1、1 十年高考真题分类汇编十年高考真题分类汇编（2010201020192019）数学）数学 专题专题 1515 推理与证明推理与证明 1.(2019全国 2文 T5)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为( ) A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙 C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙 2.(2017全国 2理 T7 文 T9)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四 人中有 2 位优秀,2 位良好,我现在
2、给甲看乙、 丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说: 我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 3.(2016北京理 T8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任 意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复 上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( ) A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒
3、中红球一样多 4.(2014北京理 T8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀” “合格” “不合格”.若 学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”. 如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生, 那么这组学生最多有( ) A.2 人 B.3 人 C.4 人 D.5 人 2 5.(2014山东理 T4)用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x 3+ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的 假设是( ) A.方程 x 3+ax+b=0 没有实根 B.方程 x 3+ax
4、+b=0 至多有一个实根 C.方程 x 3+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x 3+ax+b=0 恰好有两个实根 6.(2012江西理 T6)观察下列各式:a+b=1,a 2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,则 a10+b10=( ) A.28 B.76 C.123 D.199 7.(2017北京文 T14)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: ()男学生人数多于女学生人数; ()女学生人数多于教师人数; ()教师人数的两倍多于男学生人数. 若教师人数为 4,则女学生人数的最大值为 ; 该小组人数的最小值为 . 8.(2017北京文 T
5、13)能够说明“设 a,b,c 是任意实数,若 abc,则 a+bc”是假命题的一组整数 a,b,c 的值依次为 . 9.(2016全国 2理 T15 文 T16)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲、乙、丙三人各取走一张卡 片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相 同的数字不是 1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是 5”,则甲的卡片上的数字是 . 10.(2016山东文 T12)观察下列等式: (sin 3) -2 + (sin 2 3 ) -2 = 4 312; (sin 5) -2 + (sin 2 5
6、 ) -2 + (sin 3 5 ) -2 + (sin 4 5 ) -2 = 4 323; (sin 7) -2 + (sin 2 7 ) -2 + (sin 3 7 ) -2 +(sin 6 7 ) -2 = 4 334; (sin 9) -2 + (sin 2 9 ) -2 + (sin 3 9 ) -2 +(sin 8 9 ) -2 = 4 345; 照此规律:(sin 2n+1) -2 + (sin 2 2n+1) -2 + (sin 3 2n+1) -2 +(sin 2n 2n+1) -2 =. 11.(2015山东理 T11)观察下列各式: C1 0=40; 3 C3 0 + C
7、3 1=41; C5 0 + C5 1 + C5 2=42; C7 0 + C7 1 + C7 2 + C7 3=43; 照此规律,当 nN *时,C 2n-1 0 + C2n-1 1 + C2n-1 2 +C2n-1 n-1 =. 12.(2015福建理 T15)一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 x1x2xn(nN *),其中 x k(k=1,2,n)称为第 k 位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由 0 变为 1,或者由 1 变为 0). 已知某种二元码 x1x2x7的码元满足如下校验方程 组: x4x5x6x7= 0, x2x3x6x7= 0,
