1、1 十年高考真题分类汇编十年高考真题分类汇编（2010201020192019）数学）数学 专题专题 1717 复数复数 1.(2019全国 1文 T1)设 z= 3-i 1+2i,则|z|= ( ) A.2 B.3 C.2 D.1 2.(2019全国 3理 T2 文 T2)若 z(1+i)=2i,则 z=( ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 3.(2019北京理 T1 文 T2)已知复数 z=2+i,则 zz=( ) A.3 B.5 C.3 D.5 4.(2019全国 2文 T2)设 z=i(2+i),则=( ) A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2
2、i 5.(2019全国 1理 T2)设复数 z 满足|z-i|=1,z 在复平面内对应的点为(x,y),则( ) A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1 6.(2019全国 2理 T2)设 z=-3+2i,则在复平面内 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.(2018全国 1理 T1 文 T2)设 z=1-i 1+i+2i,则|z|=( ) A.0 B.1 2 C.1 D.2 8.(2018全国 2理 T1)1+2i 1-2i=( ) A.-4 5 3 5i B.-4 5 + 3
3、5i C.-3 5 4 5i D.-3 5 + 4 5i 9.(2018全国 2文 T1)i(2+3i)=( ) A.3-2i B.3+2i 2 C.-3-2i D.-3+2i 10.(2018全国 3理 T2 文 T2)(1+i)(2-i)=( ) A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i 11.(2018北京理 T2 文 T2)在复平面内,复数 1 1-i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12.(2018浙江4)复数 2 1-i (i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 13.(2
4、017全国 1理 T3)设有下面四个命题 p1:若复数 z 满足1 zR,则 zR; p2:若复数 z 满足 z2R,则 zR; p3:若复数 z1,z2满足 z1z2R,则 z1=z2; p4:若复数 zR,则zR. 其中的真命题为( ) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 14.(2017全国 2理 T1)3+i 1+i =( ) A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 15.(2017全国 2文 T2)(1+i)(2+i)= ( ) A.1-i B.1+3i C.3+i D.3+3i 16.(2017山东文 T2)已知 i 是虚数单位,若复数 z
5、满足 zi=1+i,则 z2=( ) A.-2i B.2i C.-2 D.2 17.(2017全国 3理 T2)设复数 z 满足(1+i)z=2i,则|z|=( ) A.1 2 B.2 2 C.2 D.2 18.(2017全国 1文 T3)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1+i)2 B.i2(1-i) 3 C.(1+i)2 D.i(1+i) 19.(2017山东理 T2)已知 aR,i 是虚数单位.若 z=a+3i,z=4,则 a=( ) A.1 或-1 B.7或-7 C.-3 D.3 20.(2017全国 3文 T2)复平面内表示复数 z=i(-2+i)的点位于( ) A.第一
6、象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 21.(2017北京理 T2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-,1) B.(-,-1) C.(1,+) D.(-1,+) 22.(2016全国 2理 T1)已知 z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范围是 ( ) A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+) D.(-,-3) 23.(2016全国 3理 T2)若 z=1+2i,则 4 -1=( ) A.1 B.-1 C.i D.-I 24.(2016北京文 T2)复数1+2 2- =(
7、 ) A.i B.1+i C.-i D.1-I 25.(2016全国 1理 T2)设(1+i)x=1+yi,其中 x,y 是实数,则|x+yi|=( ) A.1 B.2 C.3 D.2 26.(2016全国 1文 T2)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a=( ) 4 A.-3 B.-2 C.2 D.3 27.(2016全国 2文 T2)设复数 z 满足 z+i=3-i,则=( ) A.-1+2i B.1-2i C.3+2i D.3-2i 28.(2016全国 3文 T2)若 z=4+3i,则 |= ( ) A.1 B.-1 C.4 5 + 3 5i D.4 5
