1、概率论与数理统计绪绪 论论 在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成截然不同的两大类：确定性现象和不确定性现象。确定性的现象是指在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。举例来说，在标准大气压下，水加热到 100，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。通常的自然科学各学科就是专门研究和认识这种必然性的，寻求这类必然现象的因果关系，把握它们之间的数量规律。不确定性的现象是指在一定条件下，它的结果是不确定的。举例来说，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进
2、行小麦品种的人工催芽试验，各颗种子的发芽情况也不尽相同，有强弱和早晚的分别等等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素又是人们无法事先一一能够掌握的。正因为这样，在这一类现象中，就无法用必然性的因果关系，对个别现象的结果事先做出确定的判断。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫作偶然现象，或者叫作随机现象。在自然界，在生产、生活中，随机现象十分普遍，也就是说随机现象是大量存在的。比如：每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等，都是随机现象。因此，我们说：随机现象就
3、是在同样条件下，多次进行同一试验或调查同一现象，所得结果不完全一样，而且无法准确地预测下一次所得结果的现象。随机现象这种结果的不确定性，是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的。随机现象从表面上看，似乎是杂乱无章的、没有什么规律的现象。但实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性。大量同类随机现象所呈现的这种规律性，随着观察次数的增多而愈加明显。比如掷硬币，每一次投掷很难判断是哪一面朝上，但是如果多次重复地掷这枚硬币，就会越来越清楚地发现它们朝上的次数大体相同。这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性，叫作统计规律性。概率论和数理统计就是研究大量同类随机现象的统
4、计规律性的数学学科。第一节第一节 概率论与数理统计概率论与数理统计发展史简介发展史简介 概率论起源于赌徒对赌博的研究。在作风严谨的数学大家庭中，概率论的诞生背景有点受人轻视，但其在自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可或缺的作用。直观地说，卫星上天，导弹巡航，飞机制造，宇宙飞船遨游太空等都有概率论的一份功劳；及时准确的天气预报，海洋探险，考古研究等更离不开概率论与数理统计；电子技术发展，影视文化的进步，人口普查及教育等同概率论与数理统计也是密不可分的。它内容丰富，结论深刻，有别开生面的研究课题，有自己独特的概念和方法，已经成为近代数学一个有特色的分支。拉普拉斯
5、曾说过：“一门开始于研究赌博机会的科学，居然成了人类知识中最重要的学科，这无疑是令人惊讶的事情。”但如果认真研究概率论的发展历史，就会发现这门科学独特的魅力，以及其吸引了众多优秀数学家为之付出无数心血努力，最终成为人类文明的一个璀璨成果也是历史的必然。一、机会游戏引起的思考（16世纪初至17世纪中叶）概率论萌芽之作最早可归属于意大利数学怪杰卡尔达诺（G.Cardano，15011576）在1663年出版的遗著论机会游戏（另译游戏机遇的学说）。卡尔达诺本人是一个狂热的赌徒。他在论机会游戏中讲述的是自己作为一个赌徒的亲身体会，因为书中包含了与赌博有关的各种各样的问题，其中不仅有对赌局的描述，而且还
6、有如何在赌博过程中防止对手的欺骗等问题。有关机会问题只是其中的一小部分，如在该书的第十三章，卡尔达诺考虑了掷两颗骰子的所有方式数。他论述到在掷两颗骰子时，掷出的和是 2 点或 12 点只有一种方式。掷出的和是 11 点有 2 种不同的方式，即（5，6）或（6，5），其中（5，6）表示第一颗骰子掷出的是 5 点，第二颗骰子掷出的是 6 点，以下类同。掷出的和是 10 点有 3 种不同的方式，即（5，5）或（4，6）或（6，4）等等。他接着论述到，要计算对于要求掷出的和是 10 点或 11 点的问题，共有 5 种成功的投掷和 31 种不成功的投掷，因此胜负比是 5 31。由此推出公平的赌注应该是赌
