1、 第六章第六章 状态反馈和状态观测器状态反馈和状态观测器6.1 6.1 状态反馈的定义及其性质状态反馈的定义及其性质6.2 6.2 极点配置极点配置6.3 6.3 应用状态反馈实现解耦控制应用状态反馈实现解耦控制6.4 6.4 状态观测器状态观测器6.1 6.1 状态反馈的定义及其性质状态反馈的定义及其性质 x AxBuyCxDu：&uLvKx则闭环系统则闭环系统K的结构如图的结构如图 6.1.1 所示。所示。给定系统给定系统在系统中引入反馈控制律在系统中引入反馈控制律K的状态空间表达式为：的状态空间表达式为：()()KxABK xBLvyCDK xDLv：&图图 6.1.16.1.1()Kx
2、ABK xBLvyCx&：状态反馈性质状态反馈性质HLI(1)(1)时，为单纯的状态变量反馈。若时，为单纯的状态变量反馈。若KHCKxHy，则，则，状态反馈就等价于输状态反馈就等价于输。出反馈出反馈 。0D 若若 ，则，则1()()G sKLC sIABKBL；，利用矩阵运算直接可推出（见书）利用矩阵运算直接可推出（见书）11()()()G sKLG s IK sIABL；，K(2)D=0(2)D=0时，可以求得闭环系统时，可以求得闭环系统 的传递函数阵的传递函数阵在图在图 6.1.1 6.1.1 中令中令0D 并改用图并改用图6.1.2 6.1.2 表示表示LBAKCyxuv+-Iab图图
3、6.1.26.1.2 xAxBu&yIx%和输出反馈和输出反馈uvKy%所组成从到所组成从到 b b 的传递函数矩阵。的传递函数矩阵。()abGs输出反馈传递函数阵的公式求出，输出反馈传递函数阵的公式求出，不难用不难用(为单位矩阵为单位矩阵)图中图中a a和和 b b 之间的部分，可以看成是由系统之间的部分，可以看成是由系统111()()()abGssIAB IK sIABvy(;,)G s K L于是，从于是，从到到的传递函数矩阵的传递函数矩阵即为即为11111 ()()()()()G s K LC sIAB IK sIABLG s IK sIABL；，K证证 注意到系统注意到系统 和和的能
4、控性矩阵分别为的能控性矩阵分别为21 ncuB AB A BAB21 ()()()ncuBABK BABKBABKB由由 ()()ABK BABB KB，可知，可知 ()ABK B的列向量可以由的列向量可以由()B AB的列向量的线性组合表示。的列向量的线性组合表示。KK 定理定理 6.1.1 对于任何实常量矩阵对于任何实常量矩阵，系统，系统完全能控的充要条件是系统完全能控的充要条件是系统完全能控。完全能控。2()ABKB的列向量可以由的列向量可以由 BAB2A B()的的的线性组合表示。的线性组合表示。列向量列向量依此类推，不难看出依此类推，不难看出 rankcurankcu21 ()()(
5、)nBABK BABKBABKB的线性组合表示。这意味着的线性组合表示。这意味着 的列向量可以由的列向量可以由 1 nB ABAB的列向量的列向量系统系统 也可看成是由系统也可看成是由系统 K经过状态反馈经过状态反馈()KI，而获得的，而获得的，因此，同理有因此，同理有rankrankccuu于是定理得证。于是定理得证。所以系统所以系统 K的能控性等价于系统的能控性等价于系统 的能控性，的能控性，：120311xxu&12yx完全能控能观，引入反馈完全能控能观，引入反馈3 1uxV 例例 6.1.1 6.1.1 系统系统 K：120001xxv&12yx不难判断，系统不难判断，系统K仍然是能控
6、的，但已不再仍然是能控的，但已不再能观测。能观测。K则闭环系统则闭环系统 的状态空间表达式为的状态空间表达式为 定理定理 6.2.1 6.2.1 给定系统给定系统:xAxBuyCxDu&kxvu通过状态反馈通过状态反馈任意配置极点的充任意配置极点的充完全能控完全能控。要条件要条件6.2.1 6.2.1 极点配置定理极点配置定理6.2 6.2 极点配置极点配置证证:只就单输入系统的情况证明本定理只就单输入系统的情况证明本定理 充分性：因为给定系统充分性：因为给定系统 能控，故通过等价变换能控，故通过等价变换 Pxx 必能将它变为能控标准形必能将它变为能控标准形 :xAxBuyCxDu&%这里，这
