1、1第五章第五章 测量误差基本知识测量误差基本知识2 当对某观测量进行观测，其观测值与真值当对某观测量进行观测，其观测值与真值(客观客观存在或理论值存在或理论值)之差，称为测量误差。之差，称为测量误差。用数学式子表达：用数学式子表达：i=Li X i=Li X (i=1,2(i=1,2n)n)L L 观测值观测值 X X真值真值 ，每一种仪器具有一定的，每一种仪器具有一定的精确度，因而使观测结果的精确度受到一定限制。精确度，因而使观测结果的精确度受到一定限制。测量误差产生的原因很多，但概括起来主要有测量误差产生的原因很多，但概括起来主要有以下三个方面：以下三个方面：3v DJ6DJ6型光学经纬仪
2、基本分划为型光学经纬仪基本分划为11，难以确保分以下，难以确保分以下 估读值完全准确无误。估读值完全准确无误。v 使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，难以保证厘米使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，难以保证厘米以下估读值的准确性。以下估读值的准确性。v水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有含有i i 角误差或交叉误差。角误差或交叉误差。v水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。差。4 观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯因素、工作态度、技术熟练程度等
3、也会给观测者成果带来因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来不同程度的影响。不同程度的影响。例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素的变化，均使观测结果产生误差。的变化，均使观测结果产生误差。例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置不稳定等。不稳定等。5 先作两个前提假设：先作两个前提假设：观测条件相同观测条件相同.对某一量进行一系列的直接观测在此基础上对某一量进行一
4、系列的直接观测在此基础上分析出现的误差的数值分析出现的误差的数值 、符号及变化规律、符号及变化规律。6 例例1 1：用名义长度为：用名义长度为3030米而实际长度为米而实际长度为30.0430.04米的钢尺量距。米的钢尺量距。丈量结果见下表丈量结果见下表5-15-1：表表5-15-1 误差符号始终不变，具有规律性。误差符号始终不变，具有规律性。误差大小与所量直线成误差大小与所量直线成 正比，具有累积性。正比，具有累积性。误差对观测结果的危害性很大。误差对观测结果的危害性很大。7 在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时估过小，每次估读
5、也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶估过小，每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶然。然。大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、有时偏右。有时偏右。可以看出：可以看出：从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任 何规律性。何规律性。多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。8-在相同的观测条件下，对某一量进行一系列在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一的观测，如果出现的误
6、差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为定的规律变化，这种误差称为“系统误差系统误差”。系统误差系统误差具有规律性。具有规律性。-在相同的观测条件下，对某一量进行一系列在相同的观测条件下，对某一量进行一系列 的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面 上看没有任何规律性，为种误差称为上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差偶然误差”。个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。-观测中的错误叫观测中的错误叫粗差粗差。例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。例如
7、：读错、记错、算错、瞄错目标等。错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。一旦发现，应及时更正或重测。一旦发现，应及时更正或重测。引进如下概念：引进如下概念：9 在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改正、抵消或削弱。正、抵消或削弱。对可能存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多对可能存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多次观测，消弱其影响。次观测，消弱其影响。检校仪器：使系统
8、误差降低到最小程度。检校仪器：使系统误差降低到最小程度。求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。采用合理的观测方法：如对向观测。采用合理的观测方法：如对向观测。研究偶然误差是测量学的重要课题。研究偶然误差是测量学的重要课题。适当提高仪器等级。适当提高仪器等级。进行多余观测，求最或是值。进行多余观测，求最或是值。10 若若i i=L=Li i X X （i=1,2,3,i=1,2,3,358,358）负 误 差 正 误 差 合 计 误差区间 d（）个数 k 频率 k/n 个数 k 频率 k/n 个数 k 频率 k/n 0 03 3 3 36 6 6 69
9、9 9 91212 12121515 15151818 18182121 21212424 2424 4545 4040 3333 2323 1717 1313 6 6 4 4 0 0 0.1260.126 0.1120.112 0.0920.092 0.0640.064 0.0470.047 0.0360.036 0.0170.017 0.0110.011 0 0 4646 4141 3333 2121 1616 1313 5 5 2 2 0 0 0.1280.128 0.1150.115 0.0920.092 0.0590.059 0.0450.045 0.0360.036 0.0140.