7、出现和是 10 点与 11 点的人出 5 枚金币，赌不出现的出 31 枚金币。他还直接给出了掷 3 颗骰子的情况。正是在这部有关论赌博的著作中，卡尔达诺首次给出了等可能性事件发生概率的一个粗略定义：一个特殊结果发生的概率等于得到这一结果的各种可能方式的数目除以“全范围”。由此可见，卡尔达诺给出的定义正是古典概率定义 的原始形式。()mP An 值得一提的是在卡尔达诺之前，于 1494 年意大利出版的一本计算技术教科书中，作者帕奇欧里（L.Pacioli，约14451509）曾讨论过点数问题，即在赌博提前中断的情况下，如何在两赌徒之间分配赌金的问题。帕奇欧里建议应按两方已胜局数之比进行分配。许多
8、年之后，卡尔达诺重新讨论了这一问题，他提出需要分析的不是已经赌过的次数，而是剩下的次数，他的这一想法已朝“点数问题”的解决迈出了一大步。这个问题的真正解决是由费马和帕斯卡完成的。二、概率理论的早期探索（17世纪中叶）1654 年，法国数学家帕斯卡（B.Pascal，16231662）和费马（P.de Fermat，16011665）针对赌博中提出的赌金分配问题进行通信讨论，两人主要探讨赌博中赌金的“公平”分配和计算。帕斯卡和费马的这些信件被看作是数学史上最早的概率论文献。其中一个最有名的问题就是“点数问题”，是帕斯卡的朋友梅累所提出。由于这一问题是古典概率的经典题例并影响日后古典概率思想的发展
9、，现将其概述如下。两赌徒各出 32 枚金币作为赌金，以先得 3 分为赢。第一人现得 2 分，第二人仅得1分。若赌局因故中断，问怎样分配赌金才算公平？当时有人按 3 2 和 3 1 的比例分配 64 枚赌金。帕斯卡和费马否定了这种算法。帕斯卡认为，若不是因故停止赌局而进行下一次的决赛，将会有两种可能情况：第一人赢，并获得 64 枚全部赌金；或第二人赢，按 2 2 各分得 32 枚金币。所以无论是停赌还是续赌，第一人至少应得 32 枚是确定无疑的。现在在停局的情况下，第一个人可以这样说：我一定能得 32 枚金币，即使我下一轮输了，也应将 32 枚归我。至于另外的 32 枚，也许你得也许我得，机会是
10、均等的，所以，在给我32枚金币之后，再让我们均分另外的 32 枚吧。这样，第一人将得 48 枚，第二人仅得 16 枚。但如按照 3 2 和 3 1 的比例分配，第一人不足 43 枚，第二人得 21 枚还多，第一人显然吃亏。费马则另有说法，由于第一人已得 2 分，第二人已得 1 分，离赌博结束最多还要赌 2 局，其结果有四种可能情况：（甲、甲），（甲、乙），（乙、甲），（乙、乙），（其中，甲表示第一人获胜，乙表示第二人获胜。）费马的解法正是现在通行的概率教科书中的解法。费马虽没有用“概率”这个词，或许他已经认识到第一个人赢的概率是 3/4，也就是有利情形数与所有情形数的比。在这个定义中，自然要假
11、定所有的情形都是等可能的，即机会均等。虽然帕斯卡和费马思考这一问题的角度不一样，但他们都得出了“点数问题”的正确答案。我们认为，概率论概念的要旨在于对未发生事件的估计和评价，而这种思想正是在帕斯卡和费马的通信讨论中才有所体现，因而他俩被认为是概率论的启幕者。在上述所有四种可能的结果中，除最后一种情况第二人获胜外，其余情况都是第一人获胜。因此第一人有权分得全部赌金的 。34 后来荷兰数学家惠更斯（C.Huygens，16291695）也加入了帕斯卡和费马的讨论，并在 1657 年出版了论概率博弈的计算（又译论赌博中的计算）一书。此书是概率论第一部成型的著作，书中包含 14 个命题，提出了数学期望
12、、概率的加法定理与概率的乘法定理等基本概念。在他的第三个命题中，以更为明显的形式推广了帕斯卡和费马关于赌金分配的计算，导出了数学期望的公式：若有 p 次机会使我赢得赌金 a 以及 q 次机会赢得赌金 b，如果所有机会都是等可能的，则我的期望值为 。尽管他的定义仍采用赌博的术语，但推广到别的场合已没有困难。papbpq三、概率理论框架的建立与迅速发展（17世纪中叶至18世纪中后叶）使概率论成为一个独立的数学分支是瑞士数学家雅各布伯努利（Jakob Bernoulli，16551705）。1713年，雅各布伯努利的遗著猜度术（Ars Conjectandi），可称为是概率论的第一部专著，也是概率论
13、历史上的重要经典著作之一，正是这部著作奠定了概率论作为一门独立数学分支的基础。在这本专著中，雅各布伯努利主要有四个贡献：第一，将排列组合的理论运用到概率中，证明了掷 n 颗骰子所得总数为m 这样场合的数正好为 展开式中 这一项的系数，这不仅是概率论中的一个妙解，而且还开创了母函数的先河。第二，专著中还建立了概率论中的第一个极限定理，即伯努利大数定理。这一大数定理指出，概率是相对频率的数学抽象，解释了偶然性向必然性转化这一常见的现象。伯努利的这一定理在概率的发展史上起到了理论奠基的作用，正是这一定理，才使得概率论开始具有了一门统一的数学理论的资格。23456()nxxxxxxmx 第三，对概率论