8、3 5i 29.(2016山东理 T1)若复数 z 满足 2z+=3-2i,其中 i 为虚数单位,则 z=( ) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i 30.(2015全国 2理 T2)若 a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则 a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 31.(2015全国文 T3)已知复数 z 满足(z-1)i=1+i,则 z=( ) A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i 32.(2015全国 2文 T2)若 a 为实数,且2+ 1+ =3+i,则 a=( ) A.-4 B.-3 C.3 D.4 33.(2015安徽文 T
9、1)设 i 是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)=( ) A.3+3i B.-1+3i C.3+i D.-1+i 34.(2015湖南文 T1)已知(1-) 2 =1+i(i 为虚数单位),则复数 z=( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 35.(2015全国 1理 T1)设复数 z 满足1+ 1-=i,则|z|=( ) A.1 B.2 C.3 D.2 36.(2015湖北理 T1)i 为虚数单位,i 607的共轭复数 为( ) 5 A.i B.-i C.1 D.-1 37.(2015安徽理 T1)设 i 是虚数单位,则复数 2i 1-i在复平面内所对应的点位于( )
10、 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 38.(2014全国 2理 T2)设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则 z1z2=( ) A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i 39.(2014重庆理 T1)复平面内表示复数 i(1-2i)的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 40.(2014全国 1理 T2)(1+) 3 (1-)2=( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-I 41.(2014全国 2文 T2)1+3 1- =( ) A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i 4
11、2.(2014全国 1文 T3)设 z= 1 1+i,则|z|=( ) A.1 2 B.2 2 C.3 2 D.2 43.(2013全国 1理 T2)若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( ) A.-4 B.-4 5 C.4 D.4 5 44.(2013全国 2文 T2)| 2 1+|=( ) A.22 B.2 C.2 D.1 6 45.(2013全国 2理 T2)设复数 z 满足(1-i)z=2i,则 z=( ) A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i 46.(2013全国 1文 T2) 1+2 (1-)2=( ) A.-1-1 2i B.-1+1 2i
12、 C.1+1 2i D.1-1 2i 47.(2012全国理 T3)下面是关于复数 z= 2 -1+的四个命题: p1:|z|=2, p2:z2=2i, p3:z 的共轭复数为 1+i, p4:z 的虚部为-1, 其中的真命题为( ) A.p2,p3 B.p1,p2C.p2,p4 D.p3,p4 48.(2012全国文 T2)复数 z=-3+ 2+ 的共轭复数是( ) A.2+i B.2-i C.-1+i D.-1-i 49.(2011全国文 T2)复数 5 1-2=( ) A.2-i B.1-2i C.-2+i D.-1+2i 50.(2010全国理 T2)已知复数 z= 3+ (1-3)2
13、 ,z是 z 的共轭复数,则 zz=( ) A.1 4 B.1 2 C.1 D.2 51.(2010全国文 T3)已知复数 z= 3+i (1-3i)2,则|z|等于( ) A.1 4 B.1 2 C.1 D.2 52.(2018天津理 T9 文 T9)i 是虚数单位,复数6+7 1+2=. 53.(2019天津理 T9 文 T9)i 是虚数单位,则|5-i 1+i|的值为_. 54.(2019江苏T 2)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为 0,其中 i 为虚数单位,则实数 a 的值是_ . 55.(2018上海5)已知复数 z 满足(1+i)z=1-7i(i 是虚数单位),则|z|= .
