1、概率统计概率统计下页结束返回（）一维随机变量的分布一维随机变量的分布一、定义一、定义 设设X为随机变量，对于任意实数为随机变量，对于任意实数x，称函数，称函数为随机变量为随机变量X的分布函数的分布函数.()()F xP Xxx 二、计算二、计算(分布函数求法分布函数求法)1122310,*,*,()*,1,nnnxxxxxxxxF xP Xxxxxxx下页复习概率统计概率统计下页结束返回 nnpppxxxX2121Xkpnxxx21nppp21;,2,1,010 kpk;1210 kkp03 离散型随机变量的分布律的一般表示下页三、分布律三、分布律(离散型离散型)或或概率统计概率统计下页结束返
2、回四、分布函数四、分布函数(连续型随机变量连续型随机变量)()()()xF xP Xxf t dtx 下页()baP aXbf x dx()DP XDf x dx概率计算概率计算概率统计概率统计下页结束返回（）二维随机向量的分布二维随机向量的分布 1 p.1 p.2 p.j PY=yj p1.p2.pi.p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pij x1 x2 xi PX=xi y1 y2 yj XY下页一、离散型一、离散型概率统计概率统计下页结束返回(,),F x yP Xx Yy下页(,)xyf u v dudv DdxdyyxfDYXP),(),(zxyoabD
3、概率计算概率计算二、连续型二、连续型概率统计概率统计下页结束返回下页三、边缘密度三、边缘密度dxyxfyfY),()(dyyxfxfX),()(概率统计概率统计下页结束返回dxxzxfzfz),()(dyyyzfzfz),()(下页四、连续型随机变量函数四、连续型随机变量函数(X+Y)的分布的分布若若X,Y相互独立，得卷积公式相互独立，得卷积公式dxxzfxfzfYXz)()()(dyyfyzfzfYXz)()()(概率统计概率统计下页结束返回（）第三章的典型题第三章的典型题 例例1.1.个球分别编号个球分别编号，任取球，以，任取球，以X和和Y分别表示分别表示,其中的最小号码和最大号码，求其中
4、的最小号码和最大号码，求(X，Y)的概率分布的概率分布 解解：(X，Y)可取可取(1,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,5),且且 PX=1,Y=3=1/10；PX=1,Y=4=2/10；PX=1,Y=5=3/10；PX=2,Y=4=1/10；PX=2,Y=5=2/10；PX=3,Y=5=1/10.1/10 2/10 3/10 0 1/10 2/10 0 0 1/10 1 2 3 3 4 5XY或解：或解：X可取可取1,2,3;Y可取可取3,4,5,联合分布律为联合分布律为下页概率统计概率统计下页结束返回例例2.2.设随机向量设随机向量(X，Y)的分布列为的分布列为3
5、)X和和Y是否独立是否独立?解解:1)PXY=PX=1,Y=2+PX=1,Y=3+PX=2,Y=3=0+1/27+0=1/272)PX=Y=PX=1,Y=1+PX=2,Y=2+PX=3,Y=3=0+6/27+0=6/27Pi.P.j3/2718/276/278/2712/276/271/27PX=1,Y=1 PX=1PY=1所以所以X和和Y不独立不独立.求：求：1)PX0时时,其它,00,),(yxxeyxfyxyxXxedyxedyyxfxf),()(当当x 0时时,00),()(dydyyxfxfX其它,00,)(xxexfxX即下页y=xoxy概率统计概率统计下页结束返回当当y 0时时,
6、即即2),()(20yyyYeydxxedxyxfyf00),()(dxdxyxfyfY其它,00,2)(2yeyyfyY下页例例3.3.已知随机向量（已知随机向量（X，Y）的联合密度函数为）的联合密度函数为求求 X,Y的边缘的边缘概率密度概率密度.其它,00,),(yxxeyxfyy=xoxy当当y0时时,概率统计概率统计下页结束返回例例4.4.设随机变量设随机变量X和和Y相互独立且均服从相互独立且均服从N(0,1),求求22ZXY的概率密度的概率密度(简单了解简单了解).解：解：由于由于X和和Y相互独立且都服相互独立且都服从从N(0,1)，所以，所以(X,Y)的联合密度为的联合密度为)(2
