1、1 十年高考真题分类汇编十年高考真题分类汇编（2010201020192019）数学）数学 专题专题 11 11 直线与圆直线与圆 一、选择题 1.(2019全国 2理 T11 文 T12)设 F 为双曲线 C: 2 2 2 2=1(a0,b0)的右焦点,O 为坐标原点,以 OF 为直径 的圆与圆 x 2+y2=a2交于 P,Q 两点.若|PQ|=|OF|,则 C 的离心率为( ) A.2 B.3 C.2 D.5 2.(2018北京理 T7)在平面直角坐标系中,记 d 为点 P(cos ,sin )到直线 x-my-2=0 的距离.当,m 变化时,d 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3
2、D.4 3.(2018全国 3理 T6 文 T8)直线 x+y+2=0 分别与 x 轴、y 轴交于 A,B 两点,点 P 在圆(x-2) 2+y2=2 上,则 ABP 面积的取值范围是( ) A.2,6 B.4,8 C.2,32 D.22,32 4.(2016山东文 T7)已知圆 M:x 2+y2-2ay=0(a0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 22.则圆 M 与圆 N:(x-1) 2+(y-1)2=1 的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 5.(2016全国 2理 T4 文 T6)圆 x 2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为
3、1,则 a=( ) A.-4 3 B.-3 4 C.3 D.2 6.(2015全国 2理 T7)过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于 M,N 两点,则|MN|=( ) A.26 B.8 C.46 D.10 7.(2015 全国 2 文 T7)已知三点 A(1,0),B(0,3),C(2,3),则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.5 3 B.21 3 C.25 3 D.4 3 8.(2015北京文 T2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x-1) 2+(y-1)2=1 B.(x+1) 2+(y+1)2=1 C.(x+1) 2+(y+1)2
4、=2 D.(x-1) 2+(y-1)2=2 9.(2015广东理 T5)平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x 2+y2=5 相切的直线的方程是( ) 2 A.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 B.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 C.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 D.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 10.(2015山东理 T9)一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3) 2+(y-2)2=1 相切,则反射光线所 在直线的斜率为( ) A.-5 3或- 3 5 B.-3 2或- 2 3 C.-5 4或- 4 5 D.-4 3或- 3 4 11
5、.(2015重庆理 T8)已知直线 l:x+ay-1=0(aR)是圆 C:x 2+y2-4x-2y+1=0 的对称轴.过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=( ) A.2 B.42 C.6 D.210 12.(2014全国 2文 T12)设点 M(x0,1),若在圆 O:x 2+y2=1 上存在点 N,使得OMN=45,则 x 0的取值范围是 ( ) A.-1,1 B.*- 1 2, 1 2+ C.-2,2 D.- 2 2 , 2 2 13.(2014浙江文 T5)已知圆 x 2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值
6、是( ) A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 14.(2014 安徽 文T6)过点P(-3,-1)的直线l与圆x 2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( ) A.(0, 6+ B.(0, 3+ C.*0, 6+ D.*0, 3+ 15.(2014北京文 T7)已知圆 C:(x-3) 2+(y-4)2=1 和两点 A(-m,0),B(m,0)(m0).若圆 C 上存在点 P,使得 APB=90,则 m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 16.(2014 四川 文 T9)设 mR,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m+3=0 交
7、于点 P(x,y), 则|PA|+|PB|的取值范围是( ) A.5,25 B.10,25 C.10,45 D.25,45 17.(2013重庆理 T7)已知圆 C1:(x-2) 2+(y-3)2=1,圆 C 2:(x-3) 2+(y-4)2=9,M,N 分别是圆 C 1,C2上的动点,P 3 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( ) A.52-4 B.17-1 C.6-22 D.17 18.(2013湖南理 T8)在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=4,点 P 为边 AB 上异于 A,B 的一点,光线从点 P 出 发,经 BC,CA 反射后又回到点 P.若光线 QR 经