8、 x1x3x5x7= 0, 其中运算定义 为:00=0,01=1,10=1,11=0. 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101,那么利用上述校验方程组 可判定 k 等于 . 13.(2015陕西文 T 16)观察下列等式 1-1 2 = 1 2 1-1 2 + 1 3 1 4 = 1 3 + 1 4 1-1 2 + 1 3 1 4 + 1 5 1 6 = 1 4 + 1 5 + 1 6 据此规律,第 n 个等式可为. 14.(2014全国 1理 T 14 文 T 14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙
9、多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 15.(2014陕西,理 14)观察分析下表中的数据: 多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 4 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是 . 16.(2014北京文 T14)顾客请一位工艺师把 A,B 两件玉石原料各制成一件工艺品.工艺师带一位徒弟完成 这项任务.每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客. 两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下: 工序
10、时间 原料 粗加工 精加工 原料 A 9 15 原料 B 6 21 则最短交货期为 个工作日. 17.(2014安徽文 T12)如图,在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC=22 ,过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 A1;过 点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;,依此类推,设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,A5A6=a7, 则 a7= . 18.(2013安徽理 T14)如图,互不相同的点 A1,A2,An,和 B1,B2,Bn,分别在角 O 的两条边上,所有 AnBn相互平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1的面积均相等.设 OAn=an.若
11、 a1=1,a2=2,则数列an的通项公式是 19.(2012陕西理 T11)观察下列不等式 1+ 1 22 3 2, 1+ 1 22 + 1 32 5 3, 5 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 7 4, 照此规律,第五个 不等式为 . 20.(2012福建文 T16)某地区规划道路建设,考虑道路铺设方案.方案设计图中,点表示城市,两点之间连 线表示两城市间可铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费用,要求从任一城市都能到达其余各城 市,并且铺设道路的总费用最小.例如:在三个城市道路设计中,若城市间可铺设道路的线路图如图(1),则最 优设计方案如图(2),此时铺设道路的最小总费
12、用为 10. 现给出该地区可铺设道路的线路图如图(3),则铺设道路的最小总费用为 . 21.(2017浙江T22)已知数列xn满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(nN *).证明:当 nN*时, (1)0 , 2z , x,y,zN*, 即 2zxyz,x,y,zN *. 教师人数为 4,即 z=4,8xy4,所以 y 的最大值为 6,故女学生人数的最大值为 6. 由题意知 2zxyz,x,y,zN *. 当 z=1 时,2xy1,x,y 不存在; 当 z=2 时,4xy2,x,y 不存在; 当 z=3 时,6xy3,x=5,y=4,此时该小组人数最少,人数为 5+4+3=1
13、2. 8.(2017北京文 T13)能够说明“设 a,b,c 是任意实数,若 abc,则 a+bc”是假命题的一组整数 a,b,c 的值依次为 . 【答案】-1,-2,-3(答案不唯一) 【解析】 答案不唯一,如令a=-1,b=-2,c=-3,则abc,而a+b=-3=c,能够说明“设a,b,c是任意实数,若abc, 则 a+bc”是假命题. 9.(2016全国 2理 T15 文 T16)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲、乙、丙三人各取走一张卡 片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上 9 相同的数字不是 1
14、”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是 5”,则甲的卡片上的数字是 . 【答案】1 和 3 【解析】 由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”, 则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2 和 3”,甲的卡片上的数字是“1 和 3”,此时与甲说的话一致; 若丙的卡片上的数字是“1 和 3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2 和 3”,甲的卡片上的数字是 “1 和 2”,此时与甲说的话矛盾. 综上可知,甲的卡片上的数字是“1 和 3”. 10.(2016山东文 T12)观察下列等式: (sin 3) -2 + (sin 2 3 ) -2 =