14、的有关内容，如概率作为确定性的度量、必然性与偶然性、预前与预后概率等进行了一番哲学思考。第四，试图将概率理论应用到诸如政治、经济、伦理、法律等更加广泛的领域中去。虽然伯努利提出了将概率思想应用于社会伦理、政治、经济学等，但他并没有给出实例。不过，他指明了一条路，据此向这些问题发起冲击的是一位比他稍晚的同时代的年轻人，亚伯拉罕棣莫弗。棣莫弗（A.De Moivre，16671754），1667年生于法国，后因教派斗争遭到监禁并移居英国，他在英国靠做家庭教师糊口，直至于1754年在伦敦去世。棣莫弗在概率论方面的主要工作，一是首次定义了独立事件的乘法定理；二是得到了二项概率分布的近似，作为正态分布或
15、高斯分布的原始形式，成为其后两个世纪概率论和统计中有效的发现工具；三是给出了“机会”和稳定频率相关关系的数学表达；四是将概率论用于保险事业，并对机会问题进行了较高层次的思考和论述。机会论是棣莫弗对概率论做出的重要贡献。棣莫弗（A.De Moivre，16671754），1667年生于法国，后因教派斗争遭到监禁并移居英国，他在英国靠做家庭教师糊口，直至于1754年在伦敦去世。棣莫弗在概率论方面的主要工作，一是首次定义了独立事件的乘法定理；二是得到了二项概率分布的近似，作为正态分布或高斯分布的原始形式，成为其后两个世纪概率论和统计中有效的发现工具；三是给出了“机会”和稳定频率相关关系的数学表达；四
16、是将概率论用于保险事业，并对机会问题进行了较高层次的思考和论述。机会论是棣莫弗对概率论做出的重要贡献。1777 年，法国数学家蒲丰（Buffon Georges Louis Leclerc，17071788）提出几何概率的概念，其典型模型是：长 l 的同质均匀针随机地投向画有最近两平行线相距为 的许多平行线的平面，求针与直线相交的概率。这里“随机”是指针的中心落点与针的方向都是等概率的，而且中心落点与针的方向无关。其解得的结果为：所求的针与直线相交的概率为：。2lPaal 这是数学史上古典概率中几何概率的一个精彩实例。由于 ，只要求得 P，则可求出 的值。1901年，意大利的拉泽里尼（Lazz
17、errini）投针 3 408 次，他统计出与平行线相交的次数 m，于是求得 的近似值（精确到 6 位小数）。1812年，法国人拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，17491827）在概率的分析理论中推广了蒲丰的模型：两组正交等距平行线，一组距离为 a，另一组距离为 b，针长为 ，则针与任一直线相交的概率为：，当 时（或 ），即为蒲丰的结果。2()l abPabb minlab，a 2lPa3408mP 蒲丰还另有著述政治算术，亦涉及概率的计算和广泛应用。继雅各布伯努利之后，高斯、泊松等相继对概率论做出了进一步的奠基性贡献。例如，1809年，高斯分别独立地引入正态分布；1837
18、年，法国数学家泊松（Poisson SimeonDenis，17811840）给出泊松大数定律等。四、概率理论成果的全面总结与完善时期（18世纪中后叶至19世纪末20世纪初）1812 年，拉普拉斯的名著概率的分析理论出版，书中系统地总结了前人关于概率的研究成果，明确了概率的古典定义，在概率论中引入分析方法，把概率论提高到一个新的阶段，把此前各数学家关于概率的零星结果系统化。1814 年，第二版的书名换成概率的哲学导论，在该书中论述了概率论定义、发展历史、概率计算的一般原理与应用。在这部著作中，拉普拉斯给出了概率论的七个一般原理，这七个原理是现在概率教科书中古典概率部分的核心内容。拉普拉斯生长于
19、政治和社会动荡的法国大革命时期，是法国著名的数学家和天文学家。拉普拉斯是古典概率理论和思想的集大成者，概率的分析理论是拉普拉斯对前人及他自己研究成果的全面总结。就概率论而言，拉普拉斯主要有以下贡献：给出了古典概率的一般定义和有关基本原理；得出拉普拉斯中心极限定理；实现了概率论由组合技巧向分析方法的历史性过渡；将概率论广泛应用于寿命预测、保险、人口统计、选举、气象、天体观测等领域，可谓包罗万象。十九世纪后期，概率论的主要成就是中心极限定理，主要人物是俄国的切比雪夫。他于 1866 年建立的独立随机变量的大数定律，使伯努利和泊松的大数定律成为其特例，他还把棣莫弗与拉普拉斯的极限定理推广成一般的中心
20、极限定理。1899 年，法国科学家贝特朗（J.Bertrand）提出了针对古典概率中的含糊与矛盾的所谓“贝特朗悖论”：在半径为r的圆内随机地选择弦，求弦长超过圆内接正三角形边长之概率。在求解的过程中，由于对“任意选择”的不同理解，造成“一题多解”，出现了不唯一的答案！拉普拉斯在概率的分析理论与概率的哲学导论中关于古典概率的含糊概念陷入严重危机之中。为了克服古典概率的缺点，人们开始从创建概率的公理系统入手来改造古典概率，例如，俄国数学家伯恩斯坦（18801968），奥地利数学家冯米西斯（18831953）等提出了一些公理作为概率论的源头命题，但都不够完善。1905年，法国数学家波莱尔（18711