14、 56.(2017浙江12)已知 a,bR,(a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位),则 a2+b2=_,ab=_. 7 57.(2017江苏T 2)已知复数 z=(1+i)(1+2i),其中 i 是虚数单位,则 z 的模是 . 58.(2017天津理 T9 文 T9)已知 aR,i 为虚数单位,若 a-i 2+i为实数,则 a 的值为. 59.(2016江苏T 2)复数 z=(1+2i)(3-i),其中 i 为虚数单位,则 z 的实部是 . 60.(2016天津理 T9)已知 a,bR,i 是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则 的值为. 61.(2016北京理 T9)设 aR,若复
15、数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则 a= . 62.(2015天津理 T9)i 是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数 a 的值为 . 63.(2015江苏T 3)设复数 z 满足 z2=3+4i(i 是虚数单位),则 z 的模为 . 64.(2015重庆理 T11)设复数 a+bi(a,bR)的模为3 ,则(a+bi)(a-bi)= . 8 十年高考真题分类汇编十年高考真题分类汇编（2010201020192019）数学数学 专题专题 1414 概率与概率与统计统计 1.(2019全国 1理 T6)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从
16、下到上排列的 6 个爻组成,爻分为阳爻 “”和阴爻“”,右图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是( ) A. 5 16 B.11 32 C.21 32 D.11 16 【答案】A 【解析】 由题可知,每一爻有 2 种情况,故一重卦的 6 个爻有 2 6种情况.其中 6 个爻中恰有 3 个阳爻有C 6 3种情 况,所以该重卦恰有 3 个阳爻的概率为C6 3 26 = 5 16,故选 A. 2.(2019全国 2文 T4)生物实验室有 5 只兔子,其中只有 3 只测量过某项指标.若从这 5 只兔子中随机取 出 3 只,则恰有 2 只测量过该指标的概率为( ) A
17、.2 3 B.3 5 C.2 5 D.1 5 【答案】B 【解析】设测量过该指标的 3 只兔子为 a,b,c,剩余 2 只为 A,B,则从这 5 只兔子中任取 3 只的所有取法有 a,b,c,a,b,A,a,b,B,a,c,A,a,c,B,a,A,B,b,c,A,b,c,B,c,A,B,b,A,B共 10 种,其中恰 有 2 只测量过该指标的取法有a,b,A,a,b,B,a,c,A,a,c,B,b,c,A,b,c,B共 6 种,所以恰有 2 只测量过该指标的概率为 6 10 = 3 5,故选 B. 3.(2019全国 3文 T3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是(
18、) 【答案】D 【解析】两位男同学和两位女同学排成一列,共有 24 种排法.两位女同学相邻的排法有 12 种,故两位女同学 9 相邻的概率是1 2.故选 D. 4.(2019全国 1文 T6)某学校为了解 1 000 名新生的身体素质,将这些学生编号为 1,2,1 000,从这些 新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验.若 46 号学生被抽到,则下面 4 名学生中被抽到的 是( ) A.8 号学生 B.200 号学生 C.616 号学生 D.815 号学生 【答案】C 【解析】由已知得将 1 000 名新生分为 100 个组,每组 10 名学生,用系统抽样 46 号学生被抽到
19、,则第一组应 为 6 号学生, 所以每组抽取的学生号构成等差数列an,所以 an=10n-4,nN*, 若 10n-4=8,则 n=1.2,不合题意; 若 10n-4=200,则 n=20.4,不合题意; 若 10n-4=616,则 n=62,符合题意; 若 10n-4=815,则 n=81.9,不合题意. 故选 C. 5.(2019全国 2理 T5)演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从 9 个 原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分,得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原始评分相比,不变的数 字特征是( ) A.中位数 B.平均数 C.方差
20、D.极差 【答案】A 【解析】 设 9 位评委的评分按从小到大排列为 x10.5,p=0.6(其中 p=0.4 舍去). 13.(2018全国 3文 T5)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45,既用现金支付也用非现金支付的 概率为 0.15,则不用现金支付的概率为( ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 【答案】B 【解析】设不用现金支付的概率为 P,则 P=1-0.45-0.15=0.4. 13 14.(2017全国 3理 T3 文 T3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单
21、位:万人)的数据,绘制了下面的折线图. 根据该折线图,下列结论错误的是( ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月,波动性更小,变化比较平稳 【答案】A 【解析】由题图可知 2014 年 8 月到 9 月的月接待游客量在减少,故 A 错误. 15.(2017山东文 T8)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据(单位:件).若这两 组数据的中位数相等,且平均值也相等,则 x 和 y 的值分别为( ) A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7
22、 【答案】A 【解析】甲组数据为 56,62,65,70+x,74;乙组数据为 59,61,67,60+y,78.若两组数据的中位数相等,则 65=60+y,所以 y=5. 又两组数据的平均值相等,所以 56+62+65+70+x+74=59+61+67+65+78,解得 x=3. 16.(2017全国 1理 T2 文 T4)如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色 部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点 , 则此点取自黑色部分的概率是( ) A.1 4 B. 8 C.1 2 D. 4 14 【答案】B 【解析】不妨设正方形边长为 2,