7、里，P为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有111110aaaPAPAnn，001bPb M%111nncPcdd 对式对式(6.2.2)(6.2.2)引入状态反馈引入状态反馈uvKx%12nKkkk%L则闭环系统则闭环系统 K%的状态空间表达式为的状态空间表达式为 :K%()()xAbK xbvycdK xdv%&%其中，显然有其中，显然有112101()1nnnAbKakakakO%L系统系统K%的闭环特征方程为的闭环特征方程为0)()()(121211kaskaskasnnnnnn同时，由指定的任意同时，由指定的任意 n个期望闭环极点个期望闭环极点 n*2*
8、1*,可求得期望的闭环特征方程可求得期望的闭环特征方程0)()(*11*1*2*1*nnnnnasasassss通过比较系数，可知通过比较系数，可知 *1*212*11nnnnakaakaaka由此即有由此即有*1*211*11nnnnnkaakaakaa%M%又因为又因为1uvKxvKP xvKx%KKP%所以所以 ccAAATATA01210cbTbb且对任意且对任意,21kkk，有有)det()det()det(1kbAsIkTbAsIbkAsI非奇异变换阵非奇异变换阵 使系统结构分解使系统结构分解T必要性：采用反证法，设必要性：采用反证法，设 不完全能控，则必不完全能控，则必31001
9、10001rankrank2bAAbb解：解：因为因为例例6.2.1 6.2.1 给定系统的状态空间表达式为给定系统的状态空间表达式为000111000110 xxu&xy110求状态反馈增益阵求状态反馈增益阵 K，使反馈后闭环特征值为，使反馈后闭环特征值为 2*131*3,2j系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律能能配置闭环特征值配置闭环特征值。任意任意1)1)由由ssssssAsI23211001100det)det(得得.0,1,2321aaa2)2)由由得得)(*1s)(*2s)(*3s)31)(31)(2(jsjss88423sss.8,8,4
10、32*1aaa3)3)2,7,8,112233aaaaaak4)4)0010111210010121211001100010010111122aaabAAbbQ5)5)12111010000101112111QP6)6)332121110100278 pkk算法算法2 2：直接配置：直接配置1)1)将将 带入系统状态方程，求得闭环系带入系统状态方程，求得闭环系统的特征多项式统的特征多项式kxu)()()()(111kaskaskassfnnnn其中其中 ,ni,1,是反馈矩阵是反馈矩阵 的函数的函数)(k aik)(kai2)2)计算理想特征多项计算理想特征多项式式*11*121)()()(n
11、nnnnasasassssxf .,1,)(*niakaii3)3)列方程组列方程组 并求解并求解 。,1nkkk 其解其解 ,即为所求即为所求321kkkk 例例6.2.2 6.2.2 同例同例6.2.16.2.1。解：设所需的状态反馈增益矩阵解：设所需的状态反馈增益矩阵k k为为因为经过状态反馈因为经过状态反馈 后，闭环系统后，闭环系统 特征多项式为特征多项式为 bkAsIsf detkxvu的的321001110011000000000detkkksss32121213122kkkskksks根据要求的闭环期望极点，可求得闭环期望特征根据要求的闭环期望极点，可求得闭环期望特征多项式为多项
12、式为 8843131223sssjsjsssf比较两多项式同次幂的系数，有比较两多项式同次幂的系数，有 ：8,812,42321211kkkkkk332k得：得：3,3,2321kkk即得状态反馈增益矩阵为即得状态反馈增益矩阵为:与例与例6.2.16.2.1的结果相同的结果相同6.2.3 6.2.3 讨论讨论状态反馈不改变系统的维数，但是闭环传递状态反馈不改变系统的维数，但是闭环传递函数的阶次可能会降低，这是由分子分母的函数的阶次可能会降低，这是由分子分母的公因子被对消所致。公因子被对消所致。(1)(1)对于单输入单输出系统，状态反馈不会移动对于单输入单输出系统，状态反馈不会移动系统传递函数的