8、过ABC 的重心,则 AP 等于( ) A.2 B.1 C.8 3 D.4 3 19.(2012浙江理 T3)设 aR,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 20.(2010安徽文 T4)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 二、填空题 1.(2019江苏T10)在平面直角坐标系 xOy 中,P 是曲线 y=x+4 x(x0)上的一
9、个动点,则点 P 到直线 x+y=0 的 距离的最小值是 . 2.(2019天津理 T12)设 aR,直线 ax-y+2=0 和圆 = 2 + 2, = 1 + 2 (为参数)相切,则 a 的值为_. 3.(2019 浙江 T12)已知圆 C 的圆心坐标是(0,m),半径长是 r.若直线 2x-y+3=0 与圆 C 相切于点 A(-2,-1), 则 m= ,r= . 4.(2018天津文 T12)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 . 5.(2018全国 1文 T15)直线 y=x+1 与圆 x 2+y2+2y-3=0 交于 A,B 两点,则|AB|=
10、. 6.(2018天津理 T12)已知圆 x 2+y2-2x=0 的圆心为 C, 直线 = -1 + 2 2 , = 3- 2 2 (t 为参数)与该圆相交于 A,B 两点,则ABC 的面积为_. 4 7.(2016全国 1文 T15)设直线 y=x+2a 与圆 C:x 2+y2-2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若|AB|=23,则圆 C 的面积 为 . 8.(2016上海理 T3)已知平行直线 l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则 l1,l2的距离是 . 9.(2016 浙江 文 T10)已知 aR,方程 a 2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0 表示圆,则圆心坐
11、标是 ,半径是 . 10.(2016天津文 T12)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上,点 M(0,5)在圆 C 上,且圆心到直线 2x-y=0 的 距离为45 5 ,则圆 C 的方程为 . 11.(2016全国 3理 T16 文 T15)已知直线 l:mx+y+3m-3=0 与圆 x 2+y2=12 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点.若|AB|=23,则|CD|= . 12.(2015江苏T10)在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线 mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有 圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 13.(2
12、015全国 1理 T14)一个圆经过椭圆x 2 16 + y2 4 =1 的三个顶点,且圆心在 x 轴的正半轴上,则该圆的标准 方程为_. 14.(2014重庆理 T13)已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1) 2+(y-a)2=4 相交 于 A,B 两点,且ABC 为等边三角形,则实数 a= . 15.(2014 陕西 理T12)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为 . 16.(2011浙江文 T12)若直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互相垂直,则实数 m= . 17.(2010 全国 理 T15)过点 A(4,1
13、)的圆 C 与直线 x-y-1=0 相切于点 B(2,1),则圆 C 的方程为 . 18.(2010全国文 T13)圆心在原点且与直线 x+y-2=0 相切的圆的方程为 . 三、计算题 1.(2015全国 1文 T20)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2) 2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. (1)求 k 的取值范围; (2)若 =12,其中 O 为坐标原点,求|MN|. 2.(2015广东理 T20)已知过原点的动直线 l 与圆 C1:x 2+y2-6x+5=0 相交于不同的两点 A,B. (1)求圆 C1的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M
14、的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x-4)与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说 明理由. 3.(2014全国 1文 T20)已知点 P(2,2),圆 C:x 2+y2-8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; 5 (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及POM 的面积. 4.(2013江苏T17)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C
15、 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. 十年高考真题分类汇编十年高考真题分类汇编（2010201020192019）数学数学 6 专题专题 1111 直线与直线与圆圆 一、选择题 1.(2019全国 2理 T11 文 T12)设 F 为双曲线 C: 2 2 2 2=1(a0,b0)的右焦点,O 为坐标原点,以 OF 为直径 的圆与圆 x 2+y2=a2交于 P,Q 两点.若|PQ|=|OF|,则 C 的离心率为( ) A.2 B.3 C.2 D.5 【答案】A 【解析】如图,