15、 4 312; (sin 5) -2 + (sin 2 5 ) -2 + (sin 3 5 ) -2 + (sin 4 5 ) -2 = 4 323; (sin 7) -2 + (sin 2 7 ) -2 + (sin 3 7 ) -2 +(sin 6 7 ) -2 = 4 334; (sin 9) -2 + (sin 2 9 ) -2 + (sin 3 9 ) -2 +(sin 8 9 ) -2 = 4 345; 照此规律:(sin 2n+1) -2 + (sin 2 2n+1) -2 + (sin 3 2n+1) -2 +(sin 2n 2n+1) -2 =. 【答案】4 3n(n+1)
16、【解析】由等式可知,等式右边共三个数相乘,第 1 个数都是4 3;第 2 个数与该等式所在行数相同,第 3 个数比 第 2 个数大 1, 所以第 n 个式子等号右边为4 3n(n+1). 11.(2015山东理 T11)观察下列各式: C1 0=40; C3 0 + C3 1=41; C5 0 + C5 1 + C5 2=42; C7 0 + C7 1 + C7 2 + C7 3=43; 照此规律,当 nN *时,C 2n-1 0 + C2n-1 1 + C2n-1 2 +C2n-1 n-1 = . 【答案】4 n-1 10 【解析】等号右侧指数规律为 0,1,2,n-1.所以第 n 个式子为
17、C2n-1 0 + C2n-1 1 + C2n-1 2 +C2n-1 n-1 =4 n-1. 12.(2015福建理 T15)一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 x1x2xn(nN *),其中 x k(k=1,2,n)称为第 k 位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由 0 变为 1,或者由 1 变为 0). 已知某种二元码 x1x2x7的码元满足如下校验方程 组: x4x5x6x7= 0, x2x3x6x7= 0, x1x3x5x7= 0, 其中运算定义 为:00=0,01=1,10=1,11=0. 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码
18、元错误后变成了 1101101,那么利用上述校验方程组 可判定 k 等于 . 【答案】5 【解析】若 1k3,则 x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,不满足 x4x5x6x7=0; 若 k=4,则二元码为 1100101,不满足 x1x3x5x7=0; 若 k=5,则二元码为 1101001,满足方程组,故 k=5. 13.(2015陕西文 T 16)观察下列等式 1-1 2 = 1 2 1-1 2 + 1 3 1 4 = 1 3 + 1 4 1-1 2 + 1 3 1 4 + 1 5 1 6 = 1 4 + 1 5 + 1 6 据此规律,第 n 个等式可为. 【答案】1-1 2 + 1
19、3 1 4+ 1 2n-1 1 2n = 1 n+1 + 1 n+2+ 1 2n 【解析】 经观察知,第 n 个等式的左侧是数列(-1)n-1 1 n的前 2n 项和,而右侧是数列 1 n的第 n+1 项到第 2n 项的和,故为 1-1 2 + 1 3 1 4+ 1 2n-1 1 2n = 1 n+1 + 1 n+2+ 1 2n. 14.(2014全国 1理 T 14 文 T 14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 11 由此可判断乙去过的城市为 . 【答案】A
20、【解析】根据甲、乙、丙说的可列表得 A B C 甲 乙 丙 15.(2014陕西,理 14)观察分析下表中的数据: 多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是 . 【答案】F+V-E=2 【解析】因为 5+6-9=2,6+6-10=2, 6+8-12=2,故可猜想 F+V-E=2. 16.(2014北京 文 T14)顾客请一位工艺师把 A,B 两件玉石原料各制成一件工艺品.工艺师带一位徒弟完成 这项任务.每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交
21、付顾客. 两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下: 工序 时间 原料 粗加工 精加工 原料 A 9 15 原料 B 6 21 则最短交货期为 个工作日. 【答案】42 【解析】最短交货期为先由徒弟完成原料 B 的粗加工,共需 6 天,然后工艺师加工该件工艺品,需 21 天;徒弟 可在这几天中完成原料 A 的粗加工;最后由工艺师完成原料 A 的精加工,需 15 个工作日.故交货期为 6+21+15=42 个工作日. 12 17.(2014安徽文 T12)如图,在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC=22 ,过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 A1;过 点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点
22、A2作A1C的垂线,垂足为A3;,依此类推,设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,A5A6=a7, 则 a7= . 【答案】1 4 【解析】由题意知数列an是以首项 a1=2,公比 q=2 2 的等比数列,a7=a1q 6=2(2 2 ) 6 = 1 4. 18.(2013安徽理 T14)如图,互不相同的点 A1,A2,An,和 B1,B2,Bn,分别在角 O 的两条边上,所有 AnBn相互平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1的面积均相等.设 OAn=an.若 a1=1,a2=2,则数列an的通项公式是 【答案】an=3n-2 【解析】设SOA1B1=S, a1=1,a2=2,OA
