跃信号（位置输入信号）时，系 统的稳态偏差为 式中，称称 为位置无偏系数。为位置无偏系数。表示单位阶跃输入时的稳态偏差，表示单位阶跃输入时的稳态偏差，称稳态位置偏差称稳态位置偏差 对于对于 0 0型系统，型系统，为有差系统，且，为有差系统，且K K愈大愈大 愈小。愈小。对于对于I I、II II 型系统，型系统，为位置无差系统。，为位置无差系统。可见，当系统开环传递函数中有积分环节存在时，系
38、统阶跃可见，当系统开环传递函数中有积分环节存在时，系统阶跃响应的稳态值将是无差的。而没有积分环节时，稳态是有差响应的稳态值将是无差的。而没有积分环节时，稳态是有差的。为了减少误差，应当适当提高放大倍数。但过大的的。为了减少误差，应当适当提高放大倍数。但过大的K K值，值，将影响系统的相对稳定性将影响系统的相对稳定性。000()lim()lim1()()11lim1()()1issssspX ss E ssG s H sG s H sK000lim()()lim()limpovvsssKKKG s H sG sss00limpsKKKs11sspKss0limpvsKKs 0sspKss 3.6
39、.143.6.143.6.153.6.15 1()iX ss2023-2-15机械工程（2）当输入为斜坡信号（速度输入）时，系统的稳态偏差 xi(t)=r(t)=t (t0)，Xi(s)=1/s2，称称 为速度无偏系数，为速度无偏系数，对于对于0 0型系统，型系统，对于对于I I型系统，型系统，对于对于IIII型系统，型系统，表示单位斜坡输入时的稳态偏差表示单位斜坡输入时的稳态偏差，称稳态速度偏差。00()lim()lim1()()issssX ss E ssG s H s200111limlim1()()()()ssvssG s H ssG s H sK=1000()lim()()limli
40、movvvssssKG sKKsG s H sss0lim0,vsKsK1;ssvK 00lim,vsKKKs11;ssvKk0lim,vsKKs 10.ssvKvKss3.6.16 3.6.16 3.6.173.6.172023-2-15机械工程 上述分析说明，0型系统不能适应斜坡输入，因为其稳态偏差为；I型系统能跟踪斜坡输入，但存在稳态偏差，同样可以增大K值来减少偏差；对于II型或高于II型的系统，对斜坡输入响应的稳态是无差的。用三角波模拟I型系统斜坡输入时的输出波形如图3.6.4所示。2023-2-15机械工程（3）当输入为抛物线信号（加速度）输入时，系统的稳态偏差 xi(t)=t2/2
41、 (t0)，Xi(s)=1/s3 式中式中 称为加速度无偏系数。称为加速度无偏系数。对于对于 0 0、I I型系统，型系统，对于对于II II 型系统，型系统，00()lim()lim1()()issssX ss E ssG s H s3200111limlim1()()()()ssassG s H ss G s H sK222000()lim()()limlimoavvssss KG sKKs G s H sss20lim0avsKKs，1ssaK；0limasKKK，11ssaKK。3.6.193.6.193.6.183.6.182023-2-15机械工程 可见，可见，当输人为加速度信号时
42、，当输人为加速度信号时，0 0、工型系统不能跟随，、工型系统不能跟随，型为有差，要无差则应采用型为有差，要无差则应采用型或高于型或高于型的系统型的系统。型系统加速度信号输人时，输入输出波形如图型系统加速度信号输人时，输入输出波形如图3 36 65 5所示。上述讨论的稳态偏差根据式所示。上述讨论的稳态偏差根据式(3(36 64)4)可以换算为稳态误差。可以换算为稳态误差。2023-2-15机械工程 综上所述，在不同输入时不同类型系统中的稳态偏差综上所述，在不同输入时不同类型系统中的稳态偏差可以列成表可以列成表3 36 61 1。0型系统 I型系统 II型系统单位阶跃输入 0 0单位恒速输入 0单
43、位恒加速度输入系统的输入系统的开环11K1K1K2023-2-15机械工程根据上面的讨论，可归纳出如下几点：(1)无偏系数的物理意义无偏系数的物理意义：稳态偏差与输入信号的形式有关，在随动系统中一般称阶跃信号阶跃信号为位置信号，斜坡信号为速度信号，抛物线信为位置信号，斜坡信号为速度信号，抛物线信号为加速度信号号为加速度信号。由输人由输人“某种某种”信号而引起的稳态偏差用一个信号而引起的稳态偏差用一个系数来表示，就叫系数来表示，就叫“某种某种”无偏系数，如位置无偏系数，如位置无偏系数，它表示了稳态的精度。无偏系数，它表示了稳态的精度。“某种某种”无无偏系数愈大，精度愈高；当无偏系数为零时即偏系数