10、014 0.0060.006 0 0 9191 8181 6666 4444 3333 2626 1111 6 6 0 0 0.2450.245 0.2270.227 0.1840.184 0.1230.123 0.0920.092 0.0720.072 0.0310.031 0.0170.017 0 0 181 0.505 177 0.495 358 1.0001.000 11从表从表5-25-2中可以归纳出偶然误差的特性中可以归纳出偶然误差的特性 在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；的绝对值不会超过一定的限值；绝对值较
11、小的误差出现的频率大，绝对值较大绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；的误差出现的频率小；绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测的个数愈大且，当观测的个数愈大 时，这种特性就表现得愈明时，这种特性就表现得愈明显。显。0limlim21 nnnnn12-24-21-18-16-12-9-6 3 0+3+6+9+12+15+18+21+24 x=图5-1 频率直方图dnk/)(/频率nk 为了直观地表示偶然误差的正负和大小的分布情为了直观
12、地表示偶然误差的正负和大小的分布情况，可以按表况，可以按表5-25-2的数据作的数据作(见下图见下图)。13 若误差的个数无限增大若误差的个数无限增大(n)(n)，同时又无限缩，同时又无限缩小误差的区间小误差的区间d d，则图，则图5-15-1中各小长条的顶边的折中各小长条的顶边的折线就逐渐成为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中线就逐渐成为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中称为称为“”，它完整地表示了偶然误差，它完整地表示了偶然误差出现的概率出现的概率P P。即当即当nn时，上述误差区间内误差时，上述误差区间内误差出现的频率趋于稳定，成为误差出现的概率。出现的频率趋于稳定，成为误差出现的概率。正态
13、分布曲线的数学方程式为正态分布曲线的数学方程式为 :(5-3)为为标准差标准差，标准差的平方为，标准差的平方为 方差方差。方差为偶然误差平方的理论平均值：方差为偶然误差平方的理论平均值：efy221)(22214正态分布曲线的数学方程式为正态分布曲线的数学方程式为 :(5-3)(5-3)efy221)(22 nnnnn 2222212limlim nnnnlimlim2)45()55(15 1 1.f(f()是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得的的f(f()相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第
14、三特性。特性。2.2.愈小，愈小，f(f()愈大。当愈大。当=0=0时，时，f(f()有最大值有最大值;反之，反之，愈大，愈大，f(f()愈小。当愈小。当nn时，时，f(f()0,)0,这就是偶然误这就是偶然误差的第一和第二特性。差的第一和第二特性。3.3.如果求如果求f(f()二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐点横坐标：点横坐标：拐拐=如果求如果求f(f()在区间在区间 的积分，则误差出现在区间内的积分，则误差出现在区间内的相对次数是某个定值的相对次数是某个定值 ，所以当，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭，愈小时，曲线将愈陡峭，即误差分布比较密集；当即误差分
15、布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差愈大时，曲线将愈平缓，即误差分布比较分散。由此可见，参数分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特的值表征了误差扩散的特征征。efy221)(2216f()+-11121-+f()2+-22122117v 观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数 ；v 观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数 ；v 具有较小具有较小 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较陡的趋势迅速下降；陡的趋势迅速下降；v 具
