1、第三章 概率及概率分布本章主要内容：什么是随机事件以及其意义。概率的一般解释。随机变量的意义。随机变量的分布。随机变量的数学期望和方差。中心极限定理和大数定律。第一节第一节 随机事件与概率随机事件与概率 随机事件 随机事件的概率 随机事件的概率简称概率，是随机事件发生可能性大小的度量。概率有多种 定义，各适宜不同的场合。概率的古典定义概率的统计定义概率的几何定义概率的公理化定义NEXT 一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象；l 对随机现象进行观测称为随机试验;l 随机试验的每一个可能结果称为随机事件，简称事件。常用A、B、C等表示。l 随机事件的关系和运算事件的包含与相等;事件的
2、和（并）;事件的积（交）;事件的差;互不相容关系;互逆关系NEXT第二节第二节 常用的概率分布常用的概率分布随机变量的概念数学期望和方差常见的离散型随机变量的分布 二项分布常见的连续型随机变量的分布 正态分布 1、随机变量随机变量 设随机试验的样本空间为 ，对于每个属于 的样本点 （事件）有一个实数 和它对应，则称实值函数 随机变量，简记为 、或 。)(X)(XXYZ例如，掷三枚分币，反面向上的次数 是随机变量 （正，正，正）0（正，正，负）1（正，负，负）2（负，负，负）3Xi)(iX 2、离散型随机变量概率分布 函数表达形式：表格表达形式：)()(iixpxXP,2,1ki X1x2xkx
3、)(xp)(1xp)(2xp)(kxp 离散型随机变量的概率分布具有下列性质：0)(ixp1)(ixp,2,1ki 3、连续随机变量的概率密度 对于连续型随机变量 如果存在非负可积函数 ，对任意的 都有X)(X)(xf)(,2121xxxx21)()()(2121xxdxxfxXxPxXxP 则称 为 的概率分布密度函数，简称概率密度。)(xfX 连续型随机变量的概率密度具有如下性质：0)(xf1)(dxxf 4、分布函数：设 为随机变量，为任意实数，称函数 为 的累计分布函数，简称分布函数。离散型随机变量的分布函数为 连续型随机变量的分布函数为 对任意实数 有Xx)()(XPxFXxxiix
4、pxXPxF)()()(xdxxfxXPxF)()()(xx)(,2121xxxx)()()()()(121221xFxFxXPxXPxXxPNEXT 随机变量的数学期望是随机变量所有可能取值的平均水平，记为 或 。离散型随机变量 连续型随机变量的数学期望)(XEiipxXE)(dxxxfXE)()(随机变量的方差是随机变量的各可能取值偏离其均值的离差平方的均值，记为 或 。离散型随机变量连续型随机变量的方差分别为 )(xD2iiiipxExXExE22)()()(xD dxxfxExxD)()()(22 现有甲、乙两种股票，在未来不同经济状况下的可能报酬率和相应的概率如下：p1x2x经济状况
5、可能的报酬率（%）状况发生的概率经济过热30-450.1繁荣20-150.2正常10150.3衰退0450.3萧条-10750.1 试计算两种股票的预期报酬率和标准差。并比较风险的大小。%909.01.0)1.0(3.003.01.02.02.01.03.0)(1iipxXE%1818.01.075.03.045.03.015.02.0)15.0(1.0)45.0()(2iipxXE0129.0)()()(21211iiipXExXExEXD1161.0)(2XD%36.111%07.242 即乙股票的报酬率高，风险也高。NEXT 重贝努里试验：如果 次重复试验都具有以下特点：每次试验只有“成
6、功”或“失败”两种可能结果。每 次 试 验“成 功”的 概 率 都 为 ，“失败”的概率为 ，且 。试验是相互独立的，即每次试验结果的概率不受其它各次试验结果的影响。则称 次独立重复试验为“重贝努里试验”。n)10(ppqp)1(1qpnnn二项分布：在 重贝努里试验中，“成功”（事件 发生）的次数 是一个随机变量，其概率分布为 概率分布是二项式 展开式的通项故称 服从二项分布。其中 为参数，记 为 nAX )(kXPknkknqpCnk,1,0 nqp)(pn,),(pnBXX二项分布的数学期望方差均方差)(XEnp)(xDnpq npq 例例1：某车间里共有：某车间里共有9台车床，每台车床
7、使用电力是间台车床，每台车床使用电力是间歇的，平均每小时约有歇的，平均每小时约有12分钟使用电力。假定车工们使用分钟使用电力。假定车工们使用电力与否是相互独立的，试问电力与否是相互独立的，试问 在同一时刻有在同一时刻有7台或台或7台以上的车床使用电力的概率为台以上的车床使用电力的概率为多少？多少？最多有一台使用电力的概率为多少？最多有一台使用电力的概率为多少？解：设同一时刻使用电力的车床数为X，则服从二项分布。9n5/160/12p59799108944.1)511()51()7(xxxxcXp4362.0)511()51()1(1099xxxxcXp 例例2、滨海市保险公司发现索赔要求中有、