44、愈大，精度愈高；当无偏系数为零时即稳态偏差，表示不能跟随输出；无偏系数为稳态偏差，表示不能跟随输出；无偏系数为 ，则稳态无差。则稳态无差。2023-2-15机械工程 (2)增加系统的型别时，系统的准确度将提高增加系统的型别时，系统的准确度将提高，然而当系统采用增加开环传递函数中积分环节的然而当系统采用增加开环传递函数中积分环节的数目的办法来增高系统的型别时，系统的稳定性数目的办法来增高系统的型别时，系统的稳定性将变差，将变差，开环传递函数中包含两个以上积分环节时，要开环传递函数中包含两个以上积分环节时，要保证系统的稳定性是比较困难的，因此保证系统的稳定性是比较困难的，因此型或更型或更高型的系统
45、实现起来是不容易的，实际上也是极高型的系统实现起来是不容易的，实际上也是极少采用的。少采用的。增大增大K K也可以有效地提高系统的准确度也可以有效地提高系统的准确度，然而也，然而也会使系统的稳定性变差。因此，稳定与准确是有会使系统的稳定性变差。因此，稳定与准确是有矛盾的，需要统筹兼顾。为了减小误差，矛盾的，需要统筹兼顾。为了减小误差，是增大是增大系统的开环放大倍数系统的开环放大倍数K K还是提高系统的型别也需还是提高系统的型别也需要根据具体情况作全面的考虑。要根据具体情况作全面的考虑。2023-2-15机械工程 (3)(3)根据线性系统的叠加原理，可知当输入控制信号根据线性系统的叠加原理，可知
46、当输入控制信号是上述典型信号的线性组合时，即是上述典型信号的线性组合时，即 输出量的稳态偏差应是它们分别作用时稳态偏差之输出量的稳态偏差应是它们分别作用时稳态偏差之和，即和，即 (4)(4)对于单位反馈系统，稳态偏差等于稳态误差。对于单位反馈系统，稳态偏差等于稳态误差。对于非单位反馈系统，可由式对于非单位反馈系统，可由式(3(36 64)4)将稳态偏差将稳态偏差换算为稳态误差换算为稳态误差。必须注意，不能将系统化为单位。必须注意，不能将系统化为单位反馈系统，再由计算偏差得到误差，因为两者计算反馈系统，再由计算偏差得到误差，因为两者计算出的偏差和误差是不同的。出的偏差和误差是不同的。2201()
47、2ia tx taat0121sspvaaaaKKK2023-2-15机械工程 例361 设具有测速发电机反馈的位置随动系统如图3.6.6及3.6.7所示。要求计算当 ,系统的稳态偏差，并对系统在不同输入形式下，具有不同稳态偏差的现象进行物理说明。2()1(t)ix tt t分别为、/2时图图3.6.63.6.6图图3.6.73.6.72023-2-15机械工程 解:图3.6.6与图3.6.7是同一个系统,后者是原来的结构图,前者则是由后者变化而来.下面现分别求稳态偏差.图3.6.6所示，开环传递函数:,为I型系统:图3.6.7所示系统,开环传递函数为 ,为I型系统 5(1 0.8)()()(
48、)(51)KsGsG s H sss0lim()()psKG s H s，101sspK；0lim()()5vsKsG s H s，115ssvK；20lim()()0asKs G s H s，1ssaK。1()()()(1)KGsG s H ss s0lim()()psKG s H s，101sspK；0lim()()1vsKsG s H s，11ssvK；20lim()()0asKs G s H s，1ssaK。2023-2-15机械工程 同一系统不同结构图下求得的偏差不同同一系统不同结构图下求得的偏差不同:物理意义从图物理意义从图3.6.73.6.7较好解释较好解释:系统对于阶跃输入信号
49、不存在系统对于阶跃输入信号不存在稳态偏差稳态偏差,由于由于系统受到阶跃位置信号作用后，其稳态输出必系统受到阶跃位置信号作用后，其稳态输出必定是一个恒定的位置定是一个恒定的位置，这时伺服电动机必须停止转动。显然，这时伺服电动机必须停止转动。显然，要使电动机不转，加在电动机控制绕组上的电压必须为零。要使电动机不转，加在电动机控制绕组上的电压必须为零。这就意味着偏差信号的稳态值等于零，因此系统不存在位置这就意味着偏差信号的稳态值等于零，因此系统不存在位置偏差。偏差。斜坡输入信号作用于系统斜坡输入信号作用于系统，那么系统的，那么系统的输出量在进入稳输出量在进入稳态以后，必定以输入信号的速度转动态以后，
50、必定以输入信号的速度转动。这样，就要求电动机。这样，就要求电动机作恒速运转，因此在电动机控制绕组上需要作用以一个恒定作恒速运转，因此在电动机控制绕组上需要作用以一个恒定的电压，由此推得的电压，由此推得偏差信号的终值应等于一个常值偏差信号的终值应等于一个常值，所以系，所以系统存在常值速度偏差统存在常值速度偏差o o 等加速输入信号作用于系统时，系统的稳态输出也应作等加速输入信号作用于系统时，系统的稳态输出也应作等加速变化等加速变化，为此要求电动机控制绕组有，为此要求电动机控制绕组有等加速变化的电压等加速变化的电压输入输入，最后归结为要求，最后归结为要求误差信号随时间线性增长误差信号随时间线性增长