23、则圆半径为 1,正方形的面积为 22=4,圆的面积为12=.由图形的对 称性,可知图中黑色部分的面积为圆面积的一半,即1 2r 2=1 2,所以此点取自黑色部分的概率为 2 4 = 8. 17.(2017全国 2文 T11)从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张,放回后再随机抽取 1 张,则 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A. 1 10 B.1 5 C. 3 10 D.2 5 【答案】D 【解析】从 5 张卡片中随机抽取 1 张,放回后再随机抽取 1 张的情况如图所示. 总共有 25 种情况,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的情况有
24、 10 种,故所求的概率为10 25 = 2 5. 18.(2017天津文 T3)有 5 支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫,从这 5 支彩笔中任 取 2 支不同颜色的彩笔,则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为( ) A.4 5 B.3 5 C.2 5 D.1 5 【答案】C 【解析】从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔,共有(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫),(黄蓝),(黄绿),(黄 紫),(蓝绿),(蓝紫),(绿紫)10 种不同情况,记 “取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔” 为事件 A,则事件 A 包含(红 黄),(红蓝),(红绿),(红紫)4 个基本事
25、件,则 P(A)= 4 10 = 2 5.故选 C. 19.(2017 山东 理 T5)为了研究某班学生的脚长 x(单位:厘米)和身高 y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取 10 名学生,根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系,设其回归 直线方程为 = b x+ .已知 =1 10 xi=225, =1 10 yi=1 600, =4,该班某学生 的脚长为 24,据此估计其身高为( ) A.160 B.163 C.166 D.170 【答案】C 【解析】由已知得 = 1 10 =1 10 xi=22.5,y = 1 10 i=1 10 yi=160,又 =4,所以 =
26、=160-422.5=70,故当 x=24 时, =424+70=166.故选 C. 20.(2016全国 1文 T3)为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下 15 的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.5 6 【答案】C 【解析】 总的基本事件是红黄,白紫;红白,黄紫;红紫,黄白,共 3 种.满足条件的基本事件是红黄,白紫;红白, 黄紫,共 2 种.故所求事件的概率为 P=2 3. 21.(2016全国 3文 T5)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是 M
27、,I,N 中的一个字 母,第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( ) A. 8 15 B.1 8 C. 1 15 D. 1 30 【答案】C 【解析】密码的前两位共有 15 种可能,其中只有 1 种是正确的密码,因此所求概率为 1 15.故选 C. 22.(2016北京文 T6)从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人,则甲被选中的概率为( ) A.1 5 B.2 5 C. 8 25 D. 9 25 【答案】B 【解析】 从甲、 乙等 5 名学生中选 2 人有 10 种方法,其中 2 人中包含甲的有 4 种方法,故所求的概率为 4 10 = 2 5
28、. 23.(2016全国 1理 T4)某公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐 班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是( ) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 【答案】B 【解析】这是几何概型问题,总的基本事件空间如图所示,共 40 分钟,等车时间不超过 10 分钟的时间段为 7:50 至 8:00 和 8:20 至 8:30,共 20 分钟,故他等车时间不超过 10 分钟的概率为P=20 40 = 1 2,故选 B. 24.(2016全国 2理 T10)从区间0,1随机抽取 2n 个
29、数 x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成 n 个数对 (x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周 率的近似值为( ) A.4 B.2 16 C.4 D.2 【答案】C 【解析】利用几何概型求解,由题意可知, 1 4圆 正方形 = 1 41 2 12 = ,所以 = 4 . 25.(2016山东理 T3 文 T3)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频 率 分 布 直 方 图 , 其 中 自 习 时 间 的 范 围 是 17.5,30, 样 本 数 据 分 组 为 17.5,
30、20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30.根据直方图,这 200 名学生中每周的自习时间不少 于 22.5 小时的人数是( ) A.56 B.60 C.120 D.140 【答案】D 【解析】自习时间不少于 22.5 小时为后三组,其频率和为(0.16+0.08+0.04)2.5=0.7,故人数为 200 0.7=140,选 D. 26.(2016全国 2文 T8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40 秒.若一名 行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为( ) A. 7 10 B.5 8 C.3 8 D.
