1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（8） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 = *| 3 1+，Bx|x0，则 AB（ ） Ax|0x3 Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|1x3 2 （5 分）已知复数 z 满足 z =0，且 z =4，则 z（ ） A2 B2i C2 D2i 3 （5 分）设0 为单位向量，下列命题中，若 为平面内的某个向量，则 =| | 0 ；若 与 0 平行， 则 =| | 0 ； 若 与 0 平行且| |1， 则
2、 = 0 不正确命题的个数是 （ ） A0 B1 C2 D3 4 （5 分）已知平面向量 =（2，1） ， =（2，4） ，则向量 ， 夹角的余弦值为（ ） A3 5 B4 5 C 3 5 D 4 5 5 （5 分）已知 sin（+）= 1 3，则 2 =（ ） A 3 7 B 7 3 C3 7 D7 3 6 （5 分）函数() = (1 ) (+)（x，）的图象大致是（ ） A B C D 7 （5 分）如果将函数 y= 5 + 5cosx 的图象向右平移(0 2)个单位得到函数 y 3sinx+acosx（a0）的图象，则 tan 的值为（ ） A2 B1 2 C1 3 D3 第 2 页（
3、共 19 页） 8 （5 分）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念若老师站在正中间，甲 同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（ ） A24 B12 C8 D6 9 （5 分）已知ABC 外接圆的半径 R2，且232 2 = ，则ABC 周长的取值范 围为（ ） A(23，4 B(4，43 C(43，4 + 23 D(4 + 23，63 10 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点分别为 F1，F2直线 1 过 左焦点 F1且与双曲线的左支交于 A，B 两点，若|AF1|3|BF1|，|AB|BF2|，则双曲线 C 的离心率为（ ） A2
4、 B3 C2 D5 11 （5 分）函数 f（x）的图象如图所示，f（x）是 f（x）的导函数，则下列式子正确的是 （ ） A0f（1）f（2）f（2）f（1） B0f（2）f（2）f（1）f（1） C0f（2）f（1）f（2）f（1） D0f（2）f（1）f（1）f（2） 12 （5 分）在三棱锥 SABC 中，ABBC，ABBC2， = = 22，二面角 SAC B 的余弦值是 3 3 ，若 S，A，B，C 都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A6 B8 C12 D18 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）设随机
5、变量 N（3，2） ，若 P（7）0.16，则 P（17） 14 （5 分）若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率先由计算器给出 0 到 9 之间取整数的随机数，指定 0，1，2，3 表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9 表示 击中目标，以 4 个随机数为一组，代表射击 4 次的结果，经随机模拟产生了 20 组如下的 随机数： 第 3 页（共 19 页） 7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6133 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该运动员射
6、击 4 次恰好击中 3 次的概率为 15（5 分） 已知直线 l： xmy10， 若直线 l 与直线 mxy1 平行， 则实数 m ； 圆 x2+2x+y2150 被直线 mxy1 截得的最短弦长为 16（5 分） 定义在实数集 R 上的偶函数 f （x） 满足( + 2) = 2 + 4() 2()， 则 f （2021） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an满足 2a1+7a2+12a3+（5n3）an4n （1）求数列an的通项公式； （2）求数列*3 +的前 n 项和 Sn 18 （12 分）如图