7、2zYXPzZPzFZ当当z0时，时，)(22zYXPzFZzyxdxdyyxf22),(rdredrz2020221221ze所以0,00,)()(22zzzezFzfzZZ当当z0时，时，0)(zFZ结束概率统计概率统计下页结束返回1)(kkkpxXEdxxxfXE)()(1)()()(kkkpxgXgEYEdxxfxgXgEYE)()()()(dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(1.离散型2.连续型3.Y=g(X)4.Z=g(X,Y)ijjijipyxgYXgEZE),(),()(下页（）第四章小结第四章小结概率统计概率统计下页结束返回s s 21/1/l l2 2(b
8、-a)2 2/12l lnpqpqD(X)m m1/1/l l(a+b)/)/2l lnppE(X)N(m m,s s 2)E(l l)U(a,b)P(l l)B(n,p)0-1分布分布D(X)=EX-E(X)212)()(kkkpXExXD22)()()(XEXEXD1.方差的定义与计算方差的定义与计算2.常见分布的期望与方差常见分布的期望与方差dxxfXExXD)()()(2下页概率统计概率统计下页结束返回 任意两个随机变量任意两个随机变量X和和Y的协方差的协方差,记为记为Cov(X,Y),Covariance 定义为定义为 一、协方差一、协方差Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y
9、)定义定义下页为随机变量为随机变量X和和Y的相关系数的相关系数.定义定义 设设D(X)0,D(Y)0,)()(),(YDXDYXCovXY 称称二、相关系数二、相关系数概率统计概率统计下页结束返回（V V）切比雪夫不等式切比雪夫不等式(是任一正数是任一正数).2()|()|D XPXE X对于任何具有有限方差的随机变量对于任何具有有限方差的随机变量 X，都有，都有下页概率统计概率统计下页结束返回smnnXYnkkn121212lim()lim.ntkxknnnXnFxPxedtnm ms s E(Xk)=m m ，D(Xk)=s s 20，k=1,2,则随机变量则随机变量 中心极限定理中心极限
10、定理下页 定理定理 (同分布中心极限定理同分布中心极限定理)设随机变量设随机变量X1,X2,Xn,相互独立，服从同一分布，且有有限的数学期望和方差，即相互独立，服从同一分布，且有有限的数学期望和方差，即的分布函数的分布函数Fn(x)对任意的实数对任意的实数 x，都有，都有概率统计概率统计下页结束返回设设 X:X1,X2,XnniiXXnS122)(11niiXnX111.2.若若 XN(0,1),则则)(2122nXnii)(/2ntnXt),()()(21222112nnFnnnnF下页（II）统计量小结统计量小结概率统计概率统计下页结束返回Xi N(m m,s s 2)1,0(NXism)
11、()(2122nXniism),(21smnnNXnii),(2nNXsm)1,0(NnXsm)1(/ntnSXm)1()1(222nSns(1)(2)(3)3.若若 XN(m m,s s 2)，下页1234则则X相互独立相互独立.与与2S概率统计概率统计下页结束返回12122211221212()()(2)(1)(1)11()2X Yt nnnSnSnnnnmm),(22212121nnNYXssmm)1,0()()(22212121NnnYXssmm(1)(2)当当s s12=s s22=s s 2时，时，4.两个正态总体两个正态总体当当s s12,s s22 已知时，已知时，下页56Y
12、N(m m2,s s22)：Y1，Y2，,Yn2，X与与Y相互独立相互独立.X N(m m1,s s12)：X1，X2，,Xn1概率统计概率统计下页结束返回)1,1(2122222121nnFSSss(4)下页78当当m m1 1、m m2 2 已知时已知时,),()()()(1)(1)()(211222111212221222221212112221122121nnFYnXnYnXnnnnnFniiniiniiniimsmsmsms(3)当当m m1 1、m m2 2 未知时未知时,Y N(m m2,s s22)：Y1，Y2，,Yn2，X与与Y相互独立相互独立.X N(m m1,s s12)：X1，X2，,Xn14.两个正态总体两个正态总体