21、956）用他创立的测度论语言来表达概率论，为克服古典概率的弱点打开了大门。波莱尔是法国数学家班勒卫的学生，他把康托尔的集合论与古典分析相结合，对实变函数论有重要的贡献。从 20 世纪 20 年代起，苏联的大数学家柯尔莫哥洛夫开始从测度论的途径来改造概率论。1933 年，他以德文出版了经典名著概率论基础。他作为莫斯科函数论学派领袖鲁金（18831950）的学生，具有雄厚的数学实力，并运用测度来研究概率，他在这本名著中建立了柯尔莫哥洛夫公理化概率论。1934 年，柯尔莫哥洛夫的学生辛钦（18941959）提出“平稳过程”理论。所谓“平稳过程”理论是指随机现象中其统计性质不随时间变化的随机过程。19
22、42 年，日本数学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程，为随机分析的建立奠定了基础。特别值得一提的是，柯尔莫哥洛夫是二十世纪最伟大的数学家之一，也是 20 世纪最有影响的少数几个数学家之一。五、数理统计的新篇章 数理统计学是研究数据收集、数据分析并据以对所研究的问题做出一定结论的科学。数理统计学所考察的数据都带有随机性（偶然性）误差，这给根据这些数据所做出的结论带来了一种不确定性，其量化要借助于概率论的概念和方法。数理统计学与概率论这两个学科的密切联系，正是基于这一点。统计学起源于收集数据的活动，小到个人的事情，大到治理一个国家，都有必要收集种种有关的数据。例如，在我国古代典籍中，就有不少关于
23、户口、钱粮、兵役、地震、水灾和旱灾等等的记载。西方则把收集和整理国情资料的活动称为统计，统计一词（Statistics）正是由国家（State）一词演化而来的。现今各国都设有统计局或相当的机构。当然，单是收集、记录数据这种活动本身并不能等同于统计学这门科学的建立，需要对收集来的数据进行排比、整理，用精炼和醒目的形式表达，在这个基础上对所研究的事物进行定量或定性估计、描述和解释，并预测其未来可能的发展状况。例如，根据人口普查或抽样调查的资料对我国人口状况进行描述，根据适当的抽样调查结果，对受教育年限与收入的关系，对某种生活习惯与嗜好（如吸烟）与健康的关系作定量的评估。总之，根据以往一般时间某项或
24、某些经济指标的变化情况，预测其在未来一般时间的走向等，做这些事情的理论与方法就构成了数理统计学的内容。这样的统计学始于何时？恐怕难于找到一个明显的、大家公认的起点。1662 年，英国统计学家 J.格兰特组织调查伦敦的人口死亡率，并发表专著从自然和政治方面观察死亡统计表，标志着这门学科的诞生。中世纪欧洲流行黑死病，死亡的人不少。自 1604 年起，伦敦教会每周发表一次“死亡公报”，记录该周内死亡的人的姓名、年龄、性别、死因。以后还包括该周的出生情况依据受洗的人的名单，这基本上可以反映出生的情况。格兰特还对保险统计、经济统计进行了数学研究，称其学问为“政治算术”。他发现人口出生率与死亡率相对稳定，
25、提出了“大数恒静定律”，之后统计学的数学性质逐渐加重。十九世纪中叶，比利时统计学家 A凯特勒和英国生物学家 B高尔顿在数理统计方面的工作对现代数理统计的发展影响甚大。凯特勒把统计方法应用于天文、数学、气象、物理、生物和社会学，且强调了正态分布的用途。他曾长期进行比利时国力调查且组织国际统计工作，使数理统计方法被方方面面的科学技术领域所接受和重视。高尔顿于 1889 年出版数理统计著作自然的遗传，引入了回归分析方法，给出了回归直线和相关系数的重要概念。所谓统计相关，是指一种非决定性的关系，如人的身高 X 与体重 Y 存在一种大致的关系，表现在 X 大（小）时，Y 也倾向于大（小），但这是非决定性
26、的，即由 X 并不能决定 Y。现实生活中和各种科技领域中，这种例子很多，如受教育年限与收入的关系，经济发展水平与人口增长速度的关系等，都是属于这种性质。统计相关的理论把这种关系的程度加以量化，而统计回归则是把统计相关的变量，如上文的身高 X 和体重 Y 关系的形式作近似估计，称为回归方程。现实世界中的现象往往涉及众多变量，它们之间有错综复杂的关系，且许多属于非决定性质。相关回归理论的发明，提供了一种通过实际观察去对这种关系进行定量研究的工具，有着重大的认识和实用意义。作为一门独立的学科，现代数理统计的奠基人是英国数学家和生物学家费希尔（Fisher Ronald Aylmer，18901962