7、，矩形 ABCD 中，AD2AB4，E 为 BC 的中点，现将BAE 与DCE 折起，使得平面 BAE 及平面 DEC 都与平面 ADE 垂直 （1）求证：BC平面 ADE； （2）求二面角 ABEC 的余弦值 19 （12 分）3 月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫 物资供不应求，某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品已知该厂有两条不同 生产线 A 和 B 生产同一种产品各 10 万件， 为保证质量， 现从各自生产的产品中分别随机 抽取 20 件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示： 该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到90，100）的产品，质量等级
8、为优秀；鉴定 成绩达到80，90）的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到60，80）的产品，质量等级 第 4 页（共 19 页） 为合格将这组数据的频率视为整批产品的概率 （1）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记 X 为来自 B 机器生产的产品数量，写出 X 的分布列，并求 X 的数学期望； （2） 请完成下面质量等级与生产线产品列联表， 并判断能不能在误差不超过 0.05 的情况 下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的生产线有关 A 生产线的产品 B 生产线的产品 合计 良好以上 合格 合计 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2）k0） 0.10 0.05 0.01
9、0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 1 2，点 P 是椭圆 C 上的一个动点，且PF1F2 面积的最大值为3 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 M（0，1）作直线 l1交椭圆 C 于 A、B 两点，过点 M 作直线 l1的垂线 l2交圆 O：x2+y2= 2 4 于另一点 N若ABN 的面积为 3，求直线 l1的斜率 21 （12 分）已知函数 f（x）alnxx+1 （1）若函数 f（x）在 x1 处取得极大值，求实数 a 的值； （2）若函数 f
10、（x）有唯一零点，求实数 a 的值； （3）若不等式|() 1| 2对任意实数 x0 恒成立，求实数 a 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 = 6 = 6（ 为参数） ，以坐 标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ( + 3) = 2 （1）求 C 的普通方程和 l 的直角坐标方程； 第 5 页（共 19 页） （2）直线 l 与 x 轴的交点为 P，经过点 P 的直线 m 与曲线 C 交于 A，B 两点，若
11、 | + | = 43，求直线 m 的倾斜角 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）2|x+1|+|xm|（m1） （）若 m3，求不等式 f（x）7 的解集； （）若x0R，使得 f（x0）2 成立，求实数 m 的取值范围 第 6 页（共 19 页） 2020 年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（8） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 = *| 3 1+，Bx|x0，则 AB（ ） Ax|0x3 Bx|0x3
12、Cx|1x3 Dx|1x3 【解答】解：集合 = *| 3 1+ =x|0x3， Bx|x0， ABx|0x3 故选：A 2 （5 分）已知复数 z 满足 z =0，且 z =4，则 z（ ） A2 B2i C2 D2i 【解答】解：设 za+bi， （a，bR） ， 由 = 0， = 4， 得 2 + 2= 4 = 0 ， 即 a2，b0 z2 故选：C 3 （5 分）设0 为单位向量，下列命题中，若 为平面内的某个向量，则 =| | 0 ；若 与 0 平行， 则 =| | 0 ； 若 与 0 平行且| |1， 则 = 0 不正确命题的个数是 （ ） A0 B1 C2 D3 【解答】解：0
13、为单位向量，若 为平面内的某个向量，则 =| | 0 ；只有两个向量 共线同向时，才正确；所以不正确 若 与 0 平行，则 =| | 0 ；反向时，不正确； 若 与 0 平行且| |1，则 = 0 同向时正确，反向时不正确； 所以正确命题的个数为 0 故选：A 第 7 页（共 19 页） 4 （5 分）已知平面向量 =（2，1） ， =（2，4） ，则向量 ， 夹角的余弦值为（ ） A3 5 B4 5 C 3 5 D 4 5 【解答】解： =（2，1） ， =（2，4） ， ， = | | |= 8 520 = 4 5 故选：B 5 （5 分）已知 sin（+）= 1 3，则 2 =（ ） A