16、有具有 较大较大 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较平缓的趋势伸展。平缓的趋势伸展。最大纵坐标点：21efy221)(22185-2 5-2 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准一一.中误差中误差 误差误差的概率密度函数为：的概率密度函数为：标准差标准差 nmef221)(22 nnnnlimlim2 在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述误差公式：误差公式：标准差标准差中误差中误差 m m 的不同在于观测个数的不同在于观测个数 n n 上；上；标准差表征了一组同精度观测
17、在标准差表征了一组同精度观测在(n)(n)时误差分布的扩散特时误差分布的扩散特征，即理论上的观测指标；征，即理论上的观测指标；而中误差则是一组同精度观测在为而中误差则是一组同精度观测在为 n n 有限个数时求得的观测精有限个数时求得的观测精度指标；度指标；所以中误差是标准差的近似值估值；所以中误差是标准差的近似值估值；随着随着 n n 的增大，的增大，m m 将趋近于将趋近于。19同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标准差，而标准差的估计值即为中误差。准差，而标准差的估计值即为中误差。例例3:3:设对某个三角形用两种不同的精度分别对
18、它进行了设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了1010次次观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为 ；第二组：第二组：0,-1,-7,+2,+1,+1,-8,0,+3,-1.0,-1,-7,+2,+1,+1,-8,0,+3,-1.试求这两组观测值的中误差。试求这两组观测值的中误差。由由 解得：解得：m m1 1=2.7 m2.7 m2 2=3.6 3.6 可见：可见：第一组的观测精度较第二组观测精度高。第一组的观测精度较第二组观测精度高。nm20 根据正态分布曲线，误差在微小区间根据正态分布曲线，误差在微小区间d d中的概率：中的概率：
19、p(p()=f()=f()d d 设以设以k k倍中误差作为区间，则倍中误差作为区间，则在此区间误差出现的概率为：在此区间误差出现的概率为：分别以分别以k=1,2,3k=1,2,3代入上式，可得：代入上式，可得：P(P(m)=0.683=68.3m)=0.683=68.3 P(P(2m)=0.955=95.52m)=0.955=95.5 P(P(3m)=0.997=99.73m)=0.997=99.7 由于一般情况下测量次数有限，由于一般情况下测量次数有限，3 3倍中误差很少遇到，倍中误差很少遇到，故以故以2 2倍中误差作为允许的误差极限，称为倍中误差作为允许的误差极限，称为“容许误差容许误差
20、”，或或 称为称为“限差限差”即即容容=2m=2mkmkmdfkmP)()(21 在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映观测的质量。还不能正确反映观测的质量。例如例如:用钢卷尺量用钢卷尺量200200米和米和4040米两段距离，量距的中误差米两段距离，量距的中误差都是都是2cm2cm，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距的，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距的误差与其长度有关。误差与其长度有关。为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量。即的质量。即m/
21、Lm/L来评定精度，通常称此比值为相对中误差。来评定精度，通常称此比值为相对中误差。相对中误差又可要求写成分子为相对中误差又可要求写成分子为1 1的分式，即的分式，即 。上例为上例为 K K1 1=m=m1 1/L/L1 1=1/10000,=1/10000,K K2 2=m=m2 2/L/L2 2=1/2000=1/2000 可见可见:前者的精度比后者高。前者的精度比后者高。与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为绝与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为绝对误差。对误差。N1225-3 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差 设在相同的观测条件下对未知量观测了设在相同的观
22、测条件下对未知量观测了n次出该次出该未知量的最或然值。未知量的最或然值。，观测值为，观测值为L1、L2Ln，现，现在要根据这在要根据这n个观测值确定个观测值确定 设未知量的真值为设未知量的真值为X，写出观测值的真误差公式为，写出观测值的真误差公式为i=Li-X (i=1,2n)将上式相加得将上式相加得或或故故nXLLLnn 2121 nXL nnLX23 设以设以x表示上式右边第一项的观测值的算术平均值，表示上式右边第一项的观测值的算术平均值，即即以以X表示算术平均值的真误差，即表示算术平均值的真误差，即 代入上式，则得代入上式，则得由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，由偶然误差第四