13、零点。系统传递函数的零点。(2)(2)若系统是不完全能控的，可将其状态方程变若系统是不完全能控的，可将其状态方程变换成如下形式：换成如下形式：(3)(3)1111121222200 xxAAbuxxA&%&%22A 其中，其中，的特征值不能任意配置。的特征值不能任意配置。(4)(4)系统综合系统综合往往需要将不稳定的极点，移到往往需要将不稳定的极点，移到 s s平面的左半部，这一过程称为系统镇定。平面的左半部，这一过程称为系统镇定。22A只有只有 的全部特征值都具有负实部时，系的全部特征值都具有负实部时，系统才能稳定。统才能稳定。6.3 6.3 应用状态反馈实现解耦控制应用状态反馈实现解耦控制
14、6.3.1 6.3.1 问题的提出问题的提出考虑考虑MIMOMIMO系统系统 x AxBuyCx：&(6.3.1)(6.3.1)式式(6.3.2)(6.3.2)可写为可写为1()()()()()y sG s u sC sIABu s11111221221122221122()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()ppppqqqqppy sgs u sgs u sgs usy sgs u sgs u sgs usysgs u sgs u sgs usL LL LMML L在在 (0)0 x的条件下，输出与输入之间的关系，的条件下，输出与输入之间的关系，可
15、用传递函数可用传递函数 ()G s描述：描述：1()()()()()y sG s u sC sIABu s (6.3.2)(6.3.2)每一个输入控制着多个输出，而每一个输出被多少每一个输入控制着多个输出，而每一个输出被多少个输入所控制我们称这种交互作用的现象为个输入所控制我们称这种交互作用的现象为耦合耦合。一般说来，控制多输入多输出系统是颇为困的。例一般说来，控制多输入多输出系统是颇为困的。例如如,要找到一组输入要找到一组输入如能找出一些控制律，每个输出受且只受一个输入如能找出一些控制律，每个输出受且只受一个输入的控制，这必将大大的简化控制实现这样的。控制的控制，这必将大大的简化控制实现这样
16、的。控制称为解耦控制，或者简称为称为解耦控制，或者简称为解耦解耦。12(),(),(),pu s u susL2)2)uLvKx状态反馈控制律采用如下形式：状态反馈控制律采用如下形式：3)3)输入变换矩阵输入变换矩阵L为非奇异的为非奇异的 图图6.3.16.3.1vLuBAKxCy+-pq1)1)即系统的输出个数等于输入个数；即系统的输出个数等于输入个数；三个基本假定三个基本假定：1122()(),(),()ppG sKLdiag gsgsgs；，LKL、解耦控制问题解耦控制问题:寻找一个输入变换矩阵和状态反馈寻找一个输入变换矩阵和状态反馈增益矩阵对增益矩阵对K,使得使得系统的传递函数阵系统的
17、传递函数阵p显然，经过解耦的系统可以看成是由显然，经过解耦的系统可以看成是由 个独立单变个独立单变量子系统所组成。量子系统所组成。图图 6.3.26.3.26.3.2 6.3.2 实现解耦控制的条件和主要结论实现解耦控制的条件和主要结论定义两个特征量并简要介绍它们的一些性质。定义两个特征量并简要介绍它们的一些性质。1)1)已知传递函数阵已知传递函数阵111212122212()()()()()()()()()()ppppppgsgsgsgsgsgsG sgsgsgsL LL LMMML L()iigs其中其中都是严格都是严格真的有理分式真的有理分式(或者为零或者为零)。令。令()iigsiid
18、是是 的分母的次数与分子的次数之差的分母的次数与分子的次数之差12min 1iiiipdddd，L L1lim()1 2 idiiiEsg sip，L Li()ig s()G s此处的表示的第 行。不难看出iE()G s 由 所唯一确定的 (2)(2)若若A,B,CA,B,C已知，则已知，则 00,1 210 1 00,1 21 kiiikic A Bkc A Bdnc A Bkn当，而时=当，时diiiEc A B状态反馈不改变状态反馈不改变id例例6.3.1 6.3.1 给定系统给定系统 xAxBuyCx&其中其中:000101123A100001B110001C其传递函数矩阵为其传递函数