14、 3 7 B 7 3 C3 7 D7 3 【解答】解：sin（+）= 1 3， sin= 1 3，cos212sin 212 9 = 7 9， 2 = 7 9 1 3 = 7 3 故选：B 6 （5 分）函数() = (1 ) (+)（x，）的图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：函数() = (1 ) (+)（x，）是奇函数，排除选项 A、C， 当 0x 时，f（x）xecosx，f（x）ecosx（1+xsinx） ， 存在 x0（0，） ，1+x0sinx00 时，当 x（0，x0）时，f（x）0，函数是减函数， x（x0，） ，f（x）0，函数是增函数，排除 D 第 8 页（共
15、 19 页） 故选：B 7 （5 分）如果将函数 y= 5 + 5cosx 的图象向右平移(0 2)个单位得到函数 y 3sinx+acosx（a0）的图象，则 tan 的值为（ ） A2 B1 2 C1 3 D3 【解答】解：函数 = 5 + 5 = 10（sinx 2 2 + 2 2 cosx）= 10sin（x+ 4） ， 将其图象向右平移 个单位后，得到函数 = 10( + 4 )的图象 将函数 y3sinx+acosx，化为 y= 9+2sin（x+） ，其中 = 3， = 10( + 4 )与 y= 9+2sin（x+） 表示同一函数， 2+ 9 = 10，又 a0，a1，此时 =
16、 1 3，且 4 + 2 = ，kZ， = 4 + 2，kZ， = ( 4 ) = 1 1+ = 2， 故选：A 8 （5 分）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念若老师站在正中间，甲 同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（ ） A24 B12 C8 D6 【解答】解：根据题意，分 3 步进行分析： ，老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，则甲的站法有 2 种，乙的站法有 2 种， ，乙同学与老师相邻，则乙的站法有 2 种， ，将剩下的 2 人全排列，安排在剩下的 2 个位置，有 A222 种情况， 则不同站法有 2228 种； 故选：C 9 （5 分）已知ABC 外
17、接圆的半径 R2，且232 2 = ，则ABC 周长的取值范 围为（ ） A(23，4 B(4，43 C(43，4 + 23 D(4 + 23，63 【解答】解：由题意知，22 2 1 = 3 3 1， 即 3 3 = 1， 可化为23( 3) = 3， 第 9 页（共 19 页） 即( 3) = 3 2 ； 因为 0A，所以 3 = 3， 即 = 2 3 ； 设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 由余弦定理得，12b2+c2+bc； 又因为 b2+c22bc（当且仅当 bc 时取“” ） ， 所以 12b2+c2+bc3bc，即 bc4； 又因为 12b2+c2+bc（b
18、+c）2bc， 所以 bc（b+c）2124， 解得 b+c4，则 + + 4 + 23； 又因为 b+ca，所以 + + 2 = 43， 即43 + + 4 + 23； 所以ABC 周长的取值范围是(43，4+ 23 故选：C 10 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点分别为 F1，F2直线 1 过 左焦点 F1且与双曲线的左支交于 A，B 两点，若|AF1|3|BF1|，|AB|BF2|，则双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B3 C2 D5 【解答】解：设 BF1x，因为|AF1|3|BF1|，|AB|BF2|，则 AF13x，BF24x，所以 2aBF2
19、BF14xx3x，AF22a+AF16x， 在三角形AF1F2中，由余弦定理可得：cos AF1F2= 12+12222 2112 = 92+42362 232 = 42272 12 ， 在三角形 BF1F2中， 由余弦定理可得： cosBF1F2= 12+12222 2112 = 2+42162 22 = 42152 4 ， 又因为： ，所以4 2272 12 + 42152 4 =0， 整理可得：2c32， 所以离心率 e= 2 2 = 32 3 = 2， 第 10 页（共 19 页） 故选：A 11 （5 分）函数 f（x）的图象如图所示，f（x）是 f（x）的导函数，则下列式子正确的是
20、 （ ） A0f（1）f（2）f（2）f（1） B0f（2）f（2）f（1）f（1） C0f（2）f（1）f（2）f（1） D0f（2）f（1）f（1）f（2） 【解答】解：函数 f（x）的图象如图所示，f（x）是 f（x）的导函数， 可知函数在 x1，2是增函数，0f（2）f（1） ， (2)(1) 21 （f（2） ，f（1） ） ， 故选：B 12 （5 分）在三棱锥 SABC 中，ABBC，ABBC2， = = 22，二面角 SAC B 的余弦值是 3 3 ，若 S，A，B，C 都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A6 B8 C12 D18 【解答】解：取 AC 的中点 D，连接