8、滨海市保险公司发现索赔要求中有15%是因为是因为被盗而提出的。现在知道被盗而提出的。现在知道1999年中，公司共收到年中，公司共收到20个索赔个索赔要求，试求其中包含要求，试求其中包含7个或个或7个以上被盗索赔的概率。个以上被盗索赔的概率。00592.0)15.01()15.0()7(2072020 xxxxcXpNEXT 正态分布 1、正态分布密度函数：如果连续型随机变量 的概率密度为 则称 服从参数为 ,的正态分布，记为 .XX)()0(222)(21)(xexf)(x),(2NX2、正态分布的分布函数：正态分布曲线具有如下特征：正态曲线呈钟形，以 为对称轴，曲线在 处达到极大值 曲线的陡
9、缓程度取决于 ，对同样的 ，当 愈大曲线愈平缓；愈小曲线愈陡峭。dyexXPxFxx222)(21)()(x21)(f x 3、标准正态分布：当正态分布 ，时，则称 服从标准正态分布，分别 用 表示概率密度函数和分布函数，即 标准化：若 ，则可以将其标准化。即服从标准正态分布。xexx2221)(),(2NXXz01X),(x)(x例例3 服从标准正态分布，查标准正态分布表求概率。服从标准正态分布，查标准正态分布表求概率。x?)21(xp?)11(xp?)22(xp6826.018413.021)1(2)1(1)1()1()1()11(xp954.019771.021)2(2)22(xp023
10、1.0954.09771.0)1()2()21(xp 例例4 意趣玩具厂准备实行计件超产奖，为此需要对生产定额意趣玩具厂准备实行计件超产奖，为此需要对生产定额做出新规定。根据以往的记录，可知各个工人每月装配的产品数服做出新规定。根据以往的记录，可知各个工人每月装配的产品数服从正态分布从正态分布 。假定车间希望有。假定车间希望有10%的工人能拿到超的工人能拿到超产奖，试问工人每月需完成多少件产品才能或得奖金？产奖，试问工人每月需完成多少件产品才能或得奖金？解：设解：设X为工人每月装配的产品数，设为工人每月装配的产品数，设C是能拿到超产奖的工是能拿到超产奖的工人完成定额。根据题意，有人完成定额。根
11、据题意，有)3600,4000(N%10)(cXp%10)604000604000(cXp28.1604000c%90)604000604000(cXp40006028.1c4077c能拿到超产奖的工人完成定额4077件。查表求解正态分布的概率查表求解正态分布的概率:用用ExcelExcel计算正态分布的概率计算正态分布的概率 fx/常用函数常用函数/NormdistNormdist/按对话框的提示键入按对话框的提示键入所需变量（所需变量（CumulationCumulation是逻辑值，是逻辑值，truetrue是要求计算累是要求计算累计概率，计概率，flaseflase是要求计算概率密度值
12、）。是要求计算概率密度值）。用用ExcelExcel计算已知累计概率相对应的计算已知累计概率相对应的x x fx/统计统计/NorminvNorminv/按对话框的提示键入所需变按对话框的提示键入所需变量。量。NEXT第三节第三节 大数定律和大数定律和 中心极限定律中心极限定律大数定律中心极限定律大数定律大量随机变量的平均数具有统计稳定性的总称。贝努里大数定律：设 是 次重复独立试验中事件 发生的次数，是事件 在每次试验中发生的概率，则取任意小数 ，有即当试验次数 足够大时，有事件 发生的频率接近于概率。01|limnPnnAAnnAnp 切比雪夫大数定律：设独立随机变量序列 ,且存在有限的数
13、学期望 和方差 ,则取任意小数 ，有即当 足够大时，序列 的平均数趋近于数学期望。,1nXX)(iXE2)(iXD01|1|liminXnPnNEXT 中心极限定理中心极限定理：中心极限定理是阐述大量的随机：中心极限定理是阐述大量的随机变量之和的极限分布，可以证明，在某些条件成立的变量之和的极限分布，可以证明，在某些条件成立的情况下：情况下：1、服从二项分布的随机变量，当试验次数、服从二项分布的随机变量，当试验次数 足够大足够大时，近似服从均值为时，近似服从均值为np，方差为，方差为npq 的随机变量。的随机变量。2、设、设 是独立同分布的随机变量，均值是独立同分布的随机变量，均值 和方差和方差 均存在。均存在。当当 时，时，趋于均值为趋于均值为 ，方差为，方差为 的正态分布。的正态分布。,1nXXiXnX1npqnnpnNEXTnpnpq