27、），他长期在农业试验站搞生物实验，先后任伦敦大学和剑桥大学教授，1929 年当选皇家学会会员。1922 年出版了他的现代统计的基础性著作理论统计的数学基础，对统计中的多元分析、相关系数、样本分布及其在生物遗传与优生方面的应用，进行了系统深入的阐述。他的主要贡献在估计理论、假设检验、实验设计和方差分析等方面。他所领导的伦敦大学数理统计学派，在 20 世纪 30 年代到 40 年代在世界数理统计界占主导地位。1940年，瑞典数学家拉默（HCramer）发表统计学的数学方法，运用测度论方法总结数理统计的成果，使现代数理统计趋于成熟。自二战结束迄今，数理统计学有了迅猛的发展，数理统计学理论框架的建立以
28、及概率论和数学工具的进展，为统计理论向纵深发展提供了新的思路和多种手段，许多在早期比较粗略的理论和方法，在理论上得到了完善与深入，并不断提出新的研究课题；此外，由于电子计算机的发明与普遍应用，给数理统计的发展提供了巨大的推力。一方面，计算机提供了必要的计算工具统计方法的实施往往涉及大量数据的处理与运算，用人力无法在合理的时间内完成，所以，虽然人们很早就知道一些统计方法，但很少付诸实施，就因为人力难及，而计算机的出现解决了这个问题。另一方面，计算机对促进统计理论研究也有助益，统计模拟是其表现之一。在承认上述成就的同时，不少统计学家也指出这一时期发展中出现的一些问题，其中主要的一点是，数理统计理论
29、研究中的“数学化”味道愈来愈重，相当一部分研究工作停留在数学的层面，早期那种理论研究与现实问题密切结合的优良传统有所淡化，一些学者还提出了补救的建议，对未来统计学发展的方向进行探讨。同时，现实问题愈来愈涉及大量的、结构复杂的数据，而按现行的数理统计方法去处理，显得力所不及，这就需要一些带有根本性创新的思路。有鉴于此，部分统计学家乐观地认为数理统计学正面临一个新的突破。第二节第二节 概率论与数理统计主要内容概率论与数理统计主要内容 概率论与数理统计是随机数学分支，它们是密切联系的同类学科但是应该指出，概率论、数理统计、统计方法又都各有它们自己所包含的不同内容，如图 0-1 所示。图 0-1 概率
30、论是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性做出一种客观的科学判断，其中包括：对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。数理统计是应用概率理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性，从而使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。应该指出，概率统计在研究方法上有它的特殊性，和其他数学学科的主要不同点如下。第一，由于随机现象的统计规律是一种集
31、体规律，必须在大量同类随机现象中才能呈现出来，所以，观察、试验、调查是概率统计这门学科研究方法的基石。但是，作为数学学科的一个分支，它依然具有本学科的定义、公理与定理。尽管这些定义、公理、定理源于自然界的随机规律，但它们是确定的，不存在任何随机性。第二，在研究概率统计中，使用的是“由部分推断全体”的统计推断方法。这是因为它研究的对象随机现象的范围是很大的，在进行试验、观测的时候，不可能也不必要全部进行。但是由这一部分资料所得出的一些结论，可推广到全体范围。第三，随机现象的随机性是指试验、调查之前来说的，而真正得出结果后，对于每一次试验，它只可能得到这些不确定结果中的某一种确定结果。在研究这一现
32、象时，应当注意在试验前能不能对这一现象找出它本身的内在规律。第三节第三节 排列组合与二项式定理复习排列组合与二项式定理复习一、关于基本计数原理1加法原理 设完成一件事有 m 种方式，第一种方式有种 方法，第二种方式有 种方法，；第 m 种方式有 种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有 种不同的方法。1n2nmn12mnnn2乘法原理 设完成一件事有 m 个步骤，第一个步骤有 种方法，第二个步骤有 种方法，第 m 个步骤有 种方法，必须通过每一步骤，才算完成这件事。则完成这件事总共有 种不同的方法。加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同
33、时也是推导下面常用排列组合公式的基础。同时它们也是计算古典概率的基础。12mnnn1n2nmn二、关于排列1选排列 从 n 个不同元素中，每次取 个不同的元素，按一定的顺序排成一列，称为选排列，其排列总数为：。!A(1)(2)(1)()!knnn nnnknk1kkn（）2全排列当 时称为全排列，其排列总数为：。knA(1)(2)2 1!nnn nnn 3可重复排列从 n 个不同元素中，每次取 k 个元素（），允许重复，这种排列称为可重复排列，其排列总数为：。knkn n nnn 三、关于组合与二项式定理1组合 从 n 个不同元素中，每次取 k 个（）元素，不管其顺序合并成一组，称为组合，其组