16、设 PQ 与 x 轴交于点 A,由对称性可知 PQx 轴. |PQ|=|OF|=c,|PA|= 2. PA 为以 OF 为直径的圆的半径,A 为圆心, |OA|= 2.P 2, 2 . 又点 P 在圆 x 2+y2=a2上,2 4 + 2 4=a 2,即2 2=a 2, e 2=2 2=2,e=2,故选 A. 2.(2018北京理 T7)在平面直角坐标系中,记 d 为点 P(cos ,sin )到直线 x-my-2=0 的距离.当 ,m 变化时,d 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 设P(x,y),则x = cos, y = sin,x 2+y2=1.即点
17、P在单位圆上,点P到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0) 到直线 x-my-2=0 的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为 d=1+ |-2| 1+m2=1+ 2 1+m2. 当 m=0 时,dmax=3. 3.(2018全国 3理 T6 文 T8)直线 x+y+2=0 分别与 x 轴、y 轴交于 A,B 两点,点 P 在圆(x-2) 2+y2=2 上,则 ABP 面积的取值范围是( ) A.2,6 B.4,8 C.2,32 D.22,32 【答案】A 【解析】设圆心到直线 AB 的距离 d=|2+0+2| 2 =22. 点 P 到直线 AB 的距离为 d. 7 易知 d-rdd
18、+r,即2d32. 又 AB=22,SABP=1 2|AB|d=2d, 2SABP6. 4.(2016山东文 T7)已知圆 M:x 2+y2-2ay=0(a0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 22.则圆 M 与圆 N:(x-1) 2+(y-1)2=1 的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 【答案】B 【解析】圆 M 的方程可化为 x 2+(y-a)2=a2,故其圆心为 M(0,a),半径 R=a. 所以圆心到直线 x+y=0 的距离 d= |0+| 12+12 = 2 2 a. 所以直线 x+y=0 被圆 M 所截弦长为 22-d2=2a2-(2 2 a) 2 =
19、2a,由题意可得2a=22,故 a=2. 而|MN|=(1-0)2+ (1-2)2= 2,显然 R-r0),所以使APB=90的点 P 在以线段 AB 为直径的圆上,该圆的圆心为 O(0,0),半径为 m. 而圆 C 的圆心为 C(3,4),半径为 1. 由题意知点 P 在圆 C 上,故两圆有公共点. 所以两圆的位置关系为外切、相交或内切, 故 m-1|CO|m+1, 即 m-15m+1,解得 4m6. 所以 m 的最大值为 6.故选 B. 16.(2014四川文T9)设mR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y), 则|PA|+|PB|的取值范围
20、是( ) A.5,25 B.10,25 C.10,45 D.25,45 【答案】B 11 【解析】由题意,得 A(0,0),B(1,3), 因为 1m+m(-1)=0,所以两直线垂直, 所以点 P 在以 AB 为直径的圆上,所以 PAPB. 所以|PA| 2+|PB|2=|AB|2=10, 设ABP=, 则|PA|+|PB|=10sin +10cos =25sin( + 4). 因为|PA|0,|PB|0,所以 0 2. 所以10|PA|+|PB|25,故选 B. 17.(2013重庆理 T7)已知圆 C1:(x-2) 2+(y-3)2=1,圆 C 2:(x-3) 2+(y-4)2=9,M,N
21、 分别是圆 C 1,C2上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( ) A.52-4 B.17-1 C.6-22 D.17 【答案】A 【解析】 圆 C1,C2的圆心分别为 C1,C2,由题意知|PM|PC1|-1,|PN|PC2|-3,|PM|+|PN|PC1|+|PC2|-4, 故所求值为|PC1|+|PC2|-4 的最小值.又 C1关于 x 轴对称的点为 C3(2,-3), 所以|PC1|+|PC2|-4 的最小值为|C3C2|-4=(2-3)2+ (-3-4)2-4=52-4,故选 A. 18.(2013湖南理 T8)在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=4
22、,点 P 为边 AB 上异于 A,B 的一点,光线从点 P 出 发,经 BC,CA 反射后又回到点 P.若光线 QR 经过ABC 的重心,则 AP 等于( ) A.2 B.1 C.8 3 D.4 3 【答案】D 【解析】以 A 为原点,AB 为 x 轴,AC 为 y 轴建立直角坐标系如图所示. 则 A(0,0),B(4,0),C(0,4). 设ABC 的重心为 D,则 D 点坐标为(4 3, 4 3). 设 P 点坐标为(m,0),则 P 点关于 y 轴的对称点 P1为(-m,0),因为直线 BC 方程为 x+y-4=0,所以 P 点关于 BC 12 的对称点 P2为(4,4-m),根据光线反
23、射原理,P1,P2均在 QR 所在直线上, kP1D= kP2D,即 4 3 4 3+m = 4 3-4+m 4 3-4 , 解得,m=4 3或 m=0. 当 m=0 时,P 点与 A 点重合, 故舍去.m=4 3. 19.(2012浙江理T3)设aR,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】l1与 l2平行的充要条件为 a(a+1)=21 且 a41(-1),可解得 a=1 或 a=-2,故 a=1 是 l1l2的 充分不必要条件.