19、矩阵为 :21311(1)(2)(1)(2)()()1(1)(2)(1)(2)sss ssssG sC sIABsssss得到得到 :1111222122min 1min1 210min 1min2 110dddddd，11 00,cB20 10,c B1200dd，因因也可求得也可求得iE同样，由两种方法求得同样，由两种方法求得 的也相同。的也相同。12111311(1)(2)(1)(2)lim()lim1 0 1 1 01 0iidEsgsss ssssscBA BsA2222lim()lim0 1 0 0 1(1)(2)(1)(2)10 1iidEsssgsscssBAsAB1,KE F
20、1LEuLvKx定理定理 6.3.1 6.3.1 前面系统在状态反馈前面系统在状态反馈下实下实E现现解耦控制的解耦控制的充要条件充要条件是为是为非奇异。其中，非奇异。其中，12pEEEEM121111221pdddppc AFc AFFFc AMM1LEiiyc x1,iqiycAx&()iiddiycA x(1)1iiidddiycAx cA Bu1,iq LM证：对等式证：对等式iEid两边分别求导，根据两边分别求导，根据 和和 的定义可知的定义可知当且仅当矩阵当且仅当矩阵 为非奇异时，由方程组为非奇异时，由方程组E1iiddiiiic A BKxE Kxc AxFx idiic A Lv
21、E Lvv1,iqL可唯一确定出可唯一确定出 和和 在状态反馈在状态反馈 下下,有有 :1KE F1LEuLvKxiycAx&M()iiddiycA x(1)idiiyv1,iqL输出输出 仅与输入仅与输入 有关有关,且且 仅能控制仅能控制 。定理得证。定理得证在状态反馈在状态反馈 下，系统下，系统 的状态空间表达式的状态空间表达式为为:iyiviviyuLvKxK11:()KxABE F xBE v&yCx 1 12 11111110(;,)()0 1pdddssG s K LC sIABE FBEs OO其传递函数矩阵为其传递函数矩阵为:6.3.3 6.3.3 算法和推论算法和推论算法：算
22、法：1)1)求出求出 系统的系统的 1 2 ,iidEip、，L2)2)构成矩阵构成矩阵 ，若，若 非奇异，则可实现状态非奇异，则可实现状态EE反馈解耦；否则，不能状态反馈解耦。反馈解耦；否则，不能状态反馈解耦。3)3)求取矩阵求取矩阵 和和 ,则则 就是所需的就是所需的KLuLvKx状态反馈控制律。状态反馈控制律。例例6.3.2 6.3.2 给定系统给定系统000100010012301xxu&110001yx试求使其实现解耦控制的状态反馈控制律和解试求使其实现解耦控制的状态反馈控制律和解耦后的传递函数矩阵。耦后的传递函数矩阵。解：解：1)1)在例在例6.3.16.3.1中已求得中已求得 1
23、20dd11 0E 20 1E 2)2)因为因为 为非奇异的为非奇异的,所以可状态所以可状态12EEIE反馈解耦反馈解耦.11111001dFc Ac A21222123dFc Ac A 3)3)因为因为所以有所以有11001 123KE FLEI001123uvx于是于是00110()0010000001xABK xBVxu&110001yxK4)4)反馈后，对于闭环系统反馈后，对于闭环系统 有有110()()10sG sKLC sIABKBLs；，推论推论：iEid1)1)能否态反馈实现解耦控制取决于能否态反馈实现解耦控制取决于 和和 。2)2)求得求得 ，则解耦系统的传递函数，则解耦系统
24、的传递函数 矩阵即可确定。矩阵即可确定。id1,2,ipL3)3)系统解耦后，每个系统解耦后，每个SISOSISO系统的传递函数均为系统的传递函数均为 重积分形式。须对它进一步施以极点配重积分形式。须对它进一步施以极点配 置。置。1id 4)4)要求系统能控，或者至少能镇定否则不能。要求系统能控，或者至少能镇定否则不能。保证闭环系统的稳定性。保证闭环系统的稳定性。6.4 6.4 状态观测器状态观测器lim()lim()ttx tx tyu问题的实质就是构造一个新的系统问题的实质就是构造一个新的系统 (或者说装或者说装置置)，利用原系统中可直接测量的输入量，利用原系统中可直接测量的输入量 和和输