23、n=an,OA1=1,OA2=2. 又易知OA1B1OA2B2, SOA1B1 SOA2B2 = (OA1)2 (OA2)2=( 1 2) 2 = 1 4. S梯形A1B1B2A2=3SOA1B1=3S. 所有梯形 AnBnBn+1An+1的面积均相等, 且OA1B1OAnBn, OA1 OAn = SOA1B1 SOAnBn = S S+3(n-1)S = 1 3n-2. a1 an = 1 3n-2,a n=3n-2. 19.(2012陕西理 T11)观察下列不等式 1+ 1 22 3 2, 13 1+ 1 22 + 1 32 5 3, 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 7 4,
24、 照此规律,第五个 不等式为 . 【答案】 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + 1 52 + 1 62 11 6 【解析】由前几个不等式可知 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42+ 1 n2 2n-1 n . 所以第五个不等式为 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + 1 52 + 1 62 11 6 . 20.(2012福建文 T16)某地区规划道路建设,考虑道路铺设方案.方案设计图中,点表示城市,两点之间连 线表示两城市间可铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费用,要求从任一城市都能到达其余各城 市,并且铺设道路的总费用最小.例如:在三个城市道路设计中,若城
25、市间可铺设道路的线路图如图(1),则最 优设计方案如图(2),此时铺设道路的最小总费用为 10. 现给出该地区可铺设道路的线路图如图(3),则铺设道路的最小总费用为 . 【答案】16 【解析】由题意知,各城市相互到达,且费用最少为 1+2+2+3+3+5=16=FG+GD+AE+EF+GC+BC. 21.(2017浙江T22)已知数列xn满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(nN *).证明:当 nN*时, (1)00, 假设 n=k 时,xk0, 14 那么 n=k+1 时,若 xk+10, 则 00. 因此 xn0(nN *). 所以 xn=xn+1+ln(1+xn+1)x
26、n+1. 因此 00), 函数 f(x)在0,+)上单调递增, 所以 f(x)f(0)=0, 因此xn+1 2 -2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)0, 故 2xn+1-xnxnxn+1 2 (nN *). (3)因为 xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1+xn+1=2xn+1, 所以 xn 1 2n-1. 由xnxn+1 2 2xn+1-xn得 1 xn+1 1 22( 1 xn - 1 2)0, 所以 1 xn 1 22( 1 xn-1 - 1 2)2 n-1(1 x1 - 1 2)=2 n-2, 故 xn 1 2n-2. 综上, 1 2n-1x n
27、1 2n-2(nN *). 22.(2015北京理 T20)已知数列an满足:a1N *,a 136,且 an+1=2a n,an 18, 2an-36,an 18(n=1,2,).记集合 M=an|nN *. (1)若 a1=6,写出集合 M 的所有元素; (2)若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,证明:M 的所有元素都是 3 的倍数; (3)求集合 M 的元素个数的最大值. 【解析】(1)6,12,24. (2)因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,所以不妨设 ak是 3 的倍数. 15 由 an+1=2a n,an 18, 2an-36,an 18可归纳证明对任意 nk,a n是
28、 3 的倍数. 如果 k=1,则 M 的所有元素都是 3 的倍数. 如果 k1,因为 ak=2ak-1或 ak=2ak-1-36,所以 2ak-1是 3 的倍数,于是 ak-1是 3 的倍数.类似可得,ak-2,a1都是 3 的倍数,从而对任意 n1,an是 3 的倍数,因此 M 的所有元素都是 3 的倍数. 综上,若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,则 M 的所有元素都是 3 的倍数. (3)由 a136,an= 2an-1,an-1 18, 2an-1-36,an-1 18可归纳证明 a n36(n=2,3,). 因为 a1是正整数,a2=2a 1,a1 18, 2a1-36,a1 1
29、8, 所以 a2是 2 的倍数. 从而当 n3 时,an是 4 的倍数. 如果 a1是 3 的倍数,由(2)知对所有正整数 n,an是 3 的倍数. 因此当 n3 时,an12,24,36. 这时 M 的元素个数不超过 5. 如果 a1不是 3 的倍数,由(2)知对所有正整数 n,an不是 3 的倍数. 因此当 n3 时,an4,8,16,20,28,32. 这时 M 的元素个数不超过 8. 当 a1=1 时,M=1,2,4,8,16,20,28,32有 8 个元素. 综上可知,集合 M 的元素个数的最大值为 8. 23.(2014重庆理 T22)设 a1=1,an+1=an 2-2an+ 2+b(nN*). (1)若 b=1,求 a2,a3及数列an的通项公式; (2)若 b=-1,问:是否存在实数 c 使得 a2nf(1)=a2, 即 1ca2k+2a2. 再由 f(x)在(-,1上为减函数得 c=f(c)f(a2k+2)f(a2)=a31. 故 ca2k+31,因此 a2(k+1)ca2(k+1)+11. 这就是说,当 n=k+1 时结论成立. 综上,符合条件的 c 存在,其中一个值为 c=1 4.