24、20.(2010安徽文 T4)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 【答案】A 【解析】设直线方程为 x-2y+c=0,将点(1,0)代入,解得 c=-1,故直线方程为 x-2y-1=0. 二、填空题 1.(2019江苏T10)在平面直角坐标系 xOy 中,P 是曲线 y=x+4 x(x0)上的一个动点,则点 P 到直线 x+y=0 的 距离的最小值是 . 【答案】4 【解析】当直线 x+y=0 平移到与曲线 y=x+4 x相切位置时,切点 Q 即为点 P 到直线 x+y=0 的
25、最小距离的点,有 y=(x + 4 x)=1- 4 x2=-1(x0),得 x=2(-2舍). 此时 y=2 + 4 2=32,即切点 Q(2,32), 则切点 Q 到直线 x+y=0 的距离为 d=|2+32| 12+12 =4,即为所求最小值. 2.(2019天津理 T12)设 aR,直线 ax-y+2=0 和圆 = 2 + 2, = 1 + 2 ( 为参数)相切,则 a 的值为_. 13 【答案】3 4 【解析】由 = 2 + 2, = 1 + 2 ( 为参数), 得(x-2) 2+(y-1)2=4, 圆心为(2,1),r=2. 由直线与圆相切,得|2-1+2| 2+1 =2, 解得 a
26、=3 4. 3.(2019浙江T12)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1), 则 m= ,r= . 【答案】-2 5 【解析】由题意知 kAC=-1 2AC:y+1=- 1 2(x+2),把(0,m)代入得 m=-2,此时 r=|AC|=4 + 1 = 5. 4.(2018天津文 T12)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 . 【答案】x 2+y2-2x=0 【解析】画出示意图如图所示,则OAB 为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为 1,所以所求圆 的方程为(x-1) 2+y2=
27、1,即 x2+y2-2x=0. 5.(2018全国 1文 T15)直线 y=x+1 与圆 x 2+y2+2y-3=0 交于 A,B 两点,则|AB|= . 【答案】2 【解析】圆的方程可化为 x 2+(y+1)2=4, 故圆心 C(0,-1),半径 r=2,圆心到直线 y=x+1 的距离 d=|0-(-1)+1| 2 = 2, 所以弦长|AB|=22-2=24-2=22. 6.(2018天津理 T12)已知圆 x 2+y2-2x=0 的圆心为 C, 直线 = -1 + 2 2 , = 3- 2 2 (t 为参数)与该圆相交于 A,B 两点,则ABC 的面积为_. 【答案】1 2 【解析】圆 C
28、 的方程可化为(x-1) 2+y2=1,得圆心为 C(1,0),半径为 1. 14 由 = -1 + 2 2 , = 3- 2 2 (t 为参数),可得直线的普通方程为 x+y-2=0. 所以圆心 C(1,0)到直线 x+y-2=0 的距离 d=|1+0-2| 1+1 = 2 2 . 所以|AB|=21-(2 2 ) 2 = 2. 所以 SABC=1 2|AB|d= 1 2 2 2 2 = 1 2. 7.(2016全国 1文 T15)设直线 y=x+2a 与圆 C:x 2+y2-2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若|AB|=23,则圆 C 的面积 为 . 【答案】4 【解析】圆 C 的方程
29、可化为 x 2+(y-a)2=2+a2,直线方程为 x-y+2a=0, 所以圆心坐标为(0,a),半径r 2=a2+2,圆心到直线的距离d=| 2 .由已知(3) 2+2 2 =a 2+2,解得a2=2,故圆C的面积 为 (2+a 2)=4. 8.(2016上海理 T3)已知平行直线 l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则 l1,l2的距离是 . 【答案】25 5 【解析】d=|C1-C2| A2+B2 = |-1-1| 22+12 = 25 5 . 9.(2016浙江文 T10)已知 aR,方程 a 2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0 表示圆,则圆心坐标是 ,半径 是
30、. 【答案】(-2,-4) 5 【解析】由题意,可得 a 2=a+2,解得 a=-1 或 2.当 a=-1 时,方程为 x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆 心为(-2,-4),半径为 5;当 a=2 时,方程为 4x 2+4y2+4x+8y+10=0,(x +1 2) 2 +(y+1) 2=-5 4不表示圆. 10.(2016天津文 T12)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上,点 M(0,5)在圆 C 上,且圆心到直线 2x-y=0 的 距离为45 5 ,则圆 C 的方程为 . 【答案】(x-2) 2+y2=9 【解析】 设圆心C的坐标为(a,0)(a