25、出量输出量 作为它的输入信号，并使其输出信号作为它的输入信号，并使其输出信号满足满足6.4.1 6.4.1 状态观测器的存在条件状态观测器的存在条件定理定理 6.4.1 6.4.1 给定线性系统给定线性系统 x AxBuyCx：&证证:因为因为yCxyCxCAxCBu&2(1)12(2)nnnnyCAxCBuCA xCABuCBuyCAxCABuCBu&ML L2(1)(2)21 nnnnCyCAyCBuyCBuCABuCAxNxyCBuCABuCA&MML即即uy、xxrankNn所以所以,只有当只有当 时，上式中的时，上式中的 才能有唯才能有唯一解即只有当系统是状态完全能观测时一解即只有当
26、系统是状态完全能观测时,状态向状态向量量 才能由才能由 以及它们的各阶导数的线性组以及它们的各阶导数的线性组合构造出来。合构造出来。()()()()()x tAx tBu ty tCx t)&6.4.2 6.4.2 全维状态观测器全维状态观测器开环状态估计器：构造一个与原系统完全相开环状态估计器：构造一个与原系统完全相同的模拟装置同的模拟装置(1)(1)图图 6.4.16.4.1()x t从所构造的这一装置可以直接测量从所构造的这一装置可以直接测量。这种。这种开环状态估计器存在如下缺点：开环状态估计器存在如下缺点：每次使用必须重新确定原系统的初始状态并每次使用必须重新确定原系统的初始状态并 对
27、估计器实施设置；对估计器实施设置；()x t%A在在 有正实部特征值时，有正实部特征值时，最终总要趋向无最终总要趋向无 穷大。穷大。()xAE CxB uE y&(2)(2)闭环全维状态观测器。闭环全维状态观测器。状态观测器的动态方程可写为：状态观测器的动态方程可写为：()()()x xA EC x Bu Ey Ax BuA EC x x&因为因为00()()()()000()()()()A EC t tA EC t txx xex tx tex t%其解为其解为0()()limlim0A EC t tttxe%Re()0AEC若若 ,则有则有()()TTTAECAC E()AEC由于由于 ,
28、观测器中观测器中 的特的特征值配置问题等价与对偶系统中极点配置问题。征值配置问题等价与对偶系统中极点配置问题。定理定理 6.4.26.4.2 若若n n维线性定常系统是状态完能观，维线性定常系统是状态完能观，则存在状态观测器则存在状态观测器()xAEC xBuEy&()xAECx&%()(),xx tx t%其估计误差其估计误差 满足满足E在负共轭特征值成对出现的条件下，可选择矩阵在负共轭特征值成对出现的条件下，可选择矩阵来任意配置来任意配置 的特征值。的特征值。()AEC例例6.4.1 6.4.1 为例为例6.2.16.2.1的系统设计一个全维状态观测的系统设计一个全维状态观测器，并使观测器
29、的极点为器，并使观测器的极点为 ，。*15*2,344j 解解:系统完全能观测的，可构造任意配置特征值系统完全能观测的，可构造任意配置特征值 全维状态观测器。全维状态观测器。1)1)由由 ,得得 ；32det()2TsIAsss123210aaa，2)2)观测器的期望特征多项式为观测器的期望特征多项式为 得得 ；*32122()()()(5)(44)(44)1372 160sssssj sjsss *1231372160aaa，3)3)*123332211 160 71 11TEeeeaaaaaa%4)4)21211011121210()10101210021100111100011TTTTTaaQC A CACa5)5)111110222024PQ6)6)1118022216071 110118020312001231TTEE PE%，得全维状态观测器得全维状态观测器()000801801102001 102001131031xAEC xBuEyxuy&080801801192002003032031xuy 其模拟结构如图为其模拟结构如图为图图 6.4.26.4.2