23、特性知道，当观测次数无限增多时，x趋近于零，即趋近于零，即:也就是说，也就是说，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。趋近无穷大时，算术平均值即为真值。nLx nxxxX0limxn24 现在来推导算术平均值的中误差公式。现在来推导算术平均值的中误差公式。因为因为式中，式中，1n为常数。由于各独立观测值的精度相同，为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为设其中误差均为m。现以。现以mx表示算术平均值的中误表示算术平均值的中误差，则可得算术平均值的中误差为差，则可得算术平均值的中误差为nLnLnLxn 21故 该式即算术平均值的中误差公式。该式即算术平均值的中误差公式。nmmnmnmnm
24、nx22222222111 项nmmx25 同精度观测值中误差的计算公式为同精度观测值中误差的计算公式为而而 这是利用观测值真误差求观测值中误差的定义公式，这是利用观测值真误差求观测值中误差的定义公式，由于未知量的真值往往是不知道的，真误差也就不知道由于未知量的真值往往是不知道的，真误差也就不知道了。所以，一般不能直接利用上式求观测值的中误差。了。所以，一般不能直接利用上式求观测值的中误差。但是未知量的最或然值是可以求得的，它和观测值的差但是未知量的最或然值是可以求得的，它和观测值的差数也可以求得，即数也可以求得，即nmniXLii ,2,1niLxvii ,2,126因因n为有限值，故在实用
25、上可以用为有限值，故在实用上可以用x的中误差近似地代替的中误差近似地代替x的真误差，即的真误差，即 为用改正数来求观测值中误差的公式，称为白塞尔公为用改正数来求观测值中误差的公式，称为白塞尔公式。式。用改正数计算最或然值中误差的公式为用改正数计算最或然值中误差的公式为 1nvvm)1(nnvvm27 在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要由观测值间接计算出来。例如某未知点需要由观测值间接计算出来。例如某未知点B的高程的高程HB，是由起始点，是由起始点A的高程的高程HA加上从加上从A点到点到B点间进行了点间进行了若干站水准测量而得来的观测
26、高差若干站水准测量而得来的观测高差h1hn求和得出的。求和得出的。这时未知点这时未知点B的高程的高程H。是各独立观测值的函数。那么。是各独立观测值的函数。那么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢？如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢？28 设有函数：设有函数：Z为观测值的函数，为观测值的函数，K为常数，为常数，X为观测值，已知其为观测值，已知其中误差为中误差为mx，求，求Z的中误差的中误差mZ。设设x和和z的真误差分别为的真误差分别为x和和z则：则：若对若对x 共观测了共观测了n次，则：次，则：将上式平方，得：将上式平方，得：求和，并除以求和，并除以n，得，得kxz xzk
27、)2,1(nikxizi )2,1(222nikxizi nknxz22229，观测值与常数乘积的中误差，等于观观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。测值中误差乘常数。nmnmxxzz22xzxzkmmmkm222nmnmxxzz2230 例：例：在在1：500比例尺地形图上，量得比例尺地形图上，量得A、B两点间两点间的距离的距离SAB=23.4mm，其中误差，其中误差msab=土土0.2mm，求，求A、B间的实地距离间的实地距离SAB及其中误差及其中误差msAB。解：由题意：解：由题意：SAB=500Sab=50023.4=11700mm=11.7m mSAB500mSab500
28、（士（士0.2）=土土100mm土土0.1m 最后答案为：最后答案为：SAB=11.7m士士0.1m31 设有函数：设有函数：Z为为x、y的和或差的函数，的和或差的函数，x、y为独立观测值，已为独立观测值，已知其中误差为知其中误差为mx、my，求，求Z的中误差的中误差mZ。设设x、y和和z的真误差分别为的真误差分别为x、y和和z则则 若对若对x、y 均观测了均观测了n次，则次，则 将上式平方，得将上式平方，得yxzyxz)2,1(niyixizi )2,1(2222niyii xyixizi 32 由于由于x、y均为偶然误差，其符号为正或负的机会均为偶然误差，其符号为正或负的机会相同，因为相同