31、0),则|2a| 5 = 45 5 a=2.又点M(0,5)在圆C上,则圆C的半径r=22+ 5=3. 故圆 C 的方程为(x-2) 2+y2=9. 11.(2016全国 3理 T16 文 T15)已知直线 l:mx+y+3m-3=0 与圆 x 2+y2=12 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点.若|AB|=23,则|CD|= . 15 【答案】4 【解析】因为|AB|=23,且圆的半径 R=23, 所以圆心(0,0)到直线 mx+y+3m-3=0 的距离为2-(| 2 ) 2 =3. 由|3-3| 2+1 =3,解得 m=-3 3 . 将其代入直线
32、 l 的方程,得 y=3 3 x+23,即直线 l 的倾斜角为 30. 由平面几何知识知在梯形 ABDC 中, |CD|= | 30=4. 12.(2015江苏 T10)在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线 mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有 圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 【答案】(x-1) 2+y2=2 【解析】(方法一)设 A(1,0).由 mx-y-2m-1=0,得 m(x-2)-(y+1)=0,则直线过定点 P(2,-1),即该方程表示所 有过定点 P 的直线系方程. 当直线与 AP 垂直时,所求圆的半径最大. 此时,半径为|AP|=(2-1)2+ (
33、-1-0)2= 2. 故所求圆的标准方程为(x-1) 2+y2=2. (方法二)设圆的半径为 r,根据直线与圆相切的关系得 r=|+1| 1+2 = 2+2+1 2+1 = 1 + 2 2+1, 当 m0), 所以(a-0)2+ (0-2)2=4-a,解得 a=3 2,故圆心为( 3 2,0),此时半径 r=4- 3 2 = 5 2,因此该圆的标准方程是 16 (x- 3 2) 2 +y 2=25 4 . 14.(2014重庆理 T13)已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1) 2+(y-a)2=4 相交于 A,B 两点,且ABC 为 等边三角形,则实数 a= . 【答案】41
34、5 【解析】 由ABC 为等边三角形可得,C 到 AB 的距离为3,即(1,a)到直线 ax+y-2=0 的距离 d=|+-2| 1+2 = 3, 即 a 2-8a+1=0,可求得 a=415. 15.(2014陕西理 T12)若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称,则圆 C 的标准方程 为 . 【答案】x 2+(y-1)2=1 【解析】因为(1,0)关于 y=x 的对称点为(0,1),所以圆 C 是以(0,1)为圆心,以 1 为半径的圆,其方程为 x 2+(y-1)2=1. 16.(2011浙江文 T12)若直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互相
35、垂直,则实数 m= . 【答案】1 【解析】由题意知 12+(-2)m=0,即 m=1. 17.(2010全国理T15)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为 . 【答案】(x-3) 2+y2=2 【解析】由题意知 A,B 两点在圆 C 上, 线段 AB 的垂直平分线 x=3 过圆心 C. 又圆 C 与直线 y=x-1 相切于点 B(2,1), kBC=-1. 直线 BC 的方程为 y-1=-(x-2), 即 y=-x+3. y=-x+3 与 x=3 联立得圆心 C 的坐标为(3,0), r=|BC|=(3-2)2+ (0-1)2= 2. 圆 C 的方程
36、为(x-3) 2+y2=2. 18.(2010全国文 T13)圆心在原点且与直线 x+y-2=0 相切的圆的方程为 . 【答案】x 2+y2=2 【解析】圆心(0,0)到直线 x+y-2=0 的距离 R= |-2| 12+12 = 2.圆的方程为 x 2+y2=2. 17 三、计算题 1.(2015全国 1文 T20)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2) 2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. (1)求 k 的取值范围; (2)若 =12,其中 O 为坐标原点,求|MN|. 【解析】(1)由题设,可知直线 l 的方程为 y=kx+1. 因为 l 与 C 交于
37、两点, 所以|2-3+1| 1+2 1.解得4-7 3 k4+7 3 . 所以 k 的取值范围为(4-7 3 , 4+7 3 ). (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2). 将 y=kx+1 代入方程(x-2) 2+(y-3)2=1, 整理得(1+k 2)x2-4(1+k)x+7=0. 所以 x1+x2=4(1+) 1+2 ,x1x2= 7 1+2. =x1x2+y1y2 =(1+k 2)x 1x2+k(x1+x2)+1=4(1+) 1+2 +8. 由题设可得4(1+) 1+2 +8=12,解得 k=1, 所以 l 的方程为 y=x+1. 故圆心 C 在 l 上,所以|MN|=2. 2.