21、SD，BD因为 SASC，ABBC，所以 SDAC， BDAC， 可得SDB 即为二面角 SACB 的平面角，故 = 3 3 第 11 页（共 19 页） 在 Rt SDC 中 ， = 2 2= 6， 同 理 可 得 = 2， 由 余 弦 定 理 得 = 3 3 ，解得 = 12 在SCB 中，2+ 2= 8 + 4 = (12)2= 2，所以SCB 为直角三角形， 同理可得SAB 为直角三角形，取 SB 中点 E，则 = = 3， 在 RtSCB 与 RtSAB 中， = 2 = 3， = 2 = 3， 所以点 E 为该球的球心，半径为3， 所以球的表面积为 = 4 (3)2= 12 故选：
22、C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） 设随机变量 N（3，2） ， 若 P（7） 0.16，则 P（17） 0.68 【解答】解：因为随机变量 N（3，2） ，且 P（7）0.16， P（1）P（7）0.16，P（17）12P（7）120.16 0.68 故答案为：0.68 14 （5 分）若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率先由计算器给出 0 到 9 之间取整数的随机数，指定 0，1，2，3 表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9 表示 击中目标，以 4 个随机数为一组，代表射击 4 次的结果，经随
23、机模拟产生了 20 组如下的 随机数： 7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6133 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该运动员射击 4 次恰好击中 3 次的概率为 3 20 【解答】解：先由计算器给出 0 到 9 之间取整数的随机数， 指定 0，1，2，3 表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9 表示击中目标， 以 4 个随机数为一组，代表射击 4 次的结果，经随机模拟产生了 20 组如下的随机数： 第 12 页（共 19 页） 7327 0293 714
24、0 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6133 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 该运动员射击 4 次恰好击中 3 次的数据有： 8636，8045，7424，共 3 个， 根据以上数据估计该运动员射击 4 次恰好击中 3 次的概率为 p= 3 20 故答案为： 3 20 15（5 分） 已知直线 l： xmy10， 若直线 l 与直线 mxy1 平行， 则实数 m 1 ； 圆 x2+2x+y2150 被直线 mxy1 截得的最短弦长为 214 【解答】解：直线 l：xmy10，若直线 l 与直线 mx
25、y1 平行，则1+m20， 解得 m1， 当 m1 时，两直线重合，故 m1 直线 mxy1 经过定点（0，1） ，圆 x2+2x+y2150 的圆心坐标为（1，0）半 径为 4， 被直线 mxy1 截得的最短弦长为经过定点且与圆心的连线垂直的弦为最短弦 故：圆心与定点的连线的斜率为 k1， 所以最短弦的直线方程为 xy10， 所以圆心到直线 xy10 的距离 d= 2 2 = 2， 所以最短弦长为2 = 242 (2)2= 214 故答案为：1，214 16（5 分） 定义在实数集 R 上的偶函数 f （x） 满足( + 2) = 2 + 4() 2()， 则 f （2021） 2 + 2
26、【解答】解：根据题意，因为( + 2) = 2 + 4() 2()，所以( + 2) 2 = 4() 2()， 即（f（x+2）2）24f（x）f2（x） ，即 f2（x+2）4f（x+2）f2（x）4f（x） 4， 令 g（x）f2（x）4f（x） ，则 g（x+2）g（x）4，即 g（x+2）+g（x）2， 则有 g（x+4）+g（x+2）2， 第 13 页（共 19 页） 联立可得：g（x+4）g（x） ， 故函数 g（x）是周期为 4 的周期函数， 所以 g（2021）g（4505+1）g（1） ， 又因为 f（x）是偶函数，则 g（x）f2（x）4f（x）为偶函数， 又因为 g（1）
27、g（1）4，所以 g（1）2，即 f2（2021）4f（2021）2， 解得(2021) = 2 2， 又( + 2) = 2 + 4() 2() 2， 即 f（2021）2，即(2021) = 2 + 2； 故答案为：2+2 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an满足 2a1+7a2+12a3+（5n3）an4n （1）求数列an的通项公式； （2）求数列*3 +的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）2a1+7a2+12a3+（5n3）an4n n1 时，2a14，解得 a12， n2 时，2a1+7