29、，因为x、y为独立误差，它们出现的正、负号为独立误差，它们出现的正、负号互不相关，所以其乘积互不相关，所以其乘积xy也具有正负机会相同的性也具有正负机会相同的性质，在求质，在求xy时其正值与负值有互相抵消的可能；时其正值与负值有互相抵消的可能；当当n愈大时，上式中最后一项愈大时，上式中最后一项xy/n将趋近于零，将趋近于零，即即求和，并除以求和，并除以n，得，得 nnnnyxyxz22220limnnyx33 将满足上式的误差将满足上式的误差x、y称为互相独立的误差，称为互相独立的误差，简称独立误差，相应的观测值称为独立观测值。对于简称独立误差，相应的观测值称为独立观测值。对于独立观测值来说，
30、即使独立观测值来说，即使n是有限量，是有限量，由于由于 式残存的值不大，式残存的值不大，一般就忽视它的影响。根据中误差定义，得一般就忽视它的影响。根据中误差定义，得222yxzmmm 即，两观测值代数和的中误差平方，即，两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方之和。等于两观测值中误差的平方之和。0limnnyx34 当当z是一组观测值是一组观测值X1、X2Xn代数和（差）的函数代数和（差）的函数时，即时，即nxxxz 21可以得出函数可以得出函数Z的中误差平方为：的中误差平方为：式中式中m mxixi是观测值是观测值x xi i的中误差。的中误差。即，即，n n个观测值代数和（差）
31、的中误差平方，等于个观测值代数和（差）的中误差平方，等于n n个观测值中误差平方之和个观测值中误差平方之和。222221xnxxzmmmm 35 当诸观测值当诸观测值xi为同精度观测值时，设其中误差为为同精度观测值时，设其中误差为m，即即 mx1=mx2=mxn=m则为则为这就是说，在同精度观测时，观测值代数和（差）的中这就是说，在同精度观测时，观测值代数和（差）的中误差，与观测值个数误差，与观测值个数n的平方根成正比。的平方根成正比。例设用长为例设用长为L的卷尺量距，共丈量了的卷尺量距，共丈量了n个尺段，已知个尺段，已知每尺段量距的中误差都为每尺段量距的中误差都为m，求全长，求全长S的中误差
32、的中误差ms。解：因为全长解：因为全长S=LLL（式中共有（式中共有n个个L）。）。而而L的中误差为的中误差为m。nmmznmmS36 例如以例如以 30m长的钢尺丈量长的钢尺丈量 90m的距离，当的距离，当每尺段量距的中误差为每尺段量距的中误差为5mm时，全长的中误时，全长的中误差为差为nmmSmmm7.8359037 当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都为差都为mL，则每公里长度的量距中误差，则每公里长度的量距中误差mKm也是相等也是相等的。当对长度为的。当对长度为S公里的距离丈量时，全长的真误差公里的距离丈量时，全长的真误差将是将是S个
33、一公里丈量真误差的代数和，于是个一公里丈量真误差的代数和，于是S公里的中公里的中误差为误差为 式中，式中，S的单位是公里。的单位是公里。即：即：kmsmsm38 例例:为了求得为了求得A、B两水准点间的高差，今自两水准点间的高差，今自A点开点开始进行水准测量，经始进行水准测量，经n站后测完。已知每站高差的中站后测完。已知每站高差的中误差均为误差均为m站站，求，求A、B两点间高差的中误差。两点间高差的中误差。解：因为解：因为A、B两点间高差两点间高差hAB等于各站的观测高等于各站的观测高差差hi（i=l，2n）之和，）之和，即即:hAB=HB-HA=h1+h2+.+hn 则则 即即站mnmABh
34、39 在不同的水准路线上，即使两点间的路线长度相在不同的水准路线上，即使两点间的路线长度相同，设站数不同时，则两点间高差的中误差也不同。同，设站数不同时，则两点间高差的中误差也不同。但是，当水准路线通过平坦地区时，每公里的水准测但是，当水准路线通过平坦地区时，每公里的水准测量高差的中误差可以认为相同，设为量高差的中误差可以认为相同，设为mkm。当。当A、B两两点间的水准路线为点间的水准路线为S公里时，公里时，A、B点间高差的中误差点间高差的中误差为为22222kmSkmkmkmhmSmmmmAB 个或或kmhmsmAB40 在水准测量作业时，对于地形起伏不大的地区或平坦在水准测量作业时，对于地
35、形起伏不大的地区或平坦地区，可用地区，可用 式计算高差的中误差；式计算高差的中误差；对于起伏较大的地区，则用对于起伏较大的地区，则用 式计算式计算高差的中误差。高差的中误差。kmABmSmh站mnmABh 例如，已知用某种仪器，按某种操作方法进行水准测例如，已知用某种仪器，按某种操作方法进行水准测量时，每公里高差的中误差为量时，每公里高差的中误差为20mm，则按这种水准，则按这种水准测量进行了测量进行了25km后，测得高差的中误差为后，测得高差的中误差为 mm100252041 设有线性函数：设有线性函数：则有则有 例例 设有线性函救设有线性函救观测量的中误差分别为，观测量的中误差分别为，求求
36、Z的中误差的中误差 nnxkxkxkz 221122222112)()()(nnzxkxkxkm 321141149144xxxzmmmmmmmmmxxx6,2,3321mmmz6.161412149314422242 式中式中 xi(i=1，2n)为独立观测值，已知其中误为独立观测值，已知其中误差为差为mi(i=1 2n)，求，求z的中误差。的中误差。当当xi具有真误差具有真误差时，函数时，函数Z相应地产生真误差相应地产生真误差z。这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的误差与函数的误差之间的关