38、(2015广东理 T20)已知过原点的动直线 l 与圆 C1:x 2+y2-6x+5=0 相交于不同的两点 A,B. (1)求圆 C1的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x-4)与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说 明理由. 【解析】(1)由 x 2+y2-6x+5=0,得(x-3)2+y2=4, 从而可知圆 C1的圆心坐标为(3,0). (2)设线段 AB 的中点 M(x,y), 由弦的性质可知 C1MAB,即 C1MOM. 故点 M 的轨迹是以 OC1为直径的圆, 18 该圆的圆心
39、为 C(3 2,0),半径 r= 1 2|OC1|= 1 23= 3 2,其方程为(- 3 2) 2 +y 2=(3 2) 2 , 即 x 2+y2-3x=0. 又因为点 M 为线段 AB 的中点,所以点 M 在圆 C1内,所以(-3)2+ 25 3. 易知 x3,所以5 3x3. 所以线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程为 x 2+y2-3x=0(5 3 3). (3)存在实数 k 满足题意. 由(2)知点 M 的轨迹是以 C(3 2,0)为圆心, 3 2为半径的圆弧 (如图所示,不包括两个 端点),且 E(5 3, 25 3 ),F(5 3,- 25 3 ). 又直线 L:y=k(x
40、-4)过定点 D(4,0), 当直线 L 与圆 C 相切时,由 |(3 2-4)-0| 2+1 = 3 2,得 k= 3 4. 又 kDE=-kDF=- 0-.-2 5 3 / 4-5 3 = 25 7 ,结合上图可知当 k,- 3 4, 3 4- - 25 7 , 25 7 时,直线 L:y=k(x-4)与曲线 C 只有一个交点. 3.(2014全国 1文 T20)已知点 P(2,2),圆 C:x 2+y2-8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及PO
41、M 的面积. 【解析】设 M(x,y),则 =(x,y-4), =(2-x,2-y). 由题设知 =0, 故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1) 2+(y-3)2=2. 由于点 P 在圆 C 的内部, 所以 M 的轨迹方程是(x-1) 2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心,2为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上,又 P 在圆 N 上,从而 ONPM. 因为 ON 的斜率为 3,所以 l 的斜率为-1 3,故 l 的方程为 y=- 1 3x+ 8 3. 又|OM|=|OP|=22,O 到 l 的
42、距离为410 5 ,|PM|=410 5 ,所以POM 的面积为16 5 . 19 4.(2013江苏T17)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. 【解析】(1)由题设,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2),于是切线的斜率必存在. 设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3, 由题意,|3
43、k+1| k2+1 =1,解得 k=0 或 k=-3 4, 故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程为(x-a) 2+y-2(a-2)2=1. 设点 M(x,y),因为 MA=2MO, 所以x2+ (y-3)2=2x2+ y2,化简得 x 2+y2+2y-3=0,即 x 2+(y+1)2=4,所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点,则|2-1|CD2+1, 即 1a2+ (2a-3)23. 由 5a 2-12a+80,得 aR; 由 5a 2-12a0,得 0a12 5 . 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为*0, 12 5 +.