31、 3 10 【答案】B 【解析】因为红灯持续时间为 40 秒, 所以这名行人至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为40-15 40 = 5 8,故选 B. 27.(2016全国 3理 T4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平 均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ,B点表示四月的平均最低气温约为5. 下面叙述不正确的是( ) A.各月的平均最低气温都在 0 以上 17 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于 20 的月份有 5 个 【答案】D 【解析】由题图可知,0 在虚线圈
32、内,所以各月的平均最低气温都在 0 以上,A 正确;易知 B,C 正确;平均 最高气温高于 20 的月份有 3 个,分别为六月、七月、八月,D 错误.故选 D. 28.(2015全国 2理 T3 文 T3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形 图,以下结论中不正确的是( ) A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D 【解析】由柱形图知,2006 年以来我国二氧化硫年排放量
33、呈减少趋势,故其排放量与年份负相关,故 D 错误. 29.(2015陕西理 T2 文 T2)某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师,其性别比例如图所示, 则该校女教师的人数为( ) 18 A.93 B.123 C.137 D.167 【答案】C 【解析】由题图知,初中部女教师有 11070%=77 人;高中部女教师有 150(1-60%)=60 人.故该校女教师共 有 77+60=137(人).故选 C. 30.(2015北京理 T8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙 三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )
34、 A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米/时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D 【解析】对于选项 A,从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于 5,故 A 项错误; 对于选项 B,同样速度甲车消耗 1 升汽油行驶的路程比乙车、丙车的多,所以行驶相同路程,甲车油耗最少, 故 B 项错误; 对于选项 C,甲车以 80 千米/小时的速度行驶,1 升汽油行驶 10 千米,所以行驶 1 小时,即行驶 80 千米,消耗 8
35、升汽油,故 C 项错误; 对于选项D,速度在80千米/小时以下时,相同条件下每消耗1升汽油,丙车行驶路程比乙车多,所以该市用丙 19 车比用乙车更省油,故 D 项正确. 31.(2015湖北理 T2)我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1 534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为( ) A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1 365 石 【答案】B 【解析】 由条件知 254 粒内夹谷 28 粒,可估计米内夹谷的概率为 28 254 = 14 127,所以 1 534 石米中夹谷约为 14 12
36、71 534169(石). 32.(2015陕西理 T11)设复数 z=(x-1)+yi(x,yR),若|z|1,则 yx 的概率为( ) A.3 4 + 1 2 B.1 2 + 1 C.1 2 1 D.1 4 1 2 【答案】D 【解析】由|z|1,得(x-1)2+y21. 不等式表示以 C(1,0)为圆心,半径 r=1 的圆及其内部,yx 表示直线 y=x 左上方部分(如图所示). 则阴影部分面积S= 1 4 1 2-S OAC=1 4- 1 211= 4 1 2. 故所求事件的概率P= 阴 圆 = 4- 1 2 12 = 1 4 1 2. 33.(2015山东文 T7)在区间0,2上随机
37、地取一个数 x,则事件“-1log1 2 ( + 1 2)1”发生的概率为 ( ) A.3 4 B.2 3 C.1 3 D.1 4 【答案】A 【解析】 由-1log1 2 ( + 1 2)1,得 log1 22log 1 2 ( + 1 2)log1 2 1 2,所以 1 2x+ 1 22,所以 0x 3 2.由几何概型可 知,事件发生的概率为 3 2-0 2-0 = 3 4. 34.(2015福建文 T8)如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为(1,0),且点 C 与点 D 在函数 f(x)= + 1, 0, - 1 2 + 1, D4D2=D5D3D6. 101
38、.(2018天津理 T16)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16.现采用分层抽样的 方法从中抽取 7 人,进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足,3 人睡眠充足,现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查. 用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数,求随机变量 X 的分布列与数学期望; 设 A 为事件“抽取的 3 人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件 A 发生的概率. 【解析】(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322,由于采用分层抽样的方法从
39、中抽取 7 人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人,2 人,2 人. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. P(X=k)=C4 kC 3 3-k C7 3 (k=0,1,2,3). 所以,随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 35 12 35 18 35 4 35 随机变量 X 的数学期望 E(X)=0 1 35+1 12 35+2 18 35+3 4 35 = 12 7 . 设事件B 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有 2人”;事件 C为“抽取的3 人中, 睡 眠 充 足 的 员 工 有 2 人 , 睡 眠 不 足 的