28、a2+12a3+（5n8）an14（n1） （5n3）an4 an= 4 53 （2）3 = (53)3 4 ， 数列*3 +的前 n 项和 Sn= 1 423+73 2+1233+（5n3） 3n， 3Sn= 1 423 2+733+1234+（5n8） 3n+（5n3） 3n+1， 2Sn= 1 46+5 （3 2+33+3n） （5n3） 3n+1=1 46+5 9(311) 31 （5n3） 3n+1 Sn= (1011)3+1+33 16 18 （12 分）如图，矩形 ABCD 中，AD2AB4，E 为 BC 的中点，现将BAE 与DCE 折起，使得平面 BAE 及平面 DEC 都与
29、平面 ADE 垂直 第 14 页（共 19 页） （1）求证：BC平面 ADE； （2）求二面角 ABEC 的余弦值 【解答】解： （1）证明：分别取 AE，DE 的中点 M，N，连结 BM，CN，MN， 则 BMAE，CNDE， 平面 BAE 与平面 DEC 都与平面 ADE 垂直， BM平面 ADE，CN平面 ADE， 由线面垂直的性质定理得 BMCN， BMCN，四边形 BCNM 是平行四边形，BCMN， BC平面 ADE，BC平面 ADE （2）解：如图，以 E 为原点，ED，EA 为 x，y 正半轴，过 E 作平面 ADE 的垂线为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 则 B（0，2，2
30、） ，C（2，0，2） ，平面 ABE 的法向量 =（1，0，0） ， 设平面 CBE 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = 2 + 2 = 0 = 2 + 2 = 0 ，取 x1，得 =（1，1，1） ， 设二面角 ABEC 的平面角为 ，由图知 为钝角， cos= | | | |= 1 3 = 3 3 二面角 ABEC 的余弦值为 3 3 19 （12 分）3 月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫 第 15 页（共 19 页） 物资供不应求，某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品已知该厂有两条不同 生产线 A 和 B 生产同一种产品各 10 万件， 为保
31、证质量， 现从各自生产的产品中分别随机 抽取 20 件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示： 该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到90，100）的产品，质量等级为优秀；鉴定 成绩达到80，90）的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到60，80）的产品，质量等级 为合格将这组数据的频率视为整批产品的概率 （1）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记 X 为来自 B 机器生产的产品数量，写出 X 的分布列，并求 X 的数学期望； （2） 请完成下面质量等级与生产线产品列联表， 并判断能不能在误差不超过 0.05 的情况 下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的生产线有关 A 生产线的产品 B
32、 生产线的产品 合计 良好以上 合格 合计 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2）k0） 0.10 0.05 0.01 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 【解答】解： （1）从图中可知样本中优秀的产品有 2 件来自 A 生产线，3 件来自 B 生产 线， X 的可能取值为 0，1，2， P（X0）= 2 2 5 2 =0.1， P（X1）= 2 1 3 1 5 2 =0.6， P（X2）= 3 2 5 2 =0.3， 第 16 页（共 19 页） X 的分布列为： X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3 E（X）00.1+10.6+20.3
33、1.2 （2）由已知得 22 列联表为： A 生产线的产品 B 生产线的产品 合计 良好以上 6 12 18 合格 14 8 22 合计 20 20 40 K2= ()2 (+)(+)(+)(+) = 40(121468)2 20201822 = 40 11 3.6363.841， 不能在误差不超过 0.05 的情况下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的生产 线有关 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 1 2，点 P 是椭圆 C 上的一个动点，且PF1F2 面积的最大值为3 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点