37、系，可以近似地用函数的全微分来表达。全微分来表达。nxxxfz 21,xnnxxzxfxfxf 212143式中式中 （i=l，2n）是函数对各个变量所取的偏）是函数对各个变量所取的偏导数，以观测值代人所算出的数值，它们是常数，导数，以观测值代人所算出的数值，它们是常数，因此上式是线性函数可为：因此上式是线性函数可为：ixfnnzmxfmxfmxfm22222212212 44 例例 设有某函数设有某函数z=Ssin 式中式中S=150.11m，其中误差，其中误差ms=士士005m；=1194500，其中误差，其中误差m=20.6；求；求z的中误差的中误差mz。解：因为解：因为z=Ssin，所
38、以，所以z是是S及及a的一般函数。的一般函数。mmmmsmmzsz44cossin22222 45 1）按问题的要求写出函数式：）按问题的要求写出函数式：2）对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真）对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：误差之间的关系式：式中，式中，是用观测值代入求得的值。是用观测值代入求得的值。3）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：ixfnxxxfz 21,xnnxxzxfxfxf 2121nnzmxfmxfmxfm22222212212 46例如，设有函数例如，设有函数z=xy，而，而y=3x，此
39、时，此时，。因为。因为x与与y不是独立观测值，不是独立观测值，因为不论因为不论n值多少，恒有值多少，恒有因此，应把因此，应把Z化成独立观测值的函数，即化成独立观测值的函数，即z=x+3x=4x上式中上式中X与与3X两项是由同一个观测值两项是由同一个观测值X组成的，必须组成的，必须先并项为先并项为z=4x 而后求其中误差，即而后求其中误差，即mz=4mx222yxzmmm2333xxxxxyxmnnn47 如果对某个未知量进行如果对某个未知量进行n n次同精度观测，则其次同精度观测，则其最或然值即为最或然值即为n n次观测量的算术平均值：次观测量的算术平均值：niinllllnnX1211)(1
40、48在相同条件下对某段长度进行两组丈量：在相同条件下对某段长度进行两组丈量：lll4,2,1 第一组第一组：第二组第二组：lll10,6,5 算术平均值分别为算术平均值分别为LL21,41421141)(41iillllL1051065261)(61jjllllL49,21mmLL其中误差分别为：其中误差分别为：2142mmLmmL262241mmL62mmL50 全部同精度观测值的最或然值为：全部同精度观测值的最或然值为：101010541jjiilllX646421LLmmmmLmmLmmLLLL2222222122212151ppLpLpX2122111212121ppLLppXpi在在
41、piLiXLi值的大小体现了值的大小体现了中比重的大小，中比重的大小，称称为为的权。的权。令iiLLimmmp222252 若有不同精度观测值若有不同精度观测值,21LLLn其权分别为其权分别为,11pppn该量的最或然值可扩充为该量的最或然值可扩充为：ppLXpppLpLpLpnnn212211称之为广义算术平均值（加权平均值）。称之为广义算术平均值（加权平均值）。53 当各观测值精度相同时当各观测值精度相同时ppppn21nppXniinLLLL121)111()(mmmmn2154二、权 定权的基本公式：mpii22称为称为中误差中误差，为单位权观测值，为单位权观测值，当观测值当观测值L
42、imi1pi称为单位权，称为单位权，Li单位权中误差。单位权中误差。55 权的特性权的特性mmmmmmpppnnn2222122222212211:1:1:1 反映了观测值的相互精度关系。反映了观测值的相互精度关系。3 不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系。值的值的 大小，对大小，对X值毫无影响。值毫无影响。256mmmmmmpppnnn2222122222212211:1:1:4 若若Li同类量的观测值，此时，权无单位。若同类量的观测值，此时，权无单位。若 Li是不同类量的观测值，权是否有单位不能是不同类量的观测值，权是否有单位不能一概而论
43、，而视具体情况而定。一概而论，而视具体情况而定。57例：已知例：已知LLL321,的中误差分别为：的中误差分别为：mmmmmmmmm5,4,3321mmm31设设133222121mp16943222222mp25953222323mp若设若设mm454,1,34321ppP5836.0:56.0:1:321321pppppp1 水准路线观测高差的权水准路线观测高差的权例：例：常用定权公式常用定权公式h3Dh4ABCh1h2E59mnmiihncnmmnpiiii222 当各测站观测高差的精度相同时，水准路线当各测站观测高差的精度相同时，水准路线观测高差的权与测站数成反比。观测高差的权与测站数