34、合总数为：，其中 常记为 ，称为组合系数。A!C!()!kknnnknk kCknnk 1kn2二项式定理 。0112221100()CCCCCCnnnnnnnnnkn kknnnnnnkabaabababa bab3组合与排列的关系 。4组合系数与二项式定理的关系AC!kknnk组合系数 又常称为二项式系数，因为它出现在下面的二项式定理的公式中：。利用此公式，令 ，可得到组合公式：。Ckn0()Cnnkkn knkaba b1ab0121CCCCC2nnnnnnnn四、解决排列组合问题的一些策略技巧 解决排列组合综合性问题的一般过程如下。（1）认真审题，弄清要做什么事。（2）怎样做才能完成所
35、要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及分多少类。（3）确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素。解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。1特殊元素和特殊位置优先策略例例1 由 0，1，2，3，4，5 可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？解解 如图 0-2 所示，由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。先排末位，共有 ；然后排首位，共有 ；最后排其他位，共有 。由分步计数原理得 种。13C34A113344C C A28814C图 0-2 位置分析法和
36、元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素。若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。2相邻元素捆绑策略例例2 7 人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？解解 可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其他元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排，如图 0-3 所示。由分步计数原理可得共有 种。要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题。即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其他元素一起做排列，同时要注意合并元素内部也必须排列。图0-3522522A
37、 A A4803不相邻问题插空策略例例3 一个晚会的节目有 4 个舞蹈，2 个相声，3 个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？解解 如图 0-4 所示，分两步进行，第一步排 2 个相声和 3 个独唱，共有 种；第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 5 个元素中间，加上首尾两个空位，共有 种不同的方法。由分步计数原理，节目的不同顺序共有 种。元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队，再把不相邻元素插入中间和两端。55A46A5456A A图 0-44定序问题倍缩空位插入策略例例4 7 人排队，其中甲乙丙 3 人顺序已定，共有多少不同的排法？解解 本题主要有两种方法。（1）倍缩
38、法 对于某几个元素顺序已定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数，则共有 种不同排法。（2）空位法 设想有 7 把椅子，先让除甲乙丙以外的四人就座，则共有 种坐法。其余的三个位置由甲乙丙坐，由于甲乙丙顺序已定，因此，对应前面的每种坐法，甲乙丙只有 1 种坐法，则共有 种坐法。定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位模型处理。47A7733AA47A5重排问题求幂策略例例5 把 6 名实习生分配到 7 个车间实习，共有多少种不同的分法？解解 完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有 7 种分法，把第二名实习生分配到车间也有 7 种分法，依此类推