34、M（0，1）作直线 l1交椭圆 C 于 A、B 两点，过点 M 作直线 l1的垂线 l2交圆 O：x2+y2= 2 4 于另一点 N若ABN 的面积为 3，求直线 l1的斜率 【解答】解： （1）由题意得 e= = 1 2，S 12最大值= 1 2 2 = 3，a2b2+c2，解得： a24，b23， 所以椭圆 C 的方程： 2 4 + 2 3 =1； （2）若直线 l1的斜率为 0，则|AB|= 46 3 ，|MN|2，所以ABN 的面积46 3 ，不合题意， 所以直线的斜率不为零， 设直线 l1的方程 ykx+1，设 A（x，y） ，B（x，y） ，联立与椭圆的方程整理得（3+4k2） x
35、2+8kx80x+x= 8 3+42，xx= 8 3+42， 第 17 页（共 19 页） |AB|= 1 + 2( + )2 4 = 1 + 2 (8)24(3+42)(8) 3+42 = 461+21+22 3+42 ， 直线 l2的方程：y= 1 x+1，即 x+kyk0，|MN|21 2 1+2 = 2 1+2， SABN= 1 2 | |= 1 2 461+21+22 3+42 2 1+2 =3，解得 k= 1 2， 即直线 l1的斜率为1 2 21 （12 分）已知函数 f（x）alnxx+1 （1）若函数 f（x）在 x1 处取得极大值，求实数 a 的值； （2）若函数 f（x）
36、有唯一零点，求实数 a 的值； （3）若不等式|() 1| 2对任意实数 x0 恒成立，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）() = 1 = ， 因为函数 f（x）在 x1 处取得极大值，f（1）a10，则 a1； 所以函数 f（x）在（1，+）上单调递减，在（0，1）上单调递增； 则当 x1 时，函数 f（x）有极大值； 所以 a1； （2）f（1）0 当 a0 时，f（x）0 在（0，+）上恒成立成立，则 f（x）在（0，+）上单调 递减； 所以 a0 时满足函数 f（x）有唯一零点； 当 a0 时，f（x）在（0，a）上单调递增，f（x）在（a，+）上单调递减； 函数 f（x）有
37、唯一零点，则 f（a）0，即 a1； 所以 a0 或 a1 时函数 f（x）有唯一零点； （3）不等式|() 1| 2对任意实数 x0 恒成立； 即 不等式 | | 2对任意实数 x0 恒成立； 则 2 或 2 对任意实数 x0 恒成立； 第 18 页（共 19 页） 则 2 或 2对任意实数 x0 恒成立； 则 2 或 2对任意实数 x0 恒成立； 则 3 2 0 或 2 0 对任意实数 x0 恒成立； 对于 3 2 0 当 x1 时，0 3 2 0 故不满足条件； 对于 2 0，设() = 2，则 () = 1 2 = 2 2 ； 当 a0 时，h（x）0，h（x）在（0，+）上单调递减，
38、 且当 x0 时，h（x）+，故不满足条件； 当 a0 时，h（x）在（0，2a）上单调递增，在（2a，+）上单调递减； 所以 h（x）maxh（2a）aln2aa0，即0 2； 故实数 a 的取值范围：0 2； 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 = 6 = 6（ 为参数） ，以坐 标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ( + 3) = 2 （1）求 C 的普通方程和 l 的直角坐标方程； （2）直线 l 与 x 轴的交
39、点为 P，经过点 P 的直线 m 与曲线 C 交于 A，B 两点，若 | + | = 43，求直线 m 的倾斜角 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为 = 6 = 6（ 为参数） ，转换为直角坐标方程 为 x2+y26 直线 l 的极坐标方程为( + 3) = 2整理得 1 2 3 2 2 = 0，转换为直 角坐标方程为 3 4 = 0 （2）直线 l 与 x 轴的交点为 P，所以 P（4，0） ， 所以 = 4 + = （t 为参数） ， 把直线的参数方程代入圆的方程得到： （4+tcos）2+（tsin）26， 整理得 t2+8cost+100， 所以 t1+t28cos， 第 19 页（共 19 页） 所以| + | = |8| = 43， 解得 = 3 2 或 = 3 2 ， 所以 = 6或 5 6 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）2|x+1|+|xm|（m1） （）若 m3，求不等式 f（x）7 的解集； （）若x0R，使得 f（x0）2 成立，