44、成反比。四条水准路线分别观测了四条水准路线分别观测了3,4,6,5 测站。测站。mc22604322npc令令c=3,13311npc6333npc5344npcm223令令c=4,341/1npc442/2npc643/3npc544/4npcm22460.0:50.0:75.0:1:/4/3/2/14321pppppppp61 水准路线的长分别为水准路线的长分别为ssss4321,设每公里水准测量观测的中误差为设每公里水准测量观测的中误差为mkmmsmkmihismmspiikmkmi22262ckmm2mkmc22spiic 当每公里水准测量的精度相同时，水准路线观当每公里水准测量的精度
45、相同时，水准路线观测的权与路线长度成反比。测的权与路线长度成反比。3102102104103,2,4,10443322114321scpscpscpscpssssc63当当,10,1csscp S=c=10公里公里 的水准路线的观测高差为单位权观测。的水准路线的观测高差为单位权观测。mmkm1010公里mmmckmkm公里1010每测站观测高差精度相同时：每测站观测高差精度相同时：iincp 每公里观测高差精度相同时：每公里观测高差精度相同时：iiscp 64例例 对某角作三组同精度观测：对某角作三组同精度观测：第一组测第一组测4测回，算术平均值为测回，算术平均值为 1 第二组测第二组测6测回
46、，算术平均值为测回，算术平均值为 第三组测第三组测8测回，算术平均值为测回，算术平均值为23nmmii22 65222222mnnmmpiiii,22cmcmcnpii由不同个数的同精度观测值求得的算术平均值，其权由不同个数的同精度观测值求得的算术平均值，其权与观测值个数成正比。与观测值个数成正比。664 c令1441p5.1462p2483pppppppX321332211cnpii67 在同精度观测中，观测值的精度是相同的，在同精度观测中，观测值的精度是相同的，因此可用因此可用来计算观测值的中误差。在不同精度观测中，来计算观测值的中误差。在不同精度观测中，每个观测值的精度不同，就必须先求出
47、单位权每个观测值的精度不同，就必须先求出单位权中误差中误差，然后根据，然后根据 求出各观测值的中误差。求出各观测值的中误差。1nvvmnm或iipm/以推导计算单位权中误差的公式为以推导计算单位权中误差的公式为np68 对于一组同精度或不同精度观测值来说，对于一组同精度或不同精度观测值来说，如果已经知道它们的真误差，则可按式如果已经知道它们的真误差，则可按式 计算观测值的中误差；计算观测值的中误差；用用 式计算单位权中误差。式计算单位权中误差。nmnpvv69 上式就是由三角形闭合差计算的测角中误差的公上式就是由三角形闭合差计算的测角中误差的公式，名为式，名为。在三角测量中，通常用它来初步评定
48、测角精度在三角测量中，通常用它来初步评定测角精度。nm370 在测量工作中，常常对一系列被观测量各进行在测量工作中，常常对一系列被观测量各进行两次观测。这种观测称为双观测。对一个未知量进两次观测。这种观测称为双观测。对一个未知量进行的两次观测，称为一个观测对。行的两次观测，称为一个观测对。设观测值的中误差为设观测值的中误差为m，得，得 nddmmd2271 1.1.测量误差及其产生的原因测量误差及其产生的原因 仪器的原因仪器的原因 人的原因人的原因 外界环外界环境的影响境的影响 2.2.测量误差的分类与处理原则测量误差的分类与处理原则 系统误差系统误差 -在相同的观测条件下，对在相同的观测条件
49、下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为称为“系统误差系统误差”。偶然误差偶然误差-在相同的观测条件下，对某在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，为值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，为种误差称为种误差称为“偶然误差偶然误差”。72 系统误差对观测结果的影响显著，应尽可能地加系统误差对观测结果的影响显著，应尽可能地加以改正、抵消或
50、削弱。对情况不明的系统误差，以改正、抵消或削弱。对情况不明的系统误差，采用不同时间的多次观测。采用不同时间的多次观测。消除系统误差的常用的有效方法：消除系统误差的常用的有效方法：检校仪器：检校仪器：求改正数求改正数 采用合理的观测方法。采用合理的观测方法。研究偶然误差是测量学的重要课题。研究偶然误差是测量学的重要课题。消除或削弱偶然误差的有效方法：消除或削弱偶然误差的有效方法：适当提高仪器等级适当提高仪器等级 进行多余观测，求最或是值。进行多余观测，求最或是值。73 在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；差的绝对值不会超过一定