39、。由分步计数原理，共有 种不同的分法。允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置。一般地，n 个不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为 种。67nm6环排问题线排策略例例6 5 人围桌而坐，共有多少种坐法？解解 如图 0-5 所示，围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人 A 并从此位置把圆形展成直线，则其余 4 人共有 种排法，即 种。一般地，n 个不同元素作圆形排列，共有 种排法。如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列，共有 。图 0-544A(5 1)!(1)!nAmnm7多排问题直排策略例
40、例7 8 人排成前后两排，每排 4 人，其中甲乙在前排，丁在后排，共有多少排法？解解 8 人排前后两排，相当于 8 人坐 8 把椅子，可以把椅子排成一排。如图 0-6 所示，先在前 4 个位置排甲乙两个特殊元素，共有 种排法；在后 4 个位置排丁一个特殊元素，共有 种排法；其余 5 人在 5 个位置上任意排列，共有 种排法，则共有 种排法。一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究。14A55A24A215445A A A图 0-68排列组合混合问题先选后排策略例例8 有 5 个不同的小球，装入 4 个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同的装法？解解 第一步，从 5 个
41、球中选出 2 个组成复合元素，共有 种方法。再把 5 个元素（包含一个复合元素）装入 4 个不同的盒内，共有 种方法。根据分步计数原理，装球的方法共有 种。解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想。25C44A2454C A9小集团问题先整体后局部策略例例9 用 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数夹在 1，5 两个奇数之间，这样的五位数有多少个？解解 如图 0-7 所示，把 1，5，2，4 当作一个小集团与 3 排队，共有 种排法；再排小集团内部，共有 种排法。由分步计数原理，共有 种排法。小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其他策略进行处理。图 0-72
42、222A A222222A A A22A10元素相同问题隔板策略例例10 有 10 个运动员名额被分给 7 个班，每班至少一个，有多少种分配方案？解解 因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排，如图 0-8 所示。相邻名额之间形成 9 个空档。在 9 个空档中选 6 个位置插入隔板，可把名额分成 7 份，对应地分给7 个班级。每一种插板方法对应种一分法，共有 种分法。将 n 个相同的元素分成 m 份（n，m 为正整数），每份至少一个元素，可以用 块隔板插入 n 个元素排成一排的 个空隙中，所有分法数为 。图 0-869C1m1n11Cmn11正难则反总体淘汰策略例例11 从 0，1，2，3，
43、4，5，6，7，8，9 这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10 的偶数，不同的取法有多少种？解解 在该问题中，如果直接求不小于 10 的偶数，将很困难，此时可用总体淘汰法。这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数，所取的三个数含有 3 个偶数的取法有 种，只含有 1 个偶数的取法有 种，则和为偶数的取法共有 种。再淘汰和小于 10 的偶数共 9 个（枚举法列出，如图 0-9 所示），则符合条件的取法共有 种。1255C C312555CC C35C312555CC C9 有些排列组合问题，正面直接考虑可能比较复杂，而它的反面往往比较简单，为此可以先求出它的反面，再从整体中淘汰。图 0-91
44、2平均分组问题除法策略例例12 6 本不同的书平均分成 3 堆，每堆 2 本，共有多少分法？解解 分三步取书得 种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨记 6 本书为ABCDEF，若第一步取 AB，第二步取 CD，第三步取 EF，该分法记为（AB，CD，EF），则 中还有其他五种：（AB，EF，CD），（CD，AB，EF），（CD，EF，AB）（EF，CD，AB），（EF，AB，CD），所以三个步骤按不同的排列共有 种，而这些排列对于题目要求的取书结果来说都属于同一种（AB，CD，EF），故除以重复的倍数，共有 种分法。平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以 （n