40、员 工 有 1 人 ”, 则 A=B C, 且 B 与 C 互 斥 . 由 知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故 P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=6 7. 所以,事件 A 发生的概率为6 7. 102.(2018全国 2理 T18 文 T18)下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y(单位:亿元)的折 43 线图. 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额,建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型.根据 2000 年 至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2,17)建立模型:y =-30.4+13.5t;
41、根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2,7)建立模型 :y=99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由. 【解析】(1)利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 y =-30.4+13.519=226.1(亿元). 利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 y =99+17.59=256.5(亿元). (2)利用模型得到的预测值更可靠. 理由如下: (i)从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应
42、的点没有随机散布在直线 y=-30.4+13.5t 上下,这说明 利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相 对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加,2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说 明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型y =99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠. (ii)从计算结果看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220
43、亿元,由模型得到的预测值 226.1 亿元的增 幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型得到的预测值更可靠. 44 (以上给出了 2 种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可得分) 103.(2018全国 1文 T19)某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙 头 50 天的日用水量数据,得到频数分布表如下: 未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量 0,0.1) 0.1,0.2) 0.2,0.3) 0.3,0.4) 频数 1 3 2 4 日用水量 0.4,0.5) 0.5,0.6) 0.6,0.7) 频数 9 26
44、5 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量 0,0.1) 0.1,0.2) 0.2,0.3) 频数 1 5 13 日用水量 0.3,0.4) 0.4,0.5) 0.5,0.6) 频数 10 16 5 (1)在下图作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图: (2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于 0.35 m3 的概率; (3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按 365 天计算,同一组中的数据以这组数据所在区 间中点的值作代表.) 【解析】(1) 45 (2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0.35 m3 的频率
45、为 0.20.1+10.1+2.6 0.1+20.05=0.48, 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.35 m3 的概率的估计值为 0.48. (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为x1= 1 50(0.051+0.153+0.252+0.354+0.459+0.5526+0.655)=0.48. 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为x2= 1 50(0.051+0.155+0.2513+0.3510+0.4516+0.555)=0.35. 估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)365=47.45(m3). 104.(2018北京文 T17)电影公
46、司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)随机选取 1 部电影,估计这部电影没有获得好评的概率; (3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化,假设表格中只有 两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加 0.1,
47、哪类电影的好评率减少 0.1,使得获得好 评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论) 【解析】(1)由题意知,样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2 000. 第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.25=50, 46 故所求概率为 50 2000=0.025. (2)设“随机选取 1 部电影,这部电影没有获得好评”为事件 B. 没有获得好评的电影共有 1400.6+500.8+3000.85+2000.75+8000.8+5100.9=1 628(部). 由古典概型概率公式,得P(B)=1628 2000=0.814. (3)第五类电影的好评率增加 0.1,第二类电影的好评率减少 0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电 影总部数的比值达到最大. 105.(2018天