45、为均分的组数），以避免重复计数。222642C C C22264233C C CAAnn222642C C C13合理分类与分步策略例例13 在一次演唱会上共 10 名演员，其中 8 人能唱歌，5 人会跳舞，现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目，有多少选派方法？解解 10 演员中有 5 人只会唱歌，2 人只会跳舞，3 人为全能演员。以只会唱歌的 5 人是否选上唱歌人员为标准进行研究，只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员的派法共有 种，只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员的派法共有 种，只会唱的5人中有 2 人选上唱歌人员的派法共有 种。由分类计数原理，共有 种派法。112534C
46、C C22112223353455C CC C CC C2233C C2255C C 解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确，分步清晰，层次清楚，不重不漏。其中，分类标准一旦确定，就要贯穿于解题过程的始终。14构造模型策略例例14 马路上有编号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的九只路灯，现要关掉其中的 3 盏，但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏，也不能关掉两端的 2 盏，求满足条件的关灯方法有多少种？解解 把此问题当作一个排队模型，在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯的方法有 种。对于一些不易理解的排列组合题，如果能将
47、其转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型、排队模型、装盒模型等，可使问题快速得到解决。35C15实际操作穷举策略例例15 设有编号 1，2，3，4，5 的五个球和编号 1，2，3，4，5 的五个盒子，现将 5 个球投入这五个盒子内，要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少投法？解解 从 5 个球中取出 2 个与盒子对号，有 种，还剩下 3 球 3 盒序号不能对应。如图 0-10 所示，如果剩下 3，4，5 号球与 3，4，5 号盒，则 3 号球装 4 号盒时，4，5 号球只有 1 种装法。25C 同理，3 号球装 5 号盒时，4，5 号球有也只有 1 种装法。由分步计
48、数原理，共有 种装法。对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图，或许会收到意想不到的结果。252C图 0-1016分解与合成策略例例16 30 030 能被多少个不同的偶数整除？解解 先把 30 030 分解成质因数的乘积形式 。依题意可知，偶因数必先取 2，再从其余 5 个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为 。分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略，首先把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后再依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案。300302 3 5 7 11 13 0123455555
49、55CCCCCC17退归策略例例17 25 人排成 方队，现从中选 3 人，要求 3 人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种？解解 将这个问题退化成 9 人排成 方队，现从中选 3 人，要求 3 人不在同一行也不在同一列，有多少选法。如图 0-11 所示，这样每行必有1人，从其中的一行中选取 1 人后，把这人所在的行列都划掉，如此继续下去。显然，从 方队中选 3 人的方法有 种。接下来再从 方队选出 方队便可解决问题。从 方队中选取 3 行 3列，共有 种选法，所以，从 方队选不在同一行也不在同一列的 3 人工有 种选法。111321C C C3311155321C C C C C6005 53 33355C C3 35 55 55 53 3 处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简单的问题，然后通过解决这个简单的问题来解决原来的问题。图 0-11
